В. В. Веденяпин, Н. Н. Фимин, В. М. Чечеткин, “Уравнения типа Власова–Максвелла–Эйнштейна и их следствия. Приложения к астрофизическим задачам”, ТМФ, 218:2 (2024), 258–279; Theoret. and Math. Phys., 218:2 (2024), 222

Processing math: 100%

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2024, том 218, номер 2, страницы 258–279
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10551 (Mi tmf10551)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Уравнения типа Власова–Максвелла–Эйнштейна и их следствия. Приложения к астрофизическим задачам

В. В. Веденяпин, Н. Н. Фимин, В. М. Чечеткин

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, Москва, Россия

PDF полного текста (499 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10551

Аннотация: Рассматривается методика получения из общерелятивистского действия Эйнштейна–Гильберта для системы взаимодействующих массивных заряженных частиц соответствующих уравнений динамики Гамильтона. В общерелятивистском случае выведены уравнения типа Власова в нерелятивистском и слаборелятивистском пределах. Предложены выражения для поправок в уравнении Пуассона, которые могут давать вклад в эффективное действие темной материи и темной энергии. При этом предлагается эффективный подход к синхронизации собственных времен различных частиц многочастичной системы. На основе полученных выражений для действия проведен анализ возможности составной структуры космологического члена в уравнениях Эйнштейна. Редуцированные уравнения Эйлера, приводящие к космологической модели Милна–Маккри, выводятся с помощью гидродинамической подстановки и решаются в автомодельном классе.

Ключевые слова: действие Лоренца, лагранжиан, действие Эйнштейна–Гильберта, уравнение Власова–Эйнштейна.

Поступило в редакцию: 31.05.2023
После доработки: 31.05.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages 222–240
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020041

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

PACS: 04.20.Fy

MSC: 85A40

1. Введение

Описание динамики сложных астрофизических систем и процессов в них (подразумевается, в частности, эволюция звездных скоплений, галактик, аккреционных дисков вокруг нейтронных звезд и черных дыр, а также, как отдельный класс, космологические модели с наличием распределенной материи) с учетом эффектов общей теории относительности (ОТО) требует развития и углубления теории многочастичных систем взаимодействующих (посредством гравитационного и/или электромагнитного поля) частиц [1]–[5]. В современной литературе по ОТО основное внимание уделяется исследованию релятивистского движения объектов, представляющих собой совокупность либо пылеподобных “пробных частиц” (что сводит рассмотрение всей системы частиц к исследованию движения одной частицы во внешних полях), либо массивных частиц без заряда [6]–[10], для которых обобщение динамики в пространстве Минковского на общерелятивистский случай многим исследователям представляется очевидным без доказательств. При этом зачастую не учитывается существенно нестационарное влияние системы частиц на свойства гравитационного поля, в котором находится эта система. Движение каждой частицы происходит по геодезическим линиям, вдоль которых производится индивидуальная параметризация, т. е. отсчет от реперной точки начала траектории некоторой переменной (“естественного параметра”). При этом упомянутый параметр по всеобщему молчаливому согласию (единственным объяснением которого может служить лишь инерционность мышления поколений исследователей) полагается пропорциональным “собственному времени” частицы, движущейся по данной траектории (либо собственному интервалу, соответствующему данной частице) [11]–[15]. Это, как оказывается при детальном рассмотрении, приводит лишь к частному случаю формы общерелятивистской динамики системы частиц. Следует указать, что, вообще говоря, траектория частицы в системе не обязательно совпадает с геодезической линией движения частицы в гравитационном поле – достаточно предположить наличие зарядов у частиц; тогда естественный параметр связан с собственным временем частиц существенно нелинейно.

В работах [16]–[19] авторами разработана методика использования в общерелятивистской динамике дополнительной непрерывной переменной и последующего перехода к $(3 + 3 + 1)$ -мерному формализму применения единого для системы частиц “времени наблюдателя”, ослабляющего необходимость введения условий на энергетической поверхности [6], [14] в канонических импульсах (требующих учета самосогласованного вероятностного толкования через мгновенную плотность распределения частиц и локальные значения электромагнитного $4$ -потенциала). При этом выражение для суммарного действия Гильберта–Эйнштейна и гамильтоновы уравнения движения приобретают новую форму (использующую формализм функций распределения частиц), равно как и выражение для тензора энергии-импульса в уравнениях Эйнштейна [20]–[24] (эти выражения существенно отличаются от используемых в современной литературе по ОТО [6], [7], [25]–[27]).

В настоящей работе мы рассматриваем приложения уравнений типа Власова к задачам астрофизики, обосновывая теорию геодезических с электромагнитным полем для классических лагранжианов и проводя синхронизацию времен частиц для многочастичной задачи. В разделе 2 мы приводим гамильтонову формулировку уравнений движения и выписываем уравнение Лиувилля. В разделе 3 рассматривается переход к трехмерному формализму для уравнений Власова–Эйнштейна, исследуется происхождение космологического $\Lambda$ -члена исходя из структуры полного составного действия системы частиц и гравитационного и электромагнитного полей. В разделе 4 приводятся примеры простейших гидродинамических следствий уравнений Власова–Эйнштейна. Раздел 5 посвящен исследованию гидродинамических следствий уравнений Власова–Пуассона–Пуассона для анализа обобщенной модели Милна–Маккри. В разделе 6 комментируются полученные результаты.

2. Вывод уравнения Лиувилля в расширенном фазовом пространстве

Общерелятивистское действие для движущейся заряженной частицы c зарядом $e$ и массой $m$ в присутствии гравитационного и электромагнитного полей может быть записано в следующем виде:

$\begin{equation*} S_{1}= -mc \int^{\lambda_\mathrm{max}}_0 \sqrt{g_{\mu \nu}(\mathbf{X})\frac{dX^\mu(\mathbf{q},\lambda)}{d\lambda}\frac{dX^\nu(\mathbf{q},\lambda)}{d\lambda}}\,d\lambda - \frac{e}{c}\int A_\mu \frac{dX^\mu}{d\lambda}\,d\lambda, \end{equation*} \notag$

где

$g_{\mu \nu}(\mathbf{X})$ – фундаментальный тензор четырехмерного пространства-времени (

$\mathbf{X} = \{ X^\mu \}_{\mu = \overline{0,3}}$ ),

$A_\mu (\mathbf{X}) \equiv \{ \varphi (\mathbf{X}); {\bf A}(\mathbf{X}) \}$ – 4-потенциал электромагнитного поля,

$\mathbf{q}$ – лагранжев параметр частицы, переменная

$\lambda \in {\mathbb R}^+$ пропорциональна аффинному параметру:

$ds = \sqrt{I}d\lambda$ ,

$I \equiv g_{\mu \nu} (dX^\mu/d\lambda ) (dX^\nu/d\lambda )$ .

Введем в рассмотрение также действие с модифицированным первым членом

$\begin{equation*} S_{2}= -\frac{mc}{2\sqrt{I}}\int^{\lambda_\mathrm{max}}_0 {g_{\mu \nu}(\mathbf{X})\frac{dX^\mu(\mathbf{q},\lambda)}{d\lambda}\frac{dX^\nu(\mathbf{q},\lambda)}{d\lambda}}\, d\lambda - \frac{e}{c}\int A_\mu \frac{dX^\mu}{d\lambda}\,d\lambda. \end{equation*} \notag$

В литературе переход к новой форме действия производится без электромагнитного поля (второго слагаемого в действиях) и обосновывается тем, что уравнения движения частицы в гравитационном поле будут одинаковыми в обоих случаях (т. e. при использовании действий

$S_1$ и

$S_2$ с заменой параметра

$\lambda$ на “естественный” параметр

$s$ или собственное время

$\tau =s/c$ ).

Поставим вопрос обоснования эквивалентности действий по признаку совпадения уравнений Эйлера–Лагранжа. Рассмотрим два типа действия c ядрами-лагранжианами следующей общей формы:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_\mathrm{I} &= k \int L \biggl( \mathbf{X}, \frac{d \mathbf{X}}{d\lambda} \biggr)\,d\lambda + \int L_1 \biggl( \mathbf{X}, \frac{d \mathbf{X}}{d\lambda} \biggr)\,d\lambda, \\ S_\mathrm{II} &= \int h(L)\, d\lambda + \int L_1 \biggl( \mathbf{X}, \frac{d \mathbf{X}}{d\lambda} \biggr)\,d\lambda, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$h (L)$ – некоторая (гладкая) произвольная функция своего аргумента. Сравним уравнения Эйлера–Лагранжа, получаемые из действий

$S_\mathrm{I}$ и

$S_\mathrm{II}$ .

Лемма 1 (об эквивалентности действий $S_\mathrm{I}$ и $S_\mathrm{II}$ ). Достаточные условия эквивалентности действий $S_\mathrm{I}$ и $S_\mathrm{II}$ (в смысле совпадения уравнений Эйлера–Лагранжа) имеют следующий вид:

1) лагранжиан $L ( \mathbf{X}, \mathbf{X}_{\lambda})$ должен быть интегралом движения для действия $S_\mathrm{I}$ ;

2) коэффициент $k$ в определении $S_\mathrm{I}$ должен совпадать с производной функции $h(L)$ из определения действия $S_\mathrm{II}$ : $k=dh(L)/dL$ ; если лагранжиан не равен нулю, то коэффициент $k$ определяется единственным образом.

Доказательство проводится прямым варьированием действия $S_\mathrm{II}$ , генерирующего уравнения Эйлера–Лагранжа:

$\begin{equation*} \frac{d^2 h}{dL^2} \frac{dL}{d\lambda} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X}_{\lambda}} + \frac{d h}{dL} \frac{d}{d\lambda} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X}_{\lambda}} + \frac{d}{d\lambda} \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{X}_{\lambda}} = \frac{d h}{dL} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X}} + \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{X}}, \end{equation*} \notag$

и сравнением получающихся уравнений с соответствующими уравнениями движения для действия

$S_\mathrm{I}$ :

$\begin{equation*} k \frac{d}{d\lambda} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X}_{\lambda}} + \frac{d}{d\lambda} \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{X}_{\lambda}} = k \frac{\partial L}{\partial \mathbf{X}} + \frac{\partial L_1}{\partial \mathbf{X}}. \end{equation*} \notag$

Следствием леммы 1 является тот факт, что ранее введенные действия $S_1$ и $S_{2}$ эквивалентны в смысле леммы 1, т. е. обладают одинаковыми уравнениями движения. Действительно, для этих действий имеем

$\begin{equation*} h(L)= -mc \sqrt{L},\qquad L= g_{\mu \nu}\frac{dX^\mu}{d\lambda} \frac{dX^\nu}{d\lambda},\qquad L_1=-\frac{e}{c}A_\mu \frac{dX^\mu}{d\lambda}. \end{equation*} \notag$

Условие 1 леммы 1 выполнено согласно теореме Эйлера об однородных функциях: функция Гамильтона (интеграл движения!) для действия

$S_2$ , получаемая применением преобразования Лежандра, пропорциональна лагранжиану

$L = g_{\mu \nu}{X^\mu}_\lambda {X^\nu}_\lambda$ , и лагранжиан

$L_1$ – функция первой cтепени по “скоростной” переменной

${X^\mu}_\lambda$ . Условие 2 выполнено, поскольку коэффициент

$k$ в

$S_\mathrm{I}$ равен в точности производной функции

$h(L)$ из

$S_\mathrm{II}$ :

$k=dh/dL =-mc /(2\sqrt{L}\,)$ (это соотношение проясняет физический смысл интеграла

$I$ : данная величина численно равна сохраняющейся величине лагранжиана

$L$ и пропорциональна соответствующему ему гамильтониану).

Выпишем уравнения Эйлера–Лагранжа для действий $S_1$ или $S_2$ . В соответствии с леммой 1 они идентичны (при варьировании $S_1$ величину интервала полагаем равной не единице, а $\sqrt{I}$ ):

$\begin{equation} \frac{mc}{\sqrt{I}}\frac{d}{d\lambda}\biggl( g_{\mu \nu} \frac{dX^\nu}{d\lambda} \biggr) + \frac{e}{c} \frac{dA_\mu}{d\lambda} = \frac{mc}{2\sqrt{I}} \frac{\partial g_{\nu \zeta}}{\partial X^\mu} \frac{dX^\nu}{d\lambda} \frac{dX^\zeta}{d\lambda} + \frac{e}{c} \frac{\partial A_\nu}{\partial X^\mu} \frac{dX^\nu}{d\lambda}. \end{equation} \tag{1}$

Отсюда видно, что при отсутствии электромагнитного взаимодействия между частицами величинa

$mc/\sqrt{I}$ cокращается, и уравнения движения могут быть равносильным образом записаны с использованием как параметра

$\lambda$ , так и параметра собственного интервала

$s$ . Однако учет электромагнитного взаимодействия приводит при использовании различных параметров к различающимся уравнениям. Хотя, как можно видеть из уравнения (1), можно в принципе перейти к аффинному параметру

$s$ , выразив

$d\lambda$ через

$ds$ и

$I$ :

$ds=\sqrt{I}\,d\lambda$ .

В многочастичных системах такая возможность отсутствует. Рассмотрим действиe, аналогичное $S_1$ , но для системы многих частиц с различающимися массами $m_{a}$ и зарядами $e_{a}$ , $a=\overline{1,N}$ :

$\begin{equation*} S_{1, \Sigma} = -\sum_{a} m_{a}c \int \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dX^\mu_{a}}{d\lambda} \frac{dX^\nu_{a}}{d\lambda}}\,d\lambda -\sum_{a} \frac{e_{a}}{c}\int A_\mu \frac{dX^\mu_{a}}{d\lambda}\, d\lambda. \end{equation*} \notag$

Снова переходим к лагранжиану, квадратичному по скоростям, и получаем эквивалентное действие:

$\begin{equation*} S_{2, \Sigma} = - \sum_a \frac{m_a c}{2 \sqrt{I_a}} \int g_{\mu \nu} (\mathbf{X}_a) \frac{dX^\mu_a}{d\lambda} \frac{dX^\nu_a}{d\lambda}\,d\lambda - \sum_a \frac{e_a}{c} \int A_\mu \frac{dX_a^\mu}{d\lambda}\,d\lambda. \end{equation*} \notag$

Отметим здесь появление индекса

$a$ , нумерующего частицы, у интеграла

$I_a$ : величины этих интегралов, обозначающих величину интервала разных частиц, не обязательно одинаковы. Этим мы синхронизовали собственное время разных частиц

$ds_a = \sqrt{I_a}\,d\lambda$ в следующем смысле: 1) установили, что невозможность синхронизации самих интервалов

$ds_a$ связана с различными величинами интегралов

$I_a$ ; 2) показали, как различные собственные времена связаны между собой: параметр

$\lambda$ для всех частиц один и тот же. Отметим, что интегралы

$I_a$ зависят от параметризации, но их отношение не зависит (

$I_{a_1}/I_{a_2}\neq \phi (\lambda)$ ,

$a_{1,2} \in \{1,\dots,N\}$ ).

Для описания динамики многочастичной системы, ассоциированной с действиями $S_{1, \Sigma}$ или $S_{2, \Sigma}$ , можно ввести стандартным образом канонические (“длинные”) импульсы:

$\begin{equation*} (Q_{a})_\mu = \frac{\partial L}{\partial V_a^\mu} = - \frac{m_a c}{\sqrt{I_a}} g_{\mu \nu} (\mathbf{X}_a) V_a^\nu - \frac{e_a}{c}A_\mu (\mathbf{X}_a),\qquad V_a^\nu \equiv \frac{\partial X_a^\nu}{\partial \lambda}. \end{equation*} \notag$

Очевидным образом можно получить явное выражение скоростей через длинные импульсы:

$\begin{equation*} V_a^\nu = - \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} g^{\mu \nu} (\mathbf{X}_a) \biggl( (Q_{a})_\mu + \frac{e_a}{c}A_\mu \biggr). \end{equation*} \notag$

Соответственно, второе уравнение гамильтоновой пары уравнений, ассоциированной с канонически сопряженными переменными

$(\mathbf{X}_a, \mathbf{Q}_a)$ , имеет вид

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{d (Q_{a})_\mu}{d\lambda} ={}& \sum_a \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} \biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta (\mathbf{X}_a) \biggr) \frac{\partial g^{\zeta \nu}}{\partial X^\mu_a} \biggl( (Q_{a})_\nu + \frac{e_a}{c}A_\nu (\mathbf{X}_a) \biggr) +{} \\ &+ \frac{e_a \sqrt{I_a}}{m_a c^2}\biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta (\mathbf{X}_a)\biggr)g^{\zeta \xi}\frac{\partial A_\xi (\mathbf{X}_a)}{\partial X_a^\mu}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

При этом соответствующая этим уравнениям функция Гамильтона имеет вид

$\begin{equation*} H = \sum_a \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} \biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta (\mathbf{X}_a) \biggr) g^{\zeta \nu} \biggl( (Q_{a})_\nu + \frac{e_a}{c}A_\nu (\mathbf{X}_a) \biggr). \end{equation*} \notag$

Здесь интегралы

$\sqrt{I_a}$ осуществляют синхронизацию времен, приводя к дифференцированию по одному и тому же параметру

$\lambda$ : соотношение

$ds_a =\sqrt{I_a}\,d\lambda$ показывает, что получаются уравнения, в которых можно перейти к собственным (вообще говоря, различающимся) временам. Введем (парциальную, для типа

$a$ частиц) функцию распределения

$f_a (\mathbf{X}, \mathbf{Q}, \lambda)$ над расширенным 9-мерным фазовым пространством (индексы

$a$ переместились от координат и импульсов к функции распределения

$f_a$ ). Соответствующее уравнение Лиувилля для функции

$f_a$ принимает следующую форму:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{\partial f_a (\mathbf{X}, \mathbf{Q}, \lambda)}{\partial \lambda} & - \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} g^{\mu \nu}(\mathbf{X}_a) \biggl( (Q_{a})_\mu + \frac{e}{c}A_\mu \biggr) \frac{\partial f_a}{\partial X^\nu} +{} \notag \\ &+\biggl[ \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} \biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta (\mathbf{X}_a) \biggr) \frac{\partial g^{\zeta \nu}}{\partial X^\mu_a} \biggl( (Q_{a})_\nu + \frac{e_a}{c}A_\nu (\mathbf{X}_a) \biggr) +{} \notag \\ &\qquad+ \frac{e_a \sqrt{I_a}}{m_a c^2} \biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta (\mathbf{X}_a) \biggr) g^{\zeta \xi} \frac{\partial A_\xi}{\partial X^\mu_a}\biggr] \frac{\partial f_a}{\partial Q_\mu}=0. \end{aligned} \end{equation} \tag{2}$

Уравнения зависят от индекса

$a$ через массы

$m_a$ , заряды

$e_a$ и интеграл

$I_a$ . Выпишем

$\lambda$ -стационарную форму этого уравнения, когда функция

$f_a$ не зависит от параметра

$\lambda$ (именно так обычно записывают уравнение Власова–Эйнштейна, хотя и в более упрощенном случае отсутствия электромагнитного взаимодействия):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, - g^{\mu \nu}(\mathbf{X}_a) \biggl( (Q_{a})_\mu &+ \frac{e}{c}A_\mu \biggr) \frac{\partial f_a (\mathbf{X},\mathbf{Q})}{\partial X^\nu} + \biggl[ \frac{\partial g^{\zeta \nu}}{\partial X^\mu_a} \biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta \biggr) \biggl( (Q_{a})_\nu + \frac{e_a}{c}A_\nu \biggr) +{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\,\,+ \frac{e_a}{c}F_{\mu \nu} (\mathbf{X}) g^{\zeta \nu} \biggl( (Q_{a})_\zeta + \frac{e_a}{c}A_\zeta \biggr) \biggr] \frac{\partial f_a}{\partial Q_\mu}=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Можно сравнить выписанные выше кинетические уравнения с уравнениями Лиувилля, где используются неканонические импульсы с нулевыми электромагнитными полями действия $S_{1, \Sigma}$ : $(P_a)_\mu =-m_a c I^{-1/2}_a g_{\mu \nu}(\mathbf{X}_a)V_a^\nu$ . Получаемые при этом уравнения негамильтоновы, но бездивергентные:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \frac{dX_a^\nu}{d\lambda} = - \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c}g^{\mu \nu} (\mathbf{X}) (P_a)_\mu, \\ \frac{d (P_a)_\mu}{d\lambda} = - \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} \frac{\partial g^{\nu \zeta}}{\partial X^\mu} (P_a)_\nu (P_a)_\zeta + \frac{e_a}{c} \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} F_{\mu \nu} (\mathbf{X}_a) g^{\zeta \nu} (\mathbf{X}_a) (P_a)_\zeta. \end{gathered} \end{equation} \tag{3}$

Отметим, что и здесь такая ситуация с синхронизацией времен: собственные времена все различаются, как показывает та же формула

$ds_a = \sqrt{I_a}\,d\lambda$ .

Выпишем уравнение Лиувилля, вводя парциальные функции распределения $f_a (\mathbf{X},\mathbf{P},\lambda)$ частиц с массами $m_a$ и зарядами $e_a$ над 9-мерным фазовым $(\mathbf{X},\mathbf{P}, \lambda)$ -пространством:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\partial f_a (\mathbf{X},\mathbf{P}, \lambda)}{\partial \lambda} &- \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} g^{\mu \nu} (\mathbf{X}) (P_a)_\mu \frac{\partial f_a}{\partial X^\nu}+ {} \\ &+ \biggl( -\frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} \frac{\partial g^{\nu \zeta}}{\partial X^\mu}(P_a)_\nu (P_a)_\zeta + \frac{e_a}{c} \frac{\sqrt{I_a}}{m_a c} F_{\mu \nu} (\mathbf{X}) g^{\zeta \nu}(P_a)_\zeta \biggr)\frac{\partial f_a}{\partial P_\mu}=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Это уравнение можно переписать в форме, исключающей параметр

$\lambda$ , заменяя его на собственный интервал фиксированной

$a_0$ -й частицы (

$a_0 \in \{ 1,\dots,N \}$ ) согласно формуле

$d\lambda=ds_{a_0}/\sqrt{I_{a_0}}$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{\partial f_a (\mathbf{X},\mathbf{P}, s)}{\partial s_{a_0}}- \frac{1}{m_a c} \frac{\sqrt{I_{a}}}{\sqrt{I_{a_0}}} g^{\mu \nu} (\mathbf{X}) (P_a)_\mu \frac{\partial f_a}{\partial X^\nu}+ {} \\ &+ \biggl( -\frac{1}{2m_a c}\frac{\sqrt{I_{a}}}{\sqrt{I_{a_0}}} \frac{\partial g^{\nu \zeta}}{\partial X^\mu}(P_a)_\nu (P_a)_\zeta + \frac{e_a}{c} \frac{1}{m_a c}\frac{\sqrt{I_{a}}}{\sqrt{I_{a_0}}} F_{\mu \nu} (\mathbf{X}) g^{\zeta \nu}(P_a)_\zeta \biggr)\frac{\partial f_a}{\partial P_\mu}=0. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

При этом, как уже было отмечено выше, отношение

$I_a/I_{a_0}$ не зависит от

$\lambda$ (а является только функцией переменной

$\mathbf{X}$ ).

Приведем $\lambda$ -стационарную форму уравнения Лиувилля, когда $f_a = f_a (\mathbf{X},\mathbf{P})$ , т. e. не зависит от параметрической переменной $\lambda$ (при этом сокращаются множители $\sqrt{I_a}/(m_a c)$ в левой части уравнения):

$\begin{equation*} -g^{\mu \nu} (\mathbf{X})P_\mu \frac{\partial f_a (\mathbf{X},\mathbf{P})}{\partial X^\nu} + \biggl(-\frac{1}{2} \frac{\partial g^{\nu \zeta}}{\partial X^\mu}P_\nu P_\zeta + \frac{e_a}{c} F_{\mu \nu} (\mathbf{X}) g^{\zeta \nu}P_\nu \biggr)\frac{\partial f_a}{\partial P_\mu}=0 \end{equation*} \notag$

(поскольку

$X^0 =ct$ , последнее уравнение в общем случае

$t$ -нестационарно).

Рассмотрим вопрос о сохранении числа частиц для уравнения Лиувилля по времени. Обычно в работах, посвященных уравнению Власова–Эйнштейна, авторы доказывают сохранение числа частиц $\int f | g | \,d^4X \,d^4V$ , но этого недостаточно. Мы иллюстрируем трудности доказательства с помощью следующих двух лемм.

Лемма 2 (об условиях баланса фазовых точек в динамической системе). Рассмотрим линейное уравнение в частных производных над $(N + 1)$ -мерным фазовым пространством ( $\mathbf{y}= \{y_0, y_1, \dots, y_N \}$ ):

$\begin{equation*} \frac{\partial f(\mathbf{y})}{\partial y_0} +F^i(\mathbf{y})\frac{\partial f}{\partial y^i}+\psi (\mathbf{y})f(\mathbf{y})=0,\qquad i=\overline{1,N}. \end{equation*} \notag$

Это уравнение сохраняет число точек фазового пространства тогда и только тогда, когда

$\psi (\mathbf{y}) = \operatorname{div}_N \mathbf{F}\equiv \partial F^i/\partial y^i$ .

Доказательство. Перепишем уравнение в следующем виде:

$\begin{equation*} \frac{\partial f(\mathbf{y})}{\partial y_0} +\frac{\partial (F^i(\mathbf{y})f)}{\partial y^i}+ (\psi (\mathbf{y}) - \operatorname{div}_N \mathbf{F} (\mathbf{y}))f(\mathbf{y})=0. \end{equation*} \notag$

После интегрирования этого уравнения по переменной

$\mathbf{y}$ получаем уравнение сохранения для числа точек фазового пространства:

$\begin{equation*} \frac{d N}{d y_0}=\int (\operatorname{div}_N \mathbf{F} (\mathbf{y}) -\psi (\mathbf{y}) )f(\mathbf{y})\,d\mathbf{y},\qquad N({y}_0) = \int f(\mathbf{y})\,dy_1\dots \,dy_N. \end{equation*} \notag$

Таким образом, уравнение

$dN / dy_0 = 0$ эквивалентно условию

$\psi = \operatorname{div}_N \mathbf{F}$ , и уравнениe Лиувилля принимает вид

$\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y_0} + \frac{\partial ({F^i}f)}{\partial {y^i}}=0. \end{equation*} \notag$

Лемма 3 (о стационарном уравнении Лиувилля). Рассмотрим общую автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (или динамическую систему):

$\begin{equation*} \frac{dy^\mu}{d\lambda}=F^\mu (\mathbf{y}),\qquad \mu=1,\dots,N. \end{equation*} \notag$

Сопоставим этой системе кинетическое уравнение для функции плотности

$f (\lambda, \mathbf{y})$ над

$(N + 2)$ -мерным фазовым пространством

$Y^{N +2} \ni \widetilde{\mathbf{y}}$ ,

$\widetilde{\mathbf{y}}= \{\lambda, \mathbf{y} \}$ :

$\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial \lambda} + \frac{\partial}{\partial y^\mu}(F^\mu f)=0. \end{equation} \tag{5}$

Рассмотрим стационарную версию уравнения (5):

$\begin{equation} \frac{\partial }{\partial y^\mu}(F^\mu f )=0. \end{equation} \tag{6}$

Это уравнение сохраняет число частиц по переменной

$y_0$ , т. е.

$\begin{equation*} \frac{d}{dy_0} \biggl(\,\int f \,d^ny\biggr) = 0 \end{equation*} \notag$

тогда и только тогда, когда

$(\mathbf{F}, \nabla_\mathbf{y}F_0)=0$ .

Доказательство. Перепишем последнее уравнение следующим образом:

$\begin{equation*} \frac{\partial f}{\partial y_0} + \frac{F^i}{F^0}\frac{\partial f}{\partial y^i}+ \frac{1}{F^0} \biggl( \frac{\partial F^i}{\partial y^i} + \frac{\partial F^0}{\partial y^0}\biggr)f=0. \end{equation*} \notag$

Применим лемму 2 к этому уравнению и увидим, что справедливо тождество

$(\nabla_\mathbf{y}F^0,\mathbf{F})=0$ , т. e.

$F^0$ является интегралом движения в процессе эволюции исходной динамической системы.

Пример 1. Рассмотрим частный случай уравнения (1), когда метрика $g_{\mu \nu}$ и компоненты векторного потенциала $A_\mu$ не зависят от временно́й координаты. Тогда правая часть равенства (1) при индексе $\mu =0$ аннулируется, и возможно аналитически проинтегрировать левую часть (индекс $a$ опускаем):

$\begin{equation*} \frac{mc}{\sqrt{I}}\biggl( g_{0 \nu} \frac{dX^\nu}{d\lambda} \biggr) + \frac{e}{c}A_0 =-Q_0. \end{equation*} \notag$

Cмысл получающегося интеграла можно выяснить, взяв постгалилееву метрику

$g_{\mu \nu} = \mathrm{diag}( 1+2\Phi/c^2,-1,-1,-1)$ (метрику Ландау), где

$\Phi (X^j)$ – ньютоновcкий гравитационный потенциал. Тогда последнее соотношение преобразуется к следующему виду:

$\begin{equation} \frac{mc}{\sqrt{I}}\biggl(1+\frac{2\Phi}{c^2}\biggr) \frac{dX^0}{d\lambda} + \frac{e}{c}A_0 =-Q_0, \end{equation} \tag{7}$

а остальные уравнения Эйлера–Лагранжа системы (1) принимают вид

$\begin{equation} \frac{mc}{\sqrt{I}}\frac{d}{d\lambda} \frac{dX^j}{d\lambda} + \frac{e}{c} \frac{dA_j}{d\lambda} = \frac{mc}{2c^2 \sqrt{I}} \frac{\partial \Phi}{\partial X^j} \biggl( \frac{dX^0}{d\lambda} \biggr)^{\!2} + \frac{e}{c} \frac{\partial A_\nu}{\partial X^j} \frac{dX^\nu}{d\lambda},\qquad j=1,2,3. \end{equation} \tag{8}$

Заменяя параметр $\lambda$ из уравнения (8) на время $t$ , получаем уравнения движения заряженной частицы в электростатическом поле и в гравитационном потенциале $\Phi$ :

$\begin{equation*} \frac{d}{dt} \biggl(M \frac{d X^j}{dt} \biggr) = -M \frac{\partial \Phi}{\partial X^j} + \frac{e}{c}F_{\mu j} \frac{d X^\mu}{dt}, \end{equation*} \notag$

где

$M = -(Q_0/c - eA_0/c^2)/(1+2\Phi/c^2)$ – эффективная масса частицы при суперпозиции полей. Таким образом, эффективная масса

$M$ зависит от гравитационного и электромагнитного полей, причем в этом выражении величина

$Q_0$ может рассматриваться как нулевая компонента импульса в отсутствие внешних полей. Приведем явное выражение для

$Q_0$ и с его помощью выражение для

$M$ :

$\begin{equation*} Q_0 = -\frac{mc (1 + 2\Phi/c^2)}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2 + 2\Phi/c^2}} - \frac{e}{c}A_0,\qquad M= \frac{m}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2 + 2\Phi/c^2}}. \end{equation*} \notag$

Помимо метрики Ландау, при переходе к постньютоновскому приближению можно рассматривать также метрику Фока:

$\begin{equation*} g_{\mu \nu} = \mathrm{diag}\biggl( 1+\frac{2\Phi}{c^2},-\biggl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\biggr),-\biggl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\biggr),-\biggl(1-\frac{2\Phi}{c^2}\biggr) \biggr). \end{equation*} \notag$

Уравнение движения в этом случае принимает вид

$\begin{equation*} \frac{d}{dt} \biggl(M \frac{d X^j}{dt} \biggr) = -M \frac{1+\mathbf{v}^2/c^2}{1-2\Phi/c^2} \frac{\partial \Phi}{\partial X^j} + \frac{e}{c}F_{\mu j} \frac{d X^\mu}{dt}, \end{equation*} \notag$

причем явные выражения для

$Q_0$ и

$M$ следующие:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, Q_0 &= -\frac{mc (1 + 2\Phi/c^2)}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2 + 2\Phi/c^2 + 2\Phi \mathbf{v}^2/c^4} } - \frac{e}{c}A_0, \\ M &= - \frac{(Q_0/c - eA_0/c^2)(1-2\Phi/c^2)}{1+2\Phi/c^2} = \frac{m(1-2\Phi/c^2)}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2 + 2\Phi/c^2 + 2\Phi\mathbf{v}^2/c^4}}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Мы показали полезность выведенных уравнений (3) перед переходом к уравнениям (7). Но лемма 2 убедительно показывает, что ориентироваться на следствие уравнения (3) для получения уравнения типа Власова невозможно (хотя этот факт в работах Игнатьева [15], Шоке-Брюа [14], Черчиньяни и Кремера [7] и др. игнорируется).

Пример 2. Рассмотрим случай, когда гравитационные и электромагнитные поля зависят только от временно́й переменной $t$ (это означает, что Вселенная полностью однородна). В этом случае уравнения (1) могут быть проинтегрированы методами гамильтоновой механики. Интересно разобрать некоторые частные аспекты ситуации. Мы имеем здесь три интеграла движения

$\begin{equation*} \frac{mc}{\sqrt{I}}\biggl( g_{k\mu} \frac{dX^\mu}{d\lambda} \biggr)+\frac{e}{c}A_k =-Q_k,\qquad k=1,2,3. \end{equation*} \notag$

Мы используем интеграл энергии

$I= g_{\alpha\beta}({dX^\alpha}/{d\lambda})({dX^\beta}/{d\lambda})$ вместо уравнения для нулевой компоненты. Пространственные компоненты неканонического импульса зависят только от времени:

$P_k = eA_k/c+Q_k$ . Нулевая компонента импульса, также зависящая только от переменной

$t$ , определяется из энергетического условия

$g^{\mu \nu}P_\mu P_\nu =m^2c^2$ . Уравнения движения тогда принимают вид

$\begin{equation*} \frac{dX^\mu}{d\lambda}=-\frac{\sqrt{I}}{mc}g^{\alpha \mu}(X^0)P_\alpha. \end{equation*} \notag$

Исключая отсюда переменную

$\lambda$ посредством деления выражений для трех интегралов движения на уравнение для

$k=0$ , получаем

$\begin{equation*} \frac{dX^k}{dX^0}=\frac{g^{\mu k} (X^0) P_\mu (X^0)}{g^{\nu 0} (X^0) P_\nu (X^0)}=\frac{g^{\mu k} (X^0) (eA_\mu(X^0)/c+Q_\mu)}{g^{0 \nu} (X^0) (eA_\nu(X^0)/c+Q_\nu)}. \end{equation*} \notag$

Пример 3. Обобщенная вселенная де Ситтера (частный случай примера 2):

$\begin{equation*} ds^2=c^2 dt^2 -e^{2Ht} (dx^2+dy^2+dz^2)=c^2\, dt^2 -e^{2Ht}(dr^2+r^2\, d\theta^2+r^2 \sin^2\theta\, d\varphi^2). \end{equation*} \notag$

Получаем

$g^{\alpha\beta} =\mathrm{diag}(1,-e^{-2Ht},-e^{-2Ht},-e^{-2Ht})$ , поэтому имеем упрощение последней формулы для примера 2:

$\begin{equation*} \frac{dX^k}{dX^0}=-\frac{P_k e^{-2Ht}}{P_0}=-\frac{Q_k e^{-2Ht}}{Q_0},\qquad k=1,2,3. \end{equation*} \notag$

При этом канонические импульсы

$Q_k$ являются (сохраняющимися) интегралами, а

$Q_0$ определяется из энергетического условия примера 2:

$\begin{equation*} Q^2_0-e^{-2Ht}\mathbf{Q}^2=m^2c^2,\qquad \mathbf{Q}^2 =Q_1^2+Q_2^2+Q_3^2, \end{equation*} \notag$

т. е.

$Q^2_0 = m^2 c^2 + e^{-2Ht}\mathbf{Q}^2$ ,

$\begin{equation*} \frac{dX^k}{dt} \equiv V^k = \frac{c Q_k e^{-2Ht}}{\sqrt{m^2c^2 +\mathbf{Q}^2 e^{-2Ht}}}. \end{equation*} \notag$

Cледует отметить, что для получения решений уравнений движения в данном случае нет необходимости обращаться к общей теории уравнений Эйлера–Лагранжа второго порядка, поэтому нахождение траекторий частиц существенно упрощается. Следует учитывать, что уравнения Эйлера–Лагранжа суть следствие рассмотрения вариационной задачи, а приведенные выше уравнения (для $k=1,2,3$ ) представляют совместно с набором начальных данных $X^k(X^0=0) = X^k_0$ , $V^k(X^0=0) = V^k_0$ задачу Коши, решение которой полностью определяет пространственную эволюцию частицы в метрике де Ситтера. Эти уравнения легко можно проинтегрировать, так что получаем

$\begin{equation*} X^k (t)= -\frac{cQ_k \sqrt{m^2c^2 +\mathbf{Q}^2 e^{-2Ht}}}{H\mathbf{Q}^2} + C^k_X, \end{equation*} \notag$

где произвольные постоянные

$C^k_X$ определяются из начальных условий:

$\begin{equation*} C^k_X=\frac{cQ_k}{H \mathbf{Q}^2}\sqrt{m^2c^2 + \mathbf{Q}^2}+X^k_0. \end{equation*} \notag$

Величины интегралов

$Q_k$ cвязаны с данными Коши

$V^k_0$ :

$V^k_0 = Q_k/\sqrt{m^2c^2 + \mathbf{Q}^2}$ . Проинтегрируем уравнения движения на отрезке времени

$[0,t]$ для

$k=1,2,3$ , получим

$\begin{equation*} X^k (t) = X^k(0) + \frac{cQ_k}{H \mathbf{Q}^2} \bigl( \sqrt{m^2c^2 + \mathbf{Q}^2}-\sqrt{m^2c^2 +e^{-2Ht}\mathbf{Q}^2}\,\bigr). \end{equation*} \notag$

Для светоподобной геодезической cледует положить

$m=0$ , тогда последняя формула существенно упростится:

$\begin{equation*} X^k(t)=X^k(0)+\frac{cQ^k}{H \mathbf{Q}^2} (1 - e^{-Ht_0/2)}). \end{equation*} \notag$

Пример 4. Наиболее общим видом “силовой” функции, соответствующей случаю, когда cферический $3$ -объем, содержащий материю, может рассматриваться внешним наблюдателем как точечная масса (согласно принципам симметрии расположенная в центре данного объема), является функция $f(r) =A r^{-2} + Br$ ( $B \equiv \Lambda /\sigma$ , $\sigma = \mathrm{const}$ ). Из этого на основе приближения “слабого поля” был сделан вывод о необходимости коррекции формы коэффициентов метрики точечной массы:

$\begin{equation*} g_{00} = \biggl(1-2A r^{-1} - \frac{B r^2}{3}\biggr)c^2, \qquad g_{11} = \biggl(1-2A r^{-1} - \frac{B r^2}{3}\biggr)^{\!-1}. \end{equation*} \notag$

Соответственно, переход к метрике Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера позволяет с помощью этих рассуждений понять структуру и оценить влияние на космологическую динамику темной материи и темной энергии. Использование постньютоновского приближения на основе ранее рассмотренной метрики Фока позволяет верифицировать эти заключения. Для этого рассмотрим действие для гравитации в приближении слабого релятивизма с

$\Lambda$ -членом в лагранжевом представлении, которое имеет следующий вид:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S^\mathrm{L}={}& \sum_{a, \mathbf{q}} \int \frac{m_a}{2}{\dot{\mathbf{x}}}^2_a (\mathbf{q},t) \,dct -\sum_{a, \mathbf{q}} \int m_a \Phi (\mathbf{x}_a (\mathbf{q},t))\,dct +{} \\ &+ \frac{2\mathcal{K}}{c^4}\int \!\!\!\! \int (\nabla \Phi)^2\, d^3x\, dct +\mathcal{K} \int \!\!\!\! \int \Lambda\, d^3x\, dct - \frac{2 \mathcal{K}\Lambda}{c^2} \int \!\!\!\! \int \Phi\, d^3x\, dct. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Bарьируем по частицам, получаем уравнение движения в постньютоновском приближении, соответствующее приведенному выше действию:

$\begin{equation*} m_{a} \ddot{\mathbf{x}} _{a}=- m_{a} \nabla \Phi(\mathbf{x}_{a}) \end{equation*} \notag$

(оно оказывается совпадающим по форме с уравнением классической динамики). Перепишем действие

$S$ в эйлеровом представлении, вводя классическую функцию распределения (на 7-мерном расширенном фазовом пространстве):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S^\mathrm{E} ={}& \sum_{a} \frac{1}{2m_{a}}\int \mathbf{p}^2 f_{a} (\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d^3x\, d^3p\,dt - \sum_{a} \int \Phi(\mathbf{x},t) f_{a}(\mathbf{x}, \mathbf{p},t)\, d^3p\, d^3x\, dt +{} \\ & + \frac{2{\mathcal K}}{c^4}\int \!\!\!\! \int (\nabla \Phi)^2\, d^3x\, dt +{\mathcal K} \int \!\!\!\! \int \Lambda\, d^3x\, dct - \frac{2 {\mathcal K}\Lambda}{c^2} \int \!\!\!\! \int U\,d^3x\, dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Oбратнoe преобразование к лагранжеву представлению может быть проведено путем подстановки

$f_{a} (\mathbf{x}, \mathbf{p},t) = \sum_{\mathbf{q}} \delta (\mathbf{x}- \mathbf{x}_{a} (\mathbf{q},t) ) \delta (\mathbf{p}- \mathbf{p}_{a} (\mathbf{q},t))$ . Проварьируем

$S^\mathrm{E}$ по

$\Phi$ , получим уравнение Пуассона с

$\Lambda$ -членом:

$\begin{equation*} \Delta \Phi = 4\pi \gamma \sum_{a} m_{a} \int f_{a} (\mathbf{x},\mathbf{p},t)\,d^3p - \frac{1}{2}c^2 \Lambda. \end{equation*} \notag$

Что дает второе слагаемое в правой части? Наличие “эффективного” внешнего поля: решение уравнения $\Delta \Phi= - c^2 \Lambda/2$ можно выбрать в простейшем виде как

$\begin{equation*} \Phi = -\frac{1}{12}c^2 \Lambda (x^2 + y^2+ z^2), \end{equation*} \notag$

что приводит к “расталкиванию” частиц. Что дает нам это в решении типа Милна–Маккри? Из уравнения Пуассона получаем

$\begin{equation*} \Phi= 4\pi \gamma \sum_{a} m_{a} \int \frac{f_{a} (\mathbf{x}',\mathbf{p},t)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}\,d^3p\, d^3x' - \frac{c^2 \Lambda}{12} (x^2 +y^2 +z^2). \end{equation*} \notag$

Мы воспользовались тем, что решение неоднородного линейного уравнения есть сумма частного решения и общего решения однородного уравнения, т. е. гармонической функции. Наш выбор частного решения однозначно диктуется требованием изотропности (инвариантности относительно вращений) решения Фридмана и Милна–Маккри.

Приведем соответствующее уравнение Власова–Пуассона с $\Lambda$ -членом (для сорта частиц ${a}$ ):

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{\partial f_{a}}{\partial t} + \biggl( \frac{\mathbf{p}}{m_{a}}, \frac{\partial f_{a}}{\partial \mathbf{x}} \biggr) - \biggl( \nabla \Phi, \frac{\partial f_{a}}{\partial \mathbf{p}} \biggr) =0, \\ &\Delta \Phi = 4\pi \gamma \sum_{a} m_{a} \int f_{a} (\mathbf{x},\mathbf{p},t)\, d^3p -\frac{1}{2}c^2 \Lambda. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Последнее уравнение для потенциала

$\Phi$ явным образом связано с приведенной выше функцией

$f(r)$ , поскольку последняя фактически является производной от потенциала

$\Phi$ , т. е. общая форма силовой функции для гравитирующего шара (рассматриваемого в дальней зоне наблюдения, что позволяет его идентифицировать с точечной частицей) есть следствие вариационного принципа для лагранжиана материи с полем.

3. Вывод уравнения Власова–Максвелла–Эйнштейна в $(3+3+1)$ -мерном $(\mathbf{X},\mathbf{U},{t})$ -представлении

Переход к скоростным переменным в трехмерном пространстве для уравнения типа Власова–Эйнштейна обычно подробно не рассматривается, поскольку, по-видимому, априори неявно предполагается, что вид уравнения Власова изменяется при этом переходе несущественно. Однако так ли это?

Общерелятивистское действие для системы многих частиц с различающимися массами $m_{r}$ и зарядами $e_{a}$ , $a=\overline{1,N}$ , в присутствии гравитационного и электромагнитного полей может быть записано в следующем виде:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, S= S_p + S_{pf} + S_{ff} + S_{EH}, \\ S_p = - \sum_{a} m_{a} c \int \sqrt{g_{\alpha \beta} \frac{dX^{\alpha}_a}{d\lambda} \frac{d{X}_{a}^{\beta}}{d\lambda}} \,d\lambda, \qquad S_{pf} = - \sum_{a}\frac{e_{a}}{c} \int A_{\alpha}(\mathbf{X}_a)\frac{dX_a^\alpha}{d\lambda}\,d\lambda, \notag \\ S_{ff} = -\frac{1}{16 \pi c} \int F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} |g|^{1/2}\,d^4X,\qquad S_{EH}= K \int |g|^{1/2} (R+\Lambda) \,d^4X, \notag \\ A_\mu (\mathbf{X}) \equiv \{ \varphi (\mathbf{X}); \mathbf{A}(\mathbf{X}) \}, \qquad K =- \frac{c^3}{16 \pi \gamma},\qquad \mathbf{X} = \{ X^\mu \}_{\mu = 0,\dots,3}, \notag \end{gathered} \end{equation} \tag{9}$

где

$g_{\mu \nu}(\mathbf{X})$ – фундаментальный тензор четырехмерного пространства-времени,

$A_\mu (\mathbf{X})$ – 4-потенциал электромагнитного поля,

${\Lambda}$ – космологическая постоянная; переменная

$\lambda \in {\mathbb R}^+$ пропорциональна собственному времени частицы, т. e. аффинному параметру

$a$ -й частицы:

$ds_a = \sqrt{I_a}d\lambda$ ,

$I_a \equiv (g_{\mu \nu} (dX^\mu/d\lambda ) (dX^\nu/d\lambda ))_a$ (

$I_a$ является сохраняющимся интегралом движения). Отметим, что компоненты тензора метрики не зависят явно от параметра

$\lambda$ , а только через внутреннюю функциональную зависимость 4-координаты

$\mathbf{X}(\lambda)$ .

Уравнения движения заряженных массивных частиц в заданных полях получаем, варьируя $S_p+S_{pf}$ (для отдельной частицы, индекс $a=a_0$ не выписываем):

$\begin{equation*} -mc\, \frac{d^2}{d\lambda^2} \biggl( \frac{g_{\alpha \mu} {(dX^\mu/d\lambda)}}{\sqrt{I}} \biggr)-\frac{e}{c} \frac{dA_\alpha}{d\lambda} = -\frac{mc}{2\sqrt{I}}\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial X^\alpha} \frac{dX^\mu}{d\lambda} \frac{dX^\nu}{d\lambda}- \frac{e}{c}\frac{\partial A_\mu}{\partial X^\alpha}\frac{dX^\mu}{d\lambda}. \end{equation*} \notag$

Учитывая, что величина

$I$ является интегралом движения, получаем следующее уравнение:

$\begin{equation} \frac{d^2 X^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\alpha \beta}\frac{dX^\alpha}{d\lambda}\frac{dX^\beta}{d\lambda}= \frac{e\sqrt{I}}{mc^2}F_\alpha^\mu \frac{dX^\alpha}{d\lambda},\qquad \alpha,\dots,\mu=0,\dots,3. \end{equation} \tag{10}$

В сходной форме уравнения можно найти в работах большинства авторов, пытавшихся вывести общерелятивистское уравнение Власова. Отличием, однако, здесь является использование нами произвольного параметра $\lambda$ вместо аффинного параметра $s$ , а также присутствие в уравнении интеграла $I$ .

Поставим следующую задачу: переписать уравнение (2), исключая натуральный параметр $\lambda$ и переходя вместо него к координате $X^0 \equiv ct$ , т. e. ко “времени наблюдателя” (что фактически означает отказ от использования сопутствующей данной $a_0$ -й частицы системы отсчета и собственного времени данной частиц $\tau_{a_0}=ds_{a_0}/c$ ). Для этого первоначально уравнения динамики в скоростных переменных имеет вид

$\begin{equation} \frac{dX^\mu}{d\lambda}=V^\mu,\qquad \frac{dV^\mu}{d\lambda} =- \Gamma^\mu_{\alpha \beta} V^\alpha V^\beta + \frac{e\sqrt{I}}{mc^2}F^\mu_\alpha V^\alpha. \end{equation} \tag{11}$

Отметим здесь появление интеграла

$\sqrt{I}$ во втором слагаемом в правой части второго уравнения – его не будет при использовании натурального параметра

$s$ вместо

$\lambda$ . Однако при введении в рассмотрение параметра

$s$ исчезает однородность второго порядка по скоростям правой части, которая необходима при дальнейшем преобразовании. А именно, имеет место следующее весьма общее утверждение о понижении порядка на две степени.

Лемма 4 (о понижении порядка системы обыкновенных дифференциальных уравнений). Пусть задана система $2N$ обыкновенных дифференциальных уравнений

$\begin{equation*} \frac{dX^A}{d\lambda}=f^A (\mathbf{X},\mathbf{V}),\qquad \frac{dV^A}{d\lambda} =F^A (\mathbf{X},\mathbf{V}),\qquad A=\overline{0,N-1}. \end{equation*} \notag$

Пусть

$f^A (\mathbf{X},\mathbf{V})$ – функции первой степени однородности по переменной

$\mathbf{V}$ , а

$F^A (\mathbf{X},\mathbf{V})$ – функции второй степени:

$\begin{equation*} f^A (\mathbf{X},k\mathbf{V})= k f^A (\mathbf{X},\mathbf{V} ),\qquad F^A (\mathbf{X},k\mathbf{V})= k^2 f^A (\mathbf{X},\mathbf{V}). \end{equation*} \notag$

Тогда справедлива система

$2N-2$ уравнений

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{dX^A}{dX^0}=\frac{f^A (\mathbf{X},\mathbf{U})}{f^0 (\mathbf{X},\mathbf{U})},\qquad \frac{dU^A}{dX^0}=\frac{F^A (\mathbf{X},\mathbf{U})}{f^0 (\mathbf{X},\mathbf{U})}-U^A \frac{f^A (\mathbf{X},\mathbf{U})}{f^0 (\mathbf{X},\mathbf{U})}, \\ U^A \equiv \frac{V^A}{V^0},\qquad U^0 \equiv 1,\qquad A=\overline{0,N-1}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Доказательство проводится непосредственной подстановкой.

Используя лемму 4, перепишем систему (11) в виде

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{dX^i}{dt}=U^i,\qquad \frac{dU^i}{dt}=G^i(\mathbf{X},\mathbf{U}),\qquad i=1,2,3, \\ G^i(\mathbf{X},\mathbf{U}) = -\biggl( \Gamma^i_{\mu \nu}-\frac{U^i}{c} \Gamma^0_{\mu\nu} \biggr)U^\mu U^\nu + \frac{e\sqrt{I}}{mc^2}\biggl( F^i_\mu -\frac{U^i}{c}F^0_\mu \biggr)U^\mu,\qquad I \equiv g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{dt}\frac{dX^\nu}{dt} \end{gathered} \end{equation*} \notag$

(отметим, что для

$i=0$ уравнение переходит в тождество). Сходные уравнения для геодезических, только в случае отсутствия электромагнитных полей, приведены в работах [2], [3].

Выпишем уравнение Лиувилля для $(3+3+1)$ -мерной функции распределения $f(\mathbf{x},\mathbf{u},t)$ , соответствующее системе (11) (здесь и далее $\mathbf{x}\in {\mathbb R}^3$ , $\mathbf{u}\in {\mathbb R}^3$ , ${t}\in {\mathbb R}^1$ , причем $\mathbf{X}=\{ ct, \mathbf{x} \}$ , $\mathbf{U}=\{ 1, \mathbf{ u} \}$ ):

$\begin{equation} \frac{\partial f(\mathbf{x},{\bf u},t)}{\partial t}+u^i \frac{\partial f}{\partial x^i} + \frac{\partial (fG^i)}{\partial u^i}=0. \end{equation} \tag{12}$

Тем самым мы получили первую часть (кинетическую) системы уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна. Чтобы получить уравнения для полей

$g_{\mu \nu}$ и

$F_\nu^\mu$ и связать эти характеристики полей с функцией распределения

$f(\mathbf{x},\mathbf{ u},t)$ , необходимо суммарное действие переписать, заменяя “произвольный параметр”

$\lambda$ на время

$t$ и включая в

$S_p$ и

$S_{pf}$ парциальную одночастичную функцию распределения

$f_a(\mathbf{x},\mathbf{u},t)$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, S ={}& -\sum_a m_a c \int \sqrt{g_{\alpha \beta} U^\alpha U^\beta}f_a(\mathbf{X},\mathbf{U},t) \,d^3x\, dt\, d^3 u -{} \notag \\ &-\sum_{a}\frac{e_{a}}{c} \int A_{\alpha}(\mathbf{x}_{a}) U^\alpha f_a(\mathbf{X},\mathbf{U},t)\, d^3 x\, dt\, d^3 u -\frac{1}{16 \pi c} \int F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} |g|^{1/2}\,d^3 x\, dct +{} \notag \\ &+ K \int |g|^{1/2} ({R}+\Lambda) \,d^3 x\, dct,\qquad K = -\frac{c^3}{16 \pi \gamma}. \end{aligned} \end{equation} \tag{13}$

Варьируя последнее выражение для $S$ по потенциалам электромагнитного поля, получаем уравнения Максвелла:

$\begin{equation} -\frac{c}{16\pi} \frac{\partial (\sqrt{-g} F^{\alpha \beta})}{\partial X_\beta} = \sum_a \int f_a (\mathbf{X},\mathbf{U},t)e_a U^\alpha\, d\mathbf{ u}. \end{equation} \tag{14}$

Варьируя действие

$S$ по метрике

$g_{\mu \nu}$ , получаем уравнения Эйнштейна для гравитационного поля:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, K\sqrt{-g}\biggl(\! R^{\mu \nu}- \frac{1}{2} (R+\Lambda) g^{\mu \nu} \biggr) ={}&-\!\sum_a \frac{m_a}{2} \int \frac{U^\mu U^\nu}{\sqrt{g_{\zeta \eta} U^\zeta U^\eta}} f_a(\mathbf{X},\mathbf{U},t)\,d\mathbf{u}+{} \notag \\ &+ \frac{1}{16\pi c} \biggl(-2 F^{\beta \nu}F^{\alpha \mu} g_{\alpha \beta} + \frac{1}{2} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g^{\mu \nu} \biggr)\sqrt{-g}. \end{aligned} \end{equation} \tag{15}$

Система уравнений (12), (14), (15) и есть полная система Власова–Максвелла–Эйнштейна.

Отметим, что полученная форма уравнений Эйнштейна приводит к выводу о том, что вклад в космологический $\Lambda$ -член могут производить первые три слагаемых действия $S$ . Отсюда очевидным образом следует вывод, что первые три слагаемые вносят такой же вклад в тензор энергии-импульса и в уравнения движения, как и “формальный” $\Lambda$ -член:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Lambda_S (\mathbf{X},t) ={}& -\sum_a \frac{m_a c}{K \sqrt{-g}}\int \sqrt{g_{\mu \alpha}U^\mu U^\alpha} f_a(\mathbf{X},\mathbf{U},t)\,d^3 u -{} \\ &- \sum_{a}\frac{e_{a}}{cK\sqrt{-g}} \int A_{\alpha}(\mathbf{x}_{a}) U^\alpha f_a(\mathbf{X},\mathbf{U},t)\, d^3 u- \frac{1}{16 K\pi c} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Обозначение

$\Lambda_S$ подчеркивает, что данное выражение представляет собой аналог

$\Lambda$ -члена, обусловленный формой действия

$S$ . Второе и третье слагаемые в правой части связаны с электромагнетизмом и не являются знакоопределенными. Однако первое слагаемое строго положительно, поскольку

$K<0$ . Удобно рассмотреть это слагаемое в скоростях, переписав соответствующим образом предварительно

$S$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S ={}&-\sum_a m_a c \int f_a (\mathbf{X},\mathbf{U},t)\sqrt{g_{\alpha \beta} U^\alpha U^\beta}\,d^3 X\,dt\, d^3u-{} \\ &- \sum_a \frac{e_a}{c}\int f_a (\mathbf{X},\mathbf{U},t) A_\alpha U^\alpha\, d^3 X\,dt\, d^3u -{} \\ &-\frac{1}{16\pi c K} \int F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}\, d^4X +K \int (R+\Lambda) \sqrt{-g}\,d^4X. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для случая слаборелятивистской метрики имеем

$\begin{equation*} \sqrt{g_{\alpha \beta} U^\alpha U^\beta} = c \sqrt{1+ \frac{2\Phi}{c^2} -\frac{U^2}{c^2}}, \end{equation*} \notag$

где

$\Phi$ – ньютоновский потенциал. Поэтому основной вклад в “суммарный”

$\Lambda$ -член от первого слагаемого в

$\Lambda_S$ таков:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Lambda_{S1} (\mathbf{X}) &= -\sum_a \frac{m_a c}{K \sqrt{-g}}\int f_a(\mathbf{X},\mathbf{U},t) \sqrt{g_{\alpha \beta} U^\alpha U^\beta}\,d^3 u ={} \\ &= \sum_a \frac{16 \pi \gamma m_r}{c\sqrt{-g}}\int f_a (\mathbf{X},\mathbf{U},t) \sqrt{1+\frac{2\Phi}{c^2}-\frac{U^2}{c^2}}\,d^3u. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Фактически можно говорить, что мы имеем (знакоопределенный) вклад в темную энергию от распределенной (c парциальной функцией распределения

$f_a$ ) массы покоя

$m_a c^2$ .

4. Примеры простейших гидродинамических следствий уравнений Власова–Эйнштейна

В данном разделе мы рассмотрим приложения разработанного выше формализма для двух релятивистских задач.

Пример 5. Рассмотрим частный случай действия $S_2$ для релятивистской метрики Лоренца $g_{\alpha\beta}= \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ (для одной частицы):

$\begin{equation*} S_\mathrm{L} =mc\int \biggl( \sqrt{c^2 - \mathbf{u}^2} + \frac{U}{c} \biggr)\,dt -\frac{1}{8\pi G}\int (\nabla U)^2\, d\mathbf{x}\,dt - \frac{c^2 \Lambda}{8\pi G} \int U\,d\mathbf{x}\,dt, \qquad \mathbf{u} \equiv \frac{d\mathbf{x}}{dt}. \end{equation*} \notag$

Проварьируем

$S_\mathrm{L}$ по координатам, получаем уравнения релятивистской динамики с функцией Гамильтона

${\mathcal H}_\mathrm{L}=mc^2\sqrt{1+\mathbf{p}^2/(mc)^2}+mU$ . Запишем действие в терминах функции распределения частиц:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_\mathrm{L} ={}& -c \int m \biggl( \sqrt{c^2-\mathbf{u}^2} + \frac{U}{c} \biggr)f(t,\mathbf{x}, \mathbf{u}, m)\, d\mathbf{u}\,dm\, d\mathbf{x}\, dt -{} \\ &-\frac{1}{8\pi G}\int (\nabla U)^2\, d\mathbf{x}\, dt -\frac{c^2\Lambda}{8\pi G}\int U\,d\mathbf{x}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Варьируя его по потенциалу

$U$ , получаем уравнение для гравитационного поля:

$\begin{equation*} \Delta U = 4\pi G \int m f(t,\mathbf{x}, \mathbf{u}, m)\,d\mathbf{u}\, dm -\frac{1}{2}c^2 \Lambda. \end{equation*} \notag$

При переходе к уравнениям гидродинамического уровня получаем систему Гамильтона–Якоби–Эйлера–Пуассона:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^j} (u^j (\nabla W)\rho)=0,\qquad \frac{\partial W}{\partial t} + c \sqrt{m^2c^2 +(\nabla W)^2}+mU=0, \\ u^j(\mathbf{p})=\frac{\partial {\mathcal H}_\mathrm{L}}{\partial p_j}=\frac{cp_j}{\sqrt{m^2c^2 +\mathbf{p}^2}}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Перепишем эту систему уравнений для изотропного случая, когда

$\rho=\rho (t,r,m)$ ,

$U=U(t,r)$ ,

$W=W(t,r)$ , в виде

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x^k}\biggl( \frac{c(\partial W/\partial r) x^k)}{r \sqrt{m^2c^2 + (\partial W/\partial r)^2}} \biggr)=0,\quad \frac{\partial W}{\partial t} + c\sqrt{m^2c^2 + \biggl(\frac{\partial W}{\partial r}\biggr)^{\!2}}+mU (r,t)=0, \\ 3\biggl( \frac{\partial W/\partial r}{r} \biggr) + r \frac{\partial}{\partial r}\biggl( \frac{\partial W/\partial r}{r} \biggr)=4\pi G \int m \rho\,dm -\frac{1}{2}c^2 \Lambda. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Космологическим решениям соответствует случай, когда величина

$\rho$ не зависит от пространственной переменной:

$\rho = \rho (m,t)$ . В этом случае решением последнего уравнения (уравнения Пуассона) будет следующая функция:

$\begin{equation*} U(t,r) = -\frac{A(t)}{r} + \frac{B(t)}{6} r^2,\qquad B (t) \equiv 4\pi G \int m\rho \,dm -\frac{1}{2}c^2\Lambda. \end{equation*} \notag$

Из первого уравнения (уравнения неразрывности) приведенной выше системы имеем

$\begin{equation*} \frac{\partial \rho}{\partial t} + 3 H\rho =0, \end{equation*} \notag$

где

$H(m,t)$ – параметр Хаббла (обычно полагают, что он не зависит от распределения массы

$m$ ). Получаем уравнения Гамильтона–Якоби для переменной

$W$ :

$\begin{equation*} 3 \varphi +r \frac{d \varphi}{dr}=3H,\qquad \varphi(r) = \frac{(\partial W/\partial r) c}{r \sqrt{(\partial W/\partial r)^2 +m^2c^2}}. \end{equation*} \notag$

Решая уравнение относительно

$\varphi$ , получаем

$\varphi = H + \psi (m,t)/r^3$ ,

$\psi (m,t)$ – некоторая функция. Итак, мы получаем систему уравнений

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t}+ 3H\rho =0,\qquad \frac{c \partial W/\partial r}{\sqrt{m^2c^2 + (\partial W/\partial r)^2}} = rH + \frac{\psi (t)}{r^2}, \\ \frac{\partial W}{\partial t} + c\sqrt{m^2c^2 + \biggl(\frac{\partial W}{\partial r}\biggr)^{\!2}}+mU (r,t)=0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Обозначим

$\Omega (r,t) =c^{-1}(rH + \psi (t)/r^2)$ ,

$\Theta (r,t)= \partial W(r,t)/\partial r$ . Тогда справедливо уравнение

$\begin{equation*} \frac{\partial \Theta}{\partial t} + \frac{c \Theta \Theta_r'}{\sqrt{m^2c^2 + \Theta^2}}+mU'(r)=0, \end{equation*} \notag$

или, после упрощения,

$\begin{equation*} (c \Omega_t' + c^2 \Omega \Omega_r')^2 - (U_r)^2(1-\Omega^2)^3=0. \end{equation*} \notag$

Подставляя сюда явные выражения

$\Omega$ ,

$\Omega_t$ ,

$\Omega_r$ , получаем

$\begin{equation*} \biggl( rH_t'+ \frac{\psi_t'}{r^2} + \biggl(rH + \frac{\psi}{r^2} \biggr)\biggl( H-\frac{2\psi}{r^3} \biggr) \biggr)^{\!2} - \biggl( \frac{rB}{3}+ \frac{A}{r^2} \biggr)^{\!2} \biggl( 1- \biggl( rH + \frac{\psi}{r^2} \biggr)^{\!2} \, \biggr)^{\!3}=0. \end{equation*} \notag$

Анализ этого выражения приводит нас к следующим выводам. При разложении левой части приведенного выше уравнения по степеням $r$ необходимо, чтобы все коэффициенты при $r^s$ были равны нулю, поэтому (поскольку $B^2H^6 r^8=0$ ) либо $H=0$ , либо $B(t)=0$ (последнее означает $8\pi G\int m \rho (m,t) \,dm =c^2\Lambda$ , т. е. стационарность метрики Минковского должна обеспечиваться соответствующей зависимостью от плотности материи). Если $B(t)=0$ , то из необходимости равенства коэффициента $\psi^6 A^2$ нулю вытекает $A=0$ , $U(r)=0$ . Следовательно, космологическое решение для метрики Минковского–Лоренца существует только для $U(r)=0$ , при этом мы из последнего уравнения получим соотношение для параметра Хаббла вида $H_t'+H^2=0$ , решение которого имеет вид $H(t)= (C_0+t)^{-1}$ (в некотором смысле это решение является аналогом решения Милна–Маккри в случае нерелятивистской модели Фридмана).

Пример 6. Рассмотрим слаборелятивистское действие с метрикой Фока $g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1+2U/c^2, -1,-1, -1)$ :

$\begin{equation*} S_\mathrm{F} = -cm \int \sqrt{c^2 -\biggl(\frac{d\mathbf{x}}{dt}\biggr)^{\!2} + U}\, dt -\frac{1}{8\pi G} \int (\nabla U)^2\, d\mathbf{x}\, dt - \frac{c^2 \Lambda}{8\pi G}\int U\,d\mathbf{x}\,dt. \end{equation*} \notag$

Соответствующая этому действию функция Гамильтона имеет вид

$\begin{equation*} \mathcal{H}_\mathrm{F} =-cp_0 (\mathbf{x}, \mathbf{p},t) = c\sqrt{(m^2c^2 + \mathbf{p}^2) \biggl(1+\frac{2U}{c^2}\biggr)}, \end{equation*} \notag$

а редуцированная система Эйлера после гидродинамической подстановки в форме Гамильтона–Якоби –

$\begin{equation*} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x^k} ( u^k (\nabla W)\rho )=0,\qquad \frac{\partial W}{\partial t} + c\sqrt{(m^2c^2 + {(\nabla W)}^2) \biggl(1+\frac{2U}{c^2}\biggr)}=0. \end{equation*} \notag$

Дополнительно к этой системе следует присоединить уравнение Пуассона

$\begin{equation*} \nabla U = 4\pi G \int \frac{m \rho (m,\mathbf{x},t)}{\sqrt{c^2 +U - (\mathbf{u} \nabla W)^2}}\, dm - \frac{c^2 U}{2},\qquad u^k = \frac{\partial \mathcal{H}_\mathrm{F}}{\partial p_k} = \frac{cp_k \sqrt{1+2U/c^2}}{\sqrt{m^2c^2 + \mathbf{p}^2}}. \end{equation*} \notag$

Мы получили снова замкнутую систему уравнений, из которой видно происхождение корня в правой части уравнения Эйнштейна, а также выражение для скорости, из которого следует хаббловское расширение, а также имеется возможность переходить к космологическим решениям в изотропном случае и в случае, когда плотность не зависит от пространственных координат.

5. Приложение гидродинамических следствий уравнений Власова–Пуассона–Пуассона для анализа обобщенной модели Милна

Пример 7. Рассмотрим случай нерелятивистского действия и получим уравнения Гамильтона–Якоби для него. Действие в этом случае можно представить в форме

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, S_\mathrm{nr} ={}&\int \biggl(\frac{m{\bf u}^2}{2} - e\phi -mU\biggr)f(t,\mathbf{x}, \mathbf{u}, m,e)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{u}\, dm\, de\, dt +\frac{1}{8\pi} \int (\nabla \phi)^2\, d\mathbf{x}\,dt -{} \\ & -\frac{1}{8\pi G} \int (\nabla U)^2\, d\mathbf{x}\,dt - \frac{c^2\Lambda}{8\pi G}\int U\, d\mathbf{x}\,dt. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Варьируя по электрическому потенциалу

$\phi$ и по гравитационному потенциалу

$U$ , получаем уравнения Пуассона через функции распределения:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \Delta \phi &= -4\pi \int e f(t,\mathbf{x},\mathbf{u}, m,e) \,d\mathbf{u}\, dm\, de, \\ \Delta U &= 4\pi G \int m f(t,\mathbf{x},\mathbf{u}, m,e) \,d\mathbf{u}\, dm\, de- \frac{1}{2}c^2\Lambda. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Рассматривая уравнение Лиувилля для одночастичной функции, выполняя в нем гидродинамическую подстановку

$f(t,\mathbf{x},\mathbf{u}, m,e) = \rho ( t,\mathbf{x}, m,e) \delta (\mathbf{u} - \mathbf{v}( t,\mathbf{x},\mathbf{u}, m,e))$ и переходя к формализму Гамильтона–Якоби (

$v_i = \partial W(t, \mathbf{x}, e,m)/\partial x^i$ ), получаем систему уравнений Эйлера–Пуассона–Гамильтона–Якоби:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \Delta {W} + \frac{\partial \rho}{\partial x^j} \frac{\partial W}{\partial x^j} =0,\qquad \frac{\partial {W}}{\partial t} + \frac{1}{2}\sum_i \biggl( \frac{\partial W}{\partial x^i} \biggr)^{\!2} U +\frac{e}{m}\phi=0, \\ \Delta \phi =-4\pi \int e \rho \,dm\, de, \qquad \Delta U = 4\pi G \int m \rho \,dm\, de - \frac{1}{2}c^2\Lambda. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Перепишем полученную систему уравнений для изотропного случая, т. e. когда

$\rho = \rho (t, r, e,m)$ ,

$W=W(t, r, e,m)$ ,

$U = (r,t)$ ,

$\phi = \phi (r,t)$ :

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \biggl( \frac{3W_r'}{r} + r \frac{\partial }{\partial r} \biggl( \frac{W_r'}{r} \biggr) \biggr)+ \frac{\partial \rho}{\partial r} \frac{\partial W}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial W}{\partial t} + \frac{(W_r')^2}{2}+U+\frac{e\phi}{m}=0, \\ \frac{3\phi_r}{r}+ r \frac{\partial}{\partial r}\biggl( \frac{\phi_r'}{r} \biggr) = -4\pi \int e \rho \,dm\, de,\qquad \frac{3U_r}{r}+ r \frac{\partial}{\partial r}\biggl( \frac{U_r'}{r} \biggr) = 4\pi \int m \rho \,dm\, de - \frac{c^2\Lambda}{2}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Предположим теперь, что плотность не зависит от пространственной координаты: $\rho = \rho (t,m,e)$ (однородность по пространству). Такие решения обычно называются космологическими решениями, так как на очень больших масштабах предполагается, что плотность от пространственной координаты вообще не зависит. Тогда последнее уравнение имеет решение

$\begin{equation*} U = - \frac{A_1 (t)}{r} + \frac{A_2(t)}{6}r^2, \qquad A_2 (t) = 4\pi G \int m\rho \,dm\, de -\frac{c^2\Lambda}{2}, \end{equation*} \notag$

а предпоследнее уравнение имеет решение

$\begin{equation*} \phi (r,t) = -\frac{A_3 (t)}{r} + \frac{A_4}{6}r^2, \qquad A_4(t) = -4\pi \int e\rho\,dm\,de. \end{equation*} \notag$

Первое и второе уравнения системы дают уравнения для параметра Хаббла:

$\begin{equation*} \frac{\partial \rho}{\partial t} + 3H(e,m,t)\rho =0,\qquad 3 \varkappa + r \frac{\partial \varkappa}{\partial r} = 3H(t,m,e), \qquad \varkappa \equiv \frac{W_r(t,r,m,e)}{r}. \end{equation*} \notag$

Решая уравнение относительно переменной

$\varkappa$ , получаем

$\varkappa = H + A_5 (m,e,t)/r^3$ . Подставляя эту величину во второе уравнение системы Гамильтона–Якоби, получим

$\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial t} \biggl( \frac{Hr^2}{2} \frac{A_5}{r} \biggr) + \frac{1}{2} \biggl( Hr + \frac{A_5}{r^2}\biggr)^{\!2} - \frac{A_1 (t)}{r} + \frac{b(t)}{6}r^2 + \frac{e}{m}\biggl( - \frac{A_3(t)}{r} + \frac{A_4 (t)}{6}r^2 \biggr)=0. \end{equation*} \notag$

Из второго слагаемого находим

$A_5(m,e,t)=0$ . Собирая коэффициенты при

$r^{-1}, r^2$ , получаем систему эволюционных уравнений для плотности и для параметра Хаббла:

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \frac{\partial \rho}{\partial t} + 3H\rho =0, \\ \frac{\partial H}{\partial t} + H^2 + \frac{4\pi G}{3}\int m\rho\, dm\, de -\frac{c^2\Lambda}{6} - \frac{4\pi G e}{m}\int e\rho \,dm\, de =0. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Таким образом, получается еще одна возможность объяснить ускоренное расширение Вселенной, наряду с $\Lambda$ -членом. Из уравнений хорошо видно, что последние два слагаемых работают в одинаково правильном направлении, создавая недостающее отталкивание. В случае заряженных частиц это равенство нулю последнего слагаемого в левой части означает нейтральность. Обозначим

$\begin{equation*} \eta (t) =\frac{4\pi G}{3}\int m\rho\, dm\, de - \frac{4\pi G e}{m}\int e\rho \,dm\, de. \end{equation*} \notag$

Тогда, предполагая, что

$H=H(t)$ , можно перейти к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений:

$\begin{equation*} \frac{d\eta}{dt} =- 3H\eta,\qquad \frac{dH}{dt} =- H^2 -\eta +\zeta, \qquad \zeta=-\frac{1}{6}c^2\Lambda. \end{equation*} \notag$

Рассмотрим три случая: $\Lambda =0$ , $\Lambda >0$ , $\Lambda <0$ . Во всех трех случаях современная физическая область Вселенной может представлять собой области на плоскости, где имеет место $H>0$ (красное смещение) и $dH/dt=\sigma -\eta - H^2> 0$ (ускоренное расширение). При этом для случая $\zeta = 0$ возможно ускоренное расширение $d H/dt> 0$ при $H >0$ и ускоренное сжатие при $H <0$ , а также замедление расширения (при $H >0$ ) с переходом при $H = 0$ к замедлению сжатия. Для левой ( $H <0$ ) и правой ( $H> 0$ ) полуплоскостей $(H,\eta)$ -фазовой плоскости скорости частиц направлены в разные стороны; это можно интерпретировать как “уменьшение” системы (это может быть связано с таким астрономическим аспектом, как “фиолетовое смещение”) и “расширение” системы (соответственно “красное смещение”) [28], [29].

6. Заключение

В работе рассмотрен вывод системы уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна в рамках лагранжева формализма, при этом на первом этапе введено полное действие (Эйнштейна–Гильберта–Паули) системы массивных заряженных частиц, электромагнитных и гравитационных полей. Для этого потребовалось произвести синхронизацию собственных времен различных частиц. Это было проделано через собственное время одной частицы и через произвольный параметр. Мы вывели уравнения и получили выражение для массы в стационарных гравитационном и электромагнитном полях.

Интересно сравнить полученную форму уравнений Власова–Максвелла–Эйнштейна с другими версиями и классифицировать их. Как правило, различные формы уравнений кинетики в гравитационном поле выписываются только для уравнений Власова–Эйнштейна (без Максвелла) и с символами Кристоффеля, а значит, не для импульсов, а для скоростей. Они тоже могут быть выведены по этой схеме. В литературе обычно уравнения типа Власова не выводятся из основных принципов, а выписываются непосредственно (по-видимому, исходя из аналогий с классическим случаем), что не может не приводить к неточностям и прямым ошибкам. Когда речь идет об уравнениях Власова–Эйнштейна, вывод представляется совершенно необходимым для обеих частей уравнения Власова, т. е. и для уравнения Лиувилля (переноса частиц), и для уравнения для полей. При выводе уравнения Лиувилля мы переходим от произвольного параметра (вдоль траекторий частиц) ко времени наблюдателя, что приводит к синхронизации времен многочастичной системы. В уравнениях для полей без вывода форма тензора энергии-импульса выбирается достаточно произвольно, что неправомерно. Мы получили точные выражения для этого тензора при переходе к функциям распределения в составном действии для системы частиц в гравитационном и электромагнитном полях (которые формально оказывают такое же воздействие, как и $\Lambda$ -член Эйнштейна). Представляется перспективным исследовать для этого уравнения все классические подстановки, которые известны в уравнении Власова: энергетические и гидродинамические, а также стационарные. Актуальна и интересна задача классифицировать все решения, зависящие от времени (пространственно однородные решения). Это ведет к космологическим решениям, которые сейчас активно изучаются. Полезными являются методы уравнения Гамильтона–Якоби. Очень важной задачей является получение для уравнений типа Власова утверждения, что временны́е средние совпадают с экстремалями Больцмана.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	В. Паули, Теория относительности, Наука, М., 1983
2.	В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения, Гостехиздат, М., 1955
3.	С. Вейнберг, Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности, Мир, М., 1975
4.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 2, Теория поля, Физматлит, М., 1988
5.	Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия. Методы и приложения, Наука, М., 1986
6.	Y. Choquet-Bruhat, General Relativity and the Einstein Equations, Oxford Univ. Press, Oxford, 2009
7.	C. Cercignani, G. M. Kremer, The Relativistic Boltzmann Equation: Theory an Applications, Progress in Mathematical Physics, 22, Birkhäuser, Basel, 2002
8.	J. Ehlers, “General relativity and kinetic theory”, General Relativity and Cosmology, Proceedings of the International School of Physics “Enrico Fermi”. Course XLVII (Italian Physical Society, June 30 – July 12, 1969), ed. R. K. Sachs, Academic Press, New York, 1971, 1–70
9.	L. Andersson, M. Korzyński, Variational principle for the Einstein–Vlasov equations, arXiv: 1910.12152
10.	R. W. Lindquist, “Relativistic transport theory”, Ann. Phys., 37:3 (1966), 487–518
11.	А. А. Власов, Статистические функции распределения, Наука, М., 1966
12.	Н. А. Черников, “Кинетическое уравнение для релятивистского газа в произвольном гравитационном поле”, Докл. АН СССР, 144:1 (1962), 89–92
13.	Ю. Л. Климонтович, “Релятивистские кинетические уравнения для плазмы”, ЖЭТФ, 37:3 (1959), 735–746
14.	Y. Choquet-Bruhat, Introduction to General Relativity, Black Holes, and Cosmology, Oxford Univ. Press, Oxford, 2015
15.	Ю. Г. Игнатьев, Релятивистская кинетическая теория неравновесных процессов, OOO “Фолиантъ”, Казань, 2010
16.	В. В. Веденяпин, В. И. Парeнкина, С. Р. Свирщевский, “О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 62:6 (2022), 1016–1029
17.	В. В. Веденяпин, В. И. Парeнкина, А. Г. Петров, Чжан Хаочэнь, “Уравнение Власова–Эйнштейна и точки Лагранжа”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 23, 2022
18.	В. В. Веденяпин, Н. Н. Фимин, В. М. Чечеткин, “К вопросу о выводе уравнения Власова–Максвелла–Эйнштейна и его связь с космологическим лямбда-членом”, Вестн. Моск. гос. обл. ун-та. Сер. Физ.-матем., 2019, № 2, 24–48
19.	В. В. Веденяпин, “Уравнение Власова–Максвелла–Эйнштейна”, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, 188, 2018
20.	В. В. Веденяпин, М. А. Негматов, “О выводе и классификации уравнений типа уравнения Власова и магнитной гидродинамики. Тождество Лагранжа и форма Годунова”, ТМФ, 170:3 (2012), 468–480
21.	В. В. Веденяпин, М. А. Негматов, Н. Н. Фимин, “Уравнения типа Власова и Лиувилля, их микроскопические, энергетические и гидродинамические следствия”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:3 (2017), 45–82
22.	В. В. Веденяпин, М. А. Негматов, “О выводе и классификации уравнений типа Власова и магнитной гидродинамики. Тождество Лагранжа, форма Годунова и критическая масса”, Труды Шестой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 14–21 августа, 2011). Часть 3, СМФН, 47, РУДН, М., 2013, 5–17
23.	В. В. Веденяпин, М. А. Негматов, “О топологии стационарных решений гидродинамических и вихревых следствий уравнения Власова и метод Гамильтона–Якоби”, Докл. РАН, 449:5 (2013), 521–526
24.	В. В. Веденяпин, М. Ю. Воронинa, А. А. Руссков, “О выводе уравнений электродинамики и гравитации из принципа наименьшего действия”, Докл. РАН. Сер. Физика, техн. науки, 495:1 (2020), 9–13
25.	G. Rein, A. D. Rendall, “Smooth static solutions of the spherically symmetric Vlasov–Einstein system”, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor., 59:4 (1993), 383–397
26.	T. Okabe, P. J. Morrison, J. E. Friedrichsen, L. C. Shepley, “Hamiltonian dynamics of spatially-homogeneous Vlasov–Einstein systems”, Phys. Rev. D, 84:2 (2011), 024001, 11 pp.
27.	H. E. Kandrup, P. J. Morrison, “Hamiltonian structure of the Vlasov–Einstein system and the problem of stability for spherical relativistic star clusters”, Ann. Phys., 225:1 (1993), 114–166
28.	V. V. Vedenyapin, N. N. Fimin, V. M. Chechetkin, “The generalized Friedmann model as a self-similar solution of Vlasov–Poisson equations system”, Eur. Phys. J. Plus, 136:6 (2021), 670, 11 pp.
29.	V. Vedenyapin, N. Fimin, V. Chechetkin, “The system of Vlasov–Maxwell–Einstein-type equations and its nonrelativistic and weak relativistic limits”, Internat. J. Modern Phys. D, 29:1 (2020), 2050006, 23 pp.

Образец цитирования: В. В. Веденяпин, Н. Н. Фимин, В. М. Чечеткин, “Уравнения типа Власова–Максвелла–Эйнштейна и их следствия. Приложения к астрофизическим задачам”, ТМФ, 218:2 (2024), 258–279; Theoret. and Math. Phys., 218:2 (2024), 222–240

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{VedFimChe24}

\by В.~В.~Веденяпин, Н.~Н.~Фимин, В.~М.~Чечеткин

\paper Уравнения типа Власова--Максвелла--Эйнштейна и их следствия.  Приложения к астрофизическим задачам

\jour ТМФ

\yr 2024

\vol 218

\issue 2

\pages 258--279

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10551}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10551}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4710019}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2024TMP...218..222V}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2024

\vol 218

\issue 2

\pages 222--240

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577924020041}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85185910867}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10551

https://doi.org/10.4213/tmf10551

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v218/i2/p258

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

V. V. Vedenyapin, “Mathematical Theory of the Expanding Universe Based on the Principle of Least Action”, Comput. Math. and Math. Phys., 64:11 (2024), 2624

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	183
PDF полного текста:	14
HTML русской версии:	39
Список литературы:	38
Первая страница:	18

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы