| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических в двух и трех измерениях М. О. Катанаевab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Институт математики и механики им. Н. И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета, Казань, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924020065 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеРазделение переменных является одним из основных методов решения дифференциальных уравнений, поэтому оно играет важную роль в математике и физике. При этом разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических линий на (псевдо)римановом многообразии играет исключительную роль, поскольку является необходимым условием полного разделения переменных в дифференциальных уравнениях, которые определяются той же метрикой, например для разделения переменных в уравнениях Лапласа–Бельтрами, Гельмгольца и Шредингера на тех же многообразиях [1], [2]. Задача о полном разделении переменных в уравнении Гамильтона–Якоби была поставлена и решена Штеккелем в 1891 году [3], [4] для диагональных метрик при наличии только квадратичных по импульсам законов сохранения, поэтому такие метрики часто называют штеккелевыми или сепарабельными. Эта проблема привлекла большое внимание математиков и физиков ввиду важности для нахождения классических решений дифференциальных уравнений. Вскоре проблема Штеккеля была решена для многообразий произвольных размерностей с метрикой произвольной сигнатуры, но при условии, что все диагональные компоненты обратной метрики отличны от нуля [5]–[7], [1]. В наиболее общем случае для гамильтонианов, зависящих явно от времени и содержащих потенциал и линейные по импульсам слагаемые, но при отсутствии нулей на диагонали обратной метрики необходимые и достаточные условия полного разделения переменных были найдены в работе [8] (см. также [9]). Много интересных и важных результатов было получено для диагональных сепарабельных метрик в статьях [10]–[13], но мы уделим особое внимание метрикам общего вида. Другая техника доказательств была использована в работах [14], [15] (см. также [16]) для нахождения штеккелевых (сепарабельных) метрик, включая случай появления нулей на диагонали обратной метрики. Однако полный перечень законов сохранения в гамильтоновой формулировке не был найден. Этой проблеме посвящены также работы [17], [18], много интересных примеров найдено в [19], [20]. Сепарабельные метрики лоренцевой сигнатуры играют важную роль в моделях гравитации. Обычно для нахождения точных решений уравнений Эйнштейна предполагается наличие большой группы симметрии метрики. Это уменьшает число неизвестных компонент метрики, что, в свою очередь, позволяет во многих случаях получить точные решения. Как правило, эти решения допускают полное разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических. Такую постановку задачи можно обратить: предположить, что метрика допускает полное разделение переменных, что также существенно уменьшает число независимых компонент метрики, и искать соответствующие решения уравнений Эйнштейна. Эта идея была успешно применена Картером [21] для сепарабельных метрик с двумя коммутирующими векторами Киллинга. Таким образом был описан большой класс точных решений, включая метрики Шварцшильда, Рейсснера–Нордстрёма, Керра и многие другие. Заметим, что в общем случае штеккелевы метрики могут вообще не иметь ни одного вектора Киллинга, т. е. переменные в уравнении Гамильтона–Якоби могут полностью разделиться и при отсутствии какой-либо симметрии. Значение квадратичных по импульсам тензоров Киллинга в моделях гравитации обсуждается в работе [22]. Поскольку гамильтониан для геодезических линий квадратичен по импульсам, при полном разделении переменных возникают только линейные и квадратичные функционально независимые законы сохранения, находящиеся в инволюции. Квадратичные законы сохранения соответствуют неразложимым тензорам Киллинга второго ранга. Важность тензоров Киллинга для линейных гамильтоновых систем обсуждается в статье [23]. Некоторые топологические свойства полного разделения переменных при наличии тензоров Киллинга рассмотрены в книге [24]. Недавно в статье [25] было предложено полное решение проблемы Штеккеля для многообразий произвольной размерности с метрикой произвольной сигнатуры. А именно, были перечислены все штеккелевы метрики, найдены соответствующие функции действия и законы сохранения для обратных метрик, которые допускают появление нулей на диагонали. В качестве примеров рассмотрены штеккелевы метрики на многообразиях двух, трех и четырех измерений. Доказательства теорем, которые частично являются новыми, элементарны, но громоздки, так как пришлось рассмотреть много случаев. Ввиду важности разделения переменных на многообразиях низших размерностей в настоящей статье даны определения и перечислены все штеккелевы метрики и соответствующие законы сохранения на многообразиях двух и трех измерений без доказательств. 2. ОпределенияРассмотрим n-мерные топологически тривиальные многообразия M, которые покрываются одной системой координат xα, α=1,…,n. Гамильтониан где gαβ(x) – обратная метрика произвольной сигнатуры, а pα – импульсы, приводит к гамильтоновым уравнениям для геодезических линий на (псевдо)римановом многообразии. Если метрика не является знакоопределенной, то на диагонали gαβ возможно появление нулей в некоторых системах координат. Для положительно определенной римановой метрики все диагональные компоненты обратной метрики отличны от нуля в любой системе координат.В дальнейшем эпитет “обратная” будет часто опускаться для краткости. Если метрика положительно определена, то гамильтониан (1) описывает движение точечных частиц по риманову многообразию. Для метрик лоренцевой сигнатуры гамильтониан (1) описывает мировые линии частиц в моделях гравитации. Оба случая представляют значительный интерес как с математической, так и с физической точки зрения. Многие свойства разделения переменных не зависят от сигнатуры метрики и поэтому рассматриваются параллельно. Уравнение Гамильтона–Якоби для укороченной функции действия W(x) имеет вид (см., например, [26]) Это нелинейное уравнение первого порядка в частных производных.Определение 1. Решение уравнения Гамильтона–Якоби (2) W(x,c), зависящее от n независимых параметров ca, a=1,…,n, такое, что называется полным интегралом.Координаты xα, если они существуют, называются сепарабельными, если уравнение Гамильтона–Якоби (2) допускает полное аддитивное разделение переменных в этой системе координат, т. е. полная функция действия представляется в виде суммы где каждое слагаемое Wα зависит только от одной координаты xα и, возможно, полного набора параметров ca. Метрика в сепарабельной системе координат называется сепарабельной или штеккелевой.Для краткости будем использовать обозначение W′α(xα,c):=∂αWα(xα,c). Тогда требование (3) примет вид Сепарабельные координаты не определены однозначно и делятся на классы эквивалентности. Определение 2. Две сепарабельные системы координат x и X эквивалентны, если существует каноническое преобразование (x,p)↦(X,P) соответствующих гамильтоновых систем такое, что новые координаты X(x) зависят только от старых координат x, но не от импульсов p. Кроме того, сепарабельные системы координат эквивалентны и в том случае, если полное разделение переменных происходит для различных наборов параметров c и ˜c, связанных невырожденным преобразованием c↦˜c(c), не затрагивающим координаты. Многообразие M с метрикой g, на котором существуют сепарабельные координаты для уравнения (2) в некоторой окрестности каждой точки, а в области пересечения карт координаты связаны указанным выше преобразованием эквивалентности, называется штеккелевым. В гамильтоновом формализме каждой функции W′α соответствует закон сохранения, и эти законы сохранения находятся в инволюции (см., например, [25]). Для геодезического гамильтониана существуют только три вида законов сохранения: 1) линейные по импульсам законы сохранения, соответствующие векторным полям Киллинга; 2) законы сохранения могут быть квадратичны по импульсам и соответствовать неразложимым тензорам Киллинга второго ранга; 3) линейные законы сохранения для коизотропных координат xα, не соответствующих векторам Киллинга, для которых gαα≡0. Последняя возможность появляется только для индефинитных метрик. Напомним, что координатная линия xα называется изотропной, если касательный вектор к ней dxα изотропен, т. е. gαα≡0. По аналогии назовем координатную линию коизотропной, если соответствующая диагональная компонента обратной метрики равна нулю, gαα≡0. Предположим, что метрика допускает в точности N⩾ и не более коммутирующих векторов Киллинга, M\geqslant0 неразложимых квадратичных законов сохранения и n-N-M\geqslant0 законов сохранения, соответствующих коизотропным координатам. Для формулировки результатов разобьем все координаты на три группы (x^\alpha,y^\mu,z^\varphi), где индексы из начала, середины и конца греческого алфавита принимают следующие значения:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha,\beta,\dots&=1,\dots,N & & \text{(коммутирующие векторы Киллинга)}, \\ \mu,\nu,\dots&=N+1,\dots,N+M & & (\text{квадратичные законы сохранения},\ g^{\mu\mu}\ne0), \\ \varphi,\phi,\dots&=N+M+1,\dots,n & & (\text{коизотропные координаты},\ g^{\varphi\phi}\equiv0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
Полный набор параметров также разобьем на три группы, пронумеровав их латинскими буквами из начала, середины и конца алфавита:
\begin{equation}
(c_a,d_{ij},a_r),\qquad a=1,\dots,N,\quad\! i,j=N+1,\dots,N+M,\quad\! r=N+M+1,\dots,n,
\end{equation}
\tag{7}
где d_{ij} – диагональная матрица. Энергия E входит в перечень независимых параметров либо как a_n=2E (случай 1), либо как d_{N+M\,N+M}=2E (случай 2). Теорема 1. Каждая сепарабельная метрика принадлежит одному из классов эквивалентности [N,M,n-N-M]_{1,2}, где нижний индекс указывает, к какому случаю относится энергия E. Доказательство теоремы 1 приведено в работе [25]. Оно элементарно, но громоздко, и потому опущено. Все римановы метрики принадлежат классам [N,M,0]_2, где N+M=n. В следующих двух разделах перечислены все сепарабельные метрики в двух и трех измерениях, полученные в [25]. При этом в каждом классе эквивалентности указана только одна каноническая (наиболее простая) метрика. 3. Разделение переменных в двух измеренияхДвумерное многообразие предоставляет наиболее простой случай разделения переменных, который, тем не менее, имеет много важных свойств, сохраняющихся и в более высоких размерностях. Всего существует три вида сепарабельных метрик. 3.1. Тип [2,0,0]: Два вектора КиллингаКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x^1,x^2),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c_1,c_2).
\end{equation*}
\notag
В канонической форме сепарабельная метрика является (псевдо)евклидовой: где \eta^{\alpha\beta} – либо евклидова (\eta^{\alpha\beta}:=\operatorname{diag}(++)), либо лоренцева (\eta^{\alpha\beta}:=\operatorname{diag}(++)) метрика. Уравнение Гамильтона–Якоби имеет вид
\begin{equation*}
\eta^{\alpha\beta}W'_\alpha W'_\beta=\eta^{\alpha\beta}c_\alpha c_\beta.
\end{equation*}
\notag
Переменные делятся следующим образом: Система имеет два линейных закона сохранения (все импульсы сохраняются): и соответствующие декартовы координаты x^1,x^2 являются циклическими. 3.2. Тип [1,1,0]_2: Один вектор Киллинга и один квадратичный закон сохраненияКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x,y),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c,d_{22}:=2E).
\end{equation*}
\notag
В канонической форме (псевдо)риманова метрика имеет вид где k(y)\ne0 – произвольная функция. Для k<0 и k>0 мы имеем риманову и лоренцеву метрику соответственно. Уравнение Гамильтона–Якоби имеет вид Переменные делятся следующим образом: В гамильтоновом формализме имеется линейный и квадратичный законы сохранения: Каноническая сепарабельная метрика (10) параметризуется одной произвольной функцией k(y)\ne0, удовлетворяющей неравенству 2E+kc^2>0 при фиксированных E и c. 3.3. Тип [0,2,0]_2: Два квадратичных закона сохраненияКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(y^1,y^2),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(d_{11}:=d,d_{22}:=2E).
\end{equation*}
\notag
Введем произвольную невырожденную матрицу, элементы которой параметризуются парами индексов (\mu\mu) и (ii):
\begin{equation}
b=(b_{\mu\mu}{}^{ii}):= \begin{pmatrix} \phi_{11}(y^1) & \phi_{12}(y^1) \\ \phi_{21}(y^2) & \phi_{22}(y^2) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{11}
Мы предполагаем, что элементы первой и второй строк зависят только от одной координаты y^1 и y^2 соответственно, и Обратная матрица имеет вид
\begin{equation}
(b_{ii}{}^{\mu\mu})=\frac{1}{\det b} \begin{pmatrix} \hphantom{-}\phi_{22} & -\phi_{12} \\ -\phi_{21} & \hphantom{-}\phi_{11} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{13}
Каноническая сепарабельная метрика является диагональной и определяется последней строкой обратной матрицы (13). Она параметризуется четырьмя функциями одного аргумента:
\begin{equation}
g^{\mu\nu}=\frac{1}{\det b} \begin{pmatrix} -\phi_{21} & 0 \\ 0 & \phi_{11} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{14}
Уравнение Гамильтона–Якоби имеет вид
\begin{equation}
\frac{1}{\det b}\bigl(-\phi_{12}W^{\prime\,2}_1+\phi_{11}W^{\prime\,2}_2\bigr)=2E.
\end{equation}
\tag{15}
Переменные полностью делятся:
\begin{equation}
W^{\prime\,2}_1=\phi_{11}d+2\phi_{12}E>0,\qquad W^{\prime\,2}_2=\phi_{21}d+2\phi_{22}E>0.
\end{equation}
\tag{16}
Законы сохранения квадратичны:
\begin{equation*}
\frac{1}{\det b}\bigl(\phi_{22}p^2_1-\phi_{12}p_2^2\bigr)=d,\qquad \frac{1}{\det b}\bigl(-\phi_{21}p^2_1+\phi_{11}p_2^2\bigr)=2E.
\end{equation*}
\notag
С помощью канонического преобразования одну из отличных от нуля функций в каждой строке матрицы (11) можно обратить в \pm1 [25]. Поэтому каноническая сепарабельная метрика в данном случае параметризуется двумя произвольными функциями одного аргумента, на которые налагаются условия (16) при фиксированных значениях параметров d и E. В общем случае сепарабельная метрика (14) не допускает ни одного вектора Киллинга. 3.4. Тип [1,0,1]_1: Один вектор Киллинга и одна коизотропная координатаКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x,z),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c,a_2:=2E).
\end{equation*}
\notag
Появление нуля на диагонали возможно, только если метрика имеет лоренцеву сигнатуру и один вектор Киллинга. Каноническая обратная сепарабельная метрика равна Уравнение Гамильтона–Якоби принимает вид и переменные полностью делятся: В этом случае существуют два линейных закона сохранения: Как видим, полное разделение переменных соответствует двум векторам Киллинга, т. е. эквивалентно первому случаю, [1,0,1]_1\sim[2,0,0]. Все три вида независимых сепарабельных метрик были найдены уже в пионерской статье [3]. Однако в работе Штеккеля не был описан случай 4 разделения переменных при наличии коизотропной координаты. Мы его описали и показали, что он эквивалентен случаю 1. 4. Разделение переменных в трех измеренияхВ трехмерном пространстве существует шесть различных классов (типов) сепарабельных метрик. 4.1. Тип [3,0,0]: Три вектора КиллингаКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x^1,x^2,x^3),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c_1,c_2,c_3).
\end{equation*}
\notag
В каноническом виде сепарабельная метрика является (псевдо)евклидовой. Разделение переменных и законы сохранения имеют тот же вид, что и в двумерном случае [2,0,0], но теперь индексы \alpha=1,2,3 пробегают три значения, и все декартовы координаты x^\alpha являются циклическими. 4.2. Тип [2,1,0]_2: Два вектора Киллинга и один квадратичный закон сохраненияКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x^1,x^2,y),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c_1,c_2,d_{33}:=2E).
\end{equation*}
\notag
Каноническая сепарабельная метрика имеет вид
\begin{equation}
g^{**}=\begin{pmatrix} g^{\alpha\beta}(y) & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, \qquad \alpha,\beta=1,2,
\end{equation}
\tag{19}
где g^{\alpha\beta} – произвольная симметричная невырожденная матрица, элементы которой не зависят от двух первых координат. Уравнение Гамильтона–Якоби допускает полное разделение переменных:
\begin{equation*}
W'_\alpha=c_\alpha,\qquad W^{\prime\,2}_3=2E-g^{\alpha\beta}c_\alpha c_\beta.
\end{equation*}
\notag
Законы сохранения:
\begin{equation}
p_\alpha=c_\alpha,\qquad g^{\alpha\beta}(y)p_\alpha p_\beta+p_3^2=2E.
\end{equation}
\tag{20}
Как видим, в этом случае каноническая сепарабельная метрика параметризуется тремя произвольными функциями одной переменной в симметричной матрице g^{\alpha\beta}, на которые наложено условие \det g^{\alpha\beta}\ne0. Кроме того, при фиксированных E и c условие W^{\prime\,2}_3\geqslant0 также налагает ограничение на допустимый вид g^{\alpha\beta}. В зависимости от выбора матрицы g^{\alpha\beta} сепарабельная метрика (19) может иметь произвольную сигнатуру. В частном случае, когда матрица g^{\alpha\beta} постоянна, возвращаемся к типу [3,0,0]. 4.3. Тип [1,2,0]_2: Один вектор Киллинга и два квадратичных закона сохраненияКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x^1,y^2,y^3),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c,d_{22}:=d,d_{33}:=2E).
\end{equation*}
\notag
Каноническая сепарабельная метрика имеет вид
\begin{equation}
g^{**}=\frac{1}{\phi_2+\phi_3}\begin{pmatrix} k_2+k_3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{21}
где \phi_2(y^2), \phi_3(y^3), k_2(y^2) и k_3(y^3) – произвольные функции одного аргумента. Переменные в уравнении Гамильтона–Якоби
\begin{equation*}
\frac{1}{\phi_2+\phi_3}\bigl[(k_2+k_3)W^{\prime\,2}_1+W^{\prime\,2}_2+W^{\prime\,2}_3 \bigr]=2E
\end{equation*}
\notag
полностью делятся:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W'_1&=c, \\ W^{\prime\,2}_2&=d+2\phi_2E-k_2 c^2\geqslant0, \\ W^{\prime\,2}_3&=-d+2\phi_3 E-k_3 c^2\geqslant0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
Этому соответствуют законы сохранения
\begin{equation}
\begin{gathered} \, p_1=c, \\ \frac{1}{\phi_2+\phi_3}\bigl[\phi_3 p_2^2-\phi_{2}p_3^2 +(\phi_3 k_2-\phi_2 k_3)p_1^2\bigr]=d, \\ \frac{1}{\phi_2+\phi_3}\bigl[p_2^2+p_3^2+ (k_2+k_3)p_1^2\bigr]=2E. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{23}
Таким образом, каноническая сепарабельная метрика (21) параметризуется четырьмя произвольными функциями одного аргумента \phi_{2,3} и k_{2,3}, на которые налагаются условия невырожденности метрики и существования решений для W' при полном разделении переменных (22). При нетривиальных функциях мы имеем два квадратичных неразложимых закона сохранения и один линейный закон сохранения, соответствующий вектору Киллинга. В зависимости от выбора произвольных функций возникает метрика произвольной сигнатуры. 4.4. Тип [1,1,1]_2: Один вектор Киллинга, один квадратичный закон сохранения и одна коизотропная координатаКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x,y,z),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c,d_{22}:=2E,a).
\end{equation*}
\notag
Каноническая сепарабельная метрика имеет вид
\begin{equation}
g^{**}=\frac{1}{1-\phi_2\phi_3} \begin{pmatrix}-k_2 & 0 & -\phi_2/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -\phi_2/2 & 0 & 0 \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{24}
где \phi_2(y), \phi_3(z) и k_2(y) – произвольные функции одной координаты. Уравнение Гамильтона–Якоби после отделения первой координаты W'_1=c принимает вид
\begin{equation*}
\frac{1}{1-\phi_2\phi_3}\left(-k_2c^2+W^{\prime\,2}_2-\phi_2cW'_3\right)=2E.
\end{equation*}
\notag
Переменные делятся следующим образом:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^{\prime\,2}_2&=2E+\phi_2 a+k_2c^2\geqslant0, \\ W'_3&=2\frac{\phi_3}{c}E+\frac{a}{c}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
Законы сохранения после подстановки p_1=c принимают вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{1-\phi_2\phi_3}(p_2^2-k_2c^2-\phi_2cp_3)=2E, \\ &\frac {1}{1-\phi_2\phi_3}\big[-\phi_3(p_2^2-k_2c^2)+cp_3\big]=a. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
Обратим внимание, что импульс p_1=c появляется в знаменателе при разделении переменных (25), что является неожиданным свойством. Каноническая сепарабельная метрика (24) параметризуется тремя произвольными функциями \phi_2(y), \phi_3(z) и k_2(y). Определитель обратной метрики (24) равен
\begin{equation*}
\det g^{**}=-\frac{\phi_2^2}{4(1-\phi_2\phi_3)^3}\ne0,\infty.
\end{equation*}
\notag
Для его невырожденности произвольные функции должны удовлетворять неравенствам \phi_2\ne0 и \phi_2\phi_3\ne1. Кроме того, функции \phi_2 и k_2 нужно выбрать таким образом, чтобы обеспечить существование решения для W'_2 в первом уравнении (25). В зависимости от выбора этих функций получаем сепарабельные метрики различных сигнатур. 4.5. Тип [1,1,1]_1: Один вектор Киллинга, один квадратичный закон сохранения и одна коизотропная координатаКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(x,y,z),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(c,d,a_3:=2E).
\end{equation*}
\notag
Каноническая сепарабельная метрика равна
\begin{equation}
g^{**}=\frac{1}{1-\phi_2\phi_3} \begin{pmatrix} \phi_3k_2 & \hphantom{-}0 & 1/2 \\ 0 & -\phi_3 & 0 \\ 1/2 & \hphantom{-}0 &0\end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{27}
где \phi_2(y), \phi_3(z) и k_2(y) – произвольные функции одной координаты. После подстановки W'_1\equiv c уравнение Гамильтона–Якоби принимает вид
\begin{equation*}
\frac{1}{1-\phi_2\phi_3}\big(\phi_3k_2c^2-\phi_3W^{\prime\,2}_2+cW'_3\big)=2E.
\end{equation*}
\notag
Переменные полностью делятся:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &W^{\prime\,2}_2=d+2\phi_2E+k_2c^2\geqslant0, \\ &W'_3=\frac{\phi_3}{c}\,d+\frac{2E}{c}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
Законы сохранения имеют вид
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac1{1-\phi_2\phi_3}\big[p_2^2-k_2c^2-\phi_2cp_3\big]=d, \\ &\frac1{1-\phi_2\phi_3}\big[-\phi_3(p_2^2-k_2c^2)+cp_3\big]=2E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
Таким образом, каноническая сепарабельная метрика (27) параметризуется тремя функциями \phi_2(y), \phi_3(z) и k_2(y). Невырожденность определителя влечет неравенства \phi_3\ne0 и \phi_2\phi_3\ne1. Кроме того, функции \phi_2 и k_2 нужно выбрать таким образом, чтобы обеспечить существование решения для W'_2 в первом уравнении (28). В зависимости от выбора произвольных функций возникают сепарабельные метрики произвольной сигнатуры.4.6. Тип [0,3,0]_2: Отсутствие векторов Киллинга и коизотропных координат, три квадратичных закона сохраненияКоординаты и параметры:
\begin{equation*}
(x^\alpha,y^\mu,z^\varphi)\mapsto(y^1,y^2,y^3),\qquad (c_\alpha,d_{ij},a_r)\mapsto(d_{11}:=d_1,d_{22}:=d_2,d_{33}:=2E).
\end{equation*}
\notag
Введем невырожденную матрицу b и ее обратную:
\begin{equation}
b_{\mu\mu}{}^{ii}:= \begin{pmatrix}1 & b_{12}(y^1) & b_{13}(y^1)\\ b_{21}(y^2) & 1 & b_{23}(y^2)\\ b_{31}(y^3) & b_{32}(y^3) & 1\end{pmatrix},\qquad b_{ii}{}^{\mu\mu}=\frac1\vartriangle \begin{pmatrix} \vartriangle_{11} & \vartriangle_{21} & \vartriangle_{31} \\ \vartriangle_{12} & \vartriangle_{22} & \vartriangle_{32} \\ \vartriangle_{13} & \vartriangle_{23} & \vartriangle_{33} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{30}
где \vartriangle:=\det b_{\mu\mu}{}^{ii} и символы \vartriangle_{\mu i} обозначают алгебраические дополнения элемента b_{\mu\mu}{}^{ii}. Элементы каждой строки этой матрицы зависят только от одной координаты, совпадающей с номером строки. Последняя строка обратной матрицы b_{ii}{}^{\mu\mu} задает каноническую сепарабельную диагональную метрику
\begin{equation}
g^{**}=\frac1\vartriangle \begin{pmatrix} \vartriangle_{13} & 0 & 0 \\ 0 & \vartriangle_{23} & 0 \\ 0 & 0 & \vartriangle_{33} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{31}
Соответствующее уравнение Гамильтона–Якоби имеет вид
\begin{equation*}
\frac1\vartriangle\bigl(\vartriangle_{13}W^{\prime\,2}_1 +\vartriangle_{23}W^{\prime\,2}_2+\vartriangle_{33}W^{\prime\,2}_3\bigr)=2E.
\end{equation*}
\notag
Полное разделение переменных происходит следующим образом:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^{\prime\,2}_1&=d_1+b_{12}d_2+2b_{13}E\geqslant0, \\ W^{\prime\,2}_2&=b_{21}d_1+d_2+2b_{23}E\geqslant0, \\ W^{\prime\,2}_3&=b_{31}d_1+b_{32}d_2+2E\geqslant0. \\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
Все три закона сохранения в общем случае квадратичны и неразложимы:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac1\vartriangle\big(\vartriangle_{11}p^2_1+\vartriangle_{21}p^2_2 +\vartriangle_{31}p^2_3\big)&=d_1, \\ \frac1\vartriangle\big(\vartriangle_{12}p^2_1+\vartriangle_{22}p^2_2 +\vartriangle_{32}p^2_3\big)&=d_2, \\ \frac1\vartriangle\big(\vartriangle_{13}p^2_1+\vartriangle_{23}p^2_2 +\vartriangle_{33}p^2_3\big)&=2E. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
Таким образом, каноническая сепарабельная метрика типа [0,3,0]_2 параметризуется шестью произвольными функциями одного аргумента. Эти произвольные функции должны порождать невырожденную метрику (31) и обеспечивать существование решений уравнений (32) для W'. Рассматриваемый случай включает в себя систему Лиувилля. Действительно, выберем матрицу b в виде
\begin{equation*}
b_{\mu\mu}{}^{ii}:=\begin{pmatrix} \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 &\phi_1(y^1) \\ \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \phi_2(y^2) \\-1 & -1 & \phi_3(y^3)\end{pmatrix}\quad\Rightarrow\quad b_{ii}{}^{\mu\mu}=\frac1{\phi_1+\phi_2+\phi_3} \begin{pmatrix} \phi_2+\phi_3 & -\phi_1 & -\phi_1 \\ -\phi_2 & \phi_1+\phi_3 & -\phi_2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
(Эта матрица связана с матрицей (30) каноническим преобразованием.) Тогда законы сохранения принимают вид
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, W^{\prime\,2}_1-2\phi_1 E&=d_1, \\ W^{\prime\,2}_2-2\phi_2 E&=d_2, \\ \end{aligned}\\ \frac1{\phi_1+\phi_2+\phi_3}\big(W^{\prime\,2}_1+W^{\prime\,2}_2 +W^{\prime\,2}_3\big)=2E. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{34}
Сепарабельные метрики в трех измерениях были перечислены в статье [27] (за исключением случая [1,1,1]_1), где использована другая техника. Типы метрик по количеству векторов Киллинга, квадратичных законов сохранения и коизотропных координат совпадают. Однако использованная нами техника доказательств [25] позволила получить явные выражения для всех функций W'_\alpha, \alpha=1,\dots,n. Кроме того, в нашем случае проведена более тонкая классификация, которая отмечена индексами 1,2. 5. ЗаключениеТо, что все метрики, приведенные в статье, допускают полное разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби, легко проверяется прямыми вычислениями. Нетривиальным результатом является доказательство того факта, что перечислены все сепарабельные метрики [25]. Часть сепарабельных метрик имеют простой вид и могут быть угаданы без детального исследования. Однако некоторые сепарабельные метрики, например (24) и (27), угадать, как нам кажется, довольно затруднительно. В четырех измерениях существует 10 классов сепарабельных метрик, и с ростом размерности многообразия их число быстро возрастает. Различные полевые модели в низших размерностях всегда привлекали большое внимание математиков и физиков из-за своей относительной простоты. К двум и трем измерениям сводятся многие модели в механике, гравитации, теории сплошных сред и другие. При решении уравнений Эйлера–Лагранжа на (псевдо)римановых многообразиях часто возникает проблема разделения переменных, которую иногда удается решить для штеккелевых метрик, допускающих полное разделение переменных в уравнении Гамильтона–Якоби для геодезических. Для таких метрик уравнения геодезических интегрируемы по Лиувиллю и решение выписывается в квадратурах. Недавно было предложено полное решение проблемы Штеккеля [25] для метрик произвольной размерности и сигнатуры. Все метрики делятся на классы эквивалентности, которые параметризуются количеством векторных полей Киллинга, неразложимых квадратичных законов сохранения, коизотропных координат и местоположением энергии в наборе независимых параметров. Внутри каждого класса эквивалентности метрики связаны между собой каноническими преобразованиями соответствующих гамильтоновых систем и невырожденными преобразованиями параметров. В статье перечислены все классы эквивалентности в двух (три класса) и трех (шесть классов) измерениях. Для каждого класса эквивалентности выписана в явном виде каноническая (наиболее простая) метрика, допускающая полное разделение переменных, проведено полное разделение переменных и выписаны все независимые интегралы движения, находящиеся в инволюции. Если метрики допускают максимальное число коммутирующих векторов Киллинга, то канонические сепарабельные метрики являются (псевдо)евклидовыми и не имеют функционального произвола. Во всех остальных случаях канонические сепарабельные метрики имеют функциональный произвол, который описывается несколькими функциями одного аргумента. Отметим, что переменные могут полностью разделиться даже в том случае, когда отсутствует какая-либо симметрия. Возможно, что сепарабельные метрики найдут применение в моделях математической физики при решении полевых уравнений. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kat24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|