Н. Н. Боголюбов (мл.), А. В. Солдатов, “Резонансная флуоресценция полярной квантовой системы в бихроматическом поле”, ТМФ, 217:3 (2023), 480–498; Theoret. and Math. Phys., 217:3 (2023), 1827

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 217, номер 3, страницы 480–498
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10500 (Mi tmf10500)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Резонансная флуоресценция полярной квантовой системы в бихроматическом поле

Н. Н. Боголюбов (мл.), А. В. Солдатов

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия

PDF полного текста (561 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10500

Аннотация: Исследованы спектральные свойства флуоресцентного излучения двухуровневой квантовой системы с нарушенной инверсионной пространственной симметрией, которая может быть реализована в виде модели одноэлектронного двухуровневого атома, оператор электрического дипольного момента которого имеет перманентные, не равные друг другу диагональные матричные элементы. Рассмотрен случай возбуждения этой системы бихроматическим лазерным полем, состоящим из высокочастотной резонансной компоненты с частотой, совпадающей с частотой атомного перехода, и низкочастотной компоненты, частота которой совпадает с частотой Раби высокочастотной компоненты. Показано, что, изменяя интенсивность низкочастотной компоненты, можно эффективно управлять спектральными свойствами флуоресцентного излучения системы в высокочастотном диапазоне. Обсуждаются возможные способы экспериментального обнаружения и практического использования исследованных эффектов.

Ключевые слова: резонансная флуоресценция, двухуровневый полярный атом, полярная молекула, ридберговский атом, квантовая точка, нарушенная инверсионная симметрия, бихроматическое лазерное поле, плазмон, спазер, дипольный нанолазер.

Поступило в редакцию: 19.03.2023
После доработки: 01.05.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages 1827–1841
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120036

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

PACS: 05.30.-d, 03.65.Yz, 33.50.Dq, 33.90.+h, 78.67.-n, 42.50.-p, 42.50.Hz, 42.65.Ky, 42.79.Nv

MSC: 82C10, 82D80, 81V80, 81V65

1. Введение

Исследование спектральных свойств электромагнитного излучения, рассеянного атомами, молекулами и иными квантовыми системами, представляет практический интерес во многих областях квантовой оптики, так как предоставляет информацию как о внутренней структуре и характеристиках этих систем, так и об особенностях их взаимодействия с электромагнитными полями. Одним из важных физических эффектов в этой области является резонансная флуоресценция, в процессе которой атом возбуждается непрерывным полем лазерного излучения, частоты которого совпадают с частотой оптического перехода между двумя изолированными энергетическими уровнями этого атома или близки к ней, что позволяет при описании этого процесса использовать сильно редуцированные квантово-механические модели, основанные на представлении о так называемом одноэлектронном двухуровневом атоме. Возбужденный таким способом атом испускает флуоресцентное излучение, спектральные и статистические свойства которого служат предметом экспериментальных и теоретических исследований.

Впервые этот эффект для случая возбуждения двухуровневого атома монохроматическим резонансным лазерным излучением с постоянной амплитудой был теоретически исследован в работе [1], где было показано, что спектр флуоресцентного излучения в окрестности частоты атомного оптического перехода состоит из трех четко выраженных спектральных компонент, при этом самый интенсивный спектральный пик расположен на резонансной частоте лазерного излучения, а две боковые компоненты располагаются симметрично относительно центрального пика и сдвинуты соответственно вправо и влево от резонансной частоты на величину частоты Раби $\Omega_\mathrm{R}$ возбуждающего лазерного поля. Боковые спектральные пики в полтора раза шире и на одну треть ниже центрального пика, а их относительные ширины и амплитуды практически постоянны в достаточно широком диапазоне интенсивности возбуждающего лазерного излучения.

Предсказанный спектр резонансной флуоресценции, получивший название триплет Моллоу, нашел экспериментальное подтверждение в работах [2]–[4], в которых было также обнаружено, что его форма в целом сохраняется и при относительно небольших отклонениях частоты возбуждающего лазерного поля от резонансной частоты атомного перехода, с той только разницей, что в этом случае центральный пик, расположенный на частоте возбуждающего поля $\omega_f$ , окружен боковыми более низкими пиками, центрированными на частотах $\omega_f\pm (\Delta^2+\Omega_\mathrm{R}^2)^{1/2}$ , где $\Delta=\omega_0-\omega_f$ – рассогласование частот поля и атомного перехода. По причине ограничений, налагаемых доступными на тот момент времени технологическими возможностями, экспериментальные исследования проводились изначально посредством рассеяния лазерного излучения на коллимированном атомном пучке в геометрии, предполагавшей взаимную перпендикулярность всех трех направлений: атомного пучка, распространения лазерного излучения и оси детектирующего устройства. Однако на данный момент множество пригодных и доступных для подобных экспериментов квантовых систем существенно расширилось благодаря открытию нетривиальных квантово-механических свойств нового широкого класса квантовых систем, известных под общим названием квантовые точки.

Эти системы представляют собой фрагменты полупроводников или проводников, мобильность носителей заряда в которых ограничена по всем трем пространственным измерениям, причем геометрические размеры этих фрагментов соизмеримы с длиной волны де Бройля носителей хотя бы по одному пространственному измерению, что и определяет наличие у таких систем нетривиальных квантово-механических свойств, принципиально отличных от хорошо изученных макроскопических объемных свойств материалов, образующих квантовые точки. Характерный размер квантовых точек может составлять от нескольких сотен до единиц нанометров. Квантовые точки могут представлять собой как простые нанокристаллы, которые можно массово производить и в которых мобильность носителей пассивно ограничена естественными геометрическими размерами самого нанокристалла, так и сложные полупроводниковые устройства мезоскопического или наноразмера, в которых конфайнмент носителей заряда обеспечивается активно, посредством управления величиной электростатических потенциалов на электродах, подведенных к устройству и формирующих потенциальную яму, в которой находятся носители, а также посредством изменения параметров приложенного к устройству внешнего магнитного поля. В обоих случаях энергетический спектр квантовых точек становится дискретным, подобным энергетическому спектру атомов и молекул, с той лишь разницей, что размер квантовых точек существенно больше размеров атомов, а роль атомного потенциала выполняет искусственно созданный потенциал, изменяя который можно варьировать как число носителей в квантовой точке, так и структуру ее энергетического спектра. Альтернативно, в случае пассивных нанокристаллических точек, энергетический спектр также можно изменять путем варьирования размера и формы нанокристаллов. Благодаря этим свойствам квантовые точки называют также искусственными атомами с контролируемыми параметрами.

Как и естественные атомы и молекулы, квантовые точки могут взаимодействовать с электромагнитными полями в широком диапазоне частот, что открывает большие возможности как для новых более тонких экспериментов в области квантовой оптики и квантовой радиофизики, так и для использования этих квантово-механических объектов для решения разнообразных прикладных научных и технологических проблем, в том числе в области опто- и наноэлектроники. Что же касается фундаментальных исследований, то квантовые точки предоставляют уникальную возможность проводить эксперименты над единичными квантовыми нанообъектами, положение и ориентация которых жестко фиксированы в лабораторной системе координат. В частности, был продемонстрирован эффект резонансной флуоресценции от единичной изолированной полупроводниковой квантовой точки [5], [6], а несколько позже эффект резонансной флуоресценции был использован для генерации полупроводниковой квантовой точкой сжатого состояния флуоресцентного излучения [7].

Теоретические исследования в области квантовых вычислений и последовавшие за ними попытки создать практически применимые для решения реальных задач квантовые компьютеры привели к еще более значительному возрастанию интереса как к квантовым точкам, так и к иным искусственно созданным квантовым системам с конечным числом дискретных энергетических уровней, в том числе системам макроскопическим, как, например, сверхпроводящие переходы Джозефсона, взаимодействие которых с внешними электромагнитными полями может успешно моделироваться на основе уже известных моделей двухуровневых систем, используемых в квантовой оптике [8]. Как правило, в большинстве теоретических исследований явления резонансной флуоресценции предполагалось, что исследуемая квантовая система обладает инверсионной пространственной симметрией. В то же время примеры нарушения этой симметрии встречаются достаточно часто в различных по своей природе физических системах. В числе таких систем, представляющих интерес с точки зрения проблем квантовой оптики, можно упомянуть полярные молекулы [9], атомные примеси, имплантированные в кристаллическую решетку и находящиеся в асимметричном окружении, ридберговские атомы во внешнем асимметричном электростатическом поле и искусственно созданные квантовые объекты, обладающие дискретным энергетическим спектром типа квантовых точек.

Причины нарушения симметрии естественным образом различаются для различных физических систем. Однако, вне зависимости от конкретной причины, это нарушение может приводить к появлению ненулевого перманентного электрического дипольного момента, что выражается в отличии от нуля диагональных матричных элементов оператора дипольного момента в базисе собственных энергетических состояний физической системы. Взаимодействие перманентного дипольного момента с внешними электромагнитными полями влияет, в свою очередь, на то, как проявляется эффект резонансной флуоресценции в таких полярных системах. При этом могут наблюдаться новые интересные физические эффекты. Так, в частности, было предсказано [10], что простая двухуровневая система с нарушенной инверсионной симметрией, будучи возбуждаемой высокочастотным электромагнитным (лазерным) излучением, помимо обычной флуоресценции в окрестности частоты возбуждающего излучения может флуоресцировать также и на гораздо более низкой частоте, близкой к частоте Раби возбуждающего электромагнитного поля. Спектральные свойства этой низкочастотной флуоресценции и их зависимость от параметров возбуждающего высокочастотного поля были детально исследованы для случая полярной двухуровневой системы, возбуждаемой внешним монохроматическим полем и демпфированной диссипативным окружением, представленным континуумом мод электромагнитного поля [11]–[13].

Случай возбуждаемой полярной двухуровневой квантовой системы, взаимодействующей с диссипативным резервуаром сжатого вакуумного электромагнитного поля, исследовался в работах [14]–[18], где было показано, что можно эффективно воздействовать на процесс низкочастотной флуоресценции, изменяя параметры сжатого вакуумного резервуара [14]–[16]. Также было показано, что эта система может усиливать или поглощать слабое низкочастотное электромагнитное излучение в зависимости от параметров сжатого вакуумного резервуара [17], [18]. Полученные ранее результаты позволяют предположить, что если воздействовать на полярную двухуровневую квантовую систему одновременно низкочастотным и высокочастотным излучением, то можно управлять процессом флуоресценции в высокочастотной части излучаемого системой спектра посредством изменения параметров воздействующего низкочастотного поля, что и составляет предмет данного исследования.

2. Модель полярного атома в бихроматическом поле

В общем случае взаимодействие электромагнитных полей с одноэлектронным атомом в дипольном приближении описывается гамильтонианом [19]

$\begin{equation} H=H_0(S)+H_0(F) -e\hat{\mathbf{r}} \cdot(\mathbf{E}(\mathbf{r}_0)+\mathbf{E}_\mathrm{ext}(t)), \end{equation} \tag{1}$

где

$H_0(S)$ и

$H_0(F)$ представляют соответственно гамильтониан атома

$\begin{equation} H_0(S)=\sum_{i}E_i|i\rangle\langle i|=\sum_{i} E_i\sigma_{ii} \end{equation} \tag{2}$

с полным набором собственных энергетических состояний

$|i\rangle$ и собственными значениями энергии

$E_i$ и гамильтониан квантованного электромагнитного поля

$\begin{equation} H_0(F)= \sum_{\mathbf{k},\lambda}\hbar\nu_{\mathbf{k}}\biggl(a^+_{\mathbf{k},\lambda}a_{\mathbf{k},\lambda}+\frac{1}{2}\biggr). \end{equation} \tag{3}$

Здесь

$\mathbf{E}_\mathrm{ext}(t)$ – внешнее классическое электрическое поле,

$\mathbf{E}(\mathbf{r}_0)$ – оператор квантованного электрического поля в месте расположения атома

$\mathbf{r}_0$ , состоящий в представлении вторичного квантования из положительно- и отрицательно-частотных частей:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \mathbf{E}(\mathbf{r}_0)= \mathbf{E}^{(+)}(\mathbf{r}_0)+ \mathbf{E}^{(-)}(\mathbf{r}_0), \\ \mathbf{E}^{(+)}(\mathbf{r}_0)= \sum_{\mathbf{k},\lambda}\hat\varepsilon_{\mathbf{k}}^{(\lambda)}\mathcal{E}_\mathbf{k}a_{\mathbf{k},\lambda} e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}_0},\qquad \mathbf{E}^{(-)}(\mathbf{r}_0)= \sum_{\mathbf{k},\lambda}\hat\varepsilon_{\mathbf{k}}^{(\lambda)}\mathcal{E}_\mathbf{k}a^+_{\mathbf{k},\lambda} e^{-i\mathbf{k} \mathbf{r}_0}, \end{gathered} \end{equation} \tag{4}$

где

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \mathcal{E}_\mathbf{k}=\biggl(\frac{\hbar\nu_\mathbf{k}}{2\varepsilon_0V}\biggr)^{1/2},\qquad \nu_\mathbf{k} = c|\mathbf{k}|, \qquad \sum_{\mathbf{k},\lambda}\to \sum_{\lambda}\biggl(\frac{L}{2\pi}\biggr)^3d^3k, \\ k_i=\frac{2\pi n_i}{L},\qquad V=L^3,\qquad n_i=0\pm 1,\pm 2,\dots,\quad i=x,y,z, \end{gathered} \end{equation} \tag{5}$

$a_{\mathbf{k},\lambda}$ и

$a^+_{\mathbf{k},\lambda}$ – бозе-операторы рождения и уничтожения фотонов с волновым вектором

$\mathbf{k}$ и поляризацией

$\lambda$ , удовлетворяющие коммутационным соотношениям

$\begin{equation} [a_{\mathbf{k},\lambda},a^+_{\mathbf{k}',\lambda'}]= \delta_{\mathbf{k},\mathbf{k}'}\delta_{\lambda,\lambda'},\qquad [a^+_{\mathbf{k},\lambda},a^+_{\mathbf{k}',\lambda'}]= 0,\qquad [a_{\mathbf{k},\lambda},a_{\mathbf{k}',\lambda'}]=0, \end{equation} \tag{6}$

а векторы поляризации квантованного поля

$\hat\varepsilon_{\mathbf{k}}^{(\lambda)}$ удовлетворяют соотношениям

$\begin{equation} \mathbf{k}\cdot\hat\varepsilon_{\mathbf{k}}^{(\lambda)}=0,\qquad \varepsilon^{(1)}_{\mathbf{k} i}\varepsilon^{(1)}_{\mathbf{k} j} +\varepsilon^{(2)}_{\mathbf{k} i}\varepsilon^{(2)}_{\mathbf{k} j}=\delta_{ij}-\frac{k_ik_j}{k^2}, \qquad i,j=x,y,z. \end{equation} \tag{7}$

Оператор электрического дипольного момента атома

$\hat{\mathbf{d}}=e\hat{\mathbf{r}}$ можно представить в виде

$\begin{equation} \hat{\mathbf{d}}=\sum_{i,j}\mathbf{d}_{ij}\sigma_{ij},\qquad \mathbf{d}_{ij}=e\langle i|\hat{\mathbf{r}} |j\rangle,\qquad \sigma_{ij}= |i\rangle\langle j|,\qquad [\sigma_{ij},\sigma_{kl}]=\sigma_{il}\delta_{jk}-\sigma_{kj}\delta_{il}. \end{equation} \tag{8}$

С учетом приведенных обозначений гамильтониан (1) можно переписать в виде

$\begin{equation} \begin{aligned} \, H= \sum_{i} E_i\sigma_{ii} &+ \sum_{\mathbf{k}, \lambda} \hbar\nu_ka^+_{\mathbf{k},\lambda}a_{\mathbf{k},\lambda} + \hbar\sum_{i,j}\sum_{\mathbf{k},\lambda} g_{\mathbf{k},\lambda}^{ij}\sigma_{ij}(a^+_{\mathbf{k},\lambda} e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}_0}+a_{\mathbf{k},\lambda} e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}_0})-{} \nonumber \\ & -\sum_{i,j}\mathbf{d}_{ij}\sigma_{ij}\cdot\mathbf{E}_\mathrm{ext}(t),\qquad\quad g_{\mathbf{k},\lambda}^{ij}=-\frac{\mathbf{d}_{ij}\cdot \hat{\varepsilon}_{\mathbf{k}}^{(\lambda)} \mathcal{E}_{\mathbf{k}}}{\hbar}. \end{aligned} \end{equation} \tag{9}$

Обычно предполагается, что диагональные матричные элементы оператора дипольного момента $\mathbf{d}_{ii}$ равны нулю, что оправданно, так как типичные физические системы, т. е. атомы и молекулы, порождающие гамильтониан (9), как правило, обладают определенной четностью, так что каждое из собственных состояний $|i \rangle$ симметрично или антисимметрично относительно операции пространственной инверсии в трехмерном пространстве. Далее мы пренебрегаем этим предположением в пользу более общего предположения о неравенстве друг другу диагональных матричных элементов $\mathbf{d}_{ii}\ne\mathbf{d}_{jj}$ для хотя бы одной пары индексов $i,j$ , что является следствием нарушения инверсионной пространственной симметрии системы.

Далее мы будем рассматривать двухуровневый атом $S$ с основным состоянием $|g\rangle$ , возбужденным состоянием $|e\rangle$ , частотой перехода $\omega_0$ и электрическим дипольным моментом $\hat{\mathbf{d}}$ , на который воздействует внешнее стационарное бихроматическое поле $\mathbf{E}_\mathrm{ext}(t)=\mathbf{E}^s\cos(\omega_s t+\phi_s) + \mathbf{E}^f\cos(\omega_f t)$ с амплитудами $\mathbf{E}^s$ , $\mathbf{E}^f$ , частотами $\omega_s$ , $\omega_f$ и относительной фазой компонент поля $\phi_s$ . Одновременно эта двухуровневая система взаимодействует с бозе-термостатом $F$ , представленным вакуумными модами квантованного электромагнитного поля. Для удобства будем считать, как обычно, что сдвиг частоты межуровневого перехода за счет взаимодействия с термостатом уже учтен в частоте перехода $\omega_0$ . Тогда гамильтониан (9) для такой системы принимает вид

$\begin{equation} H=H_0(S)+H_0(F)+H_{SF}+H_{SE}(t), \end{equation} \tag{10}$

где

$\begin{equation} \begin{gathered} \, H_0(S)= \hbar\omega_0S^z, \qquad H_0(F)= \sum_{\mathbf{k},\lambda}\hbar\nu_{\mathbf{k}}a^+_{\mathbf{k},\lambda}a_{\mathbf{k},\lambda}, \\ H_{SE}(t)=-e\mathbf{E}^s\hat{\mathbf{r}}\cos(\omega_s t+\phi_s)-e\mathbf{E}^f\hat{\mathbf{r}}\cos(\omega_f t), \\ H_{SF}=\hbar\sum_{i,j}\sum_{\mathbf{k},\lambda} g_{\mathbf{k},\lambda}^{ij}\sigma_{ij}(a^+_{\mathbf{k},\lambda} e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}_0}+a_{\mathbf{k},\lambda} e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}_0}),\qquad i =e,g, \quad j=e,g, \end{gathered} \end{equation} \tag{11}$

$S^z=(|e\rangle\langle e| - |g\rangle\langle g|)/2$ – оператор инверсной заселенности. Слагаемое

$H_{SE}(t)$ описывает взаимодействие атома с внешними полями и имеет вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, H_{SE}(t)={}&\frac{\hbar}{2}(e^{i(\omega_s t+\phi_s)}+e^{-i(\omega_s t+\phi_s)})[\Omega^{s}_R S^++{\Omega_\mathrm{R}^{s}}^* S^- - \mathbf{E}^{s}\mathbf{d}_{ee}|e\rangle\langle e| - \mathbf{E}^{s}\mathbf{d}_{gg}|g\rangle\langle g|] +{} \nonumber \\ & + \frac{\hbar}{2}(e^{i\omega_f t}+e^{-i\omega_f t})[\Omega_\mathrm{R}^f S^++{\Omega_{R}^f}^* S^-- \mathbf{E}^f\mathbf{d}_{ee}|e\rangle\langle e|- \mathbf{E}^f\mathbf{d}_{gg}|g\rangle\langle g|], \end{aligned} \end{equation} \tag{12}$

где

$S^+=|e\rangle\langle g|$ и

$S^-=|g\rangle\langle e|$ – повышающий и понижающий атомные операторы,

$\begin{equation} \Omega_\mathrm{R}^s=-\frac{\mathbf{E}^s d_{eg}}{\hbar},\qquad \Omega_\mathrm{R}^f=-\frac{\mathbf{E}^f d_{eg}}{\hbar} \end{equation} \tag{13}$

– частоты Раби для компонент бихроматического поля, которые без потери общности могут быть выбраны вещественными и положительными соотвествующим выбором фазовых множителей квантовых состояний

$|e\rangle$ и

$|g\rangle$ , а также фазы

$\phi_s$ ,

$\begin{equation} \mathbf{d}_{eg}=e\langle e|\hat{\mathbf{r}}|g\rangle,\qquad \mathbf{d}_{ge}=e\langle g|\hat{\mathbf{r}}|e\rangle,\qquad \mathbf{d}_{ee}=e\langle e|\hat{\mathbf{r}}|e\rangle,\qquad \mathbf{d}_{gg}=e\langle g|\hat{\mathbf{r}}|g\rangle \end{equation} \tag{14}$

– матричные элементы атомного дипольного оператора. Для физических систем, порождающих гамильтониан (10) и обладающих инверсионной пространственной симметрией, выполняются соотношения

$\mathbf{d}_{ee}=\mathbf{d}_{gg}=0$ , которыми мы далее пренебрегаем в пользу более общего соотношения

$\mathbf{d}_{ee}\ne\mathbf{d}_{gg}$ , являющегося следствием предположения о нарушении инверсионной пространственной симметрии системы. В этом случае гамильтониан взаимодействия (12) удобно представить в виде

$\begin{equation} \begin{aligned} \, H_{SE}(t)={}&\frac{\hbar}{2}(e^{i(\omega_s t+\phi_s)}+e^{-i(\omega_s t+\phi_s})\biggl[\Omega_\mathrm{R}^{s} S^++{\Omega_\mathrm{R}^{s}}^* S^- + \delta_a^s S^z - \frac{\delta_s^s}{2} (|e\rangle\langle e|+ |g\rangle\langle g|)\biggr]+{} \nonumber \\ & +\frac{\hbar}{2}(e^{i\omega_f t}+e^{-i\omega_f t})\biggl[\Omega_\mathrm{R}^f S^++{\Omega_\mathrm{R}^f}^* S^- + \delta_a^f S^z - \frac{\delta_s^f}{2} (|e\rangle\langle e|+ |g\rangle\langle g|)\biggr], \end{aligned} \end{equation} \tag{15}$

где

$\delta_s^s=\mathbf{E}^s(\mathbf{d}_{gg}+\mathbf{d}_{ee})/\hbar$ ,

$\delta_s^f=\mathbf{E}^f(\mathbf{d}_{gg}+\mathbf{d}_{ee})/\hbar$ , а

$\delta_a^s=\mathbf{E}^s(\mathbf{d}_{gg}-\mathbf{d}_{ee})/\hbar$ ,

$\delta_a^f=\mathbf{E}^f(\mathbf{d}_{gg}-\mathbf{d}_{ee})/\hbar$ – параметры нарушения симметрии, причем слагаемые, пропорциональные параметрам

$\delta_s^s$ ,

$\delta_s^f$ , не оказывают влияния на динамику системы и могут быть опущены.

3. Управляющее уравнение и уравнения движения

Временна́я эволюция атомной подсистемы $S$ задается приближенным управляющим уравнением для редуцированного статистического оператора $\rho_S(t)$ , которое может быть получено обычными методами [19]–[22] и имеет вид

$\begin{equation} \frac{\partial \rho_S(t)}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}[H_{SE}(t),\rho_S(t)]-\frac{1}{2}\Gamma (S^+S^-\rho_S(t)+\rho_S(t)S^+S^- -2S^-\rho_S(t)S^+), \end{equation} \tag{16}$

где

$\Gamma$ – постоянная радиационного распада возбужденного состояния атома вследствие взаимодействия с бозе-термостатом. Из уравнения (16) следует замкнутая система оптических уравнений Блоха для средних значений атомных переменных

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d\langle \tilde S^-(t)\rangle}{dt}&\!=\!-\biggl(\frac{\Gamma}{2}+ i\Delta +i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i(\omega_s t+\phi_s)} +e^{-i(\omega_s t+\phi_s)}) +i\frac{\delta_a^f}{2}(e^{i\omega_f t} +e^{-i\omega_f t})\biggr) \langle \tilde S^-(t)\rangle +{} \\ &\quad {+}\,( \Omega_\mathrm{R}^f(e^{i2\omega_f t} +1) +\Omega_\mathrm{R}^s (e^{i(\omega_f+\omega_s) t +i\phi_s} +e^{i(\omega_f-\omega_s)t-i\phi_s}))\langle \tilde S^z(t)\rangle, \\ \frac{d\langle \tilde S^+(t)\rangle}{dt}&\!=\!-\biggl(\frac{\Gamma}{2}- i\Delta -i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i(\omega_s t+\phi_s)} +e^{-i(\omega_s t+\phi_s)}) -i\frac{\delta_a^f}{2}(e^{i\omega_f t} +e^{-i\omega_f t})\biggr) \langle \tilde S^+(t)\rangle +{} \\ &\quad {+}\,( \Omega_\mathrm{R}^f(e^{-i2\omega_f t} +1) +\Omega_\mathrm{R}^s (e^{-i(\omega_f+\omega_s) t -i\phi_s} +e^{-i(\omega_f-\omega_s) t+i\phi_s}))\langle \tilde S^z(t)\rangle, \\ \frac{d\langle \tilde S^z(t)\rangle}{dt}&\!=\!{-}\frac{\Gamma}{2}-\Gamma \langle \tilde S^z(t)\rangle-{} \\ &\quad{-}\,\frac{\Omega_\mathrm{R}^s}{2}(e^{i(\omega_s t+\phi_s)} +e^{-i(\omega_s t+\phi_s})(\langle \tilde S^+(t)\rangle e^{i\omega_f t} +\langle\tilde S^-(t)\rangle e^{-i\omega_f t})-{} \\ &\quad {-}\,\frac{\Omega_\mathrm{R}^f}{2}(e^{i\omega_f t} +e^{-i\omega_f t})(\langle \tilde S^+(t)\rangle e^{i\omega_f t} +\langle\tilde S^-(t)\rangle e^{-i\omega_f t}), \end{aligned} \end{equation} \tag{17}$

где

$\langle \tilde S^\pm(t) \rangle =\pm i e^{\mp i\omega_f t } \operatorname{Sp}(S^\pm \rho_S(t))$ ,

$\langle\tilde S^z(t)\rangle = \operatorname{Sp}(S^z\rho_S(t))$ , а

$\Delta=\omega_0-\omega_f$ – рассогласование между частотой атомного перехода и частотой внешнего возбуждающего поля

$\mathbf{E}^f$ . Рассмотрим далее случай соизмеримых частот

$\omega_s$ и

$\omega_f$ , таких что

$\omega_s/\omega_f = p/q$ , где

$p,q$ – целые числа, и введем фундаментальную частоту

$\nu=\omega_s/p=\omega_f/q$ . Тогда система уравнений (17) принимает вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d\langle \tilde S^-(t)\rangle}{dt}&=-\biggl(\frac{\Gamma}{2}+ i\Delta +i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i(p\nu t+\phi_s)} +e^{-i(p\nu t+\phi_s)}) +i\frac{\delta_a^f}{2}(e^{iq\nu t} +e^{-iq\nu t})\biggr) \langle \tilde S^-(t)\rangle +{} \\ &\quad+( \Omega_\mathrm{R}^f(e^{i2q\nu t} +1) +\Omega_\mathrm{R}^s (e^{i(q+p)\nu t +i\phi_s} +e^{i(q-p)\nu t-i\phi_s}))\langle \tilde S^z(t)\rangle, \\ \frac{d\langle \tilde S^+(t)\rangle}{dt}&=-\biggl(\frac{\Gamma}{2}- i\Delta -i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i(p\nu t+\phi_s)} +e^{-i(p\nu t+\phi_s)}) -i\frac{\delta_a^f}{2}(e^{iq\nu t} +e^{-iq\nu t})\biggr) \langle \tilde S^+(t)\rangle +{} \\ &\quad +( \Omega_\mathrm{R}^f(e^{-i2q\nu t} +1) +\Omega_\mathrm{R}^s (e^{-i(q+p)\nu t -i\phi_s} +e^{-i(q-p)\nu t+i\phi_s}))\langle \tilde S^z(t)\rangle, \\ \frac{d\langle \tilde S^z(t)\rangle}{dt}&=-\frac{\Gamma}{2}-\Gamma \langle \tilde S^z(t)\rangle-\frac{\Omega_\mathrm{R}^f}{2}(e^{iq\nu t} +e^{-iq\nu t})(\langle \tilde S^+(t)\rangle e^{iq\nu t} +\langle\tilde S^-(t)\rangle e^{-iq\nu t})-{} \\ &\quad-\frac{\Omega_\mathrm{R}^s}{2}(e^{i(p\nu t+\phi_s)} +e^{-i(p\nu t+\phi_s)})(\langle \tilde S^+(t)\rangle e^{iq\nu t} +\langle\tilde S^-(t)\rangle e^{-iq\nu t}). \end{aligned} \end{equation} \tag{18}$

Система уравнений (18) может быть исследована посредством методов, использовавшихся в работах [23]–[25] и предполагающих представление переменных $\langle \tilde S^-(t)\rangle$ , $\langle \tilde S^+(t)\rangle$ и $\langle \tilde S^z(t)\rangle$ бесконечными рядами вида

$\begin{equation} X_i(t)=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}X_i^{(l)}(t)e^{il\nu t},\qquad i=1,2,3, \end{equation} \tag{19}$

где

$X_i(t)$ являются компонентами вектора

$\vec X(t)=(\langle \tilde S^-(t)\rangle, \langle \tilde S^+(t)\rangle, \langle \tilde S^z(t)\rangle)$ , при этом амплитуды

$X_i^{(l)}(t)$ удовлетворяют бесконечной системе уравнений

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d}{dt} X_1^{(l)}(t)&=-\biggl(\frac{\Gamma}{2}+ i\Delta+il\nu \biggr) X_1^{(l)}(t) -{} \nonumber \\ &\quad\,-i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i\phi_s}X_1^{(l-p)}(t)+e^{-i\phi_s}X_1^{(l+p)}(t)) -i\frac{\delta_a^f}{2}(X_1^{(l-q)}(t)+X_1^{(l+q)}(t))+{} \nonumber \\ &\quad\,+\Omega^f_R(X_3^{(l-2q)}(t)+X_3^{(l)}(t)) +\Omega^s_R(e^{i\phi_s}X_3^{(l-(p+q))}(t)+e^{-i\phi_s}X_3^{(l-(q-p))}(t)), \nonumber \\ \frac{d}{dt} X_2^{(l)}(t)&=-\biggl(\frac{\Gamma}{2}- i\Delta+il\nu \biggr) X_2^{(l)}(t) +{} \nonumber \\ &\quad\,+i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i\phi_s}X_2^{(l-p)}(t)+e^{-i\phi_s}X_2^{(l+p)}(t)) +i\frac{\delta_a^f}{2}(X_2^{(l-q)}(t)+X_2^{(l+q)}(t)) +{} \nonumber \\ &\quad\,+\Omega_\mathrm{R}^f (X_3^{(l+2q)}(t)+X_3^{(l)}(t))+\Omega_\mathrm{R}^s (e^{-i\phi_s}X_3^{(l+(p+q))}(t)+e^{i\phi_s}X_3^{(l+(q-p))}(t)),\nonumber\\ \\ \frac{d}{dt} X_3^{(l)}(t)& =-\frac{\Gamma}{2}\delta_{l,0}-(\Gamma+il\nu)X_3^{(l)}(t)-{} \nonumber \\ &\quad \, -\frac{\Omega_\mathrm{R}^f}{2}(X_1^{(l)}(t)+X_1^{(l+2q)}(t)+ X_2^{(l-2q)}(t)+X_2^{(l)}(t))-{}\nonumber\\ &\quad\,-\frac{\Omega_\mathrm{R}^s}{2}(e^{i\phi_s}X_1^{(l-(p-q))}(t)+e^{-i\phi_s}X_1^{(l+(p+q))}(t)+{}\nonumber\\ &\quad\, + e^{i\phi_s}X_2^{(l-(p+q))}(t)+e^{-i\phi_s}X_2^{(l+(p-q))}(t)). \nonumber \end{aligned} \end{equation} \tag{20}$

4. Спектр флуоресценции

Как известно из квантовой теории детектирования электромагнитного излучения [19], [26], [27], спектр мощности электромагнитного излучения пропорционален двойному интегралу от корреляционной функции положительно- и отрицательно-частотных частей квантованного поля в месте нахождения детектора $\mathbf{r}$ :

$\begin{equation} S(\omega)\sim \frac{\Gamma}{2\pi T} \int_0^T dt\int_0^T dt' \langle \mathbf{e}\cdot\mathbf{E}^-({\mathbf{r}},t')\mathbf{e}^*\cdot \mathbf{E}^+(\mathbf{r},t)\rangle e^{i\omega(t-t')}, \end{equation} \tag{21}$

где

$\mathbf{e}$ – некоторое вполне определенное фиксированное направление поляризации поля, которое обеспечивается, например, установкой поляризационного фильтра перед детектором, а параметр

$T$ соответствует времени интегрирования детектора, которое должно быть достаточно большим, чтобы обеспечить удовлетворительное разрешение спектральных компонент излучения, рассеянного атомом в процессе флуоресценции. Можно показать (см., например, [19]), что в так называемой “дальней зоне”, в которой обычно и располагаются детекторы, спектр флуоресценции выражается непосредственно через корреляционные функции от атомных переменных как

$\begin{equation} S(\omega)\sim \frac{\Gamma}{2\pi}\operatorname{Re}\biggl[ \frac{1}{T} \int_0^T dt\int_0^T dt'\,\langle S^+(t')S^-(t)\rangle e^{i\omega(t-t')}\biggr], \end{equation} \tag{22}$

причем, как показано в [13], это соотношение сохраняется и в случае двухуровневых излучателей (атомов) с нарушенной инверсионной пространственной симметрией. Соответственно, интересующая нас некогерентная часть стационарного спектра флуоресценции атома дается выражением [27], [28]

$\begin{equation} S_\mathrm{in}(\omega)\sim \frac{\Gamma}{\pi}\operatorname{Re}\biggl[ \frac{1}{T} \int_0^T dt\int_0^{T-t} d\tau\,[\langle S^+(t)S^-(t+\tau)\rangle - \langle S^+(t)\rangle\langle S^-(t+\tau)\rangle ]e^{i\omega\tau}\biggr]. \end{equation} \tag{23}$

Согласно квантовой регрессионной гипотезе [19], [22], [29] корреляционные функции

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, Y_1(t,t+\tau)&=\langle \tilde S^+(t)\tilde S^-(t+\tau)\rangle-\langle \tilde S^+(t)\rangle\langle\tilde S^-(t+\tau)\rangle,\\ Y_2(t,t+\tau)&=\langle \tilde S^+(t)\tilde S^+(t+\tau)\rangle-\langle \tilde S^+(t)\rangle \langle \tilde S^+(t+\tau)\rangle,\\ Y_3(t,t+\tau)&=\langle \tilde S^+(t)\tilde S^z(t+\tau)\rangle -\langle \tilde S^+(t)\rangle\langle\tilde S^z(t+\tau)\rangle \end{aligned} \end{equation*} \notag$

удовлетворяют практически той же системе уравнений движения (17), что и соответствующие средние

$\langle\tilde S^-(\tau)\rangle$ ,

$\langle\tilde S^+(\tau)\rangle$ и

$\langle\tilde S^z(\tau)\rangle$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{d Y_1(t,t+\tau)}{d\tau}&=-\biggl(\frac{\Gamma}{2}+ i\Delta +i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i(p\nu t+\phi_s)} +e^{-i(p\nu t+\phi_s)}) +{} \\ &\quad+i\frac{\delta_a^f}{2}(e^{iq\nu t} +e^{-iq\nu t})\biggr) Y_1(t,t+\tau) +( \Omega_\mathrm{R}^f(e^{i2q\nu t} +1) +{} \\ &\quad+\Omega_\mathrm{R}^s (e^{i(q+p)\nu t +i\phi_s} +e^{i(q-p)\nu t-i\phi_s}))Y_3(t,t+\tau), \\ \frac{d Y_2(t,t+\tau)}{d\tau}&=-\biggl(\frac{\Gamma}{2}- i\Delta -i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i(p\nu t+\phi_s)} +e^{-i(p\nu t+\phi_s)}) -{} \\ &\quad-i\frac{\delta_a^f}{2}(e^{iq\nu t} +e^{-iq\nu t})\biggr) Y_2(t,t+\tau) +( \Omega_\mathrm{R}^f(e^{-i2q\nu t} +1)+{} \\ &\quad + \Omega_\mathrm{R}^s (e^{-i(q+p)\nu t -i\phi_s} +e^{-i(q-p)\nu t+i\phi_s})) Y_3(t,t+\tau), \\ \frac{d Y_3(t,t+\tau)}{d\tau}&=-\Gamma Y_3(t,t+\tau)-\frac{\Omega_\mathrm{R}^f}{2}(e^{iq\nu t} +e^{-iq\nu t})\times{} \\ &\quad\times (Y_2(t,t+\tau) e^{iq\nu t} +Y_1(t,t+\tau) e^{-iq\nu t})-\frac{\Omega_\mathrm{R}^s}{2}(e^{i(p\nu t+\phi_s)} +{} \\ &\quad+e^{-i(p\nu t+\phi_s)})(Y_2(t,t+\tau) e^{iq\nu t} +Y_1(t,t+\tau) e^{-iq\nu t}), \end{aligned} \end{equation} \tag{24}$

с той лишь разницей, что в их правой части отсутствует неоднородное слагаемое

$-\Gamma/2$ . Следовательно, уместно представить эти корреляционные функции в виде бесконечных рядов того же вида, что и ряды, использовавшиеся выше для представления компонент

$X_i(t)$ , а именно:

$\begin{equation} Y_i(t,t+\tau)=\sum_{l=-\infty}^{+\infty}Y_i^{(l)}(t,\tau)e^{il\nu(t+ \tau)},\qquad i=1,2,3. \end{equation} \tag{25}$

Обозначим через

$\begin{equation} \bar Y_i^{(l)}(t,z)=\int_0^\infty e^{-z\tau}Y_i^{(l)}(t,t+\tau)\,d\tau \end{equation} \tag{26}$

образы Лапласа компонент

$Y_i^{(l)}(t,\tau)$ ,

$i=1,2,3$ . Эти образы удовлетворяют системе уравнений

$\begin{equation} \begin{aligned} \, z\bar Y_1^{(l)}&(t,z)+\biggl(\frac{\Gamma}{2}+ i\Delta+il\nu \biggr) \bar Y_1^{(l)}(t,z) +i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i\phi_s}\bar Y_1^{(l-p)}(t,z)+{} \\ & +e^{-i\phi_s}\bar Y_1^{(l+p)}(t,z)) +i\frac{\delta_a^f}{2}(\bar Y_1^{(l-q)}(t,z)+\bar Y_1^{(l+q)}(t,z))-{} \\ &-\Omega^f_\mathrm{R}(\bar Y_3^{(l-2q)}(t,z)+\bar Y_3^{(l)}(t,z)) -\Omega^s_\mathrm{R}(e^{i\phi_s}\bar Y_3^{(l-(p+q))}(t,z)+{} \\ &+e^{-i\phi_s}\bar Y_3^{(l-(q-p))}(t,z))=\frac{1}{2}\delta_{l,0}+X_3^{(l)}(t)-\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_1^{(l-r)}(t)X_2^{(r)}(t), \\ z\bar Y_2^{(l)}&(t,z) +\biggl(\frac{\Gamma}{2}- i\Delta+il\nu \biggr) \bar Y_2^{(l)}(t,z) -i\frac{\delta_a^s}{2}(e^{i\phi_s}\bar Y_2^{(l-p)}(t,z)+{} \\ & +e^{-i\phi_s}\bar Y_2^{(l+p)}(t,z)) -i\frac{\delta_a^f}{2}(\bar Y_2^{(l-q)}(t,z)+\bar Y_2^{(l+q)}(t,z)) -{} \\ &-\Omega_\mathrm{R}^f (\bar Y_3^{(l+2q)}(t,z)+\bar Y_3^{(l)}(t,z))-\Omega_\mathrm{R}^s (e^{-i\phi_s}\bar Y_3^{(l+(p+q))}(t,z)+{} \\ &+e^{i\phi_s}\bar Y_3^{(l+(q-p))}(t,z))=-\sum_{r=-\infty}^{\infty}X_2^{(l-r)}(t)X_2^{(r)}(t), \\ z\bar Y_3^{(l)}&(t,z)+(\Gamma+il\nu) \bar Y_3^{(l)}(t,z) +{} \\ & +\frac{\Omega_\mathrm{R}^f}{2}(\bar Y_1^{(l)}(t,z)+\bar Y_1^{(l+2q)}(t,z) + \bar Y_2^{(l-2q)}(t,z)+\bar Y_2^{(l)}(t,z))+{} \\ & +\frac{\Omega_\mathrm{R}^s}{2}(e^{i\phi_s}\bar Y_1^{(l-(p-q))}(t,z) +e^{-i\phi_s}\bar Y_1^{(l+(p+q))}(t,z) +{} \\ &+ e^{\phi_s}\bar Y_2^{(l-(p+q)}(t,z)+e^{-i\phi_s}\bar Y_2^{(l+(p-q))}(t,z))={} \\ & = -\sum_{r=-\infty}^{\infty}\biggl( \frac{1}{2}\delta_{r,0}+X_3^{(r)}(t) \biggr)X_2^{(l-r)}(t). \end{aligned} \end{equation} \tag{27}$

В стационарном состоянии

$(T\to\infty)$ только компонента

$\bar Y_1^{(0)}(t,z)$ вносит вклад в некогерентную часть спектра

$S_\mathrm{in}(\omega)$ , которая, следовательно, может быть представлена (см. [30]) как

$\begin{equation} \begin{aligned} \, S_\mathrm{in}(\omega)&\sim \frac{\Gamma}{\pi}\operatorname{Re}\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T dt\int_0^T d\tau\, Y_1(t,t+\tau) e^{i(\omega-\omega_f)\tau} ={} \nonumber \\ &=\lim_{t\to\infty} \frac{\Gamma}{\pi}\operatorname{Re} \bar Y_1^{(0)}(t,z) |_{z=-i(\omega-\omega_f)}. \end{aligned} \end{equation} \tag{28}$

5. Численные результаты

Как и в работах [23]–[25], уравнения (20) и (27) исследовались численно в пределе стационарного состояния $(t\to\infty)$ путем ограничения числа амплитуд $X_i^{(l)}(t)$ и $\bar Y_i^{(l)}(t,z)$ , учитываемых при вычислениях. Рассматривался случай, когда частота внешнего поля $\omega_f$ находится в резонансе с частотой атомного перехода $\omega_0$ . В отсутствие поля $\mathbf{E}_s$ высокочастотный спектр имеет характерную форму (см. рис. 1), известную как триплет Моллоу [1], а в низкочастотной части присутствует спектральный пик (см. рис. 2), расположенный практически на частоте Раби $\Omega_\mathrm{R}^f$ возбуждающего поля, что характерно для полярных двухуровневых квантовых систем, возбуждаемых резонансным монохроматическим полем [10], [11]. При этом свойство полярности квантовой системы практически не влияет на форму высокочастотного спектра. Как уже отмечалось ранее, представляется вполне резонным одновременно воздействовать на полярную квантовую систему вторым, низкочастным полем таким, что его частота $\omega_s$ равна частоте Раби $\Omega_\mathrm{R}^f$ высокочастотной компоненты и, следовательно, находится в резонансе с низкочастотным спектральным пиком. Далее рассматривается именно эта вполне реалистичная экспериментальная ситуация, при которой та же двухуровневая система подвергается одновременно воздействию резонансного $\omega_s=\Omega_\mathrm{R}^f$ низкочастотного поля возрастающей интенсивности $|\mathbf{E}_s|^2$ , так что естественным образом выполняется соотношение $\delta_a^s/\Omega_s = \mathrm{const}$ в силу определений этих величин.

Рис. 1.Триплет Моллоу для неполярной квантовой системы в случае $\Gamma=1$ , $\omega_f=\omega_0=5000$ , $\omega_s=20$ , $\Omega_\mathrm{R}^f= \Omega_\mathrm{R}^s=20$ , $\delta_a^f=\delta_a^s=0$ .

Рис. 2.Спектральный пик в окрестности частоты $\omega=\Omega_\mathrm{R}^f$ в случае $\Gamma=1$ , $\omega_f=\omega_0=5000$ , $\Omega_\mathrm{R}^f=\delta_a^f=20$ , $\Omega_\mathrm{R}^s=\delta_a^s=0$ .

Как оказалось, для неполярной квантовой системы, когда $\delta_a^f=\delta_a^s=0$ , форма высокочастотного спектра на рис. 1 не зависит от воздействия низкочастотной компоненты бихроматического поля с частотой $\omega_s=\Omega_\mathrm{R}^f$ и совпадает со спектром, предсказанным в работе [1], даже в том случае, когда интенсивность низкочастотной компоненты на порядок превышает интенсивность высокочастотной компоненты, т. е. когда выполняется условие $\Omega_\mathrm{R}^f \ll\Omega_\mathrm{R}^s \ll \omega_0$ .

Рис. 3.Расщепление центрального пика триплета Моллоу в случае $\Gamma=1$ , $\omega_f=\omega_0=5000$ , $\Omega_\mathrm{R}^f=20$ , $\delta_a^f=20$ , $\Omega_\mathrm{R}^s= \delta_a^s=2$ .

В случае полярной квантовой системы, как показано на рис. 3, наблюдается расщепление центрального пика триплета Моллоу, даже если интенсивность низкочастотной компоненты на порядок меньше интенсивности высокочастотной компоненты, т. е. $\Omega_\mathrm{R}^s \ll \Omega_\mathrm{R}^f$ . Боковые пики триплета в целом сохраняют свою форму, за исключением некоторого сужения их вершин, уменьшения амплитуд и небольшого уширения, которые проявляются все сильнее по мере увеличения интенсивности низкочастотной компоненты. Одновременно с этим происходит все более глубокое расщепление центрального пика, которое в итоге приводит к практически полному исчезновению флуоресценции на центральной частоте атомного перехода $\omega=\omega_0$ и трансформации центрального пика спектра флуоресценции в дублет, компоненты которого центрированы на частотах $\omega_0 \pm \delta_a^s/2$ . При этом боковые пики триплета Моллоу трансформируются в спектральные триплеты, напоминающие исходный триплет Моллоу, но центрированные на частотах $\omega_2 \pm \Omega_\mathrm{R}^f$ . При этом, как показано на рис. 4, боковые компоненты этих триплетов располагаются на частотах $\omega_2 + \Omega_\mathrm{R}^f \pm \delta_a^s/2$ и $\omega_2 - \Omega_\mathrm{R}^f \pm \delta_a^s/2$ соответственно, т. е. по отношению к формированию боковых триплетов величина $\delta_a^s/2$ выполняет как бы ту же роль, что и частота Раби $\Omega_\mathrm{R}^f$ при формировании исходного триплета Моллоу на рис. 1 в случае монохроматического возбуждающего поля.

Рис. 4.Трансформация триплета Моллоу в спектр, состоящий из спектрального дублета и двух триплетов, в случае $\Gamma=1$ , $\omega_f=\omega_0=5000$ , $\Omega_\mathrm{R}^f=\delta_a^f=20$ , $\Omega_\mathrm{R}^s= \delta_a^s=6$ .

Рис. 5.Эквидистантный спектр флуоресценции в случае $\Gamma=1$ , $\omega_f=\omega_0=5000$ , $\Omega_\mathrm{R}^f=\delta_a^f=20$ , $\Omega_\mathrm{R}^s=\delta_a^s=40$ .

Ситуация, при которой низкочастотная компонента бихроматического поля интенсивнее высокочастотной компоненты, т. е. $\Omega_\mathrm{R}^s > \Omega_\mathrm{R}^f$ , также приводит к интересным и потенциально полезным результатам, заключающимся, в частности, в формировании при некотором соотношении интенсивностей компонент бихроматического поля и параметров квантовой модели высокочастотного эквидистантного спектра флуоресценции c хорошим спектральным разрешением. Этот спектр состоит из восстановившегося центрального пика на частоте атомного перехода, окруженного четырьмя симметричными относительно этой частоты дублетами, причем все пики в этой структуре отстоят друг от друга на расстояние, равное $\delta_a^s/2$ (см. рис. 5).

Важно отметить, что все описанные выше эффекты зависят от параметра асимметрии $\delta_a^s$ , но не зависят от параметра $\delta_a^f$ , который, в случае двухуровневой системы с фиксированной ориентацией относительно лабораторной системы координат можно сделать равным нулю выбором соответствующей поляризации поля $\mathbf{E}_f$ (см., например, рис. 6). Уместно также отметить, что все описанные выше эффекты не зависят от величины относительной фазы $\phi_s$ , что, безусловно, должно упростить как их экспериментальное обнаружение и исследование, так и практическое применение.

Рис. 6.Трансформация триплета Моллоу в спектр, состоящий из спектрального дублета и двух триплетов, в случае $\Gamma=1$ , $\omega_f=\omega_0=5000$ , $\Omega_\mathrm{R}^f=20$ , $\delta_a^f=0$ , $\Omega_\mathrm{R}^s= \delta_a^s=6$ .

6. Заключение

Подводя итог, можно заключить, что, воздействуя на резонансно возбуждаемую высокочастотным монохроматическим лазерным полем на частоте атомного перехода двухуровневую квантовую полярную систему еще и вспомогательным низкочастотным монохроматическим полем на частоте Раби высокочастотного поля, можно существенно трансформировать спектр высокочастотной флуоресценции этой квантовой системы. Этот эффект предоставляет возможность эффективно управлять спектральными свойствами флуоресцентного излучения квантовой системы в высокочастотном диапазоне, изменяя интенсивность низкочастотной компоненты сформированного таким образом бихроматического поля. При этом управляющее низкочастотное поле может быть существенно слабее высокочастотного резонансного поля.

На данный момент представляется, что оптимальным кандидатом на роль полярной квантовой системы для экспериментального обнаружения и исследования эффекта воздействия низкочастотной компоненты бихроматического поля на высокочастотный спектр флуоресценции является изолированная полупроводниковая активная квантовая точка, свойствами которой можно управлять посредством изменения приложенных к ней внешних электростатических потенциалов, что расширяет экспериментальные возможности по сравнению с использованием встречающихся в природе естественных полярных квантовых систем типа полярных молекул. В частности, для квантовых точек можно независимо варьировать значения частот Раби $\Omega_\mathrm{R}^f$ , $\Omega_\mathrm{R}^s$ и параметров нарушения инверсной пространственной симметрии $\delta_a^f$ , $\delta_a^s$ . Экспериментальные исследования в этой области могут способствовать разработке практически полезных полупроводниковых компонент, которые, в свою очередь, могут быть впоследствии интегрированы в состав более сложных устройств нанооптоэлектроники. В их числе можно упомянуть, например, такие наноустройства, как спазер и дипольный нанолазер, активно исследуемые и используемые в относительно новых, но интенсивно развивающихся в последние годы областях квантовой оптики, а именно в квантовой плазмонике и квантовой нанооптоэлектронике.

Концепция спазера, т. е. устройства, представляющего собой квантовую систему, которая может состоять из плазмонных наночастиц, в ближайшей окрестности которых расположены двухуровневые квантовые точки, была сформулирована в работе [31] и экспериментально реализована в работах [32]–[34]. В предельном, но все еще практически полезном и экспериментально реализуемом варианте такое устройство может состоять из одной плазмонной наночастицы и одной квантовой точки, причем взаимодействие между этими объектами может быть эффективно описано в терминах модели диполь-дипольного взаимодействия. Квантовая точка резонансно возбуждается внешним полем. При этом, так как диполь-дипольное взаимодействие квантовой точки и квантовой подсистемы плазмонов наночастицы значительно сильнее взаимодействия квантовой точки с вакуумными модами электромагнитного поля, энергия возбужденной квантовой точки по преимуществу передается плазмонной системе, а не переизлучается квантовой точкой в процессе радиационного перехода, что позволяет создать в плазмонной системе условия, аналогичные условиям инверсной заселенности в лазере. Так как поверхностные плазмоны, т. е. коллективные возбуждения свободных электронов в металлической наночастице, по самой своей природе локализованы на наночастице, тем самым создаются также условия для реализации обратной связи в плазмонной системе, что аналогично наличию обратной связи в лазере, где эта обратная связь обеспечивается, однако искусственными методами, например помещением инверсной излучающей квантовой двухуровневой системы в резонатор. В результате в некотором диапазоне параметров спазера могут возникать подходящие условия для когерентной генерации плазмонов. В свою очередь, плазмоны, будучи колективными осцилляциями свободных электронов в наночастице, порождают электромагнитные поля в ближней зоне наночастицы. Таким образом, спазер обеспечивает усиление и генерацию электромагнитных полей в ближней зоне наночастицы, в чем и заключается в итоге его практическая ценность.

Близким к спазеру устройством по своему назначению, структуре и функционированию является так называемый дипольный нанолазер, предложенный в работе [35]. В этой квантовой системе взаимодействие металлической наночастицы с возбужденной полупроводниковой двухуровневой квантовой точкой приводит благодаря диполь-дипольному взаимодействию квантовой точки с наночастицей к когерентным осцилляциям поляризации наночастицы, причем даже в отсутствие воздействия внешнего электромагнитного поля на квантовую точку непосредственно в процессе излучения дипольного нанолазера. В результате наночастица создает в своей ближайшей окрестности электромагнитное поле с пространственным распределением, характерным для дипольного излучателя. Как и в случае спазера, для создания когерентного поля в ближней зоне не требуется помещать квантовую систему в резонатор, что позволяет создавать такие нанолазерные устройства с характерными размерами порядка десятых долей микрона и тем самым открывает возможность интегрировать их во всевозможные микроэлектронные устройства.

На самом деле между спазером и дипольным нанолазером нет четкой границы, так как эти устройства схожи как по своей структуре, так и по назначению. Разница скорее состоит в том, что в некоторой области параметров устройства его функционирование может более адекватно описываться посредством механизма когерентной генерации плазмонов по типу генерации лазерного излучения, а в другой области параметров – посредством механизма возбуждения когерентных осцилляций поляризации наночастицы. Обсуждение вопроса о соотношении между спазером и дипольным лазером можно найти в работе [35].

В то же время полученные на данный момент результаты показывают, что на функционирование как спазера, так и дипольного нанолазера оказывает существенное влияние характер динамики дипольного момента двухуровневой квантовой точки. Этот аспект рассматривался, например, в работе [36], в которой исследовалось влияние некогерентной накачки квантовой точки на спектр поверхностных плазмонов и было показано, что взаимодействие квантовой точки с плазмонной наночастицей может привести к формированию так называемого фанорезонанса. Верно также и обратное: взаимодействие квантовой точки с плазмонной наночастицей может существенно изменить форму спектра флуоресценции самой квантовой точки, что было продемонстрировано в работе [37], в которой исследовалась модификация спектра резонансной флуоресценции атома вблизи плазмонной наночастицы и было показано, что влияние плазмонной наночастицы может привести к возникновению существенной асимметрии этого спектра. Отсюда следует, что управлять излучением как спазера, так и дипольного нанолазера можно посредством воздействия внешних электромагнитных полей на квантовую точку.

В то же время, насколько можно судить по опубликованным источникам, рассматривался случай взаимодействия плазмонных наночастиц с неполярными квантовыми точками. Для управления динамикой дипольного момента таких точек пришлось бы использовать, например, внешние монохроматические поля с частотами, очень близкими к резонансной частоте двухуровневого перехода, и с частотами Раби, соизмеримыми с частотами Раби возбуждающего внешнего поля, что потенциально могло бы создать проблему для фукционирования спазера или дипольного нанолазера. По этой причине представляется целесообразным использовать в составе этих квантово-оптических устройств полярные полупроводниковые квантовые точки, спектром флуоресценции которых, а значит, и динамикой дипольного момента можно управлять, как показано в настоящей работе, посредством изменения параметров воздействующего на квантовую точку вспомогательного внешнего монохроматического лазерного поля с частотой на несколько порядков ниже, чем частота радиационного перехода двухуровневой системы, и с частотой Раби, существенно меньшей, чем частота Раби основного возбуждающего поля, которое резонансно воздействует на квантовую точку.

Также использование полярных квантовых точек, вероятно, позволит управлять излучением спазера и дипольного нанолазера посредством изменения степени полярности квантовой точки, контролируя величины потециалов на электродах, приложенных к квантовой точке и обеспечивающих конфайнмент электронов в ней. Поэтому представляется целесообразным построить соответствующую квантовую модель и получить на ее основе управляющее уравнение для редуцированного статистического оператора, которое позволило бы исследовать поведение полярного спазера и полярного дипольного нанолазера. Как можно предположить исходя из результатов уже проведенных многочисленных исследований в данной области, в релевантном для практических приложений диапазоне параметров такой модели это управляющее уравнение может быть сведено к уравнению типа уравнения Линдблада. Однако при его выводе необходимо будет учитывать наличие диполь-дипольного взаимодействия между двумя одинаково релевантными, с точки зрения корректного рассмотрения проблемы, квантовыми подсистемами, а именно между квантовой наночастицей и квантовой точкой, которые представляют в совокупности единую открытую квантовую систему по отношению к своему диссипативному окружению. Теоретические проблемы, возникающие при выводе таких уравнений, и возможный общий метод их преодоления для составных диссипативных квантовых систем различной природы с взаимодействием между составляющими их квантовыми подсистемами обсуждаются, например, в работе [38].

Благодарности

Авторы выражают свою признательность рецензентам, обратившим их внимание на интересные и весьма важные результаты, полученные в процессе теоретических и экспериментальных исследований квантово-оптических свойств плазмонных квантовых наносистем.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	B. R. Mollow, “Power spectrum of light scattered by two-level systems”, Phys. Rev., 188:5 (1969), 1969–1975
2.	F. Schuda, C. R. Stroud, Jr., M. Hercher, “Observation of the resonant Stark effect at optical frequencies”, J. Phys. B: Atom. Mol. Phys., 7:7 (1974), L198–L202
3.	F. Y. Wu, R. E. Grove, S. Ezekiel, “Investigation of the spectrum of resonance fluorescence induced by a monochromatic field”, Phys. Rev. Lett., 35:21 (1975), 1426–1429
4.	W. Hartig, W. Rasmussen, R. Schieder, H. Walther, “Study of the frequency distribution of the fluorescent light induced by monochromatic radiation”, Z. Physik A, 278 (1976), 205–210
5.	A. Muller, E. B. Flagg, P. Bianucci, X. Y. Wang, D. G. Deppe, W. Ma, J. Zhang, G. J. Salamo, M. Xiao, C. K. Shih, “Resonance fluorescence from a coherently driven semiconductor quantum dot in a cavity”, Phys. Rev. Lett., 99:18 (2007), 187402, 4 pp.
6.	S. Unsleber, S. Maier, D. P. S. McCutcheon, Y.-M. He, M. Dambach, M. Gschrey, N. Gregersen, J. Mørk, S. Reitzenstein, S. Höfling, C. Schneider, M. Kamp, “Observation of resonance fluorescence and the Mollow triplet from a coherently driven site-controlled quantum dot”, Optica, 2:12 (2015), 1072–1077
7.	C. H. H. Schulte, J. Hansom, A. E. Jones, C. Matthiesen, C. Le Gall, M. Atatüre, “Quadrature squeezed photons from a two-level system”, Nature, 525 (2015), 222–225
8.	O. Astafiev, A. M. Zagoskin, A. A. Abdumalikov, Jr., Yu. A. Pashkin, T. Yamamoto, K. Inomata, Y. Nakamura, J. S. Tsai, “Resonance fluorescence of a single artificial atom”, Science, 327:5967 (2010), 840–843
9.	В. А. Коварский, “Квантовые процессы в биологических молекулах. Ферментативный катализ”, УФН, 169:8 (1999), 889–908
10.	O. V. Kibis, G. Ya. Slepyan, S. A. Maksimenko, A. Hoffmann, “Matter coupling to strong electromagnetic fields in two-level quantum systems with broken inversion symmetry”, Phys. Rev. Lett., 102:2 (2009), 023601, 4 pp.
11.	A. V. Soldatov, “Laser frequency down-conversion by means of a monochromatically driven two-level system”, Modern Phys. Lett. B, 30:27 (2016), 1650331, 11 pp.
12.	A. V. Soldatov, “Broadband EM radiation amplification by means of a monochromatically driven two-level system”, Modern Phys. Lett. B, 31:4 (2017), 1750027, 11 pp.
13.	Н. Н. Боголюбов (мл.), А. В. Солдатов, “Флуоресценция в квантовой системе с нарушенной симметрией”, ВМУ. Сер. 3. Физ., Астрон., 2018, № 2, 31–39
14.	N. N. Bogolyubov, Jr., A. V. Soldatov, “Low-frequency fluorescence spectrum of a laser driven polar quantum emitter damped by squeezed vacuum with finite bandwidth”, J. Phys.: Conf. Ser., 2056:1 (2021), 012001, 8 pp.
15.	N. N. Bogolubov, Jr., A. V. Soldatov, “EM field frequency down-conversion in a quantum two-level system damped by squeezed vacuum reservoir”, Phys. Part. Nucl., 51:4 (2020), 762–765
16.	N. N. Bogolyubov, Jr., A. V. Soldatov, “Fluorescence spectrum of a laser driven polar quantum emitter damped by degenerate squeezed vacuum with finite bandwidth”, Appl. Math. Inf. Sci., 16:2 (2022), 235–241
17.	N. N. Bogolyubov, Jr., A. V. Soldatov, “Electromagnetic radiation amplification by means of a driven two-level system damped by broadband squeezed vacuum reservoir”, J. Phys.: Conf. Ser., 1560 (2020), 012001, 8 pp.
18.	N. N. Bogolyubov, Jr., A. V. Soldatov, “Probe-absorption spectrum of a polar quantum emitter in a squeezed finite-bandwidth vacuum”, Phys. Part. Nucl. Lett., 19:1 (2022), 58–65
19.	М. О. Скалли, М. С. Зубайри, Квантовая оптика, Физматлит, М., 2004
20.	R. R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer Series in Optical Sciences, 79, Springer, Berlin, Heidelberg, 2001
21.	К. В. Гардинер, Стохастические методы в естественных науках, Мир, М., 1986
22.	H. Carmichael, An Open Systems Approach to Quantum Optics, Lecture Notes in Physics Monographs, 18, Springer, Berlin, 1993
23.	Z. Ficek, H. S. Freedhoff, “Resonance-fluorescence and absorption spectra of a two-level atom driven by a strong bichromatic field”, Phys. Rev. A, 48:4 (1993), 3092–3104
24.	Z. Ficek, H. S. Freedhoff, “Fluorescence and absorption by a two-level atom in a bichromatic field with one strong and one weak component”, Phys. Rev. A, 53:6 (1996), 4275–4287
25.	Z. Ficek, J. Seke, A. V. Soldatov, G. Adam, “Fluorescence spectrum of a two-level atom driven by a multiple modulated field”, Phys. Rev. A, 64:1 (2001), 013813, 10 pp.
26.	R. J. Glauber, Quantum Theory of Optical Coherence: Selected Papers and Lectures, Wiley-VCH, Weinheim, 2007
27.	G. S. Agarwal, “Quantum statistical theories of spontaneous emission and their relation to other approaches”, Quantum Optics, Springer Tracts in Modern Physics, 70, ed. G. Höhler, Springer, Berlin, Heidelberg, 1974, 1–128
28.	A. Joshi, S. S. Hassan, “On the nature of the resonance fluorescence spectrum of a driven two-level atom in an off-resonant squeezed vacuum”, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 30 (1997), L557–L564
29.	M. Lax, “Quantum noise. XI. Multitime correspondence between quantum and classical stochastic processes”, Phys. Rev., 172:2 (1968), 350–361
30.	Z. Ficek, S. Swain, Quantum Interference and Coherence: Theory and Experiments, Springer Series in Optical Sciences, 100, Springer, New York, 2005
31.	D. J. Bergman, M. I. Stockman, “Surface plasmon amplification by stimulated emission of radiation: quantum generation of coherent surface plasmons in nanosystems”, Phys. Rev. Lett., 90:2 (2003), 027402, 4 pp.
32.	Y.-J. Lu, J. Kim, H.-Y. Chen et al., “Plasmonic nanolaser using epitaxially grown silver film”, Science, 337:6093 (2012), 450–453
33.	M. A. Noginov, G. Zhu, A. M. Belgrave, R. Bakker, V. M. Shalaev, E. E. Narimanov, S. Stout, E. Herz, T. Suteewong, U. Wiesner, “Demonstration of a spaser-based nanolaser”, Nature, 460 (2009), 1110–1112
34.	S. Xiao, V. P. Drachev, A. V. Kildishev, X. Ni, U. K. Chettiar, H.-K. Yuan, V. M. Shalaev, “Loss-free and active optical negative-index metamaterials”, Nature, 466 (2010), 735–738
35.	I. E. Protsenko, A. V. Uskov, O. A. Zaimidoroga, V. N. Samoilov, E. P. O'Reilly, “Dipole nanolaser”, Phys. Rev. A, 71:6 (2005), 063812, 7 pp.
36.	Е. С. Андрианов, А. А. Пухов, А. В. Дорофеенко, А. П. Виноградов, А. А. Лисянский, “Спектр поверхностных плазмонов, возбуждаемых спонтанными переходами квантовой точки”, ЖЭТФ, 144:2(8) (2013), 243–252
37.	Е. С. Андрианов, А. А. Пухов, А. П. Виноградов, А. В. Дорофеенко, А. А. Лисянский, “Изменение спектра резонансной флуоресценции двухуровневого атома в ближнем поле плазмонной наночастицы”, Письма в ЖЭТФ, 97:8 (2013), 522–528
38.	В. Ю. Шишков, Е. С. Андрианов, А. А. Пухов, А. П. Виноградов, А. А. Лисянский, “Релаксация взаимодействующих открытых квантовых систем”, УФН, 189:5 (2019), 544–558

Образец цитирования: Н. Н. Боголюбов (мл.), А. В. Солдатов, “Резонансная флуоресценция полярной квантовой системы в бихроматическом поле”, ТМФ, 217:3 (2023), 480–498; Theoret. and Math. Phys., 217:3 (2023), 1827–1841

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{BogSol23}

\by Н.~Н.~Боголюбов (мл.), А.~В.~Солдатов

\paper Резонансная флуоресценция полярной квантовой системы

в бихроматическом  поле

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 217

\issue 3

\pages 480--498

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10500}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10500}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4700027}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...217.1827B}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 217

\issue 3

\pages 1827--1841

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923120036}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85180453364}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10500

https://doi.org/10.4213/tmf10500

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v217/i3/p480

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

А. В. Солдатов, “Математическое моделирование динамики спазера с нарушенной инверсионной симметрией в низкочастотном монохроматическом поле”, Математические аспекты механики, Сборник статей. К 60-летию академика Дмитрия Валерьевича Трещева и 70-летию члена-корреспондента РАН Сергея Владимировича Болотина, Труды МИАН, 327, МИАН, М., 2024, 303–316 ; A. V. Soldatov, “Mathematical Modeling of the Dynamics of a Spaser with Broken Inversion Symmetry in a Low-Frequency Monochromatic Field”, Proc. Steklov Inst. Math., 327 (2024), 287–299

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	167
PDF полного текста:	11
HTML русской версии:	24
Список литературы:	36
Первая страница:	11

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы