Вэнь-Сю Ма, “Четырехкомпонентные интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений с парами Лакса ($m+n+2$)-го порядка”, ТМФ, 216:2 (2023), 315–325; Theoret. and Math. Phys., 216:2 (2023), 1180

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 216, номер 2, страницы 315–325
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10489 (Mi tmf10489)

Эта публикация цитируется в 57 научных статьях (всего в 57 статьях)

Четырехкомпонентные интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений с парами Лакса (

$m+n+2$ )-го порядка

Вэнь-Сю Ма^abcd

^a Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua, Zhejiang, China
^b Department of Mathematics, King Abdulaziz University, Jeddah, Saudi Arabia
^c Department of Mathematics and Statistics, University of South Florida, Tampa, FL, USA
^d School of Mathematical and Statistical Sciences, North-West University, Mmabatho, South Africa

PDF полного текста (400 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (57)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10489

Аннотация: Сформулирован класс матричных спектральных задач высокого порядка, и с помощью уравнений нулевой кривизны получены соответствующие интегрируемые иерархии. Для задания гамильтоновых структур полученных иерархий и, таким образом, для исследования их интегрируемости по Лиувиллю используется следовое тождество. Наглядными примерами таких иерархий являются связанные нелинейные уравнения Шредингера и связанные модифицированные уравнения Кортевега–де Фриза с четырьмя компонентами.

Ключевые слова: пара Лакса, уравнение нулевой кривизны, интегрируемая иерархия, гамильтонова структура, НУШ, уравнения мКдФ.

Финансовая поддержка	Номер гранта
National Natural Science Foundation of China	12271488 11975145 11972291 51771083
Ministry of Science and Technology (MOST) of China	G2021016032L
Natural Science Foundation of Jiangsu Province	17 KJB 110020
Работа была поддержана National Natural Science Foundation of China (гранты № 12271488, 11975145, 11972291 и 51771083), а также Ministry of Science and Technology of China (грант G2021016032L) и Natural Science Foundation for Colleges and Universities in Jiangsu Province (грант 17 KJB 110020).

Поступило в редакцию: 03.03.2023
После доработки: 30.04.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages 1180–1188
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080093

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

PACS: 02.30.Ik, 05.45.Yv

MSC: 37K15, 35Q55; 37K40

1. Введение

Бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы уравнения представляют собой разновидность дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП), обладающих бесконечным числом сохраняющихся функционалов, коммутирующих относительно соответствующей скобки Пуассона [1]. Такие гамильтоновы уравнения часто имеют богатый набор аналитических и геометрических структур, изучение которых может выявить новые и неожиданные связи с другими областями математической физики. Самый известный пример – уравнение Кортвега–де Фриза.

Известно, что построение интегрируемых гамильтоновых уравнений – это сложная задача, требующая сочетания физической интуиции, математической проницательности и технических знаний. Распространенным подходом в теории солитонов является формулировка нулевой кривизны. В этом подходе сначала формулируются пары Лакса матричных спектральных задач, а затем с помощью уравнений нулевой кривизны генерируются интегрируемые гамильтоновы уравнения в частных производных [2], [3]. Рекуррентные структуры в матричных спектральных задачах гарантируют существование интегрируемых иерархий гамильтоновых уравнений, которые коммутируют относительно коммутатора векторных полей над соответствующим пространством джетов.

Мы рассматриваем ДУЧП с векторным потенциалом или зависимой переменной $u=(u_1,\ldots,u_q)^{\mathrm T}$ . Пусть $\lambda$ – спектральный параметр матричных спектральных задач. Стартовой точкой является матричная алгебра петель $\tilde g$ с петлевым параметром $\lambda$ . Возьмем линейные независимые элементы $e_1,\ldots,e_q$ и псевдорегулярный элемент $e_0$ , т. е. элемент, удовлетворяющий условиям

$\begin{equation} \operatorname{Ker}\operatorname{ad}_{e_0}\oplus\operatorname{Im}\operatorname{ad}_{e_0}=\tilde g,\qquad [\operatorname{Ker}\,\operatorname{ad}_{e_0},\operatorname{Ker}\operatorname{ad}_{e_0}]=0, \end{equation} \tag{1.1}$

и зададим спектральную матрицу следующим образом:

$\begin{equation} U=U(u,\lambda)=e_0(\lambda)+u_1 e_1(\lambda)+\cdots+u_qe_q(\lambda). \end{equation} \tag{1.2}$

Свойства псевдорегулярного элемента

$e_0$ влекут существование решения типа ряда Лорана

$Z=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s} Z^{[s]}$ для стационарного уравнения нулевой кривизны

$\begin{equation} Z_x=i[U,Z]. \end{equation} \tag{1.3}$

Теперь, если ввести матрицы

$\begin{equation} V^{[r]}=V^{[r]}(u,\lambda)=(\lambda^r Z)_{+}+\Delta_r=\sum_{s=0}^r\lambda^s Z^{[r-s]}+\Delta_r,\qquad r\geqslant 0, \end{equation} \tag{1.4}$

интегрируемая иерархия гамильтоновых уравнений может быть представлена как иерархия уравнений нулевой кривизны

$\begin{equation} U_{t_r}-V^{[r]}_x+i[U,V^{[r]}]=0,\qquad r\geqslant 0, \end{equation} \tag{1.5}$

которые являются условиями совместности пространственной и временно́й матричных спектральных задач

$\begin{equation} -i\phi_x=U\phi,\qquad -i\phi_{t_r}=V^{[r]}\phi,\quad r\geqslant 0, \end{equation} \tag{1.6}$

где

$\phi$ – собственная функция. Для этих задач гамильтоновы структуры и соответствующая интегрируемость по Лиувиллю обычно выводятся с помощью следового тождества [4], [5]

$\begin{equation} \frac{\delta}{\delta u}\int\operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial\lambda}\biggr)= \lambda^{-\gamma}\frac{\partial}{\partial\lambda}\lambda^\gamma\operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial u}\biggr), \end{equation} \tag{1.7}$

где

$\delta/\delta u$ – вариационная производная по

$u$ , а постоянная

$\gamma$ задается как

$\begin{equation} \gamma=-\frac\lambda 2\frac{\partial}{\partial\lambda}\ln |\operatorname{tr}(Z^2)|. \end{equation} \tag{1.8}$

Многие интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений были введены с помощью уравнений нулевой кривизны, основанных на специальных линейных алгебрах (см., например, работы [2], [6]–[13]) и специальных ортогональных алгебрах (см., например, работы [14]–[17]). Комбинация гамильтоновых и рекуррентных структур дает бигамильтоновы структуры, существование которых показывает, что исследуемые гамильтоновы уравнения интегрируемы по Лиувиллю [18]. Интегрируемые иерархии с двумя скалярными потенциалами включают в себя иерархию Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура [2], иерархию Каупа–Ньюэлла [19], иерархию Вадати–Конно–Итикавы [20] и иерархию спиновых цепочек Гейзенберга [21]. Эти иерархии связаны со следующими четырьмя спектральными матрицами:

$\begin{equation*} U=\begin{bmatrix} \lambda & \phantom{-}p \\ q & -\lambda \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} \lambda^2 & \lambda p \\ \lambda q & -\lambda^2 \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} \lambda & \lambda p\\\lambda q &-\lambda \end{bmatrix},\quad U=\begin{bmatrix} \lambda r & \phantom{-}\lambda p \\ \lambda q & -\lambda r \end{bmatrix}, \end{equation*} \notag$

где

$pq+r^2=1$ и

$p$ ,

$q$ – два скалярных потенциала. Аналогичные интегрируемые иерархии получатся для четырех спектральных матриц, связанных с группой

$so(3,\mathbb{R})$ :

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} U&=\begin{bmatrix} 0 & q & -\lambda \\ q & 0& -p \\ \lambda & p & 0 \end{bmatrix},&\qquad U&=\begin{bmatrix} 0 & -\lambda q & -\lambda^2 \\ \lambda q & 0 & -\lambda p \\ \lambda^2 &\lambda p & 0 \end{bmatrix}, \\ U&=\begin{bmatrix} 0 & -\lambda q & -\lambda \\ \lambda q & 0 & -\lambda p \\ \lambda & \lambda p & 0 \end{bmatrix},&\qquad U&=\begin{bmatrix} 0 & -\lambda q & -\lambda r \\ \lambda q & 0& -\lambda p \\ \lambda r &\lambda p & 0 \end{bmatrix}, \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

где

$p^2+q^2+r^2=1$ (см., например, работу [15]).

Цель настоящей статьи – сформулировать класс матричных спектральных задач высокого порядка с четырьмя компонентами и получить соответствующие интегрируемые иерархии в формулировке нулевой кривизны. С помощью следового тождества мы устанавливаем гамильтоновы структуры получающихся иерархий. Рассмотрены два иллюстративных примера, которые представляют собой интегрируемые комбинированные нелинейные уравнения Шредингера и комбинированные модифицированные уравнения Кортевега–де Фриза. Последний раздел посвящен выводам и заключительным замечаниям.

2. Пары Лакса высшего порядка и интегрируемые иерархии

Пусть $m$ и $n$ – два произвольных натуральных числа и $\delta=\pm 1$ . В формулировке нулевой кривизны вводится матричная спектральная задача ( $m+n+2$ )-го порядка

$\begin{equation} -i\phi_x=U\phi,\qquad U=U(u,\lambda)=\left[\begin{array}{c|c|c} \lambda &\begin{array}{cc} \mathbf p_1 & \mathbf p_2 \end{array} & 0 \\ \hline \begin{gathered} \, \mathbf q_1^{} \vphantom{\Big|} \\ \mathbf q_2^{} \vphantom{\Big|}\end{gathered} & 0 & \begin{gathered} \, \delta\mathbf p^{\mathrm T}_1 \vphantom{\Big|} \\ \mathbf p^{\mathrm T}_2 \vphantom{\Big|}\end{gathered} \\ \hline 0 & \begin{array}{cc} \delta\mathbf q^{\mathrm T}_1 & \mathbf q^{\mathrm T}_2 \end{array} & -\lambda \vphantom{\Big|} \end{array} \right]_{(m+n+2)\times (m+n+2)}, \end{equation} \tag{2.1}$

где

$\begin{equation*} \mathbf p_1=(\,\underbrace{p_1,\ldots,p_1}_m\,),\quad \mathbf p_2=(\,\underbrace{p_2,\ldots,p_2}_n\,),\quad \mathbf q_1=(\,\underbrace{q_1,\ldots,q_1}_m\,)^{\mathrm T},\quad \mathbf q_2=(\,\underbrace{q_2,\ldots,q_2}_n\,)^{\mathrm T}, \end{equation*} \notag$

а векторный потенциал

$u$ задается как

$u=(p_1,p_2,q_1,q_2)^{\mathrm T}$ . Эта спектральная задача отличается от матричной спектральной задачи Абловица–Каупа–Ньюэлла–Сигура. (см., например, [2]).

Как обычно, будем искать решение стационарного уравнения нулевой кривизны (1.3) в виде ряда Лорана. Опираясь на технику машинного обучения, мы можем принять следующую форму решения $Z$ :

$\begin{equation} Z=\left[\begin{array}{c|cc|c} a & \mathbf b_1 & \mathbf b_2 & 0 \\ \hline \mathbf c_1 & 0 & \mathbf d & \delta\mathbf b_1^{\mathrm T} \vphantom{\Big|}\\ \mathbf c_2 & -\delta\mathbf d^{\mathrm T} & 0 & \mathbf b_2^{\mathrm T} \vphantom{\big|_{|}}\\ \hline 0 & \delta\mathbf c_1^{\mathrm T} & \mathbf c_2^{\mathrm T} & -a \vphantom{\Big|} \end{array}\right]_{(m+n+2)\times (m+n+2)} =\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s} Z^{[s]}, \end{equation} \tag{2.2}$

где

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathbf b_1=(\,\underbrace{b_1,\ldots,b_1}_m\,),\quad \mathbf b_2=(\,\underbrace{b_2,\ldots,b_2}_n\,),\quad \mathbf c_1=(\,\underbrace{c_1,\ldots,c_1}_m\,)^{\mathrm T},\quad \mathbf c_2=(\,\underbrace{c_2,\ldots,c_2}_n\,)^{\mathrm T}, \\ \mathbf d=d\begin{bmatrix} 1 &1 & \ldots & 1 \\ 1 &1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 &1 & \cdots & 1 \end{bmatrix}_{m\times n}. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Мы полагаем, что имеют место разложения в ряды Лорана

$\begin{equation} a=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}a^{[s]},\quad\; b_j=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}b_j^{[s]},\quad\; c_j=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}c_j^{[s]},\quad\; d=\sum_{s\geqslant 0}\lambda^{-s}d^{[s]}, \end{equation} \tag{2.3}$

где

$j=1,2$ .

Нетрудно видеть, что соответствующее стационарное уравнение нулевой кривизны (1.3) приводит к уравнениям

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} b_{1,x}&=i(\lambda b_1-p_1a-\delta np_2d),&\qquad b_{2,x}&=i(\lambda b_2-p_2a+mp_1d), \\ c_{1,x}&=-i(\lambda c_1-q_1a+nq_2d),&\qquad c_{2,x}&=-i(\lambda c_2-q_2a-\delta mq_1d), \end{alignedat}\\ \begin{aligned} \, d_x&=i(q_1b_2-\delta q_2b_1+\delta p_1c_2-p_2c_1), \\ a_x&=i(mp_1c_1+np_2c_2-mq_1b_1-nq_2b_2)= \\\ &=-\lambda^{-1}(mq_1b_{1,x}+nq_2b_{2,x}+mp_1c_{1,x}+np_2c_{2,x}). \end{aligned} \end{gathered} \end{equation} \tag{2.4}$

Из этих уравнений получаем начальные условия

$\begin{equation} a^{[0]}_x=0,\qquad b_1^{[0]}=b_2^{[0]}=c_1^{[0]}=c_2^{[0]}=0,\qquad d^{[0]}_x=0 \end{equation} \tag{2.5}$

и рекуррентные соотношения для

$s\geqslant 0$

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \begin{aligned} \, b_1^{[s+1]}&=-ib_{1,x}^{[s]}+p_1a^{[s]}+\delta np_2d^{[s]}, \\ b_2^{[s+1]}&=-ib_{2,x}^{[s]}+p_2a^{[s]}-mp_1d^{[s]}, \\ c_1^{[s+1]}&=ic_{1,x}^{[s]}+q_1a^{[s]}-nq_2d^{[s]},\vphantom{|^{\big|}} \\ c_2^{[s+1]}&= ic_{2,x}^{[s]}+q_2a^{[s]}+\delta mq_1d^{[s]}, \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, d^{[s+1]}_x&=i(q_1b_2^{[s+1]}-\delta q_2b_1^{[s+1]}+\delta p_1c_2^{[s+1]}-p_2c_1^{[s+1]}), \\ a^{[s+1]}_x&=i(-mq_1b_1^{[s+1]}-nq_2b_2^{[s+1]}+mp_1c_1^{[s+1]}+np_2c_2^{[s+1]})= \\ &=-(mq_1b_{1,x}^{[s]}+nq_2b_{2,x}^{[s]}+mp_1c_{1,x}^{[s]}+np_2c_{2,x}^{[s]}). \end{aligned} \end{gathered} \end{equation} \tag{2.6}$

Далее, чтобы выделить единственное решение $Z$ , мы выберем начальные значения и положим постоянные интегрирования равными нулю:

$\begin{equation} a^{[0]}=1,\quad d^{[0]}=0,\qquad a^{[s]}|_{u=0}=0,\quad d^{[s]}|_{u=0}=0,\quad s\geqslant 1. \end{equation} \tag{2.7}$

В результате получаем

$a^{[s]}$ ,

$b_1^{[s]}$ ,

$b_2^{[s]}$ ,

$c_1^{[s]}$ ,

$c_2^{[s]}$ и

$d^{[s]}$ . Приведем первые четыре набора коэффициентов:

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, a^{[1]}&=0,\qquad b_1^{[1]}=p_1,\quad b_2^{[1]}=p_2,\quad c_1^{[1]}=q_1,\quad c_2^{[1]}=q_2,\quad d^{[1]}=0; \\ a^{[2]}&=-mp_1q_1- np_2q_2,\qquad b_1^{[2]}=-ip_{1,x},\quad b_2^{[2]}=-ip_{2,x}\vphantom{\big|^{\big|}}, \\ c_1^{[2]}&=iq_{1,x},\quad c_2^{[2]}=iq_{2,x},\quad d^{[2]}=-\delta p_1q_2+p_2q_1; \\ a^{[3]}&=-i(mp_1q_{1,x}-mp_{1,x}q_1+np_2q_{2,x}- np_{2,x}q_2),\vphantom{\big|^{\big|}} \\ b_1^{[3]}&=-p_{1,xx}-mp_1^2q_1-2np_1p_2q_2+\delta np_2^2q_1, \\ b_2^{[3]}&=-p_{2,xx}+\delta mp_1^2q_2-2mp_1p_2q_1-np_2^2q_2, \\ c_1^{[3]}&=-q_{1,xx}-mp_1q_1^2+\delta np_1q_2^2-2 np_2q_1q_2, \\ c_2^{[3]}&=-q_{2,xx}-2mp_1q_1q_2+\delta mp_2q_1^2-np_2q_2^2, \\ d^{[3]}&=-i(\delta p_1q_{2,x}-p_2q_{1,x}-\delta p_{1,x}q_2+p_{2,x}q_1); \\ a^{[4]}&=\frac{3}{2}m^2p_1^2q_1^2-\frac{3}{2}\delta mnp_1^2q_2^2+6mnp_1p_2q_1q_2- \frac{3}{2}\delta m np_2^2q_1^2+\frac{3}{2}n^2p_2^2q_2^2+{}\vphantom{|^{\Big|}} \\ &\quad +mp_1q_{1,xx}+mp_{1,x,x}q_1+np_2q_{2,xx}+np_{2,xx}q_2-mp_{1,x}q_{1,x}-np_{2,x}q_{2,x}, \\ b_1^{[4]}&=i(p_{1,xxx}+3mp_1p_{1,x}q_1+3np_1p_{2,x}q_2-3\delta np_2p_{2,x}q_1+3np_{1,x}p_2q_2), \\ b_2^{[4]}&=i(p_{2,xxx}+3mp_1p_{2,x}q_1-3\delta mp_1p_{1,x}q_2+3mp_{1,x}p_2q_1+3np_2p_{2,x}q_2), \\ c_1^{[4]}&=-i(q_{1,xxx}+3mp_1q_1q_{1,x}-3\delta np_1q_2q_{2,x}+3np_2q_1q_{2,x}+3np_2q_{1,x}q_2), \\ c_2^{[4]}&=-i(q_{2,xxx}+3 mp_1q_1q_{2,x}+3mp_1q_{1,x}q_2-3\delta mp_2q_1q_{1,x}+3 np_2q_2q_{2,x}), \\ d^{[4]}&=3(mp_1q_1+np_2q_2)(\delta p_1q_2-p_2q_1)+\delta p_{1,xx}q_2-p_{2,xx}q_1-{} \\ &\quad -p_2q_{1,xx}+\delta p_1q_{2,xx}-\delta p_{1,x}q_{2,x}+p_{2,x}q_{1,x}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теперь сформулируем матричные временны́е спектральные задачи:

$\begin{equation} -i\phi_{t_r}=V^{[r]}\phi=V^{[r]} (u,\lambda)\phi,\qquad V^{[r]}= (\lambda^r Z)_{+}=\sum_{s=0}^r\lambda^s Z^{[r-s]},\quad r\geqslant 0, \end{equation} \tag{2.8}$

которые представляют собой вторые части пар Лакса для матричных спектральных задач в формулировке нулевой кривизны. Уравнения нулевой кривизны (1.5) являются условиями совместности пространственных и временны́х матричных спектральных задач (2.1) и (2.8). Эти уравнения дают четырехкомпонентную интегрируемую иерархию

$\begin{equation} u_{t_r}=K^{[r]}= (ib_1^{[r+1]},ib_2^{[r+1]},-i c_1^{[r+1]},-i c_2^{[r+1]})^{\mathrm T},\qquad r\geqslant 0, \end{equation} \tag{2.9}$

или, более точно,

$\begin{equation} p_{1,t_r}=ib_1^{[r+1]},\quad p_{2,t_r}=ib_2^{[r+1]},\quad q_{1,t_r}=-ic_1^{[r+1]},\quad q_{2,t_r}=-ic_2^{[r+1]},\qquad r\geqslant 0. \end{equation} \tag{2.10}$

Первые два нелинейных примера в приведенной выше интегрируемой иерархии – это связанные нелинейные уравнения Шредингера

$\begin{equation} \begin{aligned} \, ip_{1,t_2}&=p_{1,xx}+mp_1^2q_1+2 np_1p_2q_2-\delta np_2^2q_1, \\ ip_{2,t_2}&=p_{2,xx}-\delta mp_1^2q_2+2 mp_1p_2q_1+np_2^2q_2, \\ iq_{1,t_2}&=-q_{1,xx}- mp_1q_1^2+\delta np_1q_2^2-2 np_2q_1q_2, \\ iq_{2,t_2}&=-q_{2,xx}-2mp_1q_1q_2+\delta mp_2q_1^2-np_2q_2^2 \end{aligned} \end{equation} \tag{2.11}$

и связанные модифицированные уравнения Кортевега–де Фриза

$\begin{equation} \begin{aligned} \, p_{1,t_3}&=p_{1,xxx}+3 mp_1p_{1,x}q_1+3 np_1p_{2,x}q_2-3\delta np_2p_{2,x}q_1+3np_{1,x}p_2q_2, \\ p_{2,t_3}&= p_{2,xxx}+3 mp_1p_{2,x}q_1-3\delta mp_1p_{1,x}q_2+3 mp_{1,x}p_2q_1+3np_2p_{2,x}q_2, \\ q_{1,t_3}&=q_{1,xxx}+3 mp_1q_1q_{1,x}-3\delta np_1q_2q_{2,x}+3np_2q_1q_{2,x}+3np_2q_{1,x}q_2, \\ q_{2,t_3}&=q_{2,xxx}+3 mp_1q_1q_{2,x}+3mp_1q_{1,x}q_2-3\delta mp_2q_1q_{1,x}+3 np_2q_2q_{2,x}, \end{aligned} \end{equation} \tag{2.12}$

где, напомним,

$m$ и

$n$ – два произвольных натуральных числа и

$\delta=\pm 1$ .

3. Гамильтоновы структуры

Чтобы получить гамильтоновы структуры для интегрируемой иерархии (2.9), мы применяем следовое тождество (1.7) к матричной спектральной задаче (2.1). С учетом того, что решение $Z$ задается выражением (2.2), мы можем напрямую получить равенства

$\begin{equation*} \operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial\lambda}\biggr)=2a,\qquad \operatorname{tr}\biggl(Z\frac{\partial U}{\partial u}\biggr)=(2mc_1,2nc_2,2m b_1,2nb_2)^{\mathrm T}, \end{equation*} \notag$

таким образом, применение следового тождества (1.7) приводит к уравнениям

$\begin{equation*} \frac{\delta}{\delta u}\int\lambda^{-s-1}a^{[s+1]}\,dx= \lambda^{-\gamma}\frac\partial{\partial\lambda}\lambda^{\gamma-s} (mc_1^{[s]},nc_2^{[s]},mb_1^{[s]},nb_2^{[s]})^{\mathrm T},\qquad s\geqslant 0. \end{equation*} \notag$

Рассматривая случай

$s=2$ , получаем

$\gamma=0$ , отсюда имеем вариационные тождества

$\begin{equation} \frac{\delta\mathcal H^{[s]}}{\delta u}= (m c_1^{[s+1]},n c_2^{[s+1]},m b_1^{[s+1]},n b_2^{[s+1]})^{\mathrm T},\qquad s\geqslant 0, \end{equation} \tag{3.1}$

где гамильтоновы функционалы задаются как

$\begin{equation} \mathcal H^{[s]}=-\int\frac{a^{[s+2]}}{s+1}\,dx,\qquad s\geqslant 0. \end{equation} \tag{3.2}$

Три первых функционала имеют вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \mathcal H^{[0]}&=\int(mp_1q_1+np_2q_2)\,dx, \notag\\ \mathcal H^{[1]}&=\int\frac{i}{2}(mp_1q_{1,x}-mp_{1,x}q_1+np_2q_{2,x}-np_{2,x}q_2)\,dx, \\ \mathcal H^{[2]}&=\int\biggl[\frac{1}{2}(-m^2p_1^2q_1^2+\delta mnp_1^2q_2^2-4mnp_1p_2q_1q_2+\delta mnp_2^2q_1^2-n^2p_2^2q_2^2)-{} \notag\\ &\qquad-\frac{1}{3}(mp_1q_{1,xx}+mp_{1,x,x}q_1+np_2q_{2,xx}+np_{2,xx}q_2-mp_{1,x}q_{1,x}- np_{2,x}q_{2,x})\biggr]\kern1pt dx. \notag \end{aligned} \end{equation} \tag{3.3}$

Из вариационных тождеств без труда получаются гамильтоновы структуры для соответствующих интегрируемых уравнений:

$\begin{equation} u_{t_r}= K^{[r]}= (ib_1^{[r+1]},ib_2^{[r+1]},-ic_1^{[r+1]},-ic_2^{[r+1]})^{\mathrm T}=J\frac{\delta\mathcal H^{[r]}}{\delta u},\qquad r\geqslant 0, \end{equation} \tag{3.4}$

где

$\begin{equation} J=\left[\begin{array}{c|c} 0 & \begin{array}{cc} i/m & 0 \\ 0 & i/n \end{array} \\ \hline \begin{array}{cc} -i/m & 0 \vphantom{|^{A^2}}\\ 0 & -i/n \end{array} & 0 \end{array}\right]. \end{equation} \tag{3.5}$

Ассоциированные гамильтоновы структуры показывают, что сохраняющийся функционал

$\mathcal H$ связан с симметрией

$S$ равенством

$S=J\frac{\delta\mathcal H}{\delta u}$ , и их можно использовать для демонстрации интегрируемости по Лиувиллю иерархии (2.9).

Одно из основных свойств интегрируемости – коммутативность векторных полей $K^{[r]}$ :

$\begin{equation} [\kern-0.7pt[K^{[s_1]},K^{[s_2]}]\kern-0.7pt]=K^{[s_1]}{'}(u)[K^{[s_2]}]-K^{[s_2]}{'}(u)[K^{[s_1]}]=0,\qquad s_1,s_2\geqslant 0, \end{equation} \tag{3.6}$

которая гарантируется алгеброй операторов Лакса

$\begin{equation} [\kern-0.7pt[V^{[s_1]},V^{[s_2]}]\kern-0.7pt]= V^{[s_1]}{'}(u)[K^{[s_2]}]-V^{[s_2]}{'}(u)[K^{[s_1]}]+[V^{[s_1]},V^{[s_2]}]=0,\qquad s_1,s_2\geqslant 0, \end{equation} \tag{3.7}$

являющейся следствием изоспектральных уравнений нулевой кривизны (детали см. в работе [22]).

Кроме того, из рекуррентного соотношения $K^{[r+1]}=\Phi K^{[r]}$ можно найти оператор рекурсии $\Phi=(\Phi_{jk})_{4\times 4}$ :

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{3} \Phi_{11}&=i(-\partial_x-mp_1\partial^{-1}q_1-np_2\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{12}&=i(-np_1\partial^{-1}q_2+\delta np_2\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{13}&=i(-mp_1\partial^{-1}p_1+\delta np_2\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{14}&=i(-np_1\partial^{-1}p_2-np_2\partial^{-1}p_1), \\ \Phi_{21}&=i(-mp_2\partial^{-1}q_1+\delta mp_1\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{22}&=i(-\partial_x-np_2\partial^{-1}q_2-mp_1\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{23}&=i(-mp_2\partial^{-1}p_1-mp_1\partial^{-1}p_2),&\qquad \Phi_{24}&=i(np_2\partial^{-1}p_2+\delta mp_1\partial^{-1}p_1), \\ \Phi_{31}&=i(mq_1\partial^{-1}q_1-\delta nq_2\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{32}&=i( nq_1\partial^{-1}q_2+nq_2\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{33}&=i(\partial_x+mq_1\partial^{-1}p_1+nq_2\partial^{-1}p_2),&\qquad \Phi_{34}&=i( nq_1\partial^{-1}p_2-\delta nq_2\partial^{-1}p_1), \\ \Phi_{41}&=i(mq_2\partial^{-1}q_1+mq_1\partial^{-1}q_2),&\qquad \Phi_{42}&=i( nq_2\partial^{-1}q_2-\delta mq_1\partial^{-1}q_1), \\ \Phi_{43}&=i(mq_2\partial^{-1}p_1-\delta mq_1\partial^{-1}p_2),&\qquad \Phi_{44}&=i(\partial_x+nq_2\partial^{-1}p_2+mq_1\partial^{-1}p_1). \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Очевидно, что оператор

$\Phi J$ кососимметричен, а значит, сохраняющиеся функционалы коммутируют относительно соответствующей скобки Пуассона [4]:

$\begin{equation} \{\mathcal H^{[s_1]},\mathcal H^{[s_2]}\}_J= \int\biggl(\frac{\delta\mathcal H^{[s_1]}}{\delta u}\biggr)^{\!\mathrm T}J\frac{\delta\mathcal H^{[s_2]}}{\delta u}\,dx=0,\qquad s_1,s_2\geqslant 0. \end{equation} \tag{3.8}$

Наконец, комбинация оператора Гамильтона $J$ с оператором рекурсии $\Phi$ [23] дает бигамильтонову структуру [18] для иерархии (2.9). Таким образом, каждое уравнение в иерархии (2.9) обладает бесконечным числом коммутирующих симметрий $\{K^{[s]}\}_{s=0}^\infty$ и сохраняющихся функционалов $\{\mathcal H^{[s]}\}_{s=0}^\infty$ , следовательно, она интегрируема по Лиувиллю благодаря соотношениям (3.6) и (3.8). В частности, (2.11) и (2.12) – это два простейших примера нелинейных гамильтоновых интегрируемых уравнений в этой иерархии.

4. Заключительные замечания

В представленной работе мы сформулировали класс матричных спектральных задач высокого порядка и с помощью уравнений нулевой кривизны получили связанные с ними интегрируемые иерархии. Важной составляющей предложенной конструкции является решение типа ряда Лорана для соответствующего стационарного уравнения нулевой кривизны. Получив с помощью следового тождества гамильтоновы структуры этих иерархий, мы показали, что все уравнения интегрируемы по Лиувиллю.

Заметим, что матричные спектральные задачи (2.1) являются специфическими редукциями матричных спектральных задач из работ [24]–[26] и [17], которые приводят к интегрируемым уравнениям, обобщающим уравнения Кулиша–Склянина [27]. Но остается открытым вопрос: как можно редуцировать данную матричную спектральную задачу? Не работает любой пример модификации матричной задачи (2.1), в котором $\delta\mathbf p_1^{\mathrm T}$ и $\delta\mathbf q_1^{\mathrm T}$ заменяются на $(\delta_1p_1,\ldots,\delta_mp_1)^{\mathrm T}$ и $(\delta_1q_1,\ldots,\delta_mq_1)$ , где $\delta_i$ равны $\pm 1$ , но не совпадают (скажем, на $(\delta p_1,\ldots,\delta p_1,-\delta p_1)^{\mathrm T}$ и $(\delta q_1,\ldots,\delta q_1,-\delta q_1)$ соответственно), так как в этом случае не существует ненулевое решение типа ряда Лорана.

С другой стороны, можно было бы обобщить предыдущие матричные спектральные задачи (2.1), включив третью пару потенциалов $p_3$ и $q_3$ . Задача тогда состоит в том, чтобы найти осмысленное решение типа ряда Лорана для соответствующего стационарного уравнения нулевой кривизны. Когда спектральная матрица в спектральной задаче имеет высокий порядок, нахождение такого решения затруднительно. В нашем примере мы нашли решение с помощью техники типа глубокого обучения.

Всегда представляет интерес исследование структуры решений интегрируемых уравнений путем привлечения и использования широкого спектра методов теории солитонов. Эти методы включают подход Римана–Гильберта [28], метод одевания Захарова–Шабата [29], преобразование Дарбу [30], [31] и детерминантный подход [32], [33]. Особенно интересны редукции, опирающиеся на теорию $\tau$ -функций. Специальные виды решений, такие как лампы и волны-убийцы, часто можно получить из $N$ -солитонных решений путем редукции по волновому числу (см., например, [34]–[41]).

Также можно было бы рассмотреть нелокальные интегрируемые уравнения, если применить для рассматриваемых матричных спектральных задач нелокальные групповые редукции (см., например, работы [42]–[45] для новых видов нелокальных интегрируемых уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера). Однако о нелокальных интегрируемых уравнениях известно сравнительно мало, и необходимо дальнейшее исследование.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	L. A. Dickey, Soliton Equations and Hamiltonian Systems, Advanced Series in Mathematical Physics, 26, World Sci., Singapore, 2003
2.	M. J. Ablowitz, D. J. Kaup, A. C. Newell, H. Segur, “The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems”, Stud. Appl. Math., 53:4 (1974), 249–315
3.	В. Г. Дринфельд, В. В. Соколов, “Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега–де Фриза”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Нов. достиж., 24, ВИНИТИ, М., 1984, 81–180
4.	G. Z. Tu, “On Liouville integrability of zero-curvature equations and the Yang hierarchy”, J. Phys. A: Math. Gen., 22:13 (1989), 2375–2392
5.	W. X. Ma, “A new hierarchy of Liouville integrable generalized Hamiltonian equations and its reduction”, Chin. J. Contemp. Math., 13:1 (1992), 79–89
6.	M. Antonowicz, A. P. Fordy, “Coupled KdV equations with multi-Hamiltonian structures”, Phys. D, 28:3 (1987), 345–357
7.	T. C. Xia, F. J. Yu, Y. Zhang, “The multi-component coupled Burgers hierarchy of soliton equations and its multi-component integrable couplings system with two arbitrary functions”, Phys. A, 343:1–4 (2004), 238–246
8.	S. Manukure, “Finite-dimensional Liouville integrable Hamiltonian systems generated from Lax pairs of a bi-Hamiltonian soliton hierarchy by symmetry constraints”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 57 (2018), 125–135
9.	T. S. Liu, T. C. Xia, “Multi-component generalized Gerdjikov–Ivanov integrable hierarchy and its Riemann–Hilbert problem”, Nonlinear Anal. Real World Appl., 68 (2022), 103667, 14 pp.
10.	H. F. Wang, Y. F. Zhang, “Application of Riemann–Hilbert method to an extended coupled nonlinear Schrödinger equations”, J. Comput. Appl. Math., 420 (2023), 114812, 14 pp.
11.	W. X. Ma, “Matrix integrable fourth-order nonlinear Schrödinger equations and their exact soliton solutions”, Chin. Phys. Lett., 39:10 (2022), 100201, 6 pp.
12.	W. X. Ma, “Matrix integrable fifth-order mKdV equations and their soliton solutions”, Chin. Phys. B, 32:2 (2023), 020201, 6 pp.
13.	W. X. Ma, “Sasa–Satsuma type matrix integrable hierarchies and their Riemann–Hilbert problems and soliton solutions”, Phys. D, 446 (2023), 133672, 11 pp.
14.	W. X. Ma, “A Hamiltonian structure associated with a matrix spectral problem of arbitrary-order”, Phys. Lett. A, 367:6 (2007), 473–477
15.	W. X. Ma, “A soliton hierarchy associated with $\mathrm{so}(3,\mathbb{R})$ ”, Appl. Math. Comput., 220 (2013), 117–122
16.	W. X. Ma, “Integrable nonlocal nonlinear Schrödinger equations associated with $\mathrm{so}(3,\mathbb{R})$ ”, Proc. Amer. Math. Soc. Ser. B, 9 (2022), 1–11
17.	W. X. Ma, “A multi-component integrable hierarchy and its integrable reductions”, Phys. Lett. A, 457 (2023), 128575, 6 pp.
18.	F. Magri, “A simple model of the integrable Hamiltonian equation”, J. Math. Phys., 19:5 (1978), 1156–1162
19.	D. J. Kaup, A. C. Newell, “An exact solution for a derivative nonlinear Schrödinger equation”, J. Math. Phys., 19:4 (1978), 798–801
20.	M. Wadati, K. Konno, Y. H. Ichikawa, “New integrable nonlinear evolution equations”, J. Phys. Soc. Japan, 47:5 (1979), 1698–1700
21.	L. A. Takhtajan, “Integration of the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method”, Phys. Lett. A, 64:2 (1977), 235–237
22.	W. X. Ma, “The algebraic structure of zero curvature representations and application to coupled KdV systems”, J. Phys. A: Math. Gen., 26:11 (1993), 2573–2582
23.	B. Fuchssteiner, A. S. Fokas, “Symplectic structure, their Bäcklund transformations and hereditary symmetries”, Phys. D, 4:1 (1981), 47–66
24.	В. С. Герджиков, “Модели типа Кулиша–Склянина: интегрируемость и редукции”, ТМФ, 192:2 (2017), 187–206
25.	В. С. Герджиков, Нянь-Хуа Ли, В. Б. Матвеев, А. О. Смирнов, “О солитонных решениях и о взаимодействии солитонов систем Кулиша–Склянина и Хироты–Охты”, ТМФ, 213:1 (2022), 20–40
26.	V. S. Gerdjikov, A. O. Smirnov, “On the elliptic null-phase solutions of the Kulish–Sklyanin model”, Chaos Solitons Fractals, 166 (2023), 112994, 7 pp.
27.	P. P. Kulish, E. K. Sklyanin, “ $\rm{O}(N)$ -invariant nonlinear Schrödinger equation – a new completely integrable system”, Phys. Lett. A, 84:7 (1981), 349–352
28.	В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Новиков, Л. П. Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, Наука, М., 1980
29.	E. V. Doktorov, S. B. Leble, A Dressing Method in Mathematical Physics, Mathematical Physics Studies, 28, Springer, Dordrecht, 2007
30.	V. Matveev, M. A. Salle, Darboux Transformations and Solitons, Springer Series in Nonlinear Dynamics, 5, Springer, New York, 1991
31.	X. G. Geng, R. M. Li, B. Xue, “A vector general nonlinear Schrödinger equation with ( $m+n$ ) components”, J. Nonlinear Sci., 30:3 (2020), 991–1013
32.	W. X. Ma, Y. You, “Solving the Korteweg–de Vries equation by its bilinear form: Wronskian solutions”, Trans. Amer. Math. Soc., 357:5 (2005), 1753–1778
33.	T. Aktosun, T. Busse, F. Demontis, C. van der Mee, “Symmetries for exact solutions to the nonlinear Schrödinger equation”, J. Phys. A: Math. Theor., 43:2 (2010), 025202, 14 pp.
34.	L. Cheng, Y. Zhang, M.-J. Lin, “Lax pair and lump solutions for the $(2+1)$ -dimensional DJKM equation associated with bilinear Bäcklund transformations”, Anal. Math. Phys., 9:4 (2019), 1741–1752
35.	T. A. Sulaiman, A. Yusuf, A. Abdeljabbar, M. Alquran, “Dynamics of lump collision phenomena to the $(3+1)$ -dimensional nonlinear evolution equation”, J. Geom. Phys., 69 (2021), 104347, 11 pp.
36.	W. X. Ma, “A novel kind of reduced integrable matrix mKdV equations and their binary Darboux transformations”, Modern Phys. Lett. B, 36:20 (2022), 2250094, 13 pp.
37.	A. Yusuf, T. A. Sulaiman, A. Abdeljabbar, M. Alquran, “Breather waves, analytical solutions and conservation laws using Lie–Bäcklund symmetries to the $(2+1)$ -dimensional Chaffee–Infante equation”, J. Ocean Eng. Sci., 8:2 (2023), 145–151
38.	S. Manukure, A. Chowdhury, Y. Zhou, “Complexiton solutions to the asymmetric Nizhnik–Novikov–Veselov equation”, Internat. J. Modern Phys. B, 33:11 (2019), 1950098, 13 pp.
39.	Y. Zhou, S. Manukure, M. McAnally, “Lump and rogue wave solutions to a $(2+1)$ -dimensional Boussinesq type equation”, J. Geom. Phys., 167 (2021), 104275, 7 pp.
40.	S. Manukure, Y. Zhou, “A study of lump and line rogue wave solutions to a $(2+1)$ -dimensional nonlinear equation”, J. Geom. Phys., 167 (2021), 104274, 12 pp.
41.	N. Raza, S. Arshed, A. M. Wazwaz, “Structures of interaction between lump, breather, rogue and periodic wave solutions for new $(3+1)$ -dimensional negative order KdV-CBS model”, Phys. Lett. A, 458 (2023), 128589, 9 pp.
42.	W. X. Ma, “Reduced non-local integrable NLS hierarchies by pairs of local and non-local constraints”, Int. J. Appl. Comput. Math., 8:4 (2022), 206, 17 pp.
43.	W. X. Ma, “Soliton hierarchies and soliton solutions of type $(-\lambda^*,-\lambda)$ reduced nonlocal integrable nonlinear Schröodinger equations of arbitrary even order”, Partial Differ. Equ. Appl. Math., 7 (2023), 100515, 6 pp.
44.	W. X. Ma, “Integrable non-local nonlinear Schrödinger hierarchies of type $(-\lambda^*,\lambda)$ and soliton solutions”, Rep. Math. Phys., 92 (2023), 2350098, 16 pp.
45.	W. X. Ma, “Soliton solutions to reduced nonlocal integrable nonlinear Schrödinger hierarchies of type $(-\lambda,\lambda)$ ”, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 20 (2023) (to appear)

Образец цитирования: Вэнь-Сю Ма, “Четырехкомпонентные интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений с парами Лакса (

$m+n+2$ )-го порядка”, ТМФ, 216:2 (2023), 315–325; Theoret. and Math. Phys., 216:2 (2023), 1180–1188

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Ma23}

\by Вэнь-Сю~Ма

\paper Четырехкомпонентные интегрируемые иерархии гамильтоновых уравнений с~парами Лакса ($m+n+2$)-го порядка

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 216

\issue 2

\pages 315--325

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10489}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10489}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634816}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...216.1180M}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 216

\issue 2

\pages 1180--1188

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923080093}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85169091475}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10489

https://doi.org/10.4213/tmf10489

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v216/i2/p315

Эта публикация цитируется в следующих 57 статьяx:

Kang-Jia Wang, Feng Shi, Shuai Li, Geng Li, Peng Xu, “Resonant Y-type soliton, interaction wave and other wave solutions to the (3+1)-dimensional shallow water wave equation”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 542:1 (2025), 128792
Ahmad Aliyari Boroujeni, Reza Pourgholi, Seyed Hashem Tabasi, “Numerical solutions of KDV and mKDV equations: Using sequence and multi-core parallelization implementation”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 454 (2025), 116184
Xin Li, Rui Guo, “Inverse scattering transform for the higher-order integrable discrete nonlinear Schrödinger equation with nonzero boundary conditions”, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 22:03 (2025)
Yujun Niu, Qionglin Yuan, Behzad Ghanbari, Zhao Zhang, Yulei Cao, “Collision dynamics of high-order localized waves in a novel (3+1)-dimensional integrable Boussinesq model”, Results in Physics, 56 (2024), 107223
Uttam Kumar Mandal, Amiya Das, Wen-Xiu Ma, “Integrability, breather, rogue wave, lump, lump-multi-stripe, and lump-multi-soliton solutions of a (3 + 1)-dimensional nonlinear evolution equation”, Physics of Fluids, 36:3 (2024)
Muhammad Naveed Rafiq, Haibo Chen, “Dynamics of three-wave solitons and other localized wave solutions to a new generalized (3+1)-dimensional P-type equation”, Chaos, Solitons & Fractals, 180 (2024), 114604
Wafaa B. Rabie, Tarek A. Khalil, Niveen Badra, Hamdy M. Ahmed, M. Mirzazadeh, M. S. Hashemi, “Soliton Solutions and Other Solutions to the (4+1)-Dimensional Davey–Stewartson–Kadomtsev–Petviashvili Equation using Modified Extended Mapping Method”, Qual. Theory Dyn. Syst., 23:2 (2024)
Mahmoud Gaballah, Rehab M. El-Shiekh, “Bäcklund transformation, similarity reduction and new solutions for the (2+1)-dimensional graphene sheets thermophoretic motion equation with variable heat transmission”, Alexandria Engineering Journal, 95 (2024), 24
Sigang Zhu, Huiwen Wang, Fang Li, “Solutions for Hilfer-Type Linear Fractional Integro-Differential Equations with a Variable Coefficient”, Fractal Fract, 8:1 (2024), 63 $https://doi.org/10.3390/fractalfract8010063$
Xin-Zhou Xu, “Exact solutions of coupled NLSE for the generalized Kudryashov's equation in magneto-optic waveguides”, J Opt, 2024
Wen-Xiu Ma, “A four-component hierarchy of combined integrable equations with bi-Hamiltonian formulations”, Applied Mathematics Letters, 153 (2024), 109025
Shuvo Sarker, Rezaul Karim, M. Ali Akbar, M. S. Osman, Pinakee Dey, “Soliton solutions to a nonlinear wave equation via modern methods”, J.Umm Al-Qura Univ. Appll. Sci., 2024
Junfeng Lu, “Variational approach for (3+1)-dimensional shallow water wave equation”, Results in Physics, 56 (2024), 107290
Jian‐bing Zhang, Qi Chen, “The τ $\tau$ ‐symmetries and Lie algebra structure of the Blaszak–Marciniak lattice equation”, Math Methods in App Sciences, 2024
Nawzad Hasan Ali, Sizar Abid Mohammed, Jalil Manafian, “Study on the simplified MCH equation and the combined KdV–mKdV equations with solitary wave solutions”, Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 9 (2024), 100599
Wen-Xiu Ma, “A Generalized Hierarchy of Combined Integrable Bi-Hamiltonian Equations from a Specific Fourth-Order Matrix Spectral Problem”, Mathematics, 12:6 (2024), 927
Muhammad Hamza Rafiq, Nauman Raza, Adil Jhangeer, Ahmed M. Zidan, “Qualitative analysis, exact solutions and symmetry reduction for a generalized (2＋1)-dimensional KP–MEW-Burgers equation”, Chaos, Solitons & Fractals, 181 (2024), 114647
Wen-Xiu Ma, “Four-component combined integrable equations possessing bi-Hamiltonian formulations”, Mod. Phys. Lett. B, 2024
Uttam Kumar Mandal, Sandeep Malik, Sachin Kumar, Yi Zhang, Amiya Das, “Integrability aspects, rational type solutions and invariant solutions of an extended (3+1)-dimensional B-type Kadomtsev–Petviashvili equation”, Chaos, Solitons & Fractals, 181 (2024), 114689
Aly R. Seadawy, Ali Ahmad, Syed T.R. Rizvi, Sarfaraz Ahmed, “Bifurcation solitons, Y-type, distinct lumps and generalized breather in the thermophoretic motion equation via graphene sheets”, Alexandria Engineering Journal, 87 (2024), 374

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	171
PDF полного текста:	14
HTML русской версии:	71
Список литературы:	49
Первая страница:	8

Что такое QR-код?

Обратная связь:
math-net2025_04@mi-ras.ru

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы