К. Р. Аталиков, А. В. Зотов, “Обобщение старшего ранга 11-вершинной рациональной $R$-матрицы: соотношения IRF-Vertex и ассоциативное уравнение Янга–Бакстера”, ТМФ, 216:2 (2023), 203–225; Theoret. and Math. Phys., 216:2 (2023), 1083

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Теоретическая и математическая физика

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 216, номер 2, страницы 203–225
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10488 (Mi tmf10488)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Обобщение старшего ранга 11-вершинной рациональной

$R$ -матрицы: соотношения IRF-Vertex и ассоциативное уравнение Янга–Бакстера

К. Р. Аталиков^ab, А. В. Зотов^ab

^a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
^b Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия

PDF полного текста (636 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10488

Аннотация: Изучается

$\text{GL}_N$ рациональная

$R$ -матрица, которая становится 11-вершинной

$R$ -матрицей в случае

$N=2$ . Описываются ее связи с динамическими и полудинамическими

$R$ -матрицами с использованием преобразования типа IRF-Vertex. Получена новая явная форма для

$\text{GL}_N$

$R$ -матрицы. Доказываются квантовое и ассоциативное уравнения Янга–Бакстера. Также доказан ряд других свойств и тождеств для данной

$R$ -матрицы.

Ключевые слова: рациональная

$R$ -матрица, соотношения IRF-Vertex, ассоциативное уравнение Янга–Бакстера.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	19-11-00062
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 19-11-00062, https://rscf.ru/project/19-11-00062/.

Поступило в редакцию: 04.03.2023
После доработки: 04.03.2023

Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages 1083–1103
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080019

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

1. Введение

$R$ -матрица

Квантовая $R$ -матрица является решением квантового уравнения Янга–Бакстера [1]–[3]:

$\begin{equation} R_{12}^\hbar R_{13}^\hbar R_{23}^\hbar =R_{23}^\hbar R_{13}^\hbar R_{12}^\hbar,\qquad R^\hbar_{ab}=R^\hbar_{ab}(z_a-z_b). \end{equation} \tag{1.1}$

Это фундаментальный объект в исследованиях квантовых точно решаемых моделей, основанных на RTT-соотношениях и методе анзаца Бете. Он также появляется в различных областях математики, теоретической и математической физики. В данной работе мы используем

$R$ -матрицы в фундаментальном представлении группы Ли

$\text{GL}(N,\mathbb C)$ , т. е.

$R$ -матрица

$R^\hbar_{12}(z)$ – матричнозначная функция в пространстве

$\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)^{\otimes 2}$ от двух комплексных переменных (

$\hbar$ – постоянная Планка,

$z$ – спектральный параметр).

$R$ -матрица имеет вид

$\begin{equation} R_{12}^\hbar(z)=\sum_{i,j,k,l=1}^N R_{ij,kl}(\hbar,z)E_{ij}\otimes E_{kl}, \end{equation} \tag{1.2}$

где набор матриц

$E_{ij}$ является стандартным матричным базисом в пространстве

$\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ :

$(E_{ij})_{ab}=\delta_{ia}\delta_{jb}$ . Индексы

$12$ означают номера тензорных компонент, в которых

$R$ -матрица нетривиально действует как линейный оператор. Уравнение (1.1) записывается в пространстве

$\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)^{\otimes 3}$ . Тогда

$\begin{equation} \begin{aligned} \, R_{12}^\hbar(z)&=\sum_{i,j,k,l=1}^NR_{ij,kl}(\hbar,z)1_N\otimes E_{ij}\otimes E_{kl}, \\ R_{13}^\hbar(z)&=\sum_{i,j,k,l=1}^NR_{ij,kl}(\hbar,z)E_{ij}\otimes 1_N\otimes E_{kl} \end{aligned} \end{equation} \tag{1.3}$

и аналогично для

$R_{23}^\hbar(z)$ , где

$1_N$ – единичная матрица размера

$N\times N$ . Под перестановкой индексов

$12\to 21$ понимается действие оператора перестановки

$P_{12}$ :

$\begin{equation} R_{21}^\hbar(z)=\sum_{i,j,k,l=1}^NR_{ij,kl}(\hbar,z)E_{kl}\otimes E_{ij} =P_{12}R_{12}^\hbar(z)P_{12},\qquad P_{12}=\sum_{i,j=1}^N E_{ij}\otimes E_{ji}. \end{equation} \tag{1.4}$

Свойства и нормировка

Квантовое уравнение Янга–Бакстера (1.1) дает набор уравнений на функции $R_{ij,kl}(\hbar,z)$ . Заметим, что уравнение (1.1) определяет $R$ -матрицу с точностью до умножения на произвольную функцию. Эта неоднозначность может быть устранена различными способами в зависимости от дополнительных свойств $R$ -матрицы. В этой статье мы рассматриваем $R$ -матрицы, обладающие также свойством унитарности

$\begin{equation} R_{12}^\hbar(z)R_{21}^\hbar(-z)=f(\hbar,z)1_N\otimes 1_N, \end{equation} \tag{1.5}$

где

$f(\hbar,z)$ – некоторая функция, и свойством антисимметричности

$\begin{equation} R_{12}^\hbar(z)=-R_{21}^{-\hbar}(-z). \end{equation} \tag{1.6}$

Для унитарных

$R$ -матриц традиционным выбором функции

$f(\hbar,z)$ является тождественная единица, но мы фиксируем нормировку иначе¹^[x]¹Из (1.5) и (1.7) следует, что

$\widetilde R_{12}^\hbar(z)\widetilde R_{21}^\hbar(-z)=1_N\otimes 1_N$ для

$\widetilde R_{12}^\hbar(z)=R_{12}^\hbar(z)/\phi(\hbar,z)$ .:

$\begin{equation} f(\hbar,z)=\frac{1}{\hbar^2}-\frac{1}{z^2} =\phi(\hbar,z)\phi(\hbar,-z),\qquad \phi(\hbar,z)=\frac{1}{\hbar}+\frac{1}{z}. \end{equation} \tag{1.7}$

Тем самым функцию

$\phi(\hbar,z)$ можно рассматривать как

$\text{GL}_1$

$R$ -матрицу, или, иначе говоря,

$\text{GL}_N$

$R$ -матрица является матричным аналогом функции

$\phi(\hbar,z)$ .

Другим важным свойством является классический предел. Это разложение $R$ -матрицы вблизи $\hbar=0$ :

$\begin{equation} R^\hbar_{12}(z)=\frac{1}{\hbar}\,1_N\otimes 1_N+r_{12}(z)+\hbar m_{12}(z)+O(\hbar^2). \end{equation} \tag{1.8}$

Первым нетривиальным коэффициентом разложения является классическая

$r$ -матрица

$r_{12}(z)$ . Из (1.1) легко получить классическое уравнение Янга–Бакстера

$\begin{equation} [r_{12}(z_1-z_2),r_{13}(z_1-z_3)]+[r_{12}(z_1-z_2),r_{23}(z_2-z_3)] +[r_{13}(z_1-z_2),r_{23}(z_2-z_3)]=0. \end{equation} \tag{1.9}$

Локальное разложение

$R_{12}^\hbar(z)$ вблизи

$z=0$ определяется условием

$\begin{equation} \operatorname*{Res}_{z=0}R_{12}^\hbar(z)=P_{12}. \end{equation} \tag{1.10}$

$R$ -матрица Янга и ее деформация

Простейшим примером $R$ -матрицы, удовлетворяющей всем перечисленным выше свойствам, является рациональная $R$ -матрица Янга

$\begin{equation} R_{12}^{\text{Yang},\hbar}(z)=\frac{1_N\otimes 1_N}{\hbar}+\frac{P_{12}}{z}. \end{equation} \tag{1.11}$

В случае

$N=2$ это широко известная 6-вершинная

$XXX$

$R$ -матрица, нормированная, как в (1.7):

$\begin{equation} R_{12}^{\text{6v},\hbar}(z)=\begin{pmatrix} 1/\hbar+1/z &0 &0 &0 \\ 0 &1/\hbar &1/z &0 \\ 0 &1/z &1/\hbar &0 \\ 0 &0 &0 &1/\hbar+1/z \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{1.12}$

Чередник [4] заметил, что

$\text{GL}_2$

$R$ -матрица (1.12) обладает следующей 11-вершинной деформацией:

$\begin{equation} R_{12}^{\text{11v},\hbar}(z)=\begin{pmatrix} 1/\hbar+1/z &0 &0 &0 \\ -z-\hbar &1/\hbar &1/z &0 \\ -z-\hbar &1/z &1/\hbar &0 \\ -z^3-\hbar^3-2z^2\hbar-2z\hbar^2 &z+\hbar &z+\hbar &1/\hbar+1/z \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{1.13}$

Данная

$R$ -матрица также удовлетворяет всем упомянутым выше уравнениям и свойствам. Соответствующие квантовые интегрируемые спиновые цепочки обсуждались в работах [5], [6]. В работе [7] было показано, что 11-вершинная

$R$ -матрица получается из эллиптической

$R$ -матрицы Бакстера с помощью специальной предельной процедуры. Также был предложен алгоритм вычисления обобщений (1.13) на случай старшего ранга, основанный на предельной процедуре, примененной к

$\text{GL}_N$ эллиптической

$R$ -матрице Бакстера–Белавина. Явный вид для

$R$ -матрицы в общем случае

$\text{GL}_N$ был получен в работе [8] с помощью классического аналога преобразования IRF-Vertex, связывающего рациональную

$N$ -частичную модель Руйсенарса–Шнайдера и релятивистский волчок на группе Ли

$\text{GL}_N$ . Аналогичным образом соответствующая классическая

$r$ -матрица вычислялась в работе [9] с использованием калибровочной эквивалентности рациональной модели Калоджеро–Мозера и некоторой интегрируемой модели рационального волчка. Явные формулы, полученные в [9], [8], довольно сложны (подробнее см. приложение).

Эту 11-вершинную $R$ -матрицу (а также ее обобщение старшего ранга) можно рассматривать как деформацию $R$ -матрицы Янга в следующем смысле:

$\begin{equation} \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon R_{12}^{\text{11v},\hbar\epsilon}(z\epsilon) =R_{12}^{\text{Yang},\hbar}(z). \end{equation} \tag{1.14}$

Заметим, что до сих пор мы обсуждали $R$ -матрицы, зависящие от разности спектральных параметров, $R^\hbar_{ab}(z_a,z_b)=R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$ . Все уравнения и условия могут быть распространены и на случай $R^\hbar_{ab}(z_a,z_b)\neq R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$ . В таком виде ответ для $\text{GL}_N$ рациональной $R$ -матрицы был получен в работах [10] при изучении векторных расслоений на каспидальной кубической кривой. Предположительно ответ из работ [10] калибровочно эквивалентен $R$ -матрице $R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$ из работ [7], [8].

Динамические $R$ -матрицы

Все упомянутые выше $R$ -матрицы являются матрицами вершинного типа. Другой широкий класс $R$ -матриц относится к типу IRF [11], [12]. Соответствующие $R$ -матрицы называются динамическими ( $R$ -матрицы вершинного типа также называются нединамическими), поскольку они зависят от дополнительных (динамических) параметров $q_1,\dots,q_N$ . Такие $R$ -матрицы удовлетворяют квантовому динамическому уравнению Янга–Бакстера (или уравнению Жерве–Невё–Фельдера) [13]

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^\hbar_{12}(z_1-z_2\mid q-\hbar^{(3)})R^\hbar_{13}(z_1-z_3\mid q) R^\hbar_{23}(z_2-z_3\mid q-\hbar^{(1)})= \notag \\ &\qquad=R^\hbar_{23}(z_2-z_3\mid q)R^\hbar_{13}(z_1-z_3\mid q -\hbar^{(2)})R^\hbar_{12}(z_1-z_2\mid q), \end{aligned} \end{equation} \tag{1.15}$

где сдвиги динамических переменных

$q$ выполняются по следующему правилу:

$\begin{equation} \begin{gathered} \, R^\hbar_{12}(z_1,z_2\mid q+\hbar^{(3)}) =P_3^\hbar R^\hbar_{12}(z_1,z_2\mid q)P_3^{-\hbar}, \\ P_3^\hbar=\sum_{k=1}^N1\otimes 1\otimes E_{kk} \exp\biggl(N\hbar\,\frac{\partial}{\partial q_k}\biggr). \end{gathered} \end{equation} \tag{1.16}$

Множитель

$N$ в операторе сдвига обусловлен нашим специальным выбором нормировки переменных.

Некоторые динамические и нединамические $R$ -матрицы связаны так называемым преобразованием IRF-Vertex [11], [12]:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Vertex},\hbar}_{12}(z_1-z_2)= \notag \\ &\qquad=g_2(z_2,q)g_1(z_1,q-\hbar^{(2)}) R^{\text{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) g^{-1}_2(z_2,q-\hbar^{(1)})g_1^{-1}(z_1,q), \end{aligned} \end{equation} \tag{1.17}$

где

$g(z,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ – специальная матрица, осуществляющая преобразование IRF-Vertex, и

$\begin{equation} \begin{alignedat}{2} g_1(z_1,q)&=g(z_1,q)\otimes 1_N,&\qquad g_2(z_2,q)&=1_N\otimes g(z_2,q), \\ g_1(z_1,q-\hbar^{(2)})&=P_2^{-\hbar}g_1(z_1,q)P_2^\hbar,&\qquad g_2(z_2,q-\hbar^{(1)})&=P_1^{-\hbar}g_2(z_2,q)P_1^\hbar \end{alignedat} \end{equation} \tag{1.18}$

$P_i^\hbar$ , определенным в (1.16). Соотношение (1.17) можно рассматривать как квантовое калибровочное преобразование. Правая часть соотношения не зависит от

$q_1,\dots,q_N$ , в то время как все матричные сомножители в правой части соотношения зависят от динамических переменных. Кроме того, матрицы калибровочного преобразования зависят либо от

$z_1$ , либо от

$z_2$ , а результат зависит только от разности спектральных параметров

$z_1-z_2$ .

Полудинамические $R$ -матрицы

Другой интересный класс $R$ -матриц был введен Арутюновым, Чеховым и Фроловым в работе [14] (см. также [15], [16]). Эти $R$ -матрицы (их назвали полудинамическими) также зависят от динамических параметров $q_1,\dots,q_N$ , но уравнение Янга–Бакстера для них иное:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^\hbar_{12}(z_1,z_2\mid q)R^\hbar_{13}(z_1-\hbar,z_3-\hbar\mid q) R^\hbar_{23}(z_2,z_3\mid q)= \notag \\ &\qquad=R^\hbar_{23}(z_2-\hbar,z_3-\hbar\mid q)R^\hbar_{13}(z_1,z_3\mid q) R^\hbar_{12}(z_1-\hbar,z_2-\hbar\mid q). \end{aligned} \end{equation} \tag{1.19}$

Аналог соотношения IRF-Vertex (1.17) в этом случае достаточно прост (см. [16]):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Vertex},\hbar}_{12}(z_1-z_2)= \notag \\ &\qquad=g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q). \end{aligned} \end{equation} \tag{1.20}$

Заметим, что, в отличие от динамической

$R$ -матрицы, полудинамическая матрица не зависит от разности спектральных параметров²^[x]²Конечно, и динамическую

$R$ -матрицу можно сделать не зависящей от разности спектральных параметров, применив некоторое калибровочное преобразование. Здесь мы имеем в виду, что динамические

$R$ -матрицы можно выбирать в такой калибровке, где они зависят только от разности спектральных параметров. Для полудинамических

$R$ -матриц это неверно..

Сравнивая правые части (1.17) и (1.20), заключаем, что

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)= g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_1(z_1,q-\hbar^{(2)})\times{} \notag \\ &\qquad\quad{}\times R^{\text{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) g^{-1}_2(z_2,q-\hbar^{(1)})g_2(z_2+\hbar,q). \end{aligned} \end{equation} \tag{1.21}$

Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера

Определенный класс $R$ -матриц вершинного типа удовлетворяет квадратичному соотношению, известному как ассоциативное уравнение Янга–Бакстера [17]:

$\begin{equation} R^\hbar_{12}R^\eta_{23}=R^\eta_{13}R^{\hbar-\eta}_{12} +R^{\eta-\hbar}_{23}R^\hbar_{13},\qquad R^x_{ab}=R^x_{ab}(z_a-z_b). \end{equation} \tag{1.22}$

Более точно, решения квантового уравнения Янга–Бакстера не всегда удовлетворяют (1.22). И наоборот, не все решения ассоциативного уравнения Янга–Бакстера удовлетворяют (1.1). Однако если рассматривать решения уравнения (1.22) с дополнительными свойствами (1.5), (1.6), то такой линейный оператор

$R_{12}^\hbar(z)$ действительно удовлетворяет квантовому уравнению Янга–Бакстера (1.1), т. е. действительно является квантовой

$R$ -матрицей. Простое доказательство этого факта можно найти в работе [18]. Таким образом, кососимметричное и унитарное решение уравнения (1.22) в фундаментальном представлении группы Ли

$\text{GL}_N$ представляет собой квантовую

$R$ -матрицу.

Найденная в [10] рациональная $R$ -матрица (где $R^\hbar_{ab}(z_a,z_b)\ne R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$ ) по построению также удовлетворяет аналогу (1.22) для $R$ -матриц, не зависящих от разности спектральных параметров. Отметим также, что некоторый класс рациональных $R$ -матриц удовлетворяет неоднородному ассоциативному уравнению Янга–Бакстера [19].

Насколько нам известно, аналог ассоциативного уравнения Янга–Бакстера для динамических $R$ -матриц неизвестен. Однако для полудинамических $R$ -матриц такое уравнение известно [16]:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^\hbar_{12}(z_1+\eta,z_2+\eta)R^\eta_{23}(z_2+\hbar,z_3+\hbar)= \notag \\ &\qquad=R^\eta_{13}(z_1+\hbar,z_3+\hbar)R_{12}^{\hbar-\eta}(z_1+\eta,z_2+\eta)+{} \notag \\ &\qquad\quad{}+R^{\eta-\hbar}_{23}(z_2+\hbar,z_3+\hbar)R^\hbar_{13}(z_1+\eta,z_3+\eta), \end{aligned} \end{equation} \tag{1.23}$

где

$R^\hbar_{ab}(z_1,z_2)=R^{\text{Semi-dynam}}_{ab}(\hbar,z_1,z_2\mid q)$ .

Цель работы

В этой статье обсуждается 11-вершинная $R$ -матрица (1.13) и ее обобщение старшего ранга. В разделе 2 рассмотрены свойства матрицы $g(z,q)$ из (1.17), (1.20) в рациональном случае на основе результатов [9]. Соотношения IRF-Vertex (1.17), (1.20), (1.21) известны в эллиптическом и (частично) тригонометрическом случаях, но неизвестны для рационального случая. В разделе 3 мы рассматриваем динамические и полудинамические рациональные $R$ -матрицы и доказываем соотношение (1.21). Применяя преобразование IRF-Vertex (1.20), мы получили рациональную $\text{GL}_N$ $R$ -матрицу вершинного типа в новой форме. Эта новая форма позволяет доказать ряд важных свойств. В разделе 4 для рациональной $R$ -матрицы вершинного типа доказано ассоциативное уравнение Янга–Бакстера (1.22). Также доказаны унитарность (1.5), кососимметричность (1.6) и симметричность аргументов.

Наше исследование мотивировано различными приложениями указанных $R$ -матриц к построению классических и квантовых интегрируемых систем [20], [21], включая $(1+1)$ -мерные теории поля [22].

2. Рациональная матрица преобразования IRF-Vertex

Пусть $q_1,\dots,q_N$ – набор $\mathbb C$ -значных переменных и

$\begin{equation} \bar q_j=q_{j}-\frac1N\sum_{k=1}^N q_k,\qquad \sum_{k=1}^N {\bar q}_k=0. \end{equation} \tag{2.1}$

Следуя [1], определим матрицу

$g(z)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ :

$\begin{equation} g(z)=g(z,q_1,\dots,q_N)=\Xi(z,q)D^{-1}(q),\qquad \Xi(z,q),D(q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C), \end{equation} \tag{2.2}$

где

$\begin{equation} \Xi_{ij}(z,q)=(z+\bar q_j)^{\varrho(i)},\qquad D_{ij}(q)=\delta_{ij}\prod_{k\ne i}^N(q_i-q_k) \end{equation} \tag{2.3}$

$\begin{equation} \varrho(i)=\begin{cases} i-1, &1\leqslant i\leqslant N-1, \\ N, &i=N, \end{cases} \end{equation} \tag{2.4}$

т. е.

$\begin{equation} \Xi(z,q)=\begin{pmatrix} 1 &1 &\dots &1 \\ z+\bar q_1 &z+\bar q_2 &\dots &z+\bar q_N \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ (z+\bar q_1)^{N-2} &(z+\bar q_2)^{N-2} &\dots &(z+\bar q_N)^{N-2} \\ (z+\bar q_1)^N &(z+\bar q_2)^N &\dots &(z+\bar q_N)^N \end{pmatrix}. \end{equation} \tag{2.5}$

Определенная выше матрица

$\Xi$ обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Определитель матрицы равен

$\begin{equation} \det\Xi(z,q)=Nz\prod_{i>j}^N(q_i-q_j), \end{equation} \tag{2.6}$

а для

$\Xi_{ij}(x)=x_j^{\rho(i)}$ имеем

$\begin{equation} \det\Xi(x)=\biggl(\,\sum_{k=1}^Nx_k\biggr)\prod_{i>j}^N(x_i-x_j). \end{equation} \tag{2.7}$

Свойство 2. Матрица, обратная к $\Xi(z,q)$ . Определим набор элементарных симметричных функций от $N$ переменных $x_1,\dots,x_N$ :

$\begin{equation} \begin{gathered} \, \prod_{k=1}^N(\zeta-x_k)=\sum_{k=0}^N(-1)^k\zeta^k\sigma_k(x_1,\dots,x_N), \\ \sigma_{N-d}(x)=(-1)^N\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_d\leqslant N} x_{i_1}x_{i_2}\dotsb x_{i_d},\qquad d=0,\dots,N. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.8}$

Аналогично определим

$N$ наборов функций

$\overset{k}{\sigma}_s(x)$ ,

$k=1,\dots,N$ :

$\begin{equation} -\prod_{m\ne k}^N(\zeta-x_m)=\partial_{x_k}\prod_{k=1}^N(\zeta-x_k) =\sum_{s=0}^{N-1}(-1)^s\zeta^s\overset{k}{\sigma}_s(x). \end{equation} \tag{2.9}$

Такие функции естественным образом появляются в обратной матрице Вандермонда

$V_{ij}(x)=x_j^{i-1}$ и аналогичным образом в обратной матрице

$\Xi_{ij}(x)=x_j^{\rho(i)}$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, V^{-1}_{kj}(x)&=\frac{(-1)^j\overset{k}{\sigma}_{j-1}(x)}{\prod_{s\colon s\ne k}^N(x_k-x_s)}, \\ \Xi^{-1}_{kj}(x)&=(-1)^{\varrho(j)}\frac{\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)-1}(x) -(\sum_{s\colon s\ne k}^Nx_s)\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}(x)} {(\sum_{s=1}^Nx_s)\prod_{s\colon s\ne k}^N(x_k-x_s)} \end{aligned} \end{equation} \tag{2.10}$

или

$\begin{equation} \Xi^{-1}_{kj}(x)=(-1)^{\varrho(j)} \frac{\sigma_{\varrho(j)}(x)}{(\sum_{s=1}^Nx_s)\prod_{s\ne k}^N(x_k-x_s)} -(-1)^{\varrho(j)}\frac{\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}(x)}{\prod_{s\ne k}^N(x_k-x_s)}. \end{equation} \tag{2.11}$

Наконец, подставив

$x_j=z+\bar q_j$ в (2.10), получим

$\begin{equation} g^{-1}_{kj}(z,q)=(-1)^{\varrho(j)} \biggl(\frac{\sigma_{\varrho(j)}(x)}{Nz} -\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}(x)\biggr),\qquad x_j=z+q_j-\frac{1}{N}\sum_{k=1}^Nq_k. \end{equation} \tag{2.12}$

Также можно разложить выражение для

$g^{-1}(z,q)$ по степеням

$z$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &\Xi^{-1}_{mj}(z,q)=\frac{(-1)^{\varrho(j)}}{Nz} \biggl\{\sigma_{\varrho(j)}(\bar q)+\sum_{s=1}^{N-j}z^s \biggl[\sigma_{s+j-1}(\bar q)\begin{pmatrix} s+j-1 \\ j-1 \end{pmatrix}-{} \notag \\ &\quad{}-N\overset{m}{\sigma}_{s+j-2}(\bar q)\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\biggr]-(N-j)z^{N-j+1}\overset{m}{\sigma}_{N-1}(\bar q)\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}\biggr\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{2.13}$

Подробности можно найти в приложении статьи [1].

Свойство 3. Вырождение в $z=0$ . Из (2.6) следует, что $g(z,q)$ вырождена при $z=0$ . Следовательно, матрица $g(0,q)$ должна иметь нетривиальное ядро. Это ядро одномерно. Оно генерируется вектор-столбцом $a$ со всеми элементами, равными $1$ :

$\begin{equation} g(0,q)a=0,\qquad a=(1,\dots,1)^{\mathrm T}. \end{equation} \tag{2.14}$

Свойство 4. Факторизация. Определим матрицу

$\begin{equation} \mathcal L^\eta_{ij}(z)=\eta\biggl(\frac{1}{q_i-q_j+\eta}-\frac{1}{Nz}\biggr) \prod_{k\colon k\ne j}^N\frac{q_j-q_k-\eta}{q_j-q_k}. \end{equation} \tag{2.15}$

Тогда она записывается в факторизованном виде:

$\begin{equation} \mathcal L^\eta(z)=g^{-1}(z,q)g(z-\eta,q). \end{equation} \tag{2.16}$

На самом деле имеет место более общее соотношение, аналогичное факторизации матрицы Коши через матрицы Вандермонда. Рассмотрим

$C(z)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ ,

$\begin{equation} C_{ij}(z)=\biggl(\frac{1}{\bar q_i-\bar u_j+\eta}-\frac{1}{Nz}\biggr) \frac{\prod_{k=1}^N(\bar u_j-\bar q_k-\eta)}{\prod^N_{k\colon k\ne i}(\bar q_i-\bar q_k)}, \end{equation} \tag{2.17}$

где набор переменных

$\bar u_k$ удовлетворяет условию

$\bar u_1+\dotsb+\bar u_N=0$ аналогично (2.1). Тогда

$\begin{equation} C(z)=-\Xi^{-1}(z,q)\Xi(z-\eta,u). \end{equation} \tag{2.18}$

Обсуждение свойств факторизации и их геометрического смысла можно найти в работе [23].

3. IRF-Vertex соотношения и обобщения старшего ранга для 11-вершинной $R$ -матрицы

3.1. Динамические и полудинамические $R$ -матрицы

Динамическая рациональная $\text{GL}_N$ $R$ -матрица имеет следующий вид:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) =\sum_{i\ne j}^N\biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ij}\otimes E_{ji}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{\hbar}+\frac{N}{q_i-q_j}\biggr)E_{ii}\otimes E_{jj}+\biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{1}{\hbar}\biggr) \sum_{i=1}^NE_{ii}\otimes E_{ii}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.1}$

Прямое вычисление показывает, что она удовлетворяет квантовому динамическому уравнению Янга–Бакстера (1.15). Эта

$R$ -матрица также обладает свойствами антисимметрии (1.6) и унитарности (1.5).

Здесь и далее будем пользоваться полудинамической $\text{GL}_N$ рациональной $R$ -матрицей:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ij}\otimes E_{ji}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{\hbar}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ii}\otimes E_{jj}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{z_1+\hbar}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ij}\otimes E_{jj} +\sum_{i\ne j}^N\biggl(\frac{1}{z_2}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{jj}\otimes E_{ij}+{} \notag \\ &\quad{}+\biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{\hbar} -\frac{1}{z_1+\hbar}\biggr)\sum_{i=1}^NE_{ii}\otimes E_{ii}. \end{aligned} \end{equation} \tag{3.2}$

Также прямым вычислением проверяется, что она удовлетворяет квантовому полудинамическому уравнению Янга–Бакстера (1.19). Свойства антисимметрии и унитарности имеют следующий вид:

$\begin{equation} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =-R^{\text{Semi-dynam}}_{21}(-\hbar,z_2+\hbar,z_1+\hbar\mid q), \end{equation} \tag{3.3}$

$\begin{equation} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) R^{\text{Semi-dynam}}_{21}(\hbar,z_2,z_1\mid q) =f(\hbar,z_1-z_2)1_N\otimes 1_N. \end{equation} \tag{3.4}$

Далее обсудим связь между динамическими и полудинамическими $R$ -матрицами (3.1) и (3.2).

Теорема 1. $R$ -матрицы (3.1) и (3.2) связаны следующим твистом:

$\begin{equation} R^{\textrm{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)= F_{12}(\hbar,z_1\mid q)R^{\textrm{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) F^{-1}_{21}(\hbar,z_2\mid q), \end{equation} \tag{3.5}$

где

$\begin{equation} F_{12}(\hbar,z_1\mid q) =\hbar\sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{1}{\hbar}-\frac{N}{q_i-q_j+N\hbar}\biggr)E_{ii}\otimes E_{jj}+{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad{}+\hbar\sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{N}{q_i-q_j+N\hbar}-\frac{1}{z+\hbar}\biggr) E_{ij}\otimes E_{jj}, \end{equation} \tag{3.6}$

$\begin{equation} F_{12}^{-1}(\hbar,z_1\mid q) =\hbar\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{z}-\frac{N}{q_i-q_j}\biggr)E_{ij}\otimes E_{jj}+{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad{}+\hbar\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{N}{q_i-q_j}+\frac{1}{\hbar}\biggr)E_{ii}\otimes E_{jj} +\hbar\biggl(\frac{1}{\hbar}+\frac{1}{z}\biggr) \sum_{i=1}^NE_{ii}\otimes E_{ii} \end{equation} \tag{3.7}$

$\begin{equation} F_{12}(\hbar,z_1\mid q)=g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_1(z_1,q-\hbar^{(2)}), \end{equation} \tag{3.8}$

т. е. соотношение (1.21) выполняется.

Первая часть утверждения (3.5)–(3.7) является рациональной версией аналогичного, но более общего эллиптического соотношения из работы [14]. Вторая часть утверждения (3.8) выводится из (2.15), (2.16).

3.2. Вывод вершинной $R$ -матрицы из преобразования IRF-Vertex

Свойства калибровочно преобразованной полудинамической $R$ -матрицы

Мы собираемся вычислить вершинную $R$ -матрицу, используя полудинамическую $R$ -матрицу (3.2) и правую часть соотношения IRF-Vertex (1.20). Прежде всего нужно доказать, что выражение

$\begin{equation} g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12} (\hbar,z_1,z_2\mid q)g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q) \end{equation} \tag{3.9}$

с матрицей

$g(z,q)$ (2.2) не зависит от динамических параметров

$q_1,\dots,q_N$ .

Предложение 1. Выражение (3.9) с полудинамической $R$ -матрицей (3.2) и матрицей калибровочного преобразования (2.2) не зависит от $q_1,\dots, q_N$ .

Доказательство. Зафиксируем некоторый индекс

$n$ :

$1\leqslant n\leqslant N$ . Определим матрицы

$\begin{equation} l^{(n)}(z,q)=g^{-1}(z,q)\,\partial_{q_n}g(z,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C) \end{equation} \tag{3.10}$

$\begin{equation} l(z,q)=g^{-1}(z,q)\,\partial_zg(z,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C). \end{equation} \tag{3.11}$

Последняя матрица легко вычисляется из (2.15), (2.16), поскольку

$\begin{equation} \mathcal L^\eta(z,q)=1_N-\eta l(z,q)+O(\eta^2). \end{equation} \tag{3.12}$

Это дает

$\begin{equation} l_{ij}(z,q)=\delta_{ij} \biggl(\frac{1}{Nz}+\sum_{k\colon k\ne j}^N\frac{1}{q_i-q_k}\biggr) +(1-\delta_{ij})\biggl(\frac{1}{Nz}-\frac{1}{q_i-q_j}\biggr). \end{equation} \tag{3.13}$

Учитывая вид зависимости матрицы

$g(z,q)$ от ее переменных (2.2), (2.3), мы также получаем явное выражение для

$l^{(n)}(z,q)$ :

$\begin{equation} \begin{gathered} \, l^{(n)}_{ij}(z,q)=\frac{N-1}{N}\delta_{jn}l_{ij}(z,q) -\frac{1}{N}(1-\delta_{jn})l_{ij}(z,q) -\delta_{ij}\,\frac{\partial_{q_n}D_{ii}(q)}{D_{ii}(q)}, \\ \frac{\partial_{q_n}D_{ii}(q)}{D_{ii}(q)} =\frac{1-\delta_{in}}{q_n-q_i} +\delta_{in}\sum_{k\colon k\ne i}^N\frac{1}{q_i-q_k}. \end{gathered} \end{equation} \tag{3.14}$

Вычислим производную выражения (3.9) по

$q_n$ :

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q) \bigl[\partial_{q_n}R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l^{(n)}_1(z_1+\hbar,q) R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l^{(n)}_2(z_2,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)- R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)l^{(n)}_2(z_2+\hbar,q)-{} \notag \\ &\quad{}-R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)l^{(n)}_1(z_1,q)\bigr] g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.15}$

Прямое вычисление показывает, что выражение в квадратных скобках в (3.15) равно нулю.

Предложение 2. Выражение (3.9) с полудинамической $R$ -матрицей (3.2) и матрицей калибровочного преобразования (2.2) зависит только от разности спектральных параметров $z_1-z_2$ .

Доказательство. Это утверждение доказывается аналогично предыдущему. Вычислим производную

$\partial_{z_1}+\partial_{z_2}$ выражения (3.9):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)\bigl[(\partial_{z_1}+\partial_{z_2}) R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l_2(z_2,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)- R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)\,l_2(z_2+\hbar,q)-{} \notag \\ &\quad{}-R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)l_1(z_1,q)\bigr] g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.16}$

где

$l(z,q)$ – матрица (3.11)–(3.13). Непосредственно проверяется, что выражение внутри квадратных скобок в (3.16) обращается в нуль.

Обратим внимание, что выражение (3.9) является квантовой $R$ -матрицей вершинного типа.

Предложение 3. Выражение (3.9) удовлетворяет квантовому уравнению Янга–Бакстера (1.1).

Доказательство. Действительно, из предложения 2 следует, что выражение (3.9) эквивалентно записывается в виде

$\begin{equation} g_2(z_2-\hbar,q)g_1(z_1,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12} (\hbar,z_1-\hbar,z_2-\hbar\mid q)g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1-\hbar,q). \end{equation} \tag{3.17}$

Подставив

$R_{ab}^\hbar(z_a-z_b)$ в (1.1) в виде (3.9) или (3.17), получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R_{12}^\hbar(z_1-z_2)R_{13}^\hbar(z_1-z_3)R_{23}^\hbar(z_2-z_3) =g_1(z_1+\hbar,q)\, g_2(z_2,q)\, g_3(z_3-\hbar,q)\times{} \notag \\ &\quad{}\times\underline{R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) R^{\text{Semi-dynam}}_{13}(\hbar,z_1-\hbar,z_3-\hbar\mid q) R^{\text{Semi-dynam}}_{23}(\hbar,z_2,z_3\mid q)}\times{} \notag \\ &\quad{}\times g_1^{-1}(z_1-\hbar,q)\,g_2^{-1}(z_2,q)\,g_3^{-1}(z_3+\hbar,q), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.18}$

где подчеркнутое выражение – это левая часть соотношения (1.19). Выполняя аналогичное вычисление для правой части (1.1) и используя полудинамическое уравнение Янга–Бакстера (1.19), заключаем, что уравнение (1.1) выполняется.

В итоге мы доказали следующее утверждение.

Теорема 2. Выражение (3.9) представляет собой квантовую $R$ -матрицу вершинного типа, зависящую от разности спектральных параметров.

Явный вид рациональной $R$ -матрицы вершинного типа

Преобразуем полудинамическую $R$ -матрицу (3.2):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =\sum_{i,j=1}^N\biggl(\frac{E_{ij}\otimes E_{ji}}{z_1-z_2} +\frac{E_{ii}\otimes E_{jj}}{\hbar} -\frac{E_{ij}\otimes E_{jj}}{z_1+\hbar} +\frac{E_{jj}\otimes E_{ij}}{z_2}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{E_{ij}\otimes E_{ji}}{q_j-q_i} +\frac{E_{ii}\otimes E_{jj}}{q_j-q_i} -\frac{E_{ij}\otimes E_{jj}}{q_j-q_i} +\frac{E_{jj}\otimes E_{ij}}{q_j-q_i}\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.19}$

Тогда выражение (3.9) принимает вид

$\begin{equation} R^\hbar_{12}(z_1-z_2)=\sum_{a,b,c,d=1}^N R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)E_{ab}\otimes E_{cd}, \end{equation} \tag{3.20}$

где

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)= \sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{id}(z_2+\hbar)}{z_1-z_2}+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{ib}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)}{\hbar}-{} \frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)} {z_1+\hbar}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}+\frac{g_{aj}(z_1+\hbar)g_{ci}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)} {z_2}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{id}(z_2+\hbar)}{q_j-q_i}+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{ib}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)}{q_j-q_i}-{} \frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)}{q_j-q_i}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}+\frac{g_{aj}(z_1+\hbar)g_{ci}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)} {q_j-q_i}\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.21}$

Выражения для матрицы

$g(z)$ и обратной к ней матрицы имеют вид (2.2), (2.3) и (2.12) соответственно.

Пример 1. Поскольку $R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)$ не зависит от $q_1,\dots,q_N$ , мы можем зафиксировать эти переменные любым возможным способом. Например, положим

$\begin{equation} q_i=i,\qquad \bar q_i=i-\frac{N+1}{2}. \end{equation} \tag{3.22}$

Кроме того,

$R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)$ зависит только от разности

$z_1-z_2$ . Эту свободу можно зафиксировать разными способами. Например,

$\begin{equation} z_1=\frac{z}{2},\quad z_2=-\frac{z}{2}. \end{equation} \tag{3.23}$

Введем набор функций

$\begin{equation} s_{kj}(z)=g^{-1}_{kj}(z_1,q)|_{z_1=z/2;q_i=i},\qquad t^\hbar_{kj}(z)=g^{-1}_{kj}(z_2+\hbar,q)|_{z_2=-z/2;q_i=i} \end{equation} \tag{3.24}$

и набор чисел

$\begin{equation} d_i=D_{ii}|_{q_i=i}=\prod_{k\colon k\ne i}^N(i-k)=(-1)^{N-i}(i-1)!(N-i)!. \end{equation} \tag{3.25}$

Благодаря (2.12) получаем

$\begin{equation} \begin{alignedat}{2} s_{kj}(z)&=(-1)^{\varrho(j)} \biggl(\frac{2\sigma_{\varrho(j)}({y})}{Nz} -\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}({y})\biggr),&\qquad y_j&=\frac{z}{2}+j-\frac{N+1}{2}, \\ t^\hbar_{kj}(z)&=(-1)^{\varrho(j)} \biggl(\frac{2\sigma_{\varrho(j)}({v})}{N(-z+2\hbar)} -\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}({v})\biggr),&\qquad v_j&=-\frac{z}{2}+\hbar+j-\frac{N+1}{2}. \end{alignedat} \end{equation} \tag{3.26}$

Тогда (3.21) принимает следующий вид:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, R^\hbar_{ab,cd}(z)&=\sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{(z/2+\hbar+\bar q_i)^{\rho(a)}(-z/2+{\bar q}_j)^{\rho(c)}}{d_id_j}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad{}\times\biggl[\frac{s_{jb}(z)t^\hbar_{id}(z)}{z} +\frac{s_{ib}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{\hbar} -\frac{2s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{z+2\hbar}\biggr]-{} \notag \\ &\qquad\qquad{}-\frac{(z/2+\hbar+{\bar q}_j)^{\rho(a)}(-z/2+\bar q_i)^{\rho(c)}}{d_id_j} \frac{2s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{z}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{(z/2+\hbar+\bar q_i)^{\rho(a)}(-z/2+{\bar q}_j)^{\rho(c)}}{d_id_j(j-i)}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad{}\times[s_{jb}(z)t^\hbar_{id}(z) +s_{ib}(z)t^\hbar_{jd}(z)-s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)]+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad{}+\frac{(z/2+\hbar+\bar q_j)^{\rho(a)}(-z/2+\bar q_i)^{\rho(c)}}{d_id_j} \frac{s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{j-i}\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.27}$

Пример 2. Конечно, переменные $z_1$ , $z_2$ (и $q_1,\dots,q_N$ ) можно зафиксировать иначе. Рассмотрим следующий выбор: $z_1=z$ , $z_2=0$ . Так как $R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)$ имеет простой полюс по переменной $z_2$ в $z_2=0$ , следует внимательно рассмотреть выражение (3.9) вблизи $z_2=0$ . Полудинамическая $R$ -матрица имеет следующее разложение:

$\begin{equation} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =\frac{1}{z_2}\mathcal O_{12}+\mathcal B_{12}(\hbar,z_1\mid q)+O(z_2), \end{equation} \tag{3.28}$

где

$\begin{equation} \mathcal O_{12}=\operatorname{Res}_{z_2=0} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =\sum_{i,j=1}^NE_{jj}\otimes E_{ij} \end{equation} \tag{3.29}$

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \mathcal B_{12}(\hbar,z_1\mid q) &=\sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{E_{ij}\otimes E_{ji}}{z_1}+\frac{E_{ii}\otimes E_{jj}}{\hbar} -\frac{E_{ij}\otimes E_{jj}}{z_1+\hbar}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{E_{ij}\otimes E_{ji}}{q_j-q_i} +\frac{E_{ii}\otimes E_{jj}}{q_j-q_i} -\frac{E_{ij}\otimes E_{jj}}{q_j-q_i} +\frac{E_{jj}\otimes E_{ij}}{q_j-q_i}\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.30}$

Кроме того,

$\begin{equation} g_2(z_2,q)=g_2(0,q)+z_2g'_2(0,q)+O(z_2^2),\qquad g'_2(z,q)=\partial_z g_2(z,q). \end{equation} \tag{3.31}$

Подставив все разложения в (3.9), получим

$\begin{equation} R_{12}^\hbar(z)=g_1(z+\hbar,q) (g'_2(0,q)\mathcal O_{12}+g_2(0,q)\mathcal B_{12}(\hbar,z\mid q)) g_2^{-1}(\hbar,q)g_1^{-1}(z,q), \end{equation} \tag{3.32}$

где было использовано соотношение

$\begin{equation} g_2(0){\mathcal O}_{12}=0, \end{equation} \tag{3.33}$

которое выполняется благодаря свойству (2.14).

Аналогичное представление существует и для тригонометрических и эллиптических $R$ -матриц.

3.3. Совпадение старой и новой форм рациональной $R$ -матрицы

Здесь мы объясним, почему выражение (3.21) совпадает с выражением (A.1). Прямое доказательство является довольно сложным. Для конечного $N$ это можно сделать с помощью компьютерных вычислений (мы сделали это для $N=2,\dots,6$ ). Для произвольного $N$ мы докажем совпадение, используя тот факт, что выражение (A.1) было получено в работе [8] через классический аналог соотношения IRF-Vertex (калибровочная эквивалентность классических матриц Лакса). Связь между классическими и квантовыми соотношениями IRF-Vertex была объяснена в работе [23] для эллиптических моделей. Ниже мы используем аналогичный подход.

Чтобы различать (3.21) и (A.1), обозначим выражение (A.1) как $\widetilde R^\hbar_{12}(z)$ . Кратко напомним идею вывода (A.1). Свойство факторизации (2.16) позволяет записать матрицу Лакса классической модели Руйсенарса–Шнайдера в виде

$\begin{equation} L^{\text{RS}}(z)=g^{-1}(z,q)g(z+\eta,q)e^P, \end{equation} \tag{3.34}$

где

$P=\operatorname{diag}(p_1,\dots,p_N)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ – диагональная матрица импульсов. Переменные

$q_1,\dots,q_N$ играют роль координат частиц. Выполним калибровочное преобразование

$\begin{equation} L^{\text{top}}(z)=g(z,q)L^{\text{RS}}(z)g^{-1}(z,q) =g(z+\eta,q)e^P g^{-1}(z,q) \end{equation} \tag{3.35}$

и вычислим вычет полученного выражения:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, S=S(p,q,\eta)&=\operatorname*{Res}_{z=0}L^{\text{top}}(z) =g(\eta,q)e^P\breve g(0,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C), \\ \breve g(0,q)&=\operatorname*{Res}_{z=0}g^{-1}(z). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.36}$

Основное наблюдение состоит в том, что

$L^{\text{top}}(z)$ (3.35) представляется в следующем виде³:

$\begin{equation} L^{\text{top}}(z)=\operatorname{tr}_2(\widetilde R^\eta_{12}(z)S_2),\qquad S_2=1_N\otimes S, \end{equation} \tag{3.37}$

где

$\operatorname{tr}_2$ – след по второй тензорной компоненте, а

$\widetilde R^\eta_{12}(z)$ не зависит от переменных

$p_1,\dots,p_N$ и

$q_1,\dots,q_N$ . Выражение (A.1) было вычислено именно таким образом, т. е. соотношение (3.37) можно рассматривать как определение

$\widetilde R^\eta_{12}(z)$ .

Докажем, что соотношение (3.37) выполняется и для $R$ -матрицы $R^\eta_{12}(z)$ (3.21). Для этого нам понадобится еще одно свойство (3.21), упомянутое в [16]. Напомним, что выражение для $R^\eta_{12}(z)$ было получено, как указано в (1.20). Умножая обе части (1.20) на матрицу $g_2^{-1}(z_2)$ слева,

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &g^{-1}_2(z_2,q)R^\hbar_{12}(z_1-z_2)= \notag \\ &\quad{}=g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q), \end{aligned} \end{equation} \tag{3.38}$

и взяв вычет от обеих частей по переменной

$z_2$ в точке

$z_2=0$ , а также пользуясь (3.29) и обозначением

$\breve g(0,q)$ из (3.36), получим

$\begin{equation} \breve g_2(0,q)R^\hbar_{12}(z) =g_1(z+\hbar,q)\mathcal O_{12}g_2^{-1}(\hbar,q)g_1^{-1}(z,q). \end{equation} \tag{3.39}$

Предложение 4. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$ -матрица вершинного типа (3.21) удовлетворяет соотношению (3.37).

Доказательство. Заметим, что

$\begin{equation} \operatorname{tr}_2(\mathcal O_{12}e^{P_2})=e^P, \end{equation} \tag{3.40}$

поэтому

$\begin{equation} \begin{aligned} \, g(z+\eta,q)e^Pg^{-1}(z,q) &=\operatorname{tr}_2(g_1(z+\eta,q)\mathcal O_{12}e^{P_2}g_1^{-1}(z,q))= \notag \\ &=\operatorname{tr}_2(g_1(z+\eta,q)\mathcal O_{12}g_1^{-1}(z,q)g_2^{-1}(\eta,q) g_2(\eta,q)e^{P_2}) \overset{(3.39)}{=} \notag \\ &\!\!\!\overset{(3.39)}{=} \operatorname{tr}_2(\breve g_2(0,q)R^\eta_{12}(z)g_2(\eta,q)e^{P_2})= \operatorname{tr}_2(R^\eta_{12}(z)S_2). \end{aligned} \end{equation} \tag{3.41}$

Таким образом, мы показали, что два определения (3.21) и (A.1) для рациональной

$R$ -матрицы совпадают.

4. Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера и другие свойства $R$ -матрицы

4.1. Антисимметрия и унитарность

Предложение 5. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$ -матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) удовлетворяет свойству унитарности (1.5) и антисимметрии (1.6).

Доказательство. Подставляя (3.9) в

$R_{12}^\hbar(z)R_{21}^\hbar(-z)$ , получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R_{12}^\hbar(z_1-z_2)R_{21}^\hbar(z_2-z_1)= \notag \\ &\quad=g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12} (\hbar,z_1,z_2\mid q)g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q)\times{} \notag \\ &\quad\quad{}\times g_1(z_1,q)g_2(z_2+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{21} (\hbar,z_2,z_1\mid q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_2^{-1}(z_2,q)\overset{(3.4)}{=} \notag \\ &\quad=f(\hbar,z_1-z_2)1_N\otimes 1_N. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.1}$

Запишем полудинамическую

$R$ -матрицу через вершинную матрицу:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)= \notag \\ &\qquad=g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q) R_{12}^\hbar(z_1-z_2)g_2(z_2+\hbar,q) g_1(z_1,q). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.2}$

Тогда

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{21}(-\hbar,z_2+\hbar,z_1+\hbar\mid q)= \notag \\ &\qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_2^{-1}(z_2,q)R_{21}^{-\hbar}(z_2-z_1) g_1(z_1,q)g_2(z_2+\hbar,q), \end{aligned} \end{equation} \tag{4.3}$

и, сравнивая (4.2) и (4.3), получаем (1.6) вследствие (3.3).

Предложение 6. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$ -матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) имеет следующее локальное поведение:

$\begin{equation} \operatorname*{Res}_{\hbar=0}R_{12}^\hbar(z)=1_N\otimes 1_N,\qquad \operatorname*{Res}_{z=0}R_{12}^\hbar(z)=P_{12}. \end{equation} \tag{4.4}$

Доказательство легко следует из представления $R_{12}^\hbar(z)$ в виде (3.9) и также легко проверяемых следующих свойств полудинамической $R$ -матрицы:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, \operatorname*{Res}_{\hbar=0} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)&=1_N\otimes 1_N, \\ \operatorname*{Res}_{z_1=z_2} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)&=P_{12}. \end{aligned} \end{equation} \tag{4.5}$

Этот же результат следует из второй строки (3.21). Заметим, что вершинная

$R$ -матрица не имеет полюсов старших порядков по

$\hbar$ . Таким образом, мы доказали, что данная

$R$ -матрица удовлетворяет разложению классического предела (1.8) вблизи точки

$\hbar=0$ .

4.2. Симметрия аргументов

Эллиптическая $R$ -матрица Бакстера–Белавина (в фундаментальном представлении группы Ли $\text{GL}_N$ ) удовлетворяет также свойству симметрии аргументов [24]:

$\begin{equation} R_{12}^\hbar(z)P_{12}=R_{12}^z(\hbar). \end{equation} \tag{4.6}$

Оно очень удобно в различных вычислениях. Докажем его для рационального случая (3.21). Как и во всех утверждениях выше, план состоит в том, чтобы найти аналог (4.6) для полудинамической

$R$ -матрицы (3.19), а затем использовать соотношение IRF-Vertex (4.2). Полудинамический аналог (4.6) заключается в следующем.

Лемма 1. Полудинамическая $R$ -матрица (3.19) удовлетворяет следующему аналогу свойства симметрии аргументов⁴:

$\begin{equation} R^{\textrm{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =R^{\textrm{Semi-dynam}}_{12}(z_1-z_2,\hbar+z_2,z_2\mid q)P_{12}. \end{equation} \tag{4.7}$

Доказательство. Утверждение доказывается прямой проверкой. Используя свойства действия оператора перестановки

$\begin{equation} \begin{gathered} \, E_{ij}\otimes E_{ji}P_{12}=E_{ii}\otimes E_{jj},\qquad E_{ii}\otimes E_{jj}P_{12}=E_{ij}\otimes E_{ji}, \\ E_{ij}\otimes E_{jj}P_{12}=E_{ij}\otimes E_{jj},\qquad E_{jj}\otimes E_{ij}P_{12}=E_{jj}\otimes E_{ij},\qquad \\ E_{ii}\otimes E_{ii}P_{12}=E_{ii}\otimes E_{ii}, \end{gathered} \end{equation} \tag{4.8}$

получаем (4.7).

Предложение 7. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$ -матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) удовлетворяет свойству симметрии аргументов (4.6).

Доказательство. Вследствие (4.2) для правой части (4.7) получим

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(z_1-z_2,\hbar+z_2,z_2\mid q)P_{12}= \notag \\ &\qquad=g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q) R_{12}^{z_1-z_2}(\hbar)g_2(z_1,q)g_1(z_2+\hbar,q)P_{12}= \notag \\ &\qquad=g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q) R_{12}^{z_1-z_2}(\hbar)P_{12}g_1(z_1,q)g_2(z_2+\hbar,q). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.9}$

Левая часть (4.7) определяется как (4.2). Сравниваем (4.2) и (4.9) и получаем утверждение предложения.

4.3. Ассоциативное и квантовое уравнения Янга–Бакстера

Доказательство ассоциативного уравнения Янга–Бакстера (1.22) для вершинной $R$ -матрицы в эллиптическом случае достаточно простое (см., например, [18]). В рациональном случае прямое доказательство представляет собой технически сложную задачу. По этой причине мы используем ассоциативное уравнение Янга–Бакстера (1.23) для полудинамической $R$ -матрицы и выполняем калибровочное (IRF-Vertex) преобразование. В действительности уравнение (1.23) исходно было получено из (1.22) аналогичным образом [16].

Предложение 8. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$ -матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) удовлетворяет ассоциативному уравнению Янга–Бакстера (1.22).

Доказательство. Подставляя (4.2) в слагаемые полудинамического ассоциативного уравнения Янга–Бакстера (1.23), получаем

$\begin{equation} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar ,z_1+\eta,z_2+\eta) R^{\text{Semi-dynam}}_{23}(\eta,z_2+\hbar,z_3+\hbar)= \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar+\eta)g_2^{-1}(z_2+\eta)g_3^{-1}(z_3+\hbar) R^\hbar_{12}(z_1-z_2)\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\quad{}\times R^\eta_{23}(z_2-z_3) g_1(z_1+\eta)g_2(z_2+\hbar)g_3(z_3+\hbar+\eta), \end{equation} \tag{4.10}$

$\begin{equation} R^{\text{Semi-dynam}}_{13}({\eta},z_1+\hbar,z_3+\hbar) R^{\text{Semi-dynam}}_{12}({\hbar-\eta},z_1+\eta,z_2+\eta)= \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar+\eta)g_2^{-1}(z_2+\eta)g_3^{-1}(z_3+\hbar) R^\eta_{13}(z_1-z_3)\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\quad{}\times R^{\hbar-\eta}_{12}(z_1-z_2) g_1(z_1+\eta)g_2(z_2+\hbar)g_3(z_3+\hbar+\eta), \end{equation} \tag{4.11}$

$\begin{equation} R^{\text{Semi-dynam}}_{23}(\eta-\hbar,z_2+\hbar,z_3+\hbar) R^{\text{Semi-dynam}}_{13}(\hbar,z_1+\eta,z_3+\eta)= \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar+\eta)g_2^{-1}(z_2+\eta)g_3^{-1}(z_3+\hbar) R^{\eta-\hbar}_{23}(z_2-z_3)\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\quad{}\times R^\hbar_{13}(z_1-z_3) g_1(z_1+\eta)g_2(z_2+\hbar)g_3(z_3+\hbar+\eta). \end{equation} \tag{4.12}$

Тогда (1.22) следует из (1.23).

Вместе со свойствами (1.5)–(1.8) ассоциативное уравнение Янга–Бакстера приводит к широкому набору тождеств, полезных в различных приложениях. Например, классическая $r$ -матрица удовлетворяет не только классическому уравнению Янга–Бакстера, но и следующему соотношению:

$\begin{equation} \begin{aligned} \, &(r_{12}(z_1-z_2)+r_{23}(z_2-z_3)+r_{31}(z_3-z_1))^2= \notag \\ &\qquad=1_N\otimes 1_N\otimes 1_N \biggl(\frac{1}{(z_1-z_2)^2}+\frac{1}{(z_2-z_3)^2}+\frac{1}{(z_3-z_1)^2}\biggr). \end{aligned} \end{equation} \tag{4.13}$

Коэффициент

$m_{12}(z)$ в разложении (1.8) вычисляется как

$\begin{equation} m_{12}(z)=\frac{1}{2}\biggl(r^2_{12}(z)-\frac{1_N\otimes 1_N}{z^2}\biggr). \end{equation} \tag{4.14}$

Многие другие тождества можно найти в работах [18], [20]–[22], [25].

Наконец отметим, что квантовое уравнение Янга–Бакстера (1.1) для рациональной $\text{GL}_N$ $R$ -матрицы вершинного типа следует из предложения 3. Иначе, уравнение (1.1) можно вывести из ассоциативного уравнения Янга–Бакстера (1.22) и свойств (1.5), (1.6). Простое доказательство можно найти в работе [18].

Приложение A. Рациональная $R$ -матрица в случае $\text{GL}_N$

Здесь мы выпишем рациональную $\text{GL}_N$ $R$ -матрицу из работ [8], [9], а также вычислим некоторые коэффициенты ее разложений.

A.1. Квантовая $R$ -матрица

Начнем с квантовой $R$ -матрицы. Ниже приводится слегка измененная и поправленная версия $R$ -матрицы, полученной в работе [8]. Все приведенные ниже суммы должны быть со штрихами (мы не ставим штрихи только для экономии места) в том смысле, что индексы суммирования пробегают все возможные значения, при которых слагаемые в суммах являются корректно определенными выражениями. Более точно, слагаемые содержат выражения вида $\rho^{-1}(m)$ . Вследствие (2.4) такие выражения определены для $m=1,\dots,N-2$ и $m=N$ , но не определены для $m=N-1$ . Соответствующие слагаемые пропущены в суммах. Для $R$ -матрицы получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, R_{12}^\hbar(z)&=A(z,\hbar)\otimes B(\hbar) +\frac{1}{z}\sum_{i,j=1}^NE_{ij} \otimes\biggl\{\,\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^\gamma \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^{\gamma+N-j+1}(-1)^{\varrho(j)+N}(N-j) \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j} z^{s+\gamma}(-1)^{s+\delta_{j,N}} \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s+j-1 \\ j-1 \end{pmatrix}E_{\varrho^{-1}(s+j-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-N\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j}(-1)^{s+\delta_{j,N}} z^s(z+\hbar)^\gamma\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times\biggl[\delta_{\varrho(i)+1\leqslant j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{N-s-j+1} \sum_{p=0}^{\varrho(i)-\gamma+c}(-\hbar)^p\begin{pmatrix} \varrho(i)-\gamma+c \\ p \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-p+c)}-{} \notag \\ &\quad{}-\delta_{\varrho(i)+1>j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{s+j-2} \sum_{p=0}^{\varrho(i)-\gamma-c-1}(-\hbar)^p \begin{pmatrix} \varrho(i)-\gamma-c-1 \\ p \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-p-c-1)}\biggr]\biggr\}, \end{aligned} \end{equation} \tag{A.1}$

где

$A(z,\hbar)$ и

$B(\hbar)$ – следующие

$\text{Mat}_N(\mathbb C)$ -значные функции:

$\begin{equation} A(z,\hbar) =E_{NN}-\sum_{j=1}^N(N-j)z^{N-j+1}(-1)^{\varrho(j)+N} \begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N j}-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad{}-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)}(-1)^{s+\delta_{j,N}} z^{s-1}(z+\hbar)^b\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}\times(\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2}-N\hbar\delta_{\varrho(i)-j,b+s-1})E_{ij}, \end{equation} \tag{A.2}$

$\begin{equation} B(\hbar) =\frac{1_N}{\hbar}-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \biggl[\delta_{\varrho(j)\geqslant 1}\varrho(j)E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(j)-1)}-(-1)^{\delta_{j,N}}jE_{\varrho^{-1}(j),j} +{}\nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad+ N\sum_{b=0}^{\varrho(j)}(-1)^{b+\delta_{j,N}} \begin{pmatrix} \varrho(j) \\ b\end{pmatrix}\sum_{c=0}^{N-j}\sum_{p=0}^{\varrho(j)-b+c} (-\hbar)^{p+b}\begin{pmatrix} \varrho(j)-b+c \\ p \end{pmatrix}\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(j)-b-p+c)}\biggr]. \end{equation} \tag{A.3}$

A.2. Классическая $r$ -матрица

Классическая $r$ -матрица

$\begin{equation} r_{12}(z)=\lim_{\hbar\to 0}\biggl(R_{12}(z)-\frac{1_N\otimes 1_N}{\hbar}\biggr) \end{equation} \tag{A.4}$

была вычислена в работе [9]. Здесь приведем немного другое выражение, полученное из (A.1). Рассмотрим разложения матриц

$A(z,\hbar)$ (A.2) и

$B(\hbar)$ (A.3):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, A(z,\hbar) &=A^{[0]}(z)+\hbar A^{[1]}(z)+\hbar^2 A^{[2]}(z)+\cdots, \\ B(\hbar) &=\hbar^{-1}1_N+B^{[0]}+\hbar B^{[1]}+\cdots\,. \end{aligned} \end{equation} \tag{A.5}$

Выражение для классической

$r$ -матрицы имеет вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, r_{12}(z) &=A^{[0]}(z)\otimes B^{[0]}+A^{[1]}(z)\otimes 1_N +\frac{1}{z}\sum_{i,j=1}^NE_{ij} \otimes\biggl\{\,\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^\gamma \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^{\gamma+N-j+1} (-1)^{\varrho(j)+N}(N-j)\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j} z^{s+\gamma}(-1)^{s+\delta_{j,N}} \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s+j-1 \\ j-1 \end{pmatrix}E_{\varrho^{-1}(s+j-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-N\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+\gamma}\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\times{} \notag\\ &\quad\qquad\times\biggl[\delta_{\varrho(i)+1\leqslant j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{N-s-j+1} E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma+c)}-{} \notag \\ &\quad\qquad\qquad{}-\delta_{\varrho(i)+1>j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{s+j-2} E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-c-1)}\biggr]\biggr\}, \end{aligned} \end{equation} \tag{A.6}$

где

$A^{[0]}(z)$ ,

$A^{[1]}(z)$ и

$B^{[0]}$ – следующие

$\text{Mat}_N(\mathbb C)$ -значные функции:

$\begin{equation} A^{[0]}(z) =E_{NN}-\sum_{j=1}^N(N-j)z^{N-j+1}(-1)^{\varrho(j)+N} \begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N j}-{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad{}-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+b-1}\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2}E_{ij}, \end{equation} \tag{A.7}$

$\begin{equation} A^{[1]}(z) =-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)}(-1)^{s+\delta_{j,N}} z^{s+b-2}\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad\qquad\times(b\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2}-Nz\delta_{\varrho(i)-j,b+s-1})E_{ij}, \end{equation} \tag{A.8}$

$\begin{equation} B^{[0]} =-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\biggl[\delta_{\varrho(j)\geqslant 1}\varrho(j) E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(j)-1)}-(-1)^{\delta_{j,N}}jE_{\varrho^{-1}(j),j}+{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad\qquad\qquad\qquad+N(-1)^{\delta_{j,N}}\sum_{c=0}^{N-j} E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(j)+c)}\biggr]. \end{equation} \tag{A.9}$

A.3. Другие коэффициенты

Для различных приложений (см. [8], [18], [22], [25]) нужны и другие коэффициенты разложения $R$ -матрицы. Вычислим некоторые из них. Начнем с матрицы $m_{12}(z)$ (1.8):

$\begin{equation} \begin{aligned} \, m_{12}(z)&=A^{[0]}(z)\otimes B^{[1]}+A^{[1]}(z) \otimes B^{[0]}+A^{[2]}(z)\otimes 1_N+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i,j=1}^NE_{ij} \otimes\biggl\{N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+\gamma-2}\times{} \notag \\ &\quad{}\times\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\biggl[\delta_{\varrho(i)+1\leqslant j+s+\gamma}\times{} \notag \\ &\quad{}\times\sum_{c=0}^{N-s-j+1}(z(\varrho(i)-\gamma+c) E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma+c-1)}-{} \notag \\ &\quad{}-\gamma E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma+c)})+{} \notag \\ &\quad{}+\delta_{\varrho(i)+1>j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{s+j-2} (\gamma E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-c-1)}-{} \notag \\ &\quad{}-z(\varrho(i)-\gamma-c-1)E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2), \varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-c-2)})\biggr]\biggr\}, \end{aligned} \end{equation} \tag{A.10}$

где

$A^{[2]}(z)$ и

$B^{[1]}$ – следующие матрицы:

$\begin{equation} A^{[2]}(z) =-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+b-3} \begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\times{} \nonumber \end{equation} \notag$

$\begin{equation} \quad{}\times\biggl(\frac{b(b-1)}{2}\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2} -bNz\delta_{\varrho(i)-j,b+s-1}\biggr)E_{ij}, \end{equation} \tag{A.11}$

$\begin{equation} B^{[1]} =\sum_{j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}}\sum_{c=0}^{N-j} cE_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(j)+c-1)}. \end{equation} \tag{A.12}$

Вычислим матрицу $m_{12}(0)$ . Подставляя $z=0$ в полученное выше выражение, получаем

$\begin{equation} \begin{aligned} \, m_{12}(0)&=A^{[0]}(0)\otimes B^{[1]}+A^{[1]}(0) \otimes B^{[0]}+A^{[2]}(0)\otimes 1_N+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i,j=1}^NE_{ij}\otimes\biggl\{-N(-1)^{\delta_{j,N}} \biggl[\sum_{c=0}^{N-j}((\varrho(i)+c)\delta_{\varrho(i)\leqslant j} -\varrho(i)\delta_{\varrho(i)\leqslant j+1})\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(i)+c-1)}+\sum_{c=0}^{j-1}(\varrho(i)\delta_{\varrho(i)>j+1} -(\varrho(i)-c-1)\delta_{\varrho(i)>j})\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(j-c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-c-2)}\biggr]\biggr\}, \end{aligned} \end{equation} \tag{A.13}$

где

$A^{[0]}(0)$ ,

$A^{[1]}(0)$ и

$A^{[2]}(0)$ – следующие матрицы:

$\begin{equation} A^{[0]}(0) =E_{NN}+\sum_{i,j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}} \delta_{\varrho(i),j-1}E_{ij}, \end{equation} \tag{A.14}$

$\begin{equation} A^{[1]}(0) =\sum_{i,j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}} (\varrho(i)-N)\delta_{\varrho(i),j}E_{ij}, \end{equation} \tag{A.15}$

$\begin{equation} A^{[2]}(0) =\sum_{i,j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}} \biggl(\frac{\varrho(i)(\varrho(i)-1)}{2}-N\varrho(i)\biggr) \delta_{\varrho(i),1+j}E_{ij}. \end{equation} \tag{A.16}$

Матрица $r_{12}^{(0)}$ – коэффициент в разложении

$\begin{equation} r_{12}(z)=\frac{P_{12}}{z}+r_{12}^{(0)}+O(z). \end{equation} \tag{A.17}$

Он имеет вид

$\begin{equation} \begin{aligned} \, r_{12}^{(0)}&=A^{[0]}(0)\otimes B^{[0]}+A^{[1]}(0) \otimes 1_N+\sum_{i,j=1}^NE_{ij}\otimes \biggl\{\varrho(i)E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(i)-1)}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}(-1)^{\varrho(j)+N} \delta_{\gamma+N,j}(N-j)\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{N,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)} -(-1)^{\delta_{j,N}}jE_{\varrho^{-1}(j),i}+{} \notag \\ &\quad{}+N(-1)^{\delta_{j,N}}\biggl[\delta_{\varrho(i)\leqslant j} \sum_{c=0}^{N-j}E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(i)+c)}-{} \notag \\ &\quad{}-\delta_{\varrho(i)>j}\sum_{c=0}^{j-1} E_{\varrho^{-1}(j-c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-c-1)}\biggr]\biggr\}. \end{aligned} \end{equation} \tag{A.18}$

Конфликт интересов

Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.



Список литературы

1.	C. N. Yang, “Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction”, Phys. Rev. Lett., 19:23 (1967), 1312–1315
2.	R. J. Baxter, “Partition function of the eight-vertex lattice model”, Ann. Phys., 70:1 (1972), 193–228
3.	Е. К. Склянин, “Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера”, Докл. АН СССР, 244:6 (1978), 1337–1341 ; Е. К. Склянин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Квантовый метод обратной задачи. I”, ТМФ, 40:2 (1979), 194–220 ; P. P. Kulish, N. Yu. Reshetikhin, E. K. Sklyanin, “Yang–Baxter equation and representation theory: I”, Lett. Math. Phys., 5:5 (1981), 393–403
4.	И. В. Чередник, “Об одном методе построения факторизованных $S$ -матриц в элементарных функциях”, ТМФ, 43:1 (1980), 117–119
5.	П. П. Кулиш, Н. Манойлович, З. Надь, “Жорданова деформация открытой $XXX$ -спиновой цепочки”, ТМФ, 163:2 (2010), 288–298
6.	A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, “Classical integrable systems and soliton equations related to eleven-vertex $R$ -matrix”, Nucl. Phys. B, 887 (2014), 400–422, arXiv: 1406.2995
7.	A. Smirnov, “Degenerate Sklyanin algebras”, Cent. Eur. J. Phys., 8:4 (2010), 542–554, arXiv: 0903.1466
8.	A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, “Relativistic classical integrable tops and quantum $R$ -matrices”, JHEP, 07 (2014), 012, 39 pp., arXiv: 1405.7523
9.	G. Aminov, S. Arthamonov, A. Smirnov, A. Zotov, “Rational top and its classical $r$ -matrix”, J. Phys. A: Math. Theor., 47:30 (2014), 305207, 19 pp., arXiv: 1402.3189
10.	I. Burban, B. Kreussler, Vector bundles on degenerations of elliptic curves and Yang–Baxter equations, arXiv: 0708.1685; I. Burban, T. Henrich, “Semi-stable vector bundles on elliptic curves and the associative Yang–Baxter equation”, J. Geom. Phys., 62:2 (2012), 312–329, arXiv: 1011.4591
11.	R. J. Baxter, “Eight-vertex model in lattice statistics and one-dimensional anisotropic Heisenberg chain. II. Equivalence to a generalized ice-type lattice model”, Ann. Phys., 76:1 (1973), 25–47 ; V. Pasquier, “Etiology of IRF models”, Commun. Math. Phys., 118:3 (1988), 355–364
12.	M. Jimbo, T. Miwa, M. Okado, “Local state probabilities of solvable lattice models: An $A_{n-1}^{(1)}$ family”, Nucl. Phys. B, 300:1 (1988), 74–108 ; M. Jimbo, A. Kuniba, T. Miwa, M. Okado, “The $A_n^{(1)}$ face models”, Commun. Math. Phys., 119:4 (1988), 543–565
13.	J.-L. Gervais, A. Neveu, “Novel triangle relation and absence of tachyons in Liouville string field theory”, Nucl. Phys. B, 238:1 (1984), 125–141 ; G. Felder, “Conformal field theory and integrable systems associated to elliptic curves”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Zürich, Switzerland, August 3–11, 1994), Birkhäuser, Basel, 1994, 1247–1255, arXiv: hep-th/9407154 ; O. Babelon, D. Bernard, E. Billey, “A quasi-Hopf algebra interpretation of quantum $3$ - $j$ and $6$ - $j$ symbols and difference equations”, Phys. Lett. B, 375:1–4 (1996), 89–97, arXiv: q-alg/9511019
14.	G. E. Arutyunov, L. O. Chekhov, S. A. Frolov, “ $R$ -matrix quantization of the elliptic Ruijsenaars–Schneider model”, Commun. Math. Phys., 192:2 (1998), 405–432, arXiv: q-alg/9612032
15.	J. Avan, G. Rollet, “Parametrization of semi-dynamical quantum reflection algebra”, J. Phys. A: Math. Theor., 40:11 (2007), 2709–2731, arXiv: math/0611184
16.	I. Sechin, A. Zotov, “Associative Yang–Baxter equation for quantum (semi-)dynamical $R$ -matrices”, J. Math. Phys., 57:5 (2016), 053505, 14 pp., arXiv: 1511.0876
17.	S. Fomin, A. N. Kirillov, “Quadratic algebras, Dunkl elements, and Schubert calculus”, Advances in Geometry, Progress in Mathematics, 172, eds. A. Chambert-Loir, J.-H. Lu, M. Ruzhansky, Birkhäuser, Boston, 1999, 147–182 ; A. Polishchuk, “Classical Yang–Baxter equation and the $A_\infty$ -constraint”, Adv. Math., 168:1 (2002), 56–95, arXiv: math/0008156
18.	A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, “Planck constant as spectral parameter in integrable systems and KZB equations”, JHEP, 10 (2014), 109, 28 pp., arXiv: 1408.6246
19.	O. Ogievetsky, T. Popov, “ $R$ -matrices in rime”, Adv. Theor. Math. Phys., 14:2 (2010), 439–505, arXiv: 0704.1947
20.	Е. С. Трунина, А. В. Зотов, “Многополюсное обобщение для эллиптических моделей интегрируемых взаимодействующих волчков”, ТМФ, 209:1 (2021), 16–45, arXiv: 2104.08982 ; E. Trunina, A. Zotov, “Lax equations for relativistic GL(NM,C) Gaudin models on elliptic curve”, J. Phys. A: Math. Theor., 55:39 (2022), 395202, 38 pp., arXiv: 2204.06137 ; И. А. Сечин, А. В. Зотов, “Интегрируемая система обобщенных релятивистских взаимодействующих волчков”, ТМФ, 205:1 (2020), 55–67, arXiv: 2011.09599
21.	M. Matushko, A. Zotov, Anisotropic spin generalization of elliptic Macdonald–Ruijsenaars operators and $R$ -matrix identities, arXiv: 2201.05944; “Elliptic generalization of integrable q-deformed anisotropic Haldane–Shastry long-range spin chain”, Nonlinearity, 36:1 (2023), 319–353, arXiv: 2202.01177 ; М. Г. Матушко, А. В. Зотов, “ $R$ -матричные тождества, связанные с эллиптическими анизотропными спиновыми операторами Руйсенарса–Макдональда”, ТМФ, 213:2 (2022), 268–286, arXiv: 2211.08529
22.	K. Atalikov, A. Zotov, “Higher rank $1+1$ integrable Landau–Lifshitz field theories from the associative Yang–Baxter equation”, Письма в ЖЭТФ, 115:12 (2022), 809–810, arXiv: 2204.12576
23.	M. Vasilyev, A. Zotov, “On factorized Lax pairs for classical many-body integrable systems”, Rev. Math. Phys., 31:6 (2019), 1930002, 45 pp., arXiv: 1804.02777
24.	A. Zotov, “Relativistic elliptic matrix tops and finite Fourier transformations”, Mod. Phys. Lett. A, 32:32 (2017), 1750169, 22 pp., arXiv: 1706.05601
25.	A. Levin, M. Olshanetsky, A. Zotov, “Noncommutative extensions of elliptic integrable Euler–Arnold tops and Painlevé VI equation”, J. Phys. A: Math. Theor., 49:39 (2016), 395202, 24 pp., arXiv: 1603.06101

Образец цитирования: К. Р. Аталиков, А. В. Зотов, “Обобщение старшего ранга 11-вершинной рациональной

$R$ -матрицы: соотношения IRF-Vertex и ассоциативное уравнение Янга–Бакстера”, ТМФ, 216:2 (2023), 203–225; Theoret. and Math. Phys., 216:2 (2023), 1083–1103

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AtaZot23}

\by К.~Р.~Аталиков, А.~В.~Зотов

\paper Обобщение старшего ранга 11-вершинной рациональной $R$-матрицы: соотношения IRF-Vertex и~ассоциативное уравнение Янга--Бакстера

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 216

\issue 2

\pages 203--225

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10488}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10488}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634808}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...216.1083A}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 216

\issue 2

\pages 1083--1103

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923080019}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85169151057}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/tmf10488

https://doi.org/10.4213/tmf10488

https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v216/i2/p203

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

P. V. Antonenko, P. A. Valinevich, “Boltzmann Weights and Fusion Procedure for the Rational Seven-Vertex SOS Model”, J Math Sci, 2024

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	277
PDF полного текста:	73
HTML русской версии:	188
Список литературы:	40
Первая страница:	10

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

RR-матрица

Свойства и нормировка

RR-матрица Янга и ее деформация

Динамические RR-матрицы

Полудинамические RR-матрицы

Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера

Цель работы

2. Рациональная матрица преобразования IRF-Vertex

3. IRF-Vertex соотношения и обобщения старшего ранга для 11-вершинной RR-матрицы

3.1. Динамические и полудинамические RR-матрицы

3.2. Вывод вершинной RR-матрицы из преобразования IRF-Vertex

Свойства калибровочно преобразованной полудинамической RR-матрицы

Явный вид рациональной RR-матрицы вершинного типа

3.3. Совпадение старой и новой форм рациональной RR-матрицы

4. Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера и другие свойства RR-матрицы

4.1. Антисимметрия и унитарность

4.2. Симметрия аргументов

4.3. Ассоциативное и квантовое уравнения Янга–Бакстера

Приложение A. Рациональная RR-матрица в случае GLN\text{GL}_N

A.1. Квантовая RR-матрица

A.2. Классическая rr-матрица

A.3. Другие коэффициенты

Конфликт интересов

Список литературы

$R$ -матрица

$R$ -матрица Янга и ее деформация

Динамические $R$ -матрицы

Полудинамические $R$ -матрицы

3. IRF-Vertex соотношения и обобщения старшего ранга для 11-вершинной $R$ -матрицы

3.1. Динамические и полудинамические $R$ -матрицы

3.2. Вывод вершинной $R$ -матрицы из преобразования IRF-Vertex

Свойства калибровочно преобразованной полудинамической $R$ -матрицы

Явный вид рациональной $R$ -матрицы вершинного типа

3.3. Совпадение старой и новой форм рациональной $R$ -матрицы

4. Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера и другие свойства $R$ -матрицы

Приложение A. Рациональная $R$ -матрица в случае $\text{GL}_N$

A.1. Квантовая $R$ -матрица

A.2. Классическая $r$ -матрица