| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Сходящаяся теория возмущений и предел сильной связи в квантовой электродинамике М. В. Комароваa, М. Ю. Налимовab a Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090106 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКвантово-полевая теория возмущений (ТВ) широко используется и в квантовой теории поля, и в статистической физике – например, для описания критических явлений. Она генерирует ряды по константе связи, которые обычно имеют асимптотический характер [1], [2]; численную сходимость демонстрирует лишь небольшое количество членов ряда при малых константах связи. Однако встречаются проблемы, для анализа которых требуется рассмотреть большие константы связи. К таковым, например, относится известная проблема московского нуля (полюса Ландау) [3]. Когда она была обнаружена, разгорелась идеологическая дискуссия [4]: является ли квантовая электродинамика (КЭД) без учета слабого взаимодействия теорией, не применимой на малых масштабах, или же полюс Ландау – это лишь артефакт ТВ? Ответ на этот вопрос может дать исследование предела сильной связи β-функции КЭД. Свойства предела сильной связи можно изучить, рассмотрев ряд ТВ по некоторому альтернативному параметру. При этом исходная константа связи может быть произвольно большой. В настоящей работе в качестве такого альтернативного разложения мы используем сходящееся разложение в духе работы Ушверидзе [5]. В статье [6] было предложено развитие этой схемы для широкого класса бозонных моделей. В нашей работе мы расширяем схему построения сходящихся рядов ТВ на фермионные квантово-полевые теории. До нас предел сильной связи в КЭД обсуждался в работе [7], полученный там результат свидетельствует, что полюс Ландау возникает лишь в ТВ и связан с ее особенностями. Наши результаты не подтверждают это утверждение, поэтому имеет смысл сравнить наш подход с подходом работы [7]. Мы сделаем это на примере предела сильной связи для коэффициентов уравнения ренормализационной группы (РГ) в модели ϕ4. Вычисление критических индексов, описывающих фазовые переходы второго рода, – очень известная и хорошо развитая тема. Модель ϕ4 рассматривают в пространстве размерности 4−ϵ, что позволяет вычислять критические параметры (критические индексы) в форме ϵ-разложений. Однако из-за упомянутого асимптотического характера рядов их непосредственное суммирование не приводит к ответам с точностью, в настоящий момент считающейся достаточной. Для получения численного значения индексов производится пересуммирование расходящихся рядов, а оно, в свою очередь, требует привлечения дополнительной информации о свойствах исследуемых объектов. Например, применялась асимптотика высоких порядков ТВ [1], предписывающая использование схем борелевского пересуммирования. В качестве дополнительной информации также предлагалось использовать предел сильной связи функций РГ. В теории ϕ4 данный предел сильной связи ранее исследовался разными методами в работах [8]–[10], и результаты очень сильно различаются между собой. В работе [8], а также в [11]–[16] по сути был использован конструктивный способ исследования данных асимптотик: правильная асимптотика определялась по анализу полученных с ее учетом результатов пересуммирования. В работе [9] была предпринята попытка использования сходящегося разложения из статьи [5]. В [10], как и в [7], для случая КЭД делалось априорное предположение о свойствах предела сильной связи исследуемых β-функций, которое для теории ϕ4 не подтверждается ни результатами работ [8], [9], [11]–[16], ни нашими результатами. Cформулируем правила построения сходящейся ТВ в КЭД. Новизна нашего подхода в данном вопросе обусловлена присутствием фермионных полей и рассмотрением S-матрицы вместо статистической суммы. Но сначала нам придется кратко напомнить читателю схему построения сходящейся квантово-полевой теории возмущений в статистической физике бозонного (коммутирующего) поля. Это сделано в разделе 2. Необходимость данного раздела обусловлена также тем, что наш подход, будучи идеологически близким методам, использованным в работе [9], отличается формой уравнения РГ, которая в сходящемся формализме отличается от традиционной. Точный вид уравнения РГ в случае использования сходящейся теории возмущений и схемы минимальных вычитаний (“MS-схемы” ренормировки) с размерной регуляризацией был получен в работе [17]. Именно этот вид будет использован в нашей работе. Структура статьи такова. В разделе 2 мы напоминаем логику построения сходящейся ТВ в бозонных теориях. В разделе 3 построена сходящаяся ТВ для КЭД. В разделе 4 доказана сходимость полученных рядов по вспомогательному параметру ζ и вычислен соответствующий радиус сходимости. Раздел 5 посвящен исследованию предела сильной связи в КЭД. В заключении (раздел 6) мы перечисляем полученные результаты. Также в работе имеются два приложения. В приложении А мы приводим в качестве простой иллюстрации сходящейся ТВ пример, соответствующий нульмерной модели ϕ4. Она является прекрасным полигоном, демонстрирующим, как на основе анализа альтернативной ТВ по параметру ζ можно получить асимптотику по константе связи g для сильной связи. В приложении Б мы собрали основные результаты, которые получаются из сходящейся ТВ для обычной модели ϕ4 в рамках уравнения РГ и (4−ϵ)-разложения. 2. Уравнения РГ в формализме сходящейся ТВ в бозонных моделяхНапомним схему построения сходящейся ТВ и вывод соответствующего уравнения РГ на примере модели ϕ4 – стандартной теории критического поведения [5], [17]. При построении ТВ в модели ϕ4 стандартное разбиение действия имеет вид Возмущением здесь выступает S2, что приводит к разложению по константе связи g, которое имеет нулевой радиус сходимости [1].Для построения сходящейся ТВ то же самое действие следует представить [5] в виде S=S0+SI, где S0=S1+aS21 и SI=ζ(S2−aS21) с произвольной константой a, а разложение теперь проводить по параметру ζ. “Физическим” значением ζ является ζph=1, при котором рассматриваемая модель совпадает с исходной. Как было показано в работах [17], разложение по ζ является сходящимся с радиусом сходимости ζph, если Тот факт, что разбиение S=S0+SI приводит к ТВ с конечным радиусом сходимости (в отличие от разбиения S=S1+S2), связан, грубо говоря, с тем, что в сильных полях вклады S1∼ϕ2 и S2∼ϕ4 по-разному растут с ростом ϕ; при этом добавка возмущения к свободному действию должна менять тип асимптотики в сильных полях. В то же время вклады S21 и S2 при больших полях растут однотипно, поэтому учет в “свободной” части действия вклада S21 делает вклад “взаимодействия” S2−aS21 не столь катастрофическим. Важной особенностью данного сходящегося разложения является то, что при его использовании не требуется вычислять диаграммы в какой-либо новой форме: коэффициенты ряда ТВ можно получить на основании диаграмм в стандартной технике со стандартным пропагатором. Остановимся на вопросе о том, как это делается. Рассматривая теорию с действием S=(S1+aS21)+ζ(S2−aS21), представим выражение e−S с помощью дополнительного интеграла по y с δ-функцией в подынтегральном выражении, и запишем δ-функцию в виде вспомогательного интеграла по y′, За исключением появившихся параметрических интегралов по y, y′ ответ имеет достаточно простой вид: полевые вклады собрались в последнем множителе, который сводится к стандартному для модели ϕ4 посредством растяжения поля в выражениях для S1 и S2: Это преобразование приводит к новой константе связи g▸.Таким образом, в рамках разложения по \zeta можно представить ренормированную 2k-хвостую функцию Грина данной сходящейся теории в виде
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_{2k}^{\mathrm R}=\int& dy\,dy'\,e^{iy'y-\frac{a}{4}(1-\zeta)y^2}\times{} \notag\\ &\times\int \mathscr{D} \phi\,\frac{\phi(\mathbf x_1)\ldots\phi(\mathbf x_{2k})}{(1+2iy')^k}\, Z_{\phi}^{-2k}(g^{\blacktriangleright}) \exp\biggl(-S_1-\frac{\zeta Z_g(g^{\blacktriangleright})\mu^{\epsilon}}{(1+2iy')^2}S_2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
Здесь g – ренормированный заряд стандартной теории возмущений, \mu – ренормировочная масса, Z_g и Z_{\phi} – константы ренормировки заряда и поля, вычисленные в MS-схеме, при этом ряды для Z_g(g) и Z_\phi(g) известны из стандартной диаграммной техники. В данном подходе фактически имеет место изменение порядка интегрирования по параметрам y, y' и функционального интегрирования. При этом фейнмановский интеграл следует понимать как сумму ряда ТВ по параметру \zeta, каждое слагаемое которого хорошо определено. Таким образом, диаграммы сходящейся ТВ [5] имеют стандартный вид и стандартную аналитическую форму, но приобретают дополнительные множители
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_j(a)&=\int dy\,dy'\,e^{iy'y -\frac{a}{4}y^2}\frac{1}{(1+2iy')^j}= \notag\\ &=\int dy\,dy'\int_0^{\infty}\frac{dt\,t^{j-1}}{\Gamma(j)}e^{iy'y -\frac{a}{4}y^2-t(1+2iy')}= \int_0^{\infty}\frac{dt\,t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-t-at^2} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
(см. работу [6]); здесь второе равенство получено с использованием фейнмановского альфа-представления. Основное отличие нашего исследования от предпринятого в работе [9] заключается в учете специфической формы уравнения РГ в сходящихся ТВ. Как известно, коэффициенты уравнения РГ не являются ренормализационно-инвариантными, поэтому нет ничего удивительного в том, что и форма данного уравнения оказывается нетривиальной при использовании нестандартной ТВ. Для обсуждаемой сходящейся ТВ в MS-схеме ренормировки при D=4-\epsilon уравнение РГ имеет вид [17]
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}G_{2k}^{\mathrm R}\equiv(\mu\partial_\mu+\beta\partial_g+\beta_2\partial_g^2+\cdots+\gamma)G_{2k}^{\mathrm R}=0,
\end{equation}
\tag{4}
где
\begin{equation}
\gamma=-\frac {2g\,\partial_g}{U_1(a(1-\zeta))}\sum_{l\geqslant 0}g^l\zeta^l[Z_{\phi}^{(l)}]U_{2l+1}(a(1-\zeta)),
\end{equation}
\tag{5}
\begin{equation}
\beta=-\epsilon g-\gamma g+\frac{g^2\,\partial_g}{U_3(a(1-\zeta))} \sum_{l\geqslant 0}g^l\zeta^l\bigl([Z_g^{(l)}]-2[Z_{\phi}^{(l)}]\bigr)U_{2l+3}(a(1-\zeta)).
\end{equation}
\tag{6}
Здесь и далее [Z_i^{(l)}] обозначает l-й порядок разложения по константе связи g для коэффициентов при простом полюсе по \epsilon константы ренормировки Z_i в обычной ТВ. В отличие от стандартной ситуации, уравнение (4) при произвольном \zeta содержит производные всех порядков по g и по сути оказывается нелокальным. Это следствие потери мультипликативной ренормируемости в сходящейся ТВ. Однако сумма всех членов разложения по \zeta при \zeta=\zeta_{\mathrm{ph}} совпадает с результатом обычной ТВ, при этом мультипликативная ренормируемость и стандартная форма уравнения РГ восстанавливаются. Поэтому, если учесть достаточно большое число членов ряда, \beta-функция (6) хорошо описывает стандартную \beta-функцию локального уравнения РГ, а вклад старших производных оказывается малым. Именно эта идея далее будет использована при анализе предела сильной связи \beta-функций. В приложении А мы демонстрируем, как логика построения сходящейся ТВ реализуется на примере нульмерной модели \phi^4. В приложении Б мы собрали основные результаты, полученные с помощью сходящейся ТВ для стандартной модели \phi^4. 3. Сходящаяся ТВ для КЭДВозможность построения сходящейся ТВ в модели фермионов на решетке была показана в [18]. Здесь мы покажем, что методы, развитые для статистических бозонных моделей в евклидовом пространстве [6], можно перенести на квантово-полевые модели с фермионами в пространстве Минковского. В качестве примера рассмотрим стандартную КЭД. Подразумевая интегралы по времени и координатам, а также необходимые свертки по значкам, запишем действие S (и плотность лагранжиана) в виде
\begin{equation*}
\bar\psi(i\partial\kern-5pt/\kern-0.7pt-m-e\gamma^\mu A_\mu)\psi-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.
\end{equation*}
\notag
Интересуясь поведением \beta-функции в MS-схеме с размерной регуляризацией, мы можем ограничиться случаем m=0. Для удобства введем обозначения для каждого члена действия (необходимые интегралы по полевым переменным подразумеваются):
\begin{equation*}
S_{\psi\psi}=\bar\psi(i\partial\kern-5pt/)\psi,\qquad S_{\psi A\psi}=e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu\psi,\qquad S_{FF}=\frac {F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}}{4}.
\end{equation*}
\notag
Аналогично [6] разобьем действие на две части:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S=S_{\psi\psi}-S_{FF}-S_{\psi A\psi}=S_0+\zeta S_{\kern1pt\mathrm I}, \\ S_0=S_{\psi\psi}-S_{FF}+aS_{\psi\psi}\sqrt{iS_{FF}},\qquad S_{\kern1pt\mathrm I}=-S_{\psi A\psi}-aS_{\psi\psi}\sqrt{iS_{FF}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
с произвольным положительным параметром a. Отметим, что при больших значениях полей \psi и A вклады S_{\psi A\psi} и S_{\psi\psi}\sqrt{iS_{FF}} демонстрируют “однотипный” рост по каждому из полей и имеют одинаковую каноническую размерность. Вспомогательная \delta-функция позволяет записать подынтегральную функцию S-матрицы в виде
\begin{equation*}
e^{iS}=\int dy\,\delta(y-S_{FF})\,e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}-i\zeta S_{\psi A\psi}+ ia(1-\zeta)\sqrt{iy}S_{\psi\psi}}.
\end{equation*}
\notag
Снова расписав \delta-функцию с помощью вспомогательного интеграла по y', перегруппируем вклады в экспоненте:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int& dy\,dy'\,e^{iy'(y-S_{FF})}e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}-i\zeta S_{\psi A\psi}+ia(1-\zeta)\sqrt{iy}S_{\psi\psi}}= \\ &=\int dy\,dy'\,e^{iy' y}\exp\bigl({i(1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}\,)S_{\psi\psi}-i(1+y')S_{FF}-i\zeta S_{\psi A\psi}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Теперь растяжение полей
\begin{equation*}
A\to\frac {A}{\sqrt{1+y'}},\qquad\psi\to\frac{\psi}{\sqrt{1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}}},\qquad \bar{\psi}\to\frac{\bar{\psi}}{\sqrt{1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}}}
\end{equation*}
\notag
позволяет записать функцию Грина G_{mn}, зависящую от следующего набора переменных: m/2 полей \bar\psi (с соответствующим набором аргументов), m/2 полей \psi и n полей A. Мы имеем
\begin{equation}
G_{mn}=\int\frac {dy\, dy'\; G_{mn}^{\scriptscriptstyle\mathrm{\,QED}}(e^{\blacktriangleright})}{\sqrt{1+y'}^{\,n}(1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}\,)^m},\qquad e^{\blacktriangleright}=\frac{e\zeta}{\sqrt{1+y'}(1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}\,)};
\end{equation}
\tag{7}
здесь G_{mn}^{\scriptscriptstyle\mathrm{\,QED}}(e) – соответствующая функция Грина в стандартной ТВ, а растянутая константа связи e^{\blacktriangleright} порождается упомянутым растяжением полей. Данная форма записи позволяет построить сходящийся ряд ТВ по \zeta. Вычисление интеграла по y, y'
\begin{equation}
\int dy\int dy'\,\frac {e^{iy'y}}{(1+y')^{(N+n)/2}(1+(iy)^{1/2}a(1-\zeta))^{N+m}}
\end{equation}
\tag{8}
производится с помощью фейнмановского альфа-представления для первого множителя в знаменателе (введения вспомогательного интеграла по параметру t) и сведе́ния интеграла по y' к дельта-функции. При этом любая диаграмма N-го порядка по заряду e, число аргументов которой задается числами m и n, получает множитель
\begin{equation}
U_{N,n,m}=\frac{1}{\Gamma((N+n)/2)}\int_0^{\infty}dt\,\frac{t^{(N+n)/2-1}e^{-t}}{(1+\sqrt {t}a(1-\zeta))^{N+m}}.
\end{equation}
\tag{9}
Заметим, что интеграл по y' в (8), очевидно, не существует, что отражает хорошо известный факт: в квантовой теории поля не существует функциональный интеграл с подынтегральной функцией e^{iS} [19]. Поэтому преобразование с помощью фейнмановского альфа-представления имеет лишь формальный характер. Однако для доопределения здесь подходит ровно тот прием, который традиционно используется для доопределения функционального интеграла в квантовой теории поля: предлагается произвести виковский поворот, преобразовав пространство Минковского в пространство Евклида, провести все вычисления и затем “вернуться” обратно в пространство Минковского. При этом аналогично (3) все интегралы становятся хорошо определенными. Тем не менее подчеркнем, что к виковскому повороту функций Грина следует относиться с осторожностью. Повторим вслед за [19], что функциональный интеграл корректно воспринимать лишь как формальную запись для ряда ТВ. В данной работе такого толкования будет вполне достаточно, так как соответствующие выражения используются в рамках ТВ. Расходимость интеграла по y' в (8) непосредственно связана с вычислением функционального интеграла по полю A. Поэтому для обоснования справедливости наших действий, включающих прямой и обратный виковский повороты, достаточно проверить справедливость формулы (9) для свободной функции Грина, содержащей только поля A. Для нее, в свою очередь, тривиально выполняется равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int& \mathscr{D} \psi\, \mathscr{D} \bar\psi\, \mathscr{D} \kern-1pt A\,A(x_1)\ldots A(x_n)e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}}= \\ &=\int_0^{\infty}dt\,\frac{t^{n/2-1}e^{-t}}{\Gamma(n/2)}\int \mathscr{D} \psi\, \mathscr{D} \bar\psi\, \mathscr{D} \kern-1pt A\,A(x_1)\ldots A(x_n) e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогично соотношениям (4)–(6) несложно, разлагая G_{mn} в ряд по взаимодействию, которое рассматривается как независимые составные операторы, вывести уравнение РГ для сходящейся ТВ обсуждаемой теории. Результат полностью аналогичен (4) и может быть представлен в виде
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}G_{mn}^{\mathrm R}\equiv(\mu\partial_\mu+\beta\partial_\alpha+\beta_2\partial_\alpha^2+\cdots+\gamma_{m,n})G_{mn}^{\mathrm R}=0,
\end{equation}
\tag{10}
где \alpha={e^2}/{4\pi}, а \beta- и \gamma-функции определены следующим образом:
\begin{equation}
\beta =\frac{\alpha^2\,\partial_\alpha}{U_{2,n,m}} \sum_{l\geqslant 0}\alpha^l\zeta^{2l}\bigl([Z_\alpha^{(l)}]-m[Z_{\bar\psi}^{(l)}]-m[Z_{\psi}^{(l)}]-n[Z_{A}^{(l)}]\bigr)U_{2l+2,n,m}-\alpha\gamma_{n,m},
\end{equation}
\tag{11}
\begin{equation}
\gamma_{n,m} =-\frac {\alpha\,\partial_\alpha}{U_{0,n,m}} \sum_{l\geqslant 0}\alpha^l\zeta^{2l}(m[Z_{\psi}^{(l)}]U_{2l,n,m}+(m[Z_{\bar\psi}^{(l)}]U_{2l,n,m}+n[Z_{A}^{(l)}]U_{2l,n,m}).
\end{equation}
\tag{12}
Как и ранее, [Z_i^{(l)}] обозначает l-й коэффициент разложения по \alpha для вычета (в простом полюсе по \epsilon) константы ренормировки Z_i.
4. Сходимость разложения по \zeta для КЭДВ бозонных моделях сходимость разложения по \zeta обычно доказывается на основании того, что существует инстантон [6]. Для моделей с фермионами ситуация осложнена отсутствием инстантона. К счастью, асимптотика высоких порядков разложения стандартной КЭД уже была исследована в работах [20], [21], и мы воспользуемся их результатами для доказательства сходимости построенной ТВ. В общих чертах доказательство аналогично приведенному в работе [18]. В работах [20], [21] была исследована асимптотика высоких порядков разложения по \alpha=e^2/4\pi для \beta-функции стандартной ТВ:
\begin{equation*}
\beta(\alpha)=\sum_{N}\beta^{(N)}\alpha^N,\qquad \beta^{(N)}\mathop{\sim}\limits_{N\to\infty}\biggl(-\frac{2\pi}{\tilde e^2}\biggr)^{\!N}N^p N!,
\end{equation*}
\notag
где \tilde{e} и p – некоторые числовые константы. В соответствии с упомянутыми работами \tilde e^2\simeq 5.9, а константа p не вычислялась. Легко показать, что данная асимптотика соответствует следующему виду асимптотики высоких порядков для первого полюса константы ренормировки:
\begin{equation}
[Z_\alpha]^{N}\sim\biggl(-\frac{2\pi}{\tilde e^2}\biggr)^{\!N-1}(N-1)!\,N^p.
\end{equation}
\tag{13}
Для простоты ограничимся рассмотрением случая m=n=0. При переходе к константе связи e^{\blacktriangleright} в разложении по \zeta у параметра \alpha возникает коэффициент \zeta^2 (см. (7)). Согласно (13) коэффициенты разложения [Z_\alpha] быстро растут с ростом N. Поэтому в соответствии со свойствами рядов с факториально растущими коэффициентами для вычисления аналогичной асимптотики в сходящейся ТВ достаточно учесть лишь вклад в нее величины (13) при больших N. По той же причине достаточно ограничиться асимптотикой высоких порядков разложения по \zeta функции U_{N,0,0} (9), т. е. считать в ней, что N велико. Выражение для k-го члена этого разложения
\begin{equation*}
U_{N,0,0}^{(k)}=\frac{1}{\Gamma(N/2)}\frac{(N+k-1)!}{k!\,(N-1)!} \int_0^{\infty}dt\,\frac {t^{(N+k)/2-1}e^{-t}}{(1+\sqrt{t}\,a)^{N+k}}\,a^k
\end{equation*}
\notag
при больших N+k несложно исследовать методом Лапласа. Для точки экстремума t_{\mathrm c} подынтегральной функции, которую мы обозначим как \exp(f(t)), при больших N+k, а также для второй производной в точке экстремума имеем
\begin{equation*}
f(t)=\frac{N+k}{2}\ln\frac{t}{(1+\sqrt {t}\,a)^2}-t,\qquad t_{\mathrm c}\approx\frac{(N+k)^{2/3}}{(2a)^{2/3}},\quad f''_{\mathrm c}=\frac{3(2a)^{2/3}}{2(N+K)^{2/3}}.
\end{equation*}
\notag
Нетрудно убедиться, что старшие члены разложения функции f в окрестности точки экстремума дают малые поправки в рассматриваемую асимптотику. В результате ответ имеет вид
\begin{equation}
U_{N,0,0}^{(k)}\approx\frac{2^{4/3}\sqrt{3\pi}}{\Gamma(N/2)}\frac{C^k_{N+k-1}}{a^{N}} \biggl(\frac{N+k}{2a}\biggr)^{\!-5/9}\exp\biggl(-\frac{(N+k)^{2/3}}{(2a)^{2/3}}\biggr).
\end{equation}
\tag{14}
Рассмотрим разложение по \zeta для \beta-функции (11). Легко найти вклад K-го порядка альфа-разложения (где K=N+k), подставляя вместо U_{2l+2,0,0} соответствующий вклад от (14) (при 2l=N), а вместо [Z_\alpha] – асимптотику (13). С точностью до асимптотически несущественных множителей получаем оценку
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta(\zeta)=\sum_{K}\bar{\beta}^{(K)}\zeta^K,\qquad \bar\beta^{(K)}\mathop{\sim}\limits_{K\to\infty} \sum_k&\biggl(-\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2}\biggr)^{\!(K-k)/2}\biggl(\frac {K-k}2\biggr)!\biggl(\frac{K-k}2\biggr)^{\!p}\times{} \\ &\times\frac{C^k_{K-1}}{\Gamma((K-k)/2)a^{K-k}}\biggl(\frac{K}{2a}\biggr)^{\!-5/9}\exp\biggl(-\frac{K^{2/3}}{(2a)^{2/3}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Не существенный для дальнейших рассуждений множитель ((K-k)/2)^p представляет собой результат p-кратного дифференцирования по \sqrt{\alpha}. Множитель C^k_{K-1} показывает, что основной вклад в рассматриваемую сумму дают члены с k\approx K/2, а вклад членов с k\approx K очевидно подавлен. Ввиду этого выражение для \beta(\zeta) можно представить в асимптотической форме
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{K}\biggl(-\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2}\biggr)^{\!(K-k)/2}\biggl(\frac{K}{2a}\biggr)^{\!-2/3}\frac {C^k_{K}}{a^{K-k}} \exp\biggl({-\frac{K^{2/3}}{(2a)^{2/3}}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
В результате радиус сходимости по \zeta у рассматриваемой \beta-функции такой же, как у ряда
\begin{equation*}
\sum_K\biggl(1-\sqrt{\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2a^2}}\;\biggr)^{\!\!K\,}\biggl(\frac{K}{2a}\biggr)^{\!-2/3}\exp\biggl(-\frac{K^{2/3}}{(2a)^{2/3}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
таким образом, радиус сходимости разложения по \zeta для \beta-функции имеет вид [21]
\begin{equation*}
R_{\zeta}=\bigg|1-\sqrt{\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2a^2}}\,\bigg|^{-1},\qquad\tilde e^2\approx 5.9.
\end{equation*}
\notag
Тем самым мы показали, что построенное разложение по \zeta для \beta-функции КЭД действительно сходится в физической точке \zeta_{\mathrm{ph}}=1, если или, другими словами, при \alpha<\alpha_{\max}=2a^2\tilde e^2/\pi.5. Предел сильной связи в КЭДПятипетлевой результат расчетов \beta-функции КЭД впервые был представлен в работе [22], результаты расчетов также процитированы и используются в [23]. В MS-схеме ответ имеет вид
\begin{equation*}
\beta= 0.0337\alpha^2+0.008062\alpha^3-0.04312\alpha^4-0.001866\alpha^5-0.0406\alpha^6.
\end{equation*}
\notag
Восстановим простой полюс константы ренормировки заряда по формуле
\begin{equation*}
Z_\alpha=1-\frac{1}{\epsilon}\int d\alpha\,\frac{\beta(\alpha)}{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
Для констант ренормировки полей \psi и A можно использовать пятипетлевые расчеты в КХД [24]. Впрочем, здесь достаточно положить n=m=0 и использовать формулу (12) для вакуумных петель. При этом мы не будем ни разлагать по \zeta не зависящий от \alpha общий множитель U_{0,0,0} в \beta-функции, ни учитывать его как-либо иначе – это несущественная для нас константа. Мы исследуем асимптотику \beta-функции с точностью до не зависящей от заряда амплитуды. Приведем графики пяти- и четырехпетлевых результатов для \beta-функции (11) при \zeta=\zeta_{\mathrm{ph}} и a=100\,000 (см. рис. 1а). Чтобы наблюдать степенное поведение, представляет интерес график в дважды логарифмическом масштабе: функция \ln\beta от \ln\alpha (см. рис. 1б). Здесь мы также привели четырех- и пятипетлевые результаты, чтобы показать малость соответствующей погрешности, а также специально расширили диапазон возможных значений \ln\alpha по сравнению с максимально допустимым значением \alpha_{\max}. Всплески на краю графика связаны с численными проблемами расчета ряда на границе круга сходимости. Сам предел сильной связи можно найти, сравнив графики функций \frac{\partial\ln\beta}{\partial\ln\alpha} и \frac{\partial^2\ln\beta}{\partial(\ln\alpha)^2} в зависимости от \ln\alpha (в пяти и четырех петлях), см. рис. 2. Численное сравнение показывает, что с большой точностью при больших \alpha мы можем написать
\begin{equation*}
\partial^2_{\ln\alpha}\ln\beta\approx\partial_{\ln\alpha}\ln\beta-2.
\end{equation*}
\notag
Разрешая это уравнение, получаем предел сильной связи \beta-функции КЭД:
\begin{equation*}
\beta(\alpha)\mathop{\approx}\limits_{\alpha\to\infty}C_1\alpha^2e^{C_2\alpha}.
\end{equation*}
\notag
Амплитуду C_1, скорее всего, нельзя достаточно точно определить в предложенной нами схеме вычислений. Равенство \partial_\alpha\ln\beta\approx C_2 для \alpha=\alpha_{\max} дает возможность получить оценку C_2\approx 3\cdot 10^{-6}. Столь малое значение этой константы не позволяет нам утверждать, что на самом деле она не равна нулю, тем не менее множитель \alpha^2 и монотонный характер роста рассматриваемой \beta-функции нашими результатами подтверждаются достаточно надежно.
6. ЗаключениеИсследование нульмерной модели \varphi^4, а также сходящаяся ТВ для стандартной модели \phi^4 в пространстве размерности 4-\epsilon свидетельствуют, что сходящаяся ТВ является работоспособным инструментом исследования предела сильной связи, который применяется, в частности, для анализа \beta-функции уравнения РГ. Полученные результаты для \beta-функции КЭД приводят нас к заключению, что проблема московского нуля (полюса Ландау) является свойством рассматриваемой задачи, а не артефактом ТВ. Это говорит о том, что даже такая простая и хорошо исследованная теория, как КЭД, не существует во всем энергетическом диапазоне и имеет принципиальное ограничение на малых пространственных масштабах. Приведенные нами результаты исследования предела сильной связи функций РГ теории \varphi^4 в (4-\epsilon)-разложении, а также рядов по \epsilon для критических индексов могут быть использованы для более точного пересуммирования результатов многопетлевых вычислений. Приложение А. Как наш подход работает в нульмерной теории \phi^4Проиллюстрируем построение сходящегося ряда на примере интеграла
\begin{equation*}
I_0(g)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx\,e^{-S(x)},\qquad S(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{g x^4}{4!}.
\end{equation*}
\notag
Являясь нульмерным аналогом модели \phi^4, этот объект традиционно используется в качестве полигона для различных методов обработки асимптотических рядов. Подробное исследование его свойств можно найти в [8]. Представление функции S в виде
\begin{equation*}
S_0+S_{\kern1pt\mathrm I},\qquad S_0=\frac{x^2}{2}+\frac{ax^4}{4},\quad S_{\kern1pt\mathrm I}=\zeta\biggl(\frac{gx^4}{4!}-\frac{ax^4}{4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
порождает ряд по \zeta, сходящийся при
\begin{equation}
a>\frac{g}{4g_{\mathrm c}},\qquad g_{\mathrm c}=\frac{3}{2},
\end{equation}
\tag{15}
и совпадающий с I_0 при \zeta=1. Теория возмущений по параметру g хорошо исследована и приводит к асимптотическим рядам с нулевым радиусом сходимости. Предел сильной связи легко получить прямым вычислением: I_0\sim g^{-1/4}. Функция I_0(g) стремится к этой асимптоте достаточно медленно (см. рис. 3а). Тем не менее шесть порядков возмущений являются репрезентативными для выделения предела сильной связи с помощью сходящейся схемы. Действительно, шесть порядков возмущения дают для I_0(g)
\begin{equation*}
I_0^{\kern1pt\text{approx}}=U_{1/2}(a)+\sum_{l=1}^6\frac{(a-g/3!)^l(4l-1)!}{(2l-1)!\,l!\,2^{4l-1}} U_{2l+1/2}(a)\zeta^l.
\end{equation*}
\notag
На рис. 3б приведен график этой функции при \zeta=1, a=10^7, демонстрирующий выход ряда на требуемое значение -1/4 как в случае шести, так и в случае пяти учтенных порядков сходящейся ТВ. Отметим, что восстановление требуемой асимптотики больших g имеет место лишь при достаточно больших значениях параметра a, который выбирается с учетом неравенства (15). Приложение Б. Результаты исследования предела сильной связи в сходящейся модели \phi^4Для определения асимптотики сильной связи \beta-функции в теории \phi^4 использовались разные методы [8]–[10]. Во всех этих работах утверждалось, что \beta-функция при больших g ведет себя как g^{\lambda}, однако параметр \lambda получался разный: \lambda\approx 2 в работах [8], \lambda\approx 3/2 в работе [9], \lambda\approx 1 в работе [10]. В работах [12], [13] по результатам шестипетлевых расчетов было найдено значение \lambda\approx 1.8, которое вычислялось с помощью методики, аналогичной применявшейся в [8]. Сходящаяся ТВ в данной задаче была построена в [5], в работе [9] в этом формализме была найдена асимптотика сильной связи \beta\sim g^{3/2}. Нам удалось показать, что если использовать верную форму уравнения РГ в сходящейся ТВ [17], то результаты работы [9] исправляются и начинают соответствовать результатам работ [8] и [12], [13]. Таким образом, лишь результаты работы [10] не согласуются с остальными результатами. Наш подход к исследованию асимптотики сильной связи для \beta- и \gamma-функций основан на возможности использовать сходящееся разложение по \zeta при \zeta_{\mathrm{ph}}=1 вплоть до больших значений g, зависящих от выбора параметра a. Для построения сходящегося ряда мы использовали шестипетлевые результаты расчета \beta- и \gamma-функций в стандартной ТВ модели \phi^4 [14]. Чтобы определить показатель степени \lambda, мы построили графики функций \frac{\partial\ln\beta}{\partial\ln g} и \frac{\partial\ln\gamma}{\partial\ln g} в зависимости от \ln g; вблизи максимального значения g можно найти плато на уровне \lambda. В выражении (6) имеются четыре слагаемых. Асимптотика сильной связи для них исследовалась раздельно. Наши результаты показывают, что основной вклад в исследуемую асимптотику вносит член [Z_g^l]. Заметим также, что знаменатели в (5), (6) не зависят от g и не влияют на степень, характеризующую асимптотику сильной связи. Используя константы Z_i, найденные в шестипетлевом расчете [14], мы вычислили функции (6), (5) для различных a вплоть до g_{\max}=4g_{\mathrm c}a (1). Полученные результаты практически не зависят от a при достаточно больших a. Графики, с помощью которых можно определить степенное поведение функций \beta, \gamma_\tau и \eta=2\gamma_\phi при a=e^{20}, представлены на рис. 4. Мы определили следующее асимптотическое поведение функций РГ:
\begin{equation*}
\beta\sim g^\lambda,\quad \gamma_\phi\sim g^{\lambda_\phi},\quad \gamma_\tau\sim g^{\lambda_\tau},
\end{equation*}
\notag
где \lambda\in(1.77,1.88), \lambda_\phi\in(1.95,1.97), \lambda_\tau\in(0.90, 0.935). Эти результаты согласуются с результатами работы [12], полученными без использования сходящейся ТВ. Кроме того, наши результаты позволяют получить для модели \phi^4 в рамках разложения по \epsilon асимптотику критических индексов в переделе больших \epsilon. Записав уравнение \beta(g_*)=0 для фиксированной точки в виде можно заключить, что при больших \epsilon справедливо соотношение g_*\gamma_g(g_*)\sim g_*^{\lambda}, т. е. g_*\sim\epsilon^{1/(\lambda-1)}. Поэтому значения индексов оцениваются как
\begin{equation*}
\eta(g_*)\sim\epsilon^{\lambda_\phi/(\lambda-1)},\qquad \gamma_\tau(g_*)\sim\epsilon^{\lambda_\tau/(\lambda-1)}.
\end{equation*}
\notag
Мы также нашли аналогичные характеристики для динамического критического индекса: z(g_*)\sim\epsilon^{\lambda_{z}/(\lambda-1)}, \lambda_z\in(1.875,1.9). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KomNal23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|