О. В. Починка, Е. А. Таланова, “Минимизация числа гетероклинических кривых 3-диффеоморфизма с неподвижными точками, имеющими попарно различные индексы Морса”, ТМФ, 215:2 (2023), 311–317; Theoret. and Math. Phys., 215:2 (2023), 729

Аннотация: Рассмотрены 3-диффеоморфизмы Морса–Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из четырех неподвижных точек с попарно различными индексами Морса. На сегодняшний день открытым является вопрос о том, какие замкнутые 3-многообразия допускают такие диффеоморфизмы. Известно, что множество этих многообразий содержит все линзовые пространства. Более того, на всех многообразиях, кроме

$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ , рассматриваемые диффеоморфизмы имеют гетероклинические кривые. Установлено, что число гетероклинических кривых диффеоморфизма на заданном многообразии можно минимизировать, сведя его к конечному числу некомпактных гетероклинических кривых, являющихся ориентируемым пересечением инвариантных седловых многообразий. Полученный результат позволит в дальнейшем дать исчерпывающее описание замкнутых 3-многообразий, допускающих рассматриваемые диффеоморфизмы.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	22-11-00027
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	075-15-2019-1931
Исследование поддержано грантом РНФ (договор 22-11-00027), кроме результатов раздела 2, полученных при поддержке международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ (№ 075-15-2019-1931).

1. Введение и формулировка результатов

В настоящей работе рассмотрен класс

$G$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла, заданных на замкнутом 3-многообразии, неблуждающее множество которых состоит в точности из четырех неподвижных точек с попарно различными индексами Морса. Известно [1], что инвариантные многообразия седловых точек рассматриваемого диффеоморфизма могут быть дико вложенными (см. рис. 1). Из-за этого топология многообразий, допускающих такие диффеоморфизмы, до сих пор не изучена и является открытой проблемой. В случае ручного вложения седловых сепаратрис несущим многообразием рассматриваемых диффеоморфизмов являются линзовые пространства [2]. В работе [3] было доказано, что для любого диффеоморфизма

$f\in G$ , заданного на многообразии, отличном от линзы

$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ , множество гетероклинических кривых непусто и содержит как минимум одну некомпактную кривую.

Все гетероклинические кривые диффеоморфизма

$f\in G$ принадлежат двумерному устойчивому многообразию

$W^{\mathrm s}_{\sigma^1_f}$ седловой точки

$\sigma^1_f$ с индексом Морса 1 и двумерному неустойчивому многообразию

$W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}$ седловой точки

$\sigma^2_f$ с индексом Морса 2. Положим

Основным результатом настоящей работы является доказательство следующего факта.

2. Динамика диффеоморфизмов из класса

$G$

В настоящем разделе мы описываем некоторые динамические свойства диффеоморфизма

$f\in G$ .

Из определения класса следует, что неблуждающее множество

$\Omega_f$ диффеоморфизма

$f$ состоит в точности из четырех точек

$\omega_f$ ,

$\sigma_f^1$ ,

$\sigma_f^2$ ,

$\alpha_f$ с индексами Морса

$0$ ,

$1$ ,

$2$ ,

$3$ соответственно. В силу того, что у диффеоморфизма

$f$ отсутствуют пересечения одномерных сепаратрис седловых точек с двумерными, одномерные седловые многообразия содержат в своих замыканиях единственную узловую точку (см. предложение 2.3 в [4]). А именно,

В силу теоремы 1.1 из [5] множества

$A_f$ и

$R_f$ являются глобальными аттрактором и репеллером соответственно. Положим

3-Многообразие

$X$ называется неприводимым, если любая 2-сфера, цилиндрически вложенная в

$X$ , ограничивает в нем 3-шар.

Топологически вложенная в 3-многообразие

$X$ поверхность

$F$ называется собственно вложенной, если

$\partial X\cap F=\partial F$ . Собственно вложенная в

$X$ поверхность

$F$ называется сжимаемой в

$X$ в одном из следующих двух случаев:

Поверхность

$F$ , не являющаяся сжимаемой в

$X$ , называется несжимаемой в

$X$ .

Пусть

$U_A$ – захватывающая окрестность аттрактора

$A_f$ . Введем обозначение

$F_A=U_A\backslash f(U_A)$ , тогда

$\operatorname{cl}(F_A)$ – фундаментальная область ограничения диффеоморфизма

$f$ на

$V_f$ . Положим

$\widehat V_A=\operatorname{cl}(F_A)/f$ , тогда

$\widehat V_A$ – гладкое замкнутое 3-многообразие, полученное из

$\operatorname{cl}(F_A)$ отождествлением границ в силу диффеоморфизма

$f$ . Обозначим через

$p_A\colon\operatorname{cl}(F_A)\to\widehat V_A$ естественную проекцию. Рассмотрим семейство

$E_f\in Dif\kern-1pt f(M^3)$ диффеоморфизмов Морса–Смейла, таких что для любого диффеоморфизма

$f'\in E_f$ имеет место равенство

$\Omega_{f'}=\Omega_f$ и диффеоморфизм

$f'$ совпадает с диффеоморфизмом

$f$ на

$U_A$ и в некоторой окрестности репеллера

$R_f$ . Для любого диффеоморфизма

$f'\in E_f$ положим

$\hat l^{\,\mathrm s}_{f'}=p_A(W^{\mathrm s}_{\sigma_f^1}\cap F_A)$ и

$\hat l^{\,\mathrm u}_{f'}=p_A(W^{\mathrm u}_{\sigma_f^2}\cap F_A)$ .

3. Минимизация числа гетероклинических кривых

В настоящем разделе мы доказываем теорему 1: если многообразие

$M^3$ допускает диффеоморфизм

$f\in G$ с по крайней мере одной некомпактной гетероклинической кривой, то это многообразие допускает диффеоморфизм

$f'\in G$ с ориентируемым множеством гетероклинических кривых.

Доказательство. Пусть

$f\in G$ и множество

$H_f$ непусто. В силу предложения 3, не уменьшая общности, можно считать, что множество

$H_f$ не содержит компактных гетероклинических кривых. Тогда

$H_f$ состоит только из некомпактных гетероклинических кривых, и с каждой такой кривой связан либо положительный, либо отрицательный репер. Покажем, что если множество

$H_f$ неориентируемо, то число кривых в нем можно уменьшить как минимум на две.

Для этого заметим, что в силу предложения 1 множество $C_f=p_f(H_f)$ состоит из простых замкнутых кривых $c$ , таких что $\eta_f([c])\neq 0$ . Следовательно, каждая такая кривая является существенной на обоих торах $T^{\mathrm s}_f$ , $T^{\mathrm u}_f$ . Поскольку отображение $p_f$ является накрытием, с каждой такой кривой также связан положительный или отрицательный репер, соответствующий кривой $\gamma\subset H_f$ , такой что $c=p_f(\gamma)$ . Кривые из множества $C_f$ имеют одинаковый гомотопический тип на торе $T^{\mathrm s}_f$ (на торе $T^{\mathrm u}_f$ ), см., например, [7], поэтому множество $T^{\mathrm s}_f\backslash C_f$ (соответственно множество $T^{\mathrm u}_f\backslash C_f$ ) состоит из конечного числа колец. В силу неориентируемости множества $H_f$ найдутся кривые $c_{+},c_{-}\subset C_f$ , имеющие соответственно положительный и отрицательный репер и ограничивающие компоненту связности $K^{\mathrm s}$ множества $T^{\mathrm s}_f\backslash C_f$ , а также компоненту связности $K^{\mathrm u}$ множества $T^{\mathrm u}_f\backslash C_f$ (см. рис. 4). Таким образом, множество $T=K^{\mathrm s}\cup K^{\mathrm u}\cup c_{+}\cup c_{-}$ является двумерным тором. Покажем, что тор $T$ ограничивает заполненный тор в $\widehat V_f$ , внутренность которого не пересекается с $T^{\mathrm s}_f\cup T^{\mathrm u}_f$ .

Действительно, рассмотрим трубчатую окрестность

$N^{\mathrm s}$ тора

$T^{\mathrm s}_f$ . Тогда в точности одна из компонент связности границы множества

$N^{\mathrm s}\cup K^{\mathrm u}$ является тором

$T'$ в

$\widehat V_f$ , таким что

$(T'\cap T^{\mathrm u}_f)\subset K^{\mathrm u}$ . Рассмотрим пространство орбит

$\widehat V_{\omega_f}=(W^{\mathrm s}_{\omega_f}\backslash\omega_f)/f$ . Согласно предложению 2.3 в [4] оно диффеоморфно многообразию

$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$ . Обозначим через

$p_\omega$ естественную проекцию

$p_{\omega_f}\colon W^{\mathrm s}_{\omega_f}\backslash\omega\to\widehat V_{\omega_f}$ . Положим

$\hat A_f=p_{\omega_f}(A_f\backslash\sigma^1_f)$ . В силу предложения 2.3 в [4]

$\hat A_f$ – пара окружностей, гладко вложенных в

$\widehat V_{\omega_f}$ . С другой стороны, в силу теоремы 2.1 в [4]

Таким образом, тор

$\widetilde T'$ гомотопически нетривиально вложен в

$\widehat V_{\omega_f}$ . Поскольку заполненные торы

$N_{\hat A_f}$ также гомотопически нетривиально вложены в

$\widehat V_{\omega_f}$ , они не содержатся там ни в каком 3-шаре. Тем самым многообразие

$\widetilde W=\widehat V_{\omega_f}\backslash\operatorname{int}N_{\hat A_f}$ неприводимо, следовательно, тор

$\widetilde T'$ ограничивает в этом многообразии заполненный тор

$\widetilde V'$ (см., например, [8], § 1.2, п. (4)). Каждая компонента связности множества

$p_{\omega_f}(W^{\mathrm u}_{\sigma^2_f}\backslash(H_f\cup\sigma^2_f))$ имеет непустое пересечение с множеством

$\operatorname{int}N_{\hat A_f}$ , поэтому

Обозначим как

$T^{\prime\,\mathrm u}_f$ двумерный тор, полученный сглаживанием тора

$(T^{\mathrm u}_f\backslash K^{\mathrm u})\cup K^{\mathrm s}$ , такой что

$T^{\prime\,\mathrm u}_f\cap T^{\mathrm s}_f=\varnothing$ вблизи кривых

$c_{+}$ ,

$c_{-}$ . По построению существует изотопный тождественному диффеоморфизм

$\hat h\colon\widehat V_f\to\widehat V_f$ , для которого

$\hat h(T^{\mathrm u}_f)=T^{\prime\,\mathrm u}_f$ . Тогда в силу предложения 2 существует дуга

$\zeta_t\subset E_f$ , такая что

$\zeta_0=f$ ,

$\zeta_1=f'$ и

$T^{\mathrm u}_{f'}=T^{\prime\,\mathrm u}_f$ ,

$T^{\mathrm s}_{f'}=T^{\mathrm s}_f$ . Соответственно, диффеоморфизм

$f'\in G$ задан на том же многообразии

$M^3$ , что и

$f$ , но имеет на две гетероклинические кривые меньше.

Продолжая этот процесс, мы построим в классе

$G$ диффеоморфизм

$g:M^3\to M^3$ с ориентируемым множеством

$H_g$ , что и завершает доказательство теоремы.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{PocTal23}

\by О.~В.~Починка, Е.~А.~Таланова

\paper Минимизация числа гетероклинических кривых 3-диффеоморфизма с~неподвижными точками, имеющими попарно различные индексы Морса

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 215

\issue 2

\pages 311--317

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10389}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10389}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4526386}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...215..729P}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 215

\issue 2

\pages 729--734

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923050112}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85160648117}

1. Введение и формулировка результатов

2. Динамика диффеоморфизмов из класса GG

3. Минимизация числа гетероклинических кривых

Конфликт интересов

Список литературы

2. Динамика диффеоморфизмов из класса $G$