Теоремы о следах и продолжении для однородных пространств Соболева и Бесова на неограниченных равномерных областях в метрических пространствах с мерой

Для фиксированного числа $p$, $1\le p<\infty$, рассматривается неограниченное локально компактное неполное метрическое пространство с мерой $(\Omega ,d,\mu )$, в котором мера $\mu$ удовлетворяет условию удвоения и выполнено $p$-неравенство Пуанкаре, а $\Omega$ является равномерной областью в своем пополнении $\overline \Omega$. Показано, что следы функций из пространства Дирихле–Соболева $D^{1,p}(\Omega )$ на границе $\partial \Omega$ реализуются как функции из однородного пространства Бесова $HB^\alpha _{p,p}(\partial \Omega )$ для подходящего $\alpha$; здесь $\partial \Omega$ снабжена неатомической борелевской регулярной мерой $\nu$. Показано также, что если $\nu$ удовлетворяет $\theta$-коразмерностному условию относительно $\mu$ для некоторого $0<\theta <p$, то существуют ограниченный линейный оператор следа $T:D^{1,p}(\Omega )\to HB^{1-\theta /p}(\partial \Omega )$ и ограниченный линейный оператор продолжения $E:H B^{1-\theta /p}(\partial \Omega )\to D^{1,p}(\Omega )$, который является правым обратным для $T$.