Непрерывные дроби Хааса–Мольнара и метрические диофантовы приближения

Отображения Хааса–Мольнара представляют собой семейство отображений единичного интервала, введенное в рассмотрение А. Хаасом и Д. Мольнаром. Это семейство включает в себя отображения Гаусса и Реньи, связанные с разложением в обыкновенную непрерывную дробь, как важные частные случаи. Как было показано Хаасом и Мольнаром, метрическую теорию диофантовых приближений, построенную для отображения Гаусса, можно перенести на случай класса отображений Хааса–Мольнара. В частности, для вещественного числа $x$ пусть $(p_n/q_n)_{n\geq 1}$ — последовательность подходящих дробей и $\theta _n(x)=q_n^2|x-p_n/q_n|$, $n=1,2\dots$. Метрическое поведение средних Чезаро последовательности $(\theta _n(x))_{n\geq 1}$ исследовалось рядом авторов. Хаас и Мольнар распространили эту теорию на аналоги последовательности $(\theta _n(x))_{n\geq 1}$, отвечающие семейству Хааса–Мольнара разложений в непрерывные дроби. В настоящей работе исследование величин $(\theta _{k_n}(x))_{n\geq 1}$ для некоторых последовательностей $(k_n)_{n\geq 1}$, начатое вторым из авторов, распространяется на случай отображений Хааса–Мольнара.