Об исследовании и решении разностным методом нелинейных задач для обыкновенного дифференциального уравнения

Излагается разностный метод исследования и решения задачи
$$\begin{gather} y''=f(x,y,y',\lambda),\quad0\le x\le1,\quad y(0)=\varphi_0(\lambda),\quad y'(0)=\varphi_1(\lambda),\tag{1}\\ g(y(1),y'(1),\lambda)=0,\tag{2} \end{gather}$$
где $f$, $g$, $\varphi_0$, $\varphi_1$ – заданные дважды непрерывно дифференцируемые на некоторых областях функции, $\lambda$ – числовой параметр. Решениями задачи (1), (2) являются решения задачи Коши (1) (при некоторых значениях $\lambda$), удовлетворяющие дополнительному условию (2). К задаче (1), (2) сводится, в частности, краевая задача первого рода для уравнения $y''=f(x,y,y')$, задача Штурма–Лиувилля и задача Коши, если $g\equiv0$.
Устанавливаются теоремы существования, единственности и отсутствия решений общей задачи (1), (2) для некоторого отрезка $[\lambda_1,\lambda_2]$ изменения параметра $\lambda$. Условия теорем проверяются через заданные функции и известные разностные решения задачи Коши. Эти теоремы позволяют осуществить целенаправленный поиск изолированных решений нелинейной задачи (1), (2), расположенных в заданной области, для которых $dg/d\lambda\ne0$, и получить двусторонние равномерные приближения каждого такого решения и его производной с точностью $\varepsilon$ за $O(\varepsilon^{-1/2})$ элементарных действий. Один из возможных вариантов поиска (с учетом ошибок округлений) излагается.
Библиогр. – 19 назв.