Мультипликативная структура тел над числовыми полями и норменный принцип Хассе

Пусть $D$ – конечномерное центральное тело индекса $n$ над полем алгебраических чисел $K$, $\mathrm{SL}(1,D)=\{x\in D^*\mid\mathrm{Nrd}_{D/K}(x)=1\}$, где $\mathrm{Nrd}_{D/K}(x)$ – приведенная норма элемента $x$. В 1979 г. в работе авторов (Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 2) была развита мультипликативная арифметика тел кватернионов и описан коммутант группы $\mathrm{SL}(1,D)$ в случае, когда $D$ – тело кватернионов.
В настоящей статье результаты и методы указанной работы авторов обобщаются на тела произвольного индекса. Развивается мультипликативная арифметика тел произвольного индекса, которая применяется затем для доказательства следующей теоремы о коммутанте группы $D^{(1)}=\mathrm{SL}(1,D)$:
Теорема {\it Пусть $D$ – тело индекса $n$ над полем $K$ алгебраических чисел, $(n,2)$ – наибольший общий делитель чисел $n,2$. Тогда при условии $v(n,2)=0$ для всех $v\in T$ коммутант
$$[D^{(1)},D^{(1)}]=D^1\cap\prod_{v\in T}[D^{(1)}_v,D^{(1)}_v];$$
в частности, если $T=\varnothing$, то $[D^{(1)},D^{(1)}]$.}
В доказательстве этой теоремы существенную роль играет обобщение норменного принципа Хассе на некоторые расширения поля $K$, не являющиеся нормальными.
Библиогр. – 22 назв.