Одномерное $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье

В работе изучается двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье $\mathcal{F}_{k,a}$, $k,a>0$, на прямой. При $a\neq 2$ оно обладает деформационными свойствами и, в частности, для функции $f$ из пространства Шварца $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ $\mathcal{F}_{k,a}(f)$ может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. Доказано, что инвариантным множеством для обобщенного преобразования Фурье $\mathcal{F}_{k,a}$ и дифференциально-разностного оператора $|x|^{2-a}\Delta_kf(x)$, где $\Delta_k$ — лапласиан Данкля, является класс
$$\mathcal{S}_{a}(\mathbb{R})=\{f(x)=F_1(|x|^{a/2})+xF_2(|x|^{a/2})\colon F_1,F_2\in\mathcal{S}(\mathbb{R}),\,\, F_1,F_2 - \text{четные}\}.$$
Для $a=1/r$, $r\in\mathbb{N}$, рассмотрены два оператора обобщенного сдвига $\tau^{y}$ и $T^y=(\tau^{y}+\tau^{-y})/2$. Для них предложены простые интегральные представления, позволившие доказать их $L^{p}$-ограниченность при $1\le p\le\infty$ и $\lambda=r(2k-1)>-1/2$. При $\lambda\ge 0$ оператор $T^y$ положительный, и его $L^p$-норма равна 1. Определены две свертки, и для них доказана теорема Юнга. Для обобщенных средних, определенных с помощью сверток, установлено достаточное условие $L^{p}$-сходимости. Изучены обобщенные аналоги средних Гаусса — Вейерштрасса, Пуассона и Бохнера — Рисса.