Автоморфизмы полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ и решеток его подалгебр

Коммутативное полукольцо с нулем и единицей, отличное от кольца, каждый ненулевой элемент которого обратим, называется полуполем с нулем. Пусть $\mathbb{R}^{\vee}_+$ — полуполе с нулем неотрицательных действительных чисел с операциями max-сложения и умножения. Для произвольных положительных чисел $a$ и $s$ обозначим через $\psi_{a, s}$ автоморфизм полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x],$ действующий по правилу $\psi_{a, s}\colon a_0\vee a_1x\vee\ldots\vee a_nx^n\mapsto a_0^s\vee a_1^s(ax)\vee\ldots\vee a_n^s(ax)^n.$ Доказано, что автоморфизмы полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ — это в точности автоморфизмы $\psi_{a, s}.$ Кольцо $C(X)$ непрерывных $\mathbb{R}$-значных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве $X,$ является алгеброй над полем $\mathbb{R}$ действительных чисел. Подалгеброй в $C(X)$ будет любое его непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения функций и выдерживающее умножение на константы из $\mathbb{R}.$ По аналогии непустое подмножество $A\subseteq \mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ назовем подалгеброй полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x],$ если $f\vee g,$ $fg,$ $rf\in A$ для всех $f, g\in A$ и $r\in\mathbb{R}^{\vee}_+.$ Доказано, что произвольный автоморфизм решетки подалгебр полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ индуцируется некоторым автоморфизмом полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x].$ Аналогичный результат верен для решетки подалгебр с единицей полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x].$ Применяется техника однопорожденных подалгебр.