Скорость поведения наименьшего значения взвешенной меры множества неотрицательности многочленов с нулевым средним значением на отрезке

Пусть $\mathcal P_n(\alpha)$ есть множество алгебраических многочленов $p_n$ порядка $n$ с действительными коэффициентами с нулевым взвешенным средним значением с ультрасферическим весом $\varphi^{(\alpha)}(t)=(1-t^2)^\alpha$ на отрезке $[-1,1]$: $\int_{-1}^1\varphi^{(\alpha)}(t)p_n(t)\,dx=0$. Изучается задача о наименьшем значении $\mu_n=\inf\{m(p_n)\colon p_n\in\mathcal P_n(\alpha)\}$ взвешенной меры $m(p_n)=\int_{\mathcal X(p_n)}\varphi^{(\alpha)}(t)\,dt$ множества $\mathcal X(p_n)=\{t\in[-1,1]\colon p_n(t)\ge0\}$ точек отрезка, в которых многочлен $p_n$ является неотрицательным. Найден порядок поведения величины $\mu_n$ по $n$, а именно доказано, что $\mu_n(\alpha)\asymp n^{-2(\alpha+1)}$, $n\to\infty$.