Энергетическая функция для диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами

В настоящей статье рассматриваются $\Omega$-устойчивые диффеоморфизмы, заданные на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности $n \geq 3$, все нетривиальные базисные множества которых являются либо растягивающимися аттракторами, либо сжимающимися репеллерами коразмерности $1$. Благодаря простой топологической структуре бассейнов аттракторов и репеллеров такого типа можно осуществить переход от данной динамической системы с нетривиальными базисными множествами к регулярной системе, представляющей собой гомеоморфизм с конечным гиперболическим цепно-рекуррентным множеством. Как известно, не все дискретные динамические системы обладают энергетической функцией — глобальной функцией Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с цепно-рекуррентным множеством системы. Контрпримеры были найдены как среди регулярных диффеоморфизмов, так и среди диффеоморфизмов с хаотической динамикой. Основным результатом данной работы является доказательство того, что топологические энергетические функции для исходного диффеоморфизма и соответствующего ему регулярного гомеоморфизма существуют или отсутствуют одновременно. Таким образом, многочисленные результаты, полученные в области существования энергетических функций для систем с регулярной динамикой, например, для диффеоморфизмов Морса-Смейла, можно применить к исследованию диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности $1$.