Переходные явления для случайных блужданий при отсутствии математического ожидания скачков

Пусть $\xi,\xi_1,\xi_2,\dots$ – независимые одинаково распределенные случайные величины,
$$S_n:=\sum_{j=1}^n\xi_j,\qquad\overline S:=\sup_{n\ge0}S_n.$$
Если существует $\mathbf E\xi=-a<0$, то переходными называют явления, которые происходят с распределением $\overline S$, когда $a\to0$ и $\overline S$ неограниченно возрастает по вероятности. Рассматривается случай, когда $\mathbf E\xi$ не существует, и изучаются переходные явления при $a\to0$ для следующих двух моделей случайного блуждания.
1. Первая модель предполагает, что $\xi_j$ представимы в виде $\xi_j=\zeta_j+a\eta_j$, где $\zeta_1,\zeta_2,\dots$ и $\eta_1,\eta_2,\dots$ – две независимые последовательности независимых случайных величин, одинаково распределенных в каждой последовательности, таких, что $\sup_{n\ge0}\sum_{j=1}^n\zeta_j=\infty$, $\sup_{n\ge0}\sum_{j=1}^n\eta_j=\infty$, $\overline S<\infty$ п.н.
2. Во второй модели рассматривается схема серий с параметром $a$ и предполагается, что правый хвост $\mathbf P(\xi_j\ge t)\sim V(t)$ при $t\to\infty$ мало зависит от $a$, а левый хвост имеет вид $\mathbf P(\xi_j<-t)=W(t/a)$, где $V$ и $W$ – правильно меняющиеся функции и $\overline S<\infty$ п.н. при каждом фиксированном $a>0$.
Получены результаты как для одинаково распределенных, так и для разнораспределенных $\xi_j$.