Решение параболических уравнений через функционалы Ляпунова

Предлагается новый подход к определению понятия решения линейных и нелинейных параболических уравнений. Основная идея состоит в изучении связей между решениями динамических задач, представленных в вариационной форме
$$\rho(x,u,u_x)u_t=\frac{d}{dx}\frac{\partial\Phi(x,u,u_x)}{\partial u_x}-\frac{\partial\Phi(x,u,u_x)}{\partial u}, \quad \frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2_x}\geqslant\delta>0,$$
и свойствами соответствующих функционалов Ляпунова
$$J[u](t)=\int_0^1\Phi(x,u(x,t),u_x(x,t))\,dx,$$
которые строго убывают вдоль траекторий вышеуказанных динамических уравнений, за исключением точек равновесия:
$$\frac{dJ}{dt}=-\int_0^1\rho(x,u,u_x)u^2_t\,dx, \quad \rho>0.$$
На основе построенных Т. И. Зеленяком семейств функционалов Ляпунова оказалось возможным предложить новый подход к определению решений как линейных, так и нелинейных параболических задач. Все результаты приводятся для случая гладких решений. Отметим, что функционалы Ляпунова могут быть использованы при изучении решений с неограниченными градиентами.