С. А. Александров, Н. В. Богачев, А. Ю. Веснин, А. А. Егоров, “Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников”, Матем. сб., 214:2 (2023), 3–22; S. A. Alexandrov, N. V. Bogachev, A. Yu. Vesnin, A. A. Egorov, “On volumes of hyperbolic right-angled polyhedra”, Sb. Math., 214:2 (2023), 148

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2023, том 214, номер 2, страницы 3–22
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9740 (Mi sm9740)

Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)

Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников

С. А. Александров^a, Н. В. Богачев^ba, А. Ю. Веснин^cde, А. А. Егоров^d

^a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
^b Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва
^c Национальный исследовательский Томский государственный университет
^d Новосибирский национальный исследовательский государственный университет
^e Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск

PDF полного текста (712 kB) PDF английской версии (551 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (2)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9740

Аннотация: Получены новые верхние оценки объемов прямоугольных многогранников в пространстве Лобачевского

$\mathbb{H}^3$ в следующих трех случаях: для идеальных многогранников, все вершины которых лежат на абсолюте, для компактных многогранников, все вершины которых конечны, и для многогранников конечного объема с вершинами обоих типов.
Библиография: 23 названия.

Ключевые слова: прямоугольные многогранники, пространство Лобачевского, гиперболические узлы и зацепления.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Фонд развития теоретической физики и математики "БАЗИС"
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	075-02-2022-884
Исследование С. А. Александрова, Н. В. Богачева и А. А. Егорова выполнено при поддержке Фонда теоретической физики и математики “БАЗИС”. Исследование А. Ю. Веснина выполнено при поддержке Минобрнауки России (соглашение № 075-02-2022-884), а также Фонда теоретической физики и математики “БАЗИС”.

Поступила в редакцию: 26.02.2022 и 04.09.2022

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages 148–165
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9740e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 52B10, 57K32

§ 1. Введение

Изучение объемов гиперболических многогранников и гиперболических многообразий является фундаментальной проблемой геометрии и топологии. Мы рассматриваем многогранники конечного объема в пространстве Лобачевского $\mathbb{H}^n$ размерности $n$ , все двугранные углы которых равны $\pi/2$ . Такие многогранники будем называть прямоугольными. Известно, что в $\mathbb{H}^n$ не существует компактных прямоугольных многогранников при $n>4$ , а прямоугольных многогранников конечного объема – при $n>12$ (см. [8]), однако примеры известны только при $n< 9$ (см. [17]). Отметим, что в последнее время изучение объемов идеальных прямоугольных многогранников становится все более важным ввиду теоремы о максимальном объеме обобщенного гиперболического многогранника с заданным одномерным скелетом (см. [4]), задачи о минимальном идеальном прямоугольном четырехмерном гиперболическом многограннике (см. [15]), а также гипотезы о гиперболических прямоугольных узлах (см. [6]).

В настоящей работе рассматриваются прямоугольные гиперболические многогранники в $\mathbb{H}^3$ . В [11] приведен список наименьших по объему идеальных прямоугольных многогранников, а в [12] – список наименьших по объему компактных прямоугольных многогранников. Построение трехмерных гиперболических многообразий из прямоугольных, как компактных, так и идеальных, многогранников подробно обсуждается в недавнем обзоре [21]. В компактном случае такие многообразия связаны с малыми накрытиями (см., например, [7], [5]). Также прямоугольные многогранники используются при построении трехмерных гиперболических многообразий, ограничивающих геометрически (см. [14]). Отметим работы [13], [16], в которых изучается взаимосвязь между арифметичностью гиперболических групп отражений и арифметичностью гиперболических зацеплений. Существенную роль играет тот факт, что фундаментальные группы дополнений некоторых гиперболических зацеплений соизмеримы с гиперболическими группами отражений прямоугольных многогранников. Это позволяет применить теорию Э. Б. Винберга групп отражений (см. [22]).

В 1970 г. Е. М. Андреев (см. [1], [2], а также [18]) получил известное описание трехмерных гиперболических остроугольных (все двугранные углы не превосходят $\pi/2$ ) многогранников конечного объема. Для прямоугольных многогранников теоремы Андреева дают простые необходимые и достаточные условия того, что заданный комбинаторный многогранник может быть реализован как многогранник в $\mathbb{H}^3$ , который является компактным, идеальным или имеет конечный объем. Такая реализация единственна с точностью до изометрии пространства $\mathbb{H}^3$ . Таким образом, естественно ожидать, что геометрические инварианты таких многогранников могут быть оценены через комбинаторные. Нижние и верхние оценки объемов прямоугольного гиперболического многогранника, использующие число его вершин, были получены К. Аткинсоном (см. [3]).

В настоящей работе получены новые верхние оценки объемов идеальных прямоугольных многогранников (см. теорему 1.1), компактных прямоугольных многогранников (см. теорему 1.2) и прямоугольных многогранников конечного объема, которые содержат как конечные вершины, так и идеальные (см. теорему 1.3).

Напомним, что объем гиперболического многогранника размерности $3$ обычно можно выразить через функцию Лобачевского (см. [23])

$\begin{equation*} \Lambda (x) =-\int_{0}^{x} \log | 2 \sin t |\,dt. \end{equation*} \notag$

Для более удобной формулировки полученных результатов определим две константы, связанные со значениями функции Лобачевского, вычисленными в некоторых точках. Первая,

$v_8=8 \Lambda(\pi/4)$ , равна объему правильного идеального гиперболического октаэдра. С точностью до шести знаков после запятой

$v_8 =3.663862$ . Вторая,

$v_3=3 \Lambda (\pi/3)$ , равна объему правильного идеального гиперболического тетраэдра. С точностью до шести знаков после запятой

$v_3 =1.014941$ .

1.1. Идеальные прямоугольные трехмерные гиперболические многогранники

Напомним, что если $P \subset \mathbb{H}^3$ является идеальным прямоугольным многогранником с $V$ вершинами, то $V \geqslant 6$ . Более того, $V=6$ тогда и только тогда, когда $P$ является октаэдром, который можно рассматривать как антипризму $A(3)$ с треугольными основаниями. Таким образом, $\operatorname{Vol}(A(3))=v_8$ .

Формулы объемов антипризм $A(n)$ (т.е. идеальных прямоугольных многогранников с $V=2n$ вершинами, двумя $n$ -угольными основаниями и $2n$ боковыми треугольниками), где $n \geqslant 3$ , были получены У. Тёрстоном (см. [19; гл. 6, 7]):

$\begin{equation*} \operatorname{Vol} (A(n))=2n \biggl[ \Lambda \biggl(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2n} \biggr)+\Lambda \biggl(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2n} \biggr) \biggr]. \end{equation*} \notag$

Например, с точностью до шести знаков после запятой

$\operatorname{Vol}(A(4))=6.023046$ .

В 2009 г. К. Аткинсон доказал (см. [3; теорема 2.2]) следующие верхние и нижние оценки объемов многогранников через число вершин. Рассмотрим идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник $P$ с $V \geqslant 6$ вершинами. Тогда

$\begin{equation*} \frac{v_8}{4} V-\frac{v_8}{2} \leqslant\operatorname{Vol} (P) \leqslant\frac{v_{8}}{2} V -2 v_{8}. \end{equation*} \notag$

Следует отметить, что оба равенства достигаются тогда, когда $P$ является правильным идеальным октаэдром, т.е. при $V=6$ . Более того, верхняя оценка асимптотически точна в следующем смысле: существует такая последовательность идеальных прямоугольных многогранников $P_i$ с $V_i$ вершинами, что $\operatorname{Vol}(P_i) / V_i \to v_8/2$ при $i \to +\infty$ .

Идеальных прямоугольных многогранников с $V=7$ вершинами не существует. Кроме того, $V=8$ тогда и только тогда, когда $P$ является антипризмой $A(4)$ с четырехугольными основаниями. Следующая верхняя оценка была получена в [9; теорема 2.2]. Рассмотрим идеальный прямоугольный гиперболический многогранник $P \subset \mathbb{H}^3$ с $V \geqslant 9$ вершинами. Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{Vol} (P) \leqslant\frac{v_{8}}{2}V-\frac{5v_{8}}{2}. \end{equation*} \notag$

Равенство достигается тогда, когда $P$ является многогранником, склеенным из двух правильных идеальных октаэдров вдоль одной из граней, т.е. при $V= 9$ . Сравнение указанных выше нижних и верхних оценок с объемами идеальных прямоугольных многогранников, имеющих не более $21$ вершины, приведено на графике в [9; рис. 1].

Теорема 1.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V$ вершинами. Тогда имеют место следующие неравенства.

Если $V>24$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V-3 v_8. \end{equation*} \notag$

Если $P$ имеет $k$ -угольную грань, где $k \geqslant 3$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V -\frac{k+5}{4} v_8. \end{equation*} \notag$

Если $P$ имеет только треугольные и четырехугольные грани, причем $V \geqslant 73$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V-(9 v_8-20 v_3). \end{equation*} \notag$

Доказательство теоремы 1.1 приведено в § 3.

1.2. Компактные прямоугольные трехмерные гиперболические многогранники

Известно, что число вершин $V$ любого компактного прямоугольного многогранника в $\mathbb{H}^3$ четно, причем $V=20$ или $V \geqslant 24$ . Более того, если $V=20$ , то $P$ является правильным прямоугольным додекаэдром.

Формула объема известна, например, для бесконечного семейства компактных прямоугольных многогранников $L(n)$ , $n \geqslant 5$ , называемых многогранниками Лёбелля. Каждый многогранник $L(n)$ имеет $V=4n$ вершин, два $n$ -угольных основания (верхнее и нижнее) и $2n$ боковых пятиугольных граней. В частности, $L(5)$ является правильным додекаэдром. Согласно [20] формула объема для $L(n)$ имеет следующий вид:

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(L(n))=\frac{n}{2} \biggl[ 2 \Lambda (\theta)+\Lambda \biggl( \theta+\frac{\pi}{n} \biggr)+\Lambda \biggl( \theta-\frac{\pi}{n} \biggr)-\Lambda \biggl( 2 \theta-\frac{\pi}{2} \biggr) \biggr], \end{equation*} \notag$

где

$\theta={\pi}/{2}-\arccos \bigl({1}/(2 \cos (\pi/n))\bigr)$ .

Двусторонние оценки объемов компактных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников были получены Аткинсоном (см. [3; теорема 2.3]). А именно, если $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V$ вершинами, то

$\begin{equation*} \frac{v_8}{32} V-\frac{v_8}{4} \leqslant \operatorname{Vol}(P)<\frac{5v_3}{8} V -\frac{25}{4} v_3. \end{equation*} \notag$

При этом существует такая последовательность компактных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников

$P_i$ с числом вершин

$V_i$ , что

$\operatorname{Vol}(P_i)/V_i \to 5v_3/8$ при

$i \to +\infty$ .

Верхняя оценка может быть улучшена, если мы исключим из рассмотрения додекаэдр. В [9; теорема 2.4] доказано, что если $P \subset \mathbb{H}^3$ – компактный прямоугольный многогранник с $V \geqslant 24$ вершинами, то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{5v_3}{8} V-\frac{35}{4} v_3. \end{equation*} \notag$

Теорема 1.2. Пусть $P$ – компактный прямоугольный многогранник в $\mathbb{H}^3$ с $V$ вершинами. Тогда имеют место следующие неравенства.

Если $V>80$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{5v_3}{8} V-10 v_3. \end{equation*} \notag$

Если $P$ имеет $k$ -угольную грань, где $k \geqslant 5$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{5v_3}{8} V-\frac{5k+35}{8} v_3. \end{equation*} \notag$

Доказательство теоремы 1.2 приведено в § 4.

1.3. Прямоугольные трехмерные гиперболические многогранники с конечными и идеальными вершинами

Как и в случаях идеальных и компактных многогранников, Аткинсон получил (см. [3; теорема 2.4]) оценки объемов прямоугольных гиперболических многогранников, которые содержат вершины обоих типов: конечные и идеальные. А именно, если $P$ является прямоугольным многогранником конечного объема с $V_\infty>0$ идеальными и $V_F$ конечными вершинами, то

$\begin{equation} \frac{v_8}{4} V_\infty+\frac{v_8}{32} V_F-\frac{v_8}{4} \leqslant \operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5 v_3}{8} V_F-\frac{v_8}{2}. \end{equation} \tag{1.1}$

Используя больше информации о комбинаторном строении многогранника $P$ , можно улучшить верхнюю оценку следующим образом.

Теорема 1.3. Пусть $P$ – прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник конечного объема с $V_\infty>0$ идеальными и $V_F$ конечными вершинами. Если $V_\infty+V_F>17$ , то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_{\infty}+\frac{5 v_3}{8} V_F -\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2} \biggr). \end{equation*} \notag$

Доказательство теоремы 1.3 приведено в § 5.

§ 2. Комбинаторика прямоугольных гиперболических многогранников

2.1. Гиперболические многогранники

Обозначим через $\mathbb{R}^{n, 1}$ векторное пространство $\mathbb{R}^{n+1}$ , снабженное скалярным произведением $\langle\,\cdot\,{,}\,\cdot\, \rangle$ сигнатуры $(n, 1)$ , а через $f_n$ – ассоциированную с этим произведением квадратичную форму. В подходящем базисе эта форма выражается следующим образом:

$\begin{equation*} f_n(x)= -x_0^2+x_1^2+\dotsm+x_n^2. \end{equation*} \notag$

Пространством Лобачевского

$\mathbb{H}^n$ размерности

$n$ называется верхняя связная компонента гиперболоида, заданного уравнением

$f_n(x)=-1$ :

$\begin{equation*} \mathbb{H}^{n}=\bigl\{ x \in \mathbb{R}^{n, 1} \mid f_n (x)=-1,\,x_{0}>0 \bigr\}. \end{equation*} \notag$

В данной модели точки на абсолюте соответствуют изотропным векторам:

$\begin{equation*} \partial \mathbb{H}^n=\bigl\{x \in \mathbb{R}^{n, 1} \mid f_n (x)=0,\,x_{0}>0\bigr\} / \mathbb R_+. \end{equation*} \notag$

Выпуклым гиперболическим многогранником размерности $n$ называется пересечение конечного семейства замкнутых полупространств в $\mathbb{H}^n$ , которое содержит непустое открытое множество. Выпуклый гиперболический многогранник называется гиперболическим многогранником Кокстера, если все его двугранные углы являются целыми частями $\pi$ , т.е. имеют вид $\pi/ m$ для некоторого целого $m \geqslant 2$ . Гиперболический многогранник Кокстера называется прямоугольным, если все его двугранные углы равны $\pi/2$ . Если все двугранные углы обобщенного¹ многогранника не превосходят $\pi/2$ , то говорят, что этот многогранник является остроугольным.

Известно, что обобщенные многогранники Кокстера являются естественными фундаментальными областями для дискретных групп, порожденных отражениями в пространствах постоянной кривизны (см. [22]).

Выпуклый $n$ -мерный многогранник имеет конечный объем тогда и только тогда, когда он является выпуклой оболочкой конечного числа точек в компактификации $\overline{\mathbb{H}^n}=\mathbb{H}^n \cup \partial \mathbb{H}^n$ . Многогранник размерности $n$ компактен тогда и только тогда, когда он является выпуклой оболочкой конечного числа точек пространства $\mathbb{H}^n$ , которые называются конечными. Выпуклый многогранник называется идеальным, если все его вершины лежат на абсолюте $\partial \mathbb{H}^n$ (такие вершины называются идеальными). Известно, что компактные остроугольные многогранники (в частности, многогранники Кокстера) в $\mathbb{H}^n$ являются простыми, т.е. каждая вершина принадлежит ровно $n$ граням коразмерности $1$ (и, следовательно, $n$ ребрам).

Говорят, что два многогранника $P$ и $P'$ в евклидовом пространстве $\mathbb{E}^n$ комбинаторно эквивалентны, если существует биекция между множествами их граней, которая сохраняет отношение инцидентности. Класс комбинаторно эквивалентных многогранников называется комбинаторным многогранником. Отметим, что если гиперболический многогранник $P \subset \mathbb{H}^n$ имеет конечный объем, то его замыкание $\overline{P} \subset \overline{\mathbb{H}^n}$ комбинаторно эквивалентно некоторому компактному многограннику в $\mathbb{E}^n$ .

Следующая теорема является частным случаем теоремы Андреева (см. [1], [2]).

Теорема 2.1. Комбинаторный многогранник $\mathcal{P}$ может быть реализован как прямоугольный многогранник $P \subset \overline{\mathbb{H}^3}$ конечного объема тогда и только тогда, когда

$\mathcal{P}$ не является тетраэдром или треугольной призмой;

каждая вершина $\mathcal{P}$ принадлежит не более чем четырем граням;

если $f$ , $f'$ и $f''$ – грани $\mathcal{P}$ , причем ребра $e'=f \cap f'$ и $e''=f \cap f''$ не пересекаются, то грани $f'$ и $f''$ не пересекаются;

не существует граней $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ и $f_4$ таких, что $e_i := f_i \cap f_{i+1}$ (индексы по модулю $4$ ) – попарно непересекающиеся ребра многогранника $\mathcal{P}$ .

Вершина $v$ прямоугольного многогранника $P \subset \overline{\mathbb{H}^3}$ лежит в $\mathbb{H}^3$ (т.е. является конечной) тогда и только тогда, когда она лежит ровно в трех гранях многогранника $P$ . Если вершина $v$ лежит в четырех гранях многогранника $P$ , то $v \in \partial \mathbb{H}^3$ .

2.2. Комбинаторика идеальных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников

Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник. Обозначим через $V$ число его вершин, через $E$ – число ребер, а через $F$ – число граней. Эйлерова характеристика многогранника $P$ равна $V-E+F=2$ . Каждая идеальная вершина прямоугольного гиперболического многогранника конечного объема инцидентна ровно четырем ребрам, откуда $4V=2E$ , а значит, $F=V+2$ . Обозначим через $p_k$ число $k$ -угольных граней многогранника $P$ . Из предыдущих тождеств следует, что

$\begin{equation*} \sum_{k \geqslant 3} p_k=F, \qquad \sum_{k \geqslant 3} k p_k=4V, \qquad p_3=8+ \sum_{k \geqslant 5} (k-4) p_k. \end{equation*} \notag$

Будем говорить, что две вершины многогранника $P$ смежны, если они соединены ребром. Две вершины квазисмежны, если они лежат в одной грани, но не смежны.

Пример 2.1. На рис. 1 приведены два идеальных прямоугольных многогранника с $24$ вершинами из работы [11]. Каждая вершина этих многогранников лежит ровно в одной треугольной и трех четырехугольных гранях. Таким образом, каждая вершина этих многогранников квазисмежна ровно трем другим вершинам.

Рис. 1.Идеальные прямоугольные многогранники с $V=24$ вершинами.

Лемма 2.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V>24$ вершинами. Тогда в $P$ найдется вершина, которая квазисмежна не менее чем четырем вершинам.

Доказательство. Обозначим через

$q(v)$ число вершин, квазисмежных вершине

$v$ . Тогда среднее число квазисмежных вершин в многограннике

$P$ равно

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \frac{\sum_v q(v)}{V} &=\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 3} k (k-3) p_k =\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 3} k^2 p_k-\frac{3}{V} \sum_{k \geqslant 3} k p_k \\ &=\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 3} k^2 p_k-12 =\frac{1}{V} \biggl[3^2\,p_3+4^2\biggl(F- p_3-\sum_{k \geqslant 5} p_k\biggr) +\sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k\biggr]-12 \\ &=\frac{1}{V} \biggl[3^2\biggl(8+\sum_{k \geqslant 5} (k-4)p_k\biggr) +4^2\biggl(F-p_3- \sum_{k \geqslant 5} p_k\biggr)+\sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k\biggr]-12 \\ &=\frac{1}{V}\biggl[3^2\biggl(8+\sum_{k \geqslant 5} (k-4)p_k\biggr) +4^2\biggl(V-6\,{-} \sum_{k \geqslant 5} (k-3) p_k\biggr){+}\sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k\biggr]{-}\,12 \\ &=4-\frac{24}{V}+\frac{1}{V} \sum_{k \geqslant 5} (k^2-7k+12) p_k \geqslant 4-\frac{24}{V}> 3. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, в многограннике

$P$ найдется вершина, которая квазисмежна не менее чем четырем вершинам. Доказательство завершено.

Замечание 2.1. Каждая вершина $k$ -угольной грани квазисмежна не менее чем с $k-3$ другими вершинами. Поэтому если в многограннике есть $k$ -угольная грань, где $k \geqslant 7$ , то в нем существует вершина, которая квазисмежна не менее чем с четырьмя другими вершинами.

Будем говорить, что грань $f$ и вершина $v$ инцидентны, если $v$ лежит в $f$ . Будем говорить, что грань $f$ и вершина $v$ квазиинцидентны, если они не инцидентны, но у вершины $v$ есть инцидентная грань $f'$ , которая имеет общее ребро с гранью $f$ .

Предложение 2.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V \geqslant 73$ вершинами, а все его грани являются треугольными или четырехугольными. Тогда в $P$ найдется вершина, которая не инцидентна и не квазиинцидентна ни одной треугольной грани (рис. 2).

Рис. 2.Вершина, которая не инцидентна и не квазиинцидентна ни одной треугольной грани.

Рис. 3.Инцидентные и квазиинцидентные вершины для треугольной грани.

Доказательство. Пусть

$F$ – число граней многогранника

$P$ . Поскольку

$P$ имеет только треугольные и четырехугольные грани, то множество граней многогранника

$P$ состоит из

$8$ треугольников и

$F-8$ четырехугольников. Каждая треугольная грань инцидентна или квазиинцидентна не более чем девяти вершинам (рис. 3, где инцидентные вершины помечены черным цветом, а квазиинцидентные – белым). Следовательно, не более чем

$72$ вершины многогранника

$P$ могут быть инцидентны или квазиинцидентны какой-либо треугольной грани. Это завершает доказательство.

2.3. Комбинаторика компактных прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников

Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник. Обозначим через $V$ число его вершин, через $E$ – число ребер, а через $F$ – число граней. Эйлерова характеристика многогранника $P$ равна $V-E+F=2$ . Каждая вершина компактного прямоугольного трехмерного гиперболического многогранника инцидентна ровно трем ребрам, откуда $3V=2E$ и $F=\frac{1}{2} V+2$ . Обозначим через $p_k$ число $k$ -угольных граней многогранника $P$ . Из теоремы 2.1 следует, что $p_3=0$ и $p_4=0$ , а из предыдущих тождеств, что

$\begin{equation*} \sum_{k \geqslant 5} p_k=F, \qquad \sum_{k \geqslant 5} k p_k=3V, \qquad p_5=12+ \sum_{k \geqslant 7} (k-6) p_k. \end{equation*} \notag$

Будем говорить, что ребро $e$ и вершина $v$ инцидентны, если вершина $v$ принадлежит $e$ . Будем говорить, что ребро $e$ и вершина $v$ квазиинцидентны, если они не инцидентны, но хотя бы одна вершина ребра $e$ лежит в той же грани, что и вершина $v$ .

Поскольку каждая вершина компактного прямоугольного трехмерного гиперболического многогранника $P$ принадлежит трем граням, то каждое ребро $e$ многогранника $P$ окружено четырьмя гранями $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ и $f_4$ , как показано на рис. 4. Из теоремы 2.1 следует, что $f_2 \cap f_4=\varnothing$ . Если грань $f_i$ является $k_i$ -угольной, то число вершин, которые квазиинцидентны $e$ , равно $\sum_{i=1}^4 k_i-10$ .

Рис. 4.Ребро $e$ и окружающие его грани.

Рис. 5.Фуллерен C80.

Пример 2.2. Рассмотрим многогранник, изображенный на рис. 5. Он имеет 80 вершин, и в структурной химии он известен как фуллерен C80. Каждое его ребро квазиинцидентно $13$ вершинам. В самом деле, каждое ребро в C80 окружено одним пятиугольником и тремя шестиугольниками.

Лемма 2.2. Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V>80$ вершинами. Тогда в нем найдется ребро, которое квазиинцидентно не менее чем $14$ вершинам.

Доказательство. Обозначим через

$q(e)$ число вершин, которые квазиинцидентны ребру

$e$ . Тогда среднее число квазиинцидентных вершин в многограннике

$P$ равно

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, &\frac{\sum_{e} q(e)}{E} =\frac{1}{E} \biggl[\sum_{k \geqslant 5} k (k-2) p_k+\sum_{k \geqslant 5} k (k-3) p_k\biggr] =\frac{2}{E} \sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k-\frac{5}{E} \sum_{k \geqslant 5} k p_k \\ &\quad=\frac{2}{E} \sum_{k \geqslant 5} k^2 p_k-10 =\frac{2}{E} \biggl[5^2 p_5+6^2 p_6+\sum_{k \geqslant 7} k^2 p_k\biggr]-10 \\ &\quad=\frac{2}{E}\biggl[5^2 \biggl(12+\sum_{k \geqslant 7} (k-6) p_k\biggr) +6^2\biggl(F-p_5- \sum_{k \geqslant 7} p_k\biggr)+\sum_{k \geqslant 7} k^2 p_k\biggr]-10 \\ &\quad=\frac{2}{E}\biggl[5^2\biggl(12+\sum_{k \geqslant 7} (k-6) p_k\biggr) +6^2\biggl(\frac{E}{3}-10-\sum_{k \geqslant 7} (k-5) p_k\biggr)+\sum_{k \geqslant 7} k^2 p_k\biggr]-10 \\ &\quad=14-\frac{120}{E}+\frac{2}{E} \sum_{k \geqslant 7} (k^2-11 k+30) p_k \geqslant 14-\frac{120}{E}=14-\frac{80}{V}>13. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Следовательно, в многограннике

$P$ найдется ребро, которое квазиинцидентно не менее чем

$14$ вершинам. Лемма доказана.

Следствие 2.1. Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V>80$ вершинами. Тогда найдется ребро, окруженное $k_i$ -угольными гранями, $i=1, \dots, 4$ , такое, что $\sum_{i=1}^4 k_i \geqslant 24$ .

2.4. Комбинаторика прямоугольных трехмерных гиперболических многогранников c конечными и идеальными вершинами

Пусть $P$ – прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V_F$ конечными и $V_\infty$ идеальными вершинами. Обозначим через $E$ число ребер в $P$ , а через $F$ – число граней. Эйлерова характеристика многогранника $P$ равна

$\begin{equation*} V_F+V_\infty-E+F=2. \end{equation*} \notag$

Поскольку каждая идеальная вершина инцидентна четырем ребрам, а конечная – трем, то

$3 V_F+4 V_\infty=2E$ . Значит,

$F=\frac{1}{2} V_F+V_\infty+2$ .

Будем говорить, что две грани являются соседними, если у них есть общая вершина.

Лемма 2.3. Для прямоугольного многогранника $P$ конечного объема с $V_F$ конечными и $V_\infty$ идеальными вершинами имеют место следующие утверждения.

Предположим, что $V_F+V_\infty>15$ и $V_\infty \geqslant 1$ или что $V_F+ V_\infty \geqslant 15$ и $V_\infty>1$ . Тогда существует грань $f \in P$ , у которой имеется не менее шести соседних.

Пусть $V_F+V_\infty>17$ и $V_\infty \geqslant 3$ . Тогда если в $P$ нет грани не более чем с семью соседними, то в $P$ найдется не менее чем семь граней, каждая из которых имеет шесть соседних.

Если $V_\infty \geqslant 6$ и имеется грань $f \in P$ , у которой не больше пяти соседних, то найдется грань $f' \in P$ , у которой имеется не менее семи соседних.

Доказательство. Обозначим число граней многогранника

$P$ через

$F$ , а сами грани – через

$f_i$ , где

$i=1, \dots, F$ . Число конечных вершин грани

$f_i$ обозначим через

$V_F^i$ , а бесконечных – через

$V_\infty^i$ . Тогда среднее число

$A$ соседних граней в многограннике

$P$ равно

$\begin{equation} A=\frac{1}{F} \sum_{i} (2 V_\infty^i+V_F^i) =\frac{1}{F} (8V_\infty+3V_F)=\frac{8V_\infty+ 3V_F}{V_\infty+(1/2)V_F+2}. \end{equation} \tag{2.1}$

(1) Покажем, что имеет место неравенство

$\begin{equation*} \frac{8V_\infty+3V_F}{V_\infty+(1/2)V_F+2}>5. \end{equation*} \notag$

Это эквивалентно тому, что

$\begin{equation*} 8 V_\infty+3 V_F>5 V_\infty+\frac{5}{2} V_F+10, \quad \text{т.е. } \ 3 V_\infty+\frac{1}{2} V_F> 10. \end{equation*} \notag$

Предположив, что

$V_F+V_{\infty}>15$ , получаем

$\begin{equation*} 3 V_\infty+\frac{1}{2} V_F> 3 V_\infty+\frac{15}{2}-\frac{1}{2} V_\infty=\frac{5}{2} V_\infty+\frac{15}{2} \geqslant 10 \end{equation*} \notag$

при

$V_\infty \geqslant 1$ . Теперь предположим, что

$V_F+V_{\infty} \geqslant 15$ . Получаем

$\begin{equation*} 3 V_\infty+\frac{1}{2} V_F \geqslant 3 V_\infty+\frac{15}{2}-\frac{1}{2} V_\infty=\frac{5}{2} V_\infty+\frac{15}{2}>10 \end{equation*} \notag$

при

$V_\infty>1$ . Таким образом, в обоих случаях найдется грань

$f \in P$ , у которой есть не менее шести соседних.

(2) Запишем формулу (2.1) для среднего числа $A$ соседних граней в многограннике $P$ :

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, A &=\frac{8V_\infty+3V_F}{V_\infty+(1/2)V_F+2} =\frac{6(V_\infty+(1/2) V_F+ 2)+2V_\infty-12}{V_\infty+(1/2) V_F+2} \\ &\geqslant\frac{6(V_\infty+(1/2) V_F+2)-6}{V_\infty+(1/2) V_F+2}=6-\frac{6}{V_\infty+(1/2) V_F+2}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где мы воспользовались тем, что

$2 V_\infty-6 \geqslant 0$ . Поскольку

$V_\infty+V_F>17$ и

$V_\infty \geqslant 3$ , получаем

$\begin{equation*} V_\infty+\frac{1}{2} V_F+2 \geqslant 11+\frac{1}{2} V_\infty \geqslant\frac{25}{2}. \end{equation*} \notag$

Следовательно, среднее число соседних граней удовлетворяет неравенству

$\begin{equation*} A \geqslant 6-\frac{12}{25}=\frac{138}{25}. \end{equation*} \notag$

Поскольку $V_\infty+V_F>17$ и $V_\infty \geqslant 3$ , то многогранник $P$ имеет

$\begin{equation*} F=\frac{1}{2} V_F+V_\infty+2 \geqslant 11+\frac{1}{2} V_\infty>12 \end{equation*} \notag$

граней. Но

$F$ является целым числом, поэтому

$F \geqslant 13$ . Предположим от противного, что

$P$ содержит

$k \leqslant 6$ таких граней, у которых имеется не менее шести соседних. Тогда

$P$ содержит

$F- k$ граней, у каждой из который не более чем пять соседних, а среднее число

$A$ соседних граней в

$P$ удовлетворяет следующему неравенству:

$\begin{equation*} A \leqslant\frac{6 k+5 (F-k)}{F}=5+\frac{k}{F} \leqslant 5+\frac{6}{13}=\frac{71}{13}. \end{equation*} \notag$

Поскольку

${71}/{13}<{138}/{25}$ , мы пришли к противоречию. Следовательно, в

$P$ есть хотя бы семь таких граней, которые имеют не менее шести соседних.

(3) Предполагая, что $V_\infty \geqslant 6$ , мы получаем из формулы (2.1) следующее неравенство на среднее число соседних граней:

$\begin{equation*} A=\frac{8V_\infty+3V_F}{V_\infty+(1/2) V_F+2}=\frac{6(V_\infty+(1/2) V_{F}+2)+2V_\infty-12}{V_\infty+(1/2) V_F+2} \geqslant 6. \end{equation*} \notag$

Так как

$A \geqslant 6$ , а грань

$f$ имеет не более пяти соседних граней, то найдется грань

$f'$ многогранника

$P$ , у которой есть не менее семи соседних. Это завершает доказательство.

§ 3. Доказательство теоремы 1.1

Поскольку функция Лобачевского вогнута на отрезке $[0,{\pi}/{2}]$ , то имеет место неравенство

$\begin{equation*} \sum_{k=1}^m \Lambda(x_k) \leqslant m\Lambda\biggl(\frac{\sum_{k=1}^m x_k}{m}\biggr). \end{equation*} \notag$

Пусть $P$ – идеальный прямоугольный гиперболический многогранник. Зафиксируем вершину $v$ многогранника $P$ , которую далее будем называть базисной вершиной. Для каждой грани $f$ существует единственная точка $u$ – образ проекции $v$ на $f$ . Если $f$ не пересекается ни с какой гранью, содержащей $v$ , то проекция $u$ лежит внутри $f$ . Проецируя точку $u$ на ребра грани $f$ , мы получим разбиение многогранника $P$ на тетраэдры, известные как ортосхемы: гиперболический тетраэдр с вершинами $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ и $P_4$ называется ортосхемой, если ребро $P_1 P_2$ ортогонально плоскости $P_2 P_3 P_4$ , а $P_1 P_2 P_3$ ортогональна $P_3 P_4$ . Пример такого разбиения для грани, вершинами которой являются $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ и $v_4$ , а базисной вершиной – $v$ , изображен на рис. 6.

Рис. 6.Разбиение идеального прямоугольного многогранника.

В результате получаем восемь тетраэдров с общим ребром $vu$ . Рассмотрим тетраэдр, вершинами которого являются $v$ , $u$ , $w_4$ и $v_4$ . Отметим, что вершины $v$ и $v_4$ являются идеальными, а $u$ и $w_4$ – конечными. Двугранные углы при ребрах $v w_4$ , $w_4 u$ и $u v_4$ равны $\pi/2$ . Если двугранный угол при ребре $vu$ равен $\alpha$ , то двугранный угол при ребре $v v_4$ равен $\pi/2- \alpha$ , а двугранный угол при ребре $v_4 w_4$ равен $\alpha$ . Таким образом, тетраэдр определяется значением $\alpha$ , которое мы назовем параметром этого тетраэдра. Согласно [19; гл. 7] объем тетраэдра, образованного вершинами $v$ , $u$ , $w_4$ и $v_4$ , равен $\frac{1}{2} \Lambda(\alpha)$ .

Пример 3.1. Рассмотрим антипризму $A(4)$ с вершинами $V\,{=}\,\{v_1, v_2, \dots, v_8\}$ . Антипризма и ее разбиение с базисной вершиной $v_1$ приведены на рис. 7. Определим тетраэдральный конус $C(v)$ вершины $v$ как объединение тетраэдров из разбиения многогранника, которые содержат вершину $v$ . Таким образом, $A(4)$ разбивается на конусы и $\operatorname{Vol}(A(4))=\sum_{k=2}^8 \operatorname{Vol}(C(v_k))$ .

Рис. 7.Антипризма $A(4)$ и ее разбиение.

Вершины $v_2$ , $v_4$ , $v_5$ и $v_8$ смежны с $v_1$ . Рассмотрим конус $C(v_4)$ . Он состоит из двух тетраэдров с параметрами $\alpha$ и $\beta$ . Так как двугранный угол при $v_1 v_4$ равен $\pi/2$ , то сумма $(\pi/2-\alpha)+(\pi/2-\beta)$ равна $\pi/2$ , а значит, $\alpha+\beta= \pi/2$ . Из вогнутости функции $\Lambda(x)$ следует, что

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(C(v_4))=\frac{1}{2} \Lambda(\alpha)+\frac{1}{2} \Lambda(\beta) \leqslant \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr). \end{equation*} \notag$

Аналогичное неравенство выполняется для любой вершины, смежной с

$v_1$ . Более подробные рассуждения приведены в [3; предложение 5.2].

Аналогичными рассуждениями можно показать, что $\operatorname{Vol}(C(v)) \leqslant 2\Lambda(\pi/4)$ , если $v$ квазисмежна с $v_1$ (например, такой является вершина $v_3$ ), и $\operatorname{Vol}(C(v)) \leqslant 4\Lambda(\pi/4)$ для любой другой вершины $v$ (такими в рассматриваемом примере являются вершины $v_6$ и $v_7$ ). Поэтому

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(A(4)) \leqslant 4 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+1\cdot 2 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+2\cdot 4 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4} \biggr)=14 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr). \end{equation*} \notag$

Пример 3.1 демонстрирует идею доказательства следующей леммы.

Лемма 3.1. Пусть $P$ – идеальный прямоугольный гиперболический многогранник c $V$ вершинами. Если в $P$ есть вершина, имеющая $m$ квазисмежных вершин, то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\biggl(V-4-\frac{m}{2}\biggr)\frac{v_8}{2}. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Каждая вершина многогранника

$P$ смежна с четырьмя другими вершинами. Таким образом,

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant (V-1-4-m) 4 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+m 2 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+4 \Lambda \biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)=\biggl(V-4-\frac{m}{2}\biggr) 4 \Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr). \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Для доказательство п. (3) теоремы 1.1 мы будем суммировать объемы тетраэдров не по вершинам, а по граням. Тетраэдральным конусом $C(f)$ грани $f$ будем называть объединение тетраэдров разбиения многогранника, которые содержат грань, лежащую в $f$ . Пример такого конуса изображен на рис. 6, c.

Лемма 3.2. Рассмотрим разбиение идеального прямоугольного гиперболического многогранника $P$ . Пусть $f$ – $k$ -угольная грань, которая не содержит базисную вершину разбиения.

Если $f$ квазиинцидентна базисной вершине, то

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(C(f)) \leqslant (k-1)\,\Lambda\biggl(\frac{\pi}{2k-2}\biggr). \end{equation*} \notag$

Если $f$ не квазиинцидентна базисной вершине, то $\operatorname{Vol}(C(f)) \leqslant k\Lambda({\pi}/{k}).$

Доказательство. Если

$f$ квазиинцидентна базисной вершине, то ее проекция не лежит во внутренности

$f$ , а конус

$C(f)$ состоит из

$2k-2$ тетраэдров разбиения (см. грань

$v_3 v_4 v_7$ на рис. 7) и

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(C(f))=\sum_{i=2}^{2k-1}\frac{1}{2} \Lambda(\alpha_i) \leqslant (k- 1)\Lambda\biggl(\frac{\pi}{2k-2}\biggr), \quad \text{где } \ \sum_{i=2}^{2k-1} \alpha_i=\pi. \end{equation*} \notag$

Если $f$ не квазиинцидентна базисной вершине, то ее проекция лежит внутри $f$ , а конус $C(f)$ состоит из $2k$ тетраэдров разбиения (см. грань $v_3 v_6 v_7$ на рис. 7) и

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(C(f))=\sum_{i=1}^{2k}\frac{1}{2} \Lambda(\alpha_i) \leqslant k\Lambda\biggl(\frac{\pi}{k}\biggr), \quad \text{где } \ \sum_{i=1}^{2k} \alpha_i=2\pi. \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 1.1.

Доказательство теоремы 1.1. Утверждения (1) и (2) теоремы 1.1 следуют из леммы 3.1, леммы 2.1 и замечания 2.1.

Докажем утверждение (3). Пусть $P$ – идеальный прямоугольный гиперболический многогранник, который содержит только треугольные и четырехугольные грани. Пусть число его вершин равно $V \geqslant 73$ , а число граней – $F$ . Из предложения 2.1 следует, что найдется вершина, которая квазисмежна с восемью попарно различными четырехугольными гранями. Тогда из леммы 3.2 следует, что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P) &\leqslant 8\cdot 3\Lambda\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)+8 (4- 1)\Lambda\biggl(\frac{\pi}{2\cdot 4-2}\biggr)+(F-20) 4\Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr) \\ &= (V-18) 4\Lambda\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr) +24\biggl[\Lambda\biggl(\frac{\pi}{3}\biggr)+ \Lambda\biggl(\frac{\pi}{6}\biggr)\biggr]. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для завершения доказательства напомним, что

$v_8=8 \Lambda( \pi/4)$ и

$v_3=3 \Lambda( \pi/3 )=2 \Lambda( \pi/6)$ , поскольку функция

$\Lambda (x)$ нечетная,

$\pi$ -периодическая и

$\Lambda (2x) =2 \Lambda (x)+2 \Lambda (x+{\pi}/{2})$ , см. [19; лемма 7.1.4].

§ 4. Доказательство теоремы 1.2

4.1. Доказательство утверждения (1) теоремы 1.2

Пронумеруем грани, окружающие ребро $e$ , как показано на рис. 4, а именно, будем считать, что $f_1$ и $f_3$ – те грани, которые содержат ребро $e$ . Так как $V> 80$ , то в силу следствия 2.1 существует ребро $e$ , окруженное такими $k_i$ -угольными гранями $f_i$ , где $i=1, \dots, 4$ , что $\sum_{i=1}^4 k_i \geqslant 24$ .

Обозначим через $P'$ многогранник, полученный приклеиванием к $P$ его образа при отражении относительно плоскости, проходящей через $f_1$ . Тогда многогранник $P'$ имеет $V'=2V-2k_1$ вершин. Через $f'_2$ обозначим $(2k_2-4)$ -угольную грань многогранника $P'$ , содержащую $f_2$ , через $f'_3$ – $(2k_3-4)$ -угольную грань многогранника $P'$ , содержащую $f_3$ , а через $f'_4$ – $(2k_4-4)$ -угольную грань многогранника $P'$ , содержащую $f_4$ .

Следующая верхняя оценка объема была доказана в [10].

Лемма 4.1 (см. [10; следствие 3.2]). Пусть $P$ – компактный прямоугольный трехмерный гиперболический многогранник с $V$ вершинами. Пусть $f_1$ , $f_2$ и $f_3$ – такие три грани, что $f_2$ смежна как с $f_1$ , так и с $f_3$ . Путь грань $f_i$ является $k_i$ -угольной, где $i=1, 2, 3$ . Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant (V-k_1-k_2-k_3+4)\frac{5 v_3}{8}. \end{equation*} \notag$

Применяя лемму 4.1 к многограннику $P'$ , получаем

$\begin{equation*} 2\operatorname{Vol}(P)=\operatorname{Vol}(P') \leqslant \bigl(2V-2k_1-(2k_2-4)-(2k_3-4)-(2k_4-4)+ 4\bigr)\frac{5 v_3}{8}, \end{equation*} \notag$

откуда

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant (V-k_1-k_2-k_3-k_4+8)\frac{5 v_3}{8} \leqslant (V-16)\frac{5 v_3}{8}=\frac{5 v_3}{8} V-10 v_3, \end{equation*} \notag$

где мы воспользовались тем, что

$\sum_{i=1}^4 k_i \geqslant 24$ . Утверждение (1) доказано.

4.2. Доказательство утверждения (2) теоремы 1.2

Обозначим $k_1\,{=}\,k$ . Поскольку каждая грань многогранника $P$ имеет не менее пяти сторон, то $k_i \geqslant 5$ при $i=2, 3, 4$ . Тогда из предыдущего неравенства получаем, что

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant (V-k-5-5-5+8)\frac{5 v_3}{8}=\frac{5 v_3}{8} V-\frac{5k+ 35}{8} v_3. \end{equation*} \notag$

Тем самым теорема 1.2 доказана.

§ 5. Доказательство теоремы 1.3

Применяя верхнюю оценку объема из формулы (1.1) к многограннику $P$ , имеющему $V_\infty>0$ идеальных и $V_F$ конечных вершин, получаем

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-\frac{v_8}{2}. \end{equation*} \notag$

Обозначим через $P^1$ многогранник $P$ . Через $k^1_\infty$ и $k^1_F$ обозначим число идеальных и соответственно конечных вершин некоторой грани $f_1$ многогранника $P^1$ . Рассмотрим многогранник $P^2$ , который получается как объединение $P^1$ со своим отражением относительно плоскости, содержащей $f_1$ . Многогранник $P^2$ является прямоугольным, он имеет $V^2_\infty=2V_\infty- k^1_\infty$ идеальных вершин и $V^2_F=2V_F-2k^1_F$ конечных вершин. Применяя к $P^2$ верхнюю оценку из (1.1), получаем

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P) &=\frac{\operatorname{Vol}(P^2)}{2}< \frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-\biggl(\frac{v_8}{4} k^1_\infty+\frac{5v_3}{8} k^1_F+\frac{v_8}{4} \biggr) \\ &=\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-c_1-\frac{v_8}{4}, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} c_1=\frac{v_8}{4} k^1_\infty+\frac{5v_3}{8} k^1_F. \end{equation*} \notag$

Обозначим через $k_\infty^2$ и $k_F^2$ число идеальных и соответственно конечных вершин некоторой грани $f^2$ многогранника $P^2$ . Рассмотрим многогранник $P^3$ , который получается как объединение $P^2$ со своим образом при отражении относительно плоскости, содержащей $f^2$ . Многогранник $P^3$ является прямоугольным, он имеет $V^3_\infty=4V_\infty -2 k^1_\infty-k^2_\infty$ идеальных вершин и $V^3_F=4V_F-4k^1_F-2k^2_F$ конечных вершин. Применяя к $P^3$ верхнюю оценку из (1.1), получаем

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P)=\frac{\operatorname{Vol}(P^3)}{4}<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-c_1-c_2-\frac{v_8}{8}, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} c_2=\frac{v_8}{8} k^2_\infty+\frac{5v_3}{16} k^2_F. \end{equation*} \notag$

Продолжая процесс индуктивно, получаем неравенство

$\begin{equation} \operatorname{Vol}(P)<\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-c_1-c_2-\dots-c_n-\frac{v_8}{2^{n+1}}, \end{equation} \tag{5.1}$

где

$\begin{equation*} c_i=\frac{v_8}{2^{i+1}} k^i_\infty+\frac{5v_3}{2^{i+2}} k^i_F \end{equation*} \notag$

для

$i=1, \dots, n$ .

Предположим, что для каждого $i=1, 2, \dots$ грань $f^i$ не является идеальным треугольником и имеет не менее чем шесть соседних. Ниже в лемме 5.1 будет показано, что такую грань $f^i$ в многограннике $P^i$ можно выбрать для каждого $i$ . Тогда величина $c_i$ будет иметь наименьшее значение при $k^i_\infty=2$ и $k^i_F=2$ . Получаем, что

$\begin{equation*} \sum_{i=1}^n c_i \geqslant\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2}\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n\frac{1}{2^i}\biggr) =\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2}\biggr) \biggl(1-\frac{1}{2^n}\biggr). \end{equation*} \notag$

Переходя в (5.1) к пределу

$n \to \infty$ , получаем, что

$\begin{equation*} \operatorname{Vol}(P) \leqslant\frac{v_8}{2} V_\infty+\frac{5v_3}{8} V_F-\biggl(v_8+\frac{5v_3}{2}\biggr). \end{equation*} \notag$

Таким образом, оценка из теоремы 1.3 получена. Осталось доказать лемму 5.1.

Обозначим через $N_6(P)$ множество граней многогранника $P$ , которые имеют следующее свойство: $f \in N_6 (P)$ , если $f$ имеет не менее чем шесть соседних. Из п. (1) леммы 2.3 следует, что это множество непусто.

Лемма 5.1. Если $V_\infty+V_F>17$ , то для каждого $i=1, 2, \dots$ множество $N_6(P^i)$ содержит хотя бы одну грань, которая не является идеальным треугольником.

Доказательство. Заметим, что для всех

$i \geqslant 1$ многогранник

$P^i$ не является октаэдром. В самом деле, это верно для

$P^1=P$ , так как

$V^1_\infty=V_\infty$ ,

$V^1_F=V_F$ и

$V_\infty^1+V_F^1>17$ . Предположим от противного, что

$P^2$ является октаэдром. Тогда

$2 V_\infty^1 \geqslant V_\infty^2=6$ и

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P^2) &=2 \operatorname{Vol}(P^1) \geqslant2\frac{4 V_\infty^1+V_F^1-8}{32} v_8 \\ &>\frac{4 V_\infty^1+17-V_\infty^1-8}{16} v_8 \geqslant\frac{18 v_8}{16}>v_8, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что противоречит предположению. Наконец, покажем, что

$P^i$ при

$i \geqslant 3$ не является октаэдром. Предположим от противного, что

$P^i$ является октаэдром. Тогда в

$P^1$ должна была быть хотя бы одна идеальная вершина,

$V^1_\infty \geqslant 1$ , и из неравенства (1.1) следует, что

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \operatorname{Vol}(P^i) &\geqslant 2^{i-1}\frac{4 V_\infty^1+V_F^1-8}{32} v_8 >2^{i-6} (4 V_\infty^1+17-V_\infty^1-8) v_8 \\ &\geqslant 12\cdot 2^{i-6} v_8=\frac{3}{2} 2^{i-3} v_8>v_8, \end{aligned} \end{equation*} \notag$

что опять приводит к противоречию.

Предположим от противного, что при $i=1$ все грани из $N_6(P^1)$ являются идеальными треугольниками. Тогда из п. (2) леммы 2.3 следует, что в $N_6(P^1)$ содержится не менее семи идеальных треугольников. Обозначим множество граней многогранника $P^1$ через $\mathcal{F}$ , а число идеальных вершин грани $f$ через $I(f)$ . Предположив, что $P^1$ содержит не более пяти идеальных вершин, получим противоречие:

$\begin{equation*} 21=3\cdot 7 \leqslant \sum_{f \in \mathcal{F}} I(f) \leqslant 4\cdot 5=20. \end{equation*} \notag$

Значит, $P^1$ содержит хотя бы шесть идеальных вершин, $V_{\infty} \geqslant 6$ .

Так как $P^1$ не является октаэдром, то существует грань $f'$ , не являющаяся идеальным треугольником. Значит, $f' \notin N_6(P^1)$ , т.е. грань $f'$ имеет не более пяти соседних граней. Из п. (3) леммы 2.3 следует, что тогда существует грань $f''$ , которая имеет не менее чем семь соседних граней. Следовательно, $f''$ не является идеальным треугольником. Но в то же время, $f'' \in N_6(P^1)$ , что противоречит предположению о том, что все грани из $N_6(P^1)$ являются идеальными треугольниками.

Предположим теперь от противного, что при некотором $i \geqslant 2$ все грани из $N_6(P^i)$ являются идеальными треугольниками. Многогранник $P^i$ является объединением двух копий $P^{i-1}$ вдоль грани $f^{i-1}$ . Обозначим через $D^{i-1}$ множество тех граней многогранника $P^{i-1}$ , которые имеют общее ребро с $f^{i-1}$ . Через $S^i$ обозначим множество граней многогранника $P^i$ , которые содержат грань из $D^{i-1}$ . Другими словами, $S^i$ – это те новые грани, которые появились при склейке двух копий $P^{i-1}$ вдоль $f^{i-1}$ . Из теоремы 2.1 следует, что каждая грань прямоугольного многогранника имеет не менее пяти соседних с ней. Значит, каждая грань из $S^i$ имеет хотя бы шесть соседних и $S^i \subset N_6(P^i)$ . Из нашего предположения следует, что все грани из $S^i$ являются идеальными треугольниками. Тогда все грани из $D^{i-1}$ являются треугольниками с двумя идеальными и одной конечной вершиной. Более того, $f^{i-1}$ – грань с четным числом вершин, причем идеальные и конечные вершины чередуются. А именно, если $f^{i-1}$ содержит $2k$ вершин, то среди них $k$ идеальных и $k$ конечных, причем $k \geqslant 2$ .

Заметим, что в $P^{i-1}$ содержатся по крайней мере две идеальные вершины, которые не лежат в грани $f^{i-1}$ . В самом деле, так как все грани из $D^{i-1}$ являются треугольниками с двумя идеальными вершинами, то у $P^{i-1}$ есть хотя бы одна идеальная вершина вне $f^{i-1}$ . Предположим от противного, что $v$ – единственная такая вершина. Тогда $v$ смежна со всеми вершинами грани $f^{i-1}$ . Если $k \geqslant 3$ , то $v$ смежна с $2k$ вершинами, что невозможно по п. (2) теоремы 2.1. Если $k=2$ , то $P^{i-1}$ является четырехугольной пирамидой с пятью гранями, но из п. (3) теоремы 2.1 следует, что четырехугольная пирамида не является прямоугольным многогранником. Из полученного противоречия следует, что $P^{i-1}$ должен иметь хотя бы две идеальные вершины, которые не содержатся в грани $f^{i-1}$ .

Значит, $P^i$ содержит не менее $k+4 \geqslant 6$ идеальных вершин. Так как $P^i$ не является октаэдром, то у него есть хотя бы одна грань $f'$ , которая не является идеальным треугольником. Используя п. (3) леммы 2.3, получаем, что в $P^i$ есть грань $f''$ , которая имеет не менее семи соседних граней, а значит, не может быть идеальным треугольником. Это противоречит нашему предположению о $N_6(P^i)$ , что завершает доказательство леммы 5.1.

Благодарности

Авторы благодарят лабораторию Комбинаторных и геометрических структур МФТИ за организацию “Летней исследовательской программы студентов 2021”, во время которой было начато настоящее исследование.



Список литературы

1.	Е. М. Андреев, “О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского”, Матем. сб., 81(123):3 (1970), 445–478 ; англ. пер.: E. M. Andreev, “On convex polyhedra in Lobac̆evskiĭ spaces”, Math. USSR-Sb., 10:3 (1970), 413–440
2.	Е. М. Андреев, “О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского”, Матем. сб., 83(125):2(10) (1970), 256–260 ; англ. пер.: E. M. Andreev, “On convex polyhedra of finite volume in Lobac̆evskiĭ space”, Math. USSR-Sb., 12:2 (1970), 255–259
3.	C. K. Atkinson, “Volume estimates for equiangular hyperbolic Coxeter polyhedra”, Algebr. Geom. Topol., 9:2 (2009), 1225–1254
4.	G. Belletti, “The maximum volume of hyperbolic polyhedra”, Trans. Amer. Math. Soc., 374:2 (2021), 1125–1153
5.	В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, “О многообразиях, задаваемых 4-раскрасками простых 3-многогранников”, УМН, 71:6(432) (2016), 157–158 ; англ. пер.: V. M. Buchstaber, T. E. Panov, “On manifolds defined by 4-colourings of simple 3-polytopes”, Russian Math. Surveys, 71:6 (2016), 1137–1139
6.	A. Champanerkar, I. Kofman, J. Purcell, “Right-angled polyhedra and alternating links”, Algebr. Geom. Topol., 22:2 (2022), 739–784
7.	M. W. Davis, T. Januszkievicz, “Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions”, Duke Math. J., 62:2 (1991), 417–451
8.	G. Dufour, “Notes on right-angled Coxeter polyhedra in hyperbolic spaces”, Geom. Dedicata, 147 (2010), 277–282
9.	A. Egorov, A. Vesnin, “Volume estimates for right-angled hyperbolic polyhedra”, Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste, 52 (2020), 565–576
10.	A. A. Egorov, A. Yu. Vesnin, “On correlation of hyperbolic volumes of fullerenes with their properties”, Comput. Math. Biophys., 8:1 (2020), 150–167
11.	A. Yu. Vesnin, A. A. Egorov, “Ideal right-angled polyhedra in Lobachevsky space”, Чебышевский сб., 21:2 (2020), 65–83
12.	T. Inoue, “Exploring the list of smallest right-angled hyperbolic polyhedra”, Exp. Math., 31:1 (2022), 165–183
13.	R. Kellerhals, A polyhedral approach to the arithmetic and geometry of hyperbolic chain link complements, 2022, 23 pp. https://homeweb.unifr.ch/kellerha/pub/Kellerhals.pdf
14.	A. Kolpakov, B. Martelli, S. Tschantz, “Some hyperbolic three-manifolds that bound geometrically”, Proc. Amer. Math. Soc., 143:9 (2015), 4103–4111
15.	A. Kolpakov, “On the optimality of the ideal right-angled 24-cell”, Algebr. Geom. Topol., 12:4 (2012), 1941–1960
16.	J. S. Meyer, C. Millichap, R. Trapp, “Arithmeticity and hidden symmetries of fully augmented pretzel link complements”, New York J. Math., 26 (2020), 149–183
17.	L. Potyagailo, E. Vinberg, “On right-angled reflection groups in hyperbolic spaces”, Comment. Math. Helv., 80:1 (2005), 63–73
18.	R. K. W. Roeder, J. H. Hubbard, W. D. Dunbar, “Andreev's theorem on hyperbolic polyhedra”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 57:3 (2007), 825–882
19.	W. Thurston, The geometry and topology of three-manifolds, Princeton lecture notes, unpublished, 1980, vii+360 pp.; electronic version, 2002 http://msri.org/publications/books/gt3m/
20.	А. Ю. Веснин, “Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лёбелля”, Матем. заметки, 64:1 (1998), 17–23 ; англ. пер.: A. Yu. Vesnin, “Volumes of hyperbolic Löbell 3-manifolds”, Math. Notes, 64:1 (1998), 15–19
21.	А. Ю. Веснин, “Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия”, УМН, 72:2(434) (2017), 147–190 ; англ. пер.: A. Yu. Vesnin, “Right-angled polyhedra and hyperbolic 3-manifolds”, Russian Math. Surveys, 72:2 (2017), 335–374
22.	Э. Б. Винберг, “Гиперболические группы отражений”, УМН, 40:1(241) (1985), 29–66 ; англ. пер.: È. B. Vinberg, “Hyperbolic reflection groups”, Russian Math. Surveys, 40:1 (1985), 31–75
23.	Э. Б. Винберг, “Объемы неевклидовых многогранников”, УМН, 48:2(290) (1993), 17–46 ; англ. пер.: È. B. Vinberg, “Volumes of non-Euclidean polyhedra”, Russian Math. Surveys, 48:2 (1993), 15–45

Образец цитирования: С. А. Александров, Н. В. Богачев, А. Ю. Веснин, А. А. Егоров, “Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников”, Матем. сб., 214:2 (2023), 3–22; S. A. Alexandrov, N. V. Bogachev, A. Yu. Vesnin, A. A. Egorov, “On volumes of hyperbolic right-angled polyhedra”, Sb. Math., 214:2 (2023), 148–165

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AleBogVes23}

\by С.~А.~Александров, Н.~В.~Богачев, А.~Ю.~Веснин, А.~А.~Егоров

\paper Об объемах гиперболических прямоугольных многогранников

\jour Матем. сб.

\yr 2023

\vol 214

\issue 2

\pages 3--22

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9740}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9740}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634801}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1522.52028}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023SbMat.214..148A}

\transl

\by S.~A.~Alexandrov, N.~V.~Bogachev, A.~Yu.~Vesnin, A.~A.~Egorov

\paper On volumes of hyperbolic right-angled polyhedra

\jour Sb. Math.

\yr 2023

\vol 214

\issue 2

\pages 148--165

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9740e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=001057011000001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165630993}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9740

https://doi.org/10.4213/sm9740

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v214/i2/p3

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

А. Ю. Веснин, А. А. Егоров, “Верхние оценки объемов обобщенных гиперболических многогранников и зацеплений”, Сиб. матем. журн., 65:3 (2024), 469–488
A. Yu. Vesnin, A. A. Egorov, “Upper Bounds for Volumes of Generalized Hyperbolic Polyhedra and Hyperbolic Links”, Sib Math J, 65:3 (2024), 534

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	646
PDF русской версии:	93
PDF английской версии:	109
HTML русской версии:	391
HTML английской версии:	192
Список литературы:	60
Первая страница:	21

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы