Н. В. Волосова, “Функтор $p$-выпуклости для $L_p(X)$-пространств”, Матем. сб., 213:6 (2022), 3–12; N. V. Volosova, “The $p$-convexity functor for $L_p(X)$-spaces”, Sb. Math., 213:6 (2022), 734

Настоящая работа посвящена структурам, занимающим промежуточное положение между классическими и квантовыми (операторными) нормированными пространствами, – так называемым

$\mathbf L$ -пространствам.

Впервые объекты этого типа были рассмотрены А. Ламбертом в его докторской диссертации [1]. В то время как в теории квантовых пространств рассматриваются удовлетворяющие определенным условиям (аксиомам Руана) последовательности норм на пространствах матриц с элементами из некоторого нормированного пространства (см. [2]), Ламберт предложил наделять нормами не матрицы, а столбцы, состоящие из элементов нормированного пространства. Требования, наложенные Ламбертом на эти нормы (аксиомы сжимаемости и выпуклости), формулировались в терминах пространств

$\ell_2^n$ и позволяли рассматривать полученные объекты как размножения линейных пространств с помощью

$\ell_2^n$ . Впоследствии рядом авторов были изучены более общие

$p$ -мультинормированные пространства, введенные с помощью пространств

$\ell_p^n$ ,

$1\leqslant p\leqslant\infty$ (см. [3]–[6]).

А. Я. Хелемским было предложено дальнейшее обобщение этой конструкции (см. [7], [8]): в качестве базовых были рассмотрены пространства

$L_p(X,\mu)$ для произвольных измеримых пространств. Это стало возможно благодаря “бескоординатному” подходу к тому, что считать размножением нормированного пространства (систематическое изложение этого подхода для операторных пространств содержится в [9]). В бескоординатном изложении квантовые пространства описываются с помощью задания не последовательности норм на пространствах

$M_n(E)$ матриц с элементами из нормированного пространства

$E$ , а одной нормы (конечно, удовлетворяющей определенным условиям) на тензорном произведении

$\mathcal F\otimes E$ этого пространства с пространством

$\mathcal F$ ограниченных конечномерных операторов на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве. Соответственно

$p$ -мультинормированные пространства в аналогичных терминах можно определить через задание нормы на тензорном произведении линейного пространства с

$\ell_p$ . Следующий шаг – переход от

$\ell_p$ к произвольным

$L_p(X,\mu)$ – ведет к понятию

$\mathbf L$ -пространства.

Наиболее интересны из таких пространств те, для которых выполнен аналог аксиомы выпуклости – так называемая

$p$ -выпуклость (рассмотренные в работе Ламберта [1] пространства обладают этим свойством для

$p=2$ ). Например, в [8] построено тензорное произведение в категории

$p$ -выпуклых

$\mathbf L$ -пространств, имеющее удобный вид для определенного класса множителей: “

$p$ -выпуклое” тензорное произведение пространств

$L_q(Y_1,\nu_1)$ и

$L_q(Y_2,\nu_2)$ (где

$1/p+1/q=1$ ), рассмотренных с так называемой минимальной

$\mathbf L$ -нормой, равно

$L_q(Y_1\times Y_2, \nu_1\times \nu_2)$ .

В настоящей работе предложен способ преобразования произвольного

$\mathbf L$ -пространства в

$p$ -выпуклое. В качестве сопутствующего результата мы получаем конструкцию

$\mathbf L$ -пространства с максимальной

$p$ -выпуклой нормой, что можно считать отдаленным обобщением максимальных

$\ell_2$ -пространств, рассмотренных Ламбертом в [1].

Благодарность

Автор выражает благодарность А. Я. Хелемскому за полезные советы и обсуждения.

§ 2. Основные понятия

Изложение в данном параграфе в основном следует работе [8], в которой описываемые ниже структуры впервые были введены с той степенью общности и в том виде, в котором они рассматриваются в настоящей статье.

Пусть

$X$ – сепарабельное пространство с мерой, обладающее следующим свойством: его можно представить в виде дизъюнктного объединения подпространств

$X_1$ и

$X_2$ , которые изоморфны ему как пространства с мерой. Это условие эквивалентно тому, что

$X$ либо не содержит атомов, либо содержит их бесконечное число. Такие пространства с мерой мы будем называть удобными. Пространство

$L_p(X)$

$p$ -интегрируемых функций на

$X$ (

$1\leqslant p\leqslant\infty$ ) будем обозначать

$\mathbf L$ . Пусть

$E$ – нормированное пространство. Рассмотрим тензорное произведение

$\mathbf LE=\mathbf L\otimes E$ , в записи его элементарных тензоров знак тензорного произведения тоже будем опускать:

$fx=f\otimes x$ .

$\mathbf LE$ является левым модулем над алгеброй

$\mathcal B(\mathbf L)$ ограниченных операторов на

$\mathbf L$ относительно внешнего умножения, определенного на элементарных тензорах как

$A\cdot fx=(Af)x$ .

Пространство

$E$ называется

$\mathbf L$ -пространством, если на

$\mathbf LE$ введена норма

$\|\,{\cdot}\,\|$ такая, что этот модуль сжимающий, т.е. для всех

$A\in\mathcal B(\mathbf L)$ ,

$u\in\mathbf LE$ выполнено

$\|A\cdot u\|\leqslant\|A\|\,\|u\|$ , и

$\|fx\|=\|f\|\,\|x\|$ для всех

$f\in\mathbf L$ ,

$x\in E$ (под

$\|f\|$ подразумевается норма пространства

$\mathbf L$ , под

$\|x\|$ – норма пространства

$E$ ). Такую норму на

$\mathbf LE$ будем называть квантованием нормы пространства

$E$ или

$\mathbf L$ -нормой на

$E$ , а соответствующее

$\mathbf L$ -пространство – квантованием пространства

$E$ .

$\mathcal B(\mathbf L)$ рассмотрим семейство проекторов

$\mathcal P=\{P_Y|Y\subset X\}$ на пространства функций с носителем

$Y\subset X$ (

$P_Yf=\chi_Yf$ , где

$\chi_Y$ – характеристическая функция множества

$Y$ ). Будем называть проекторы

$P_{Y_1},P_{Y_2}\in\mathcal P$ ортогональными, если

$P_{Y_1}P_{Y_2}=P_{Y_2}P_{Y_1}=0$ (это выполнено, если

$Y_1\cap Y_2$ имеет меру

$0$ ). Проектор

$P\in\mathcal P$ называется носителем элемента

$u\in\mathbf LE$ , если

$P\cdot u=u$ .

$\mathbf L$ -пространство

$E$ называется

$p$ -выпуклым, а его

$\mathbf L$ -норма –

$p$ -выпуклой или

$p$ -нормой, если для любых

$u,v\in\mathbf LE$ с ортогональными носителями выполнено

Рассмотрим вопрос о наименьшей и наибольшей из всех

$p$ -норм на

$E$ . На

$\mathbf LE$ определены нормы

$\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ инъективного и

$\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}$ проективного тензорных произведений. Напомним, что

Теперь определим для

$\mathbf L$ -пространств подходящий класс линейных операторов. Пусть

$E$ ,

$F$ – это

$\mathbf L$ -пространства,

$T\colon E\to F$ – линейный оператор. Его размножением называется

Категорию

$\mathbf L$ -пространств с морфизмами – вполне ограниченными операторами – будем обозначать

$\mathfrak{L}$ , а ее подкатегорию

$p$ -выпуклых

$\mathbf L$ -пространств с морфизмами – вполне ограниченными операторами – будем обозначать

$\mathfrak{L_p}$ . Мы построим функтор из

$\mathfrak{L}$ в

$\mathfrak{L}_p$ , тождественный на

$\mathfrak{L}_p$ .

§ 3. Результаты

Пусть

$E$ – это

$\mathbf L$ -пространство с

$\mathbf L$ -нормой

$\|\cdot\|$ . Мы опишем конструкцию, “превращающую” эту норму в

$p$ -выпуклую. Для

$u\in\mathbf LE$ положим

Доказательство. Сначала докажем, что

$\|\cdot\|_p$ – это

$p$ -выпуклая преднорма на

$\mathbf LE$ . Равенство

$\|Cu\|_p=|C|\|u\|_p$ для произвольной константы

$C\in\mathbb C$ очевидно. Для доказательства неравенства треугольника и

$p$ -выпуклости нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть $A,B\in\mathcal B(\mathbf L)$ , $AP=A$ , $BQ=B$ для каких-то ортогональных проекторов $P$ , $Q$ . Тогда

$\begin{equation*} \|A+B\|\leqslant(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q},\quad\textit{где }\ \frac1{p}+\frac1{q}=1. \end{equation*} \notag$

Пусть $A,B\in\mathcal B(\mathbf L)$ и $P_1AP_2=A$ , $Q_1BQ_2=B$ для проекторов $P_1$ , $P_2$ , $Q_1$ , $Q_2$ таких, что $P_1\perp Q_1$ , $P_2\perp Q_2$ . Тогда

$\begin{equation*} \|A+B\|=\max\{\|A\|,\|B\|\}. \end{equation*} \notag$

Доказательство. 1. Рассмотрим функцию

$f\in\mathbf L$ . Можно считать, что справедливо

$P\cup Q=\mathbf 1_{\mathbf L}$ (в противном случае возьмем, например, вместо

$P$ проектор

$P\,{\cup}\,(\mathbf 1_{\mathbf L}\,{-}\,Q$ )); тогда

$\|f\|^p=\|Pf\|^p+\|Qf\|^p$ .

Имеем $(A+B)f=A(Pf)+B(Qf)$ , а значит,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|(A+B)f\| &\leqslant\|A\|\,\|Pf\|+\|B\|\,\|Qf\| \\ &\leqslant(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q}(\|Pf\|^p+\|Qf\|^p)^{1/p} =(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q}\|f\|. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для

$p=\infty$ соответствующее неравенство

$\|A+B\|\leqslant\|A\|+\|B\|$ очевидно.

2. Рассмотрим функцию $f\in\mathbf L$ . Можно считать, что $P_2\cup Q_2=\mathbf 1_{\mathbf L}$ ; тогда $\|f\|^p=\|P_2f\|^p+\|Q_2f\|^p$ (для $p=\infty$ имеем $\|f\|=\max\{\|P_2f\|,\|Q_2f\|\}$ ).

Имеем $(A+B)f=A(P_2f)+B(Q_2f)$ , кроме того, $A(P_2f)$ и $B(Q_2f)$ имеют ортогональные носители, а значит,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|(A+B)f\| &=(\|A(P_2f)\|^p+\|B(Q_2f)\|^p)^{1/p}\leqslant(\|A\|^p\|P_2f\|^p+\|B\|^p\|Q_2f\|^p)^{1/p} \\ &\leqslant\max\{\|A\|,\|B\|\}(\|P_2f\|^p+\|Q_2f\|^p)^{1/p}=\max\{\|A\|,\|B\|\}\|f\|; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

для

$p=\infty$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|(A+B)f\| &=\max\{\|A(P_2f)\|,\|B(Q_2f)\|\}\leqslant\max\{\|A\|\,\|P_2f\|,\|B\|\,\|Q_2f\|\} \\ &\leqslant\max\{\|A\|,\|B\|\}\max\{\|P_2f\|,\|Q_2f\|\}=\max\{\|A\|,\|B\|\}\|f\|. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Лемма доказана.

Предложение 1. Пусть $u,v\in\mathbf LE$ . Тогда $\|u+v\|_p\leqslant\|u\|_p+\|v\|_p$ . Если при этом $u$ и $v$ имеют ортогональные носители, то

$\begin{equation*} \|u+v\|_p\leqslant(\|u\|^p_p+\|v\|^p_p)^{1/p}; \end{equation*} \notag$

для

$p=\infty$

$\begin{equation*} \|u+v\|_\infty\leqslant\max\{\|u\|_\infty,\|v\|_\infty\}. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Возьмем произвольное

$\varepsilon>0$ . Пусть

$u=A\cdot\sum u_i$ ,

$v=B\cdot\sum v_j$ – такие представления, что

$\begin{equation*} a=\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|_p+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\Bigl(\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|v\|_p+\varepsilon; \end{equation*} \notag$

для

$p=\infty$

$\begin{equation*} a=\|A\|\max\{\|u_i\|\}\leqslant\|u\|_\infty+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\max\{\|v_i\|\}\leqslant\|v\|_\infty+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Умножив и разделив оператор

$A$ и

$\sum u_i$ на одно и то же число, можно добиться, чтобы выполнялось

$\begin{equation*} \|A\|=a^{p/(p+q)}, \quad \Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}=a^{q/(p+q)},\quad\text{где }\ \frac1{p}+\frac1{q}=1. \end{equation*} \notag$

Аналогично можно считать, что

$\begin{equation*} \|B\|=b^{p/(p+q)}, \qquad \Bigl(\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}=b^{q/(p+q)}. \end{equation*} \notag$

Для

$p=\infty$ соответственно

$\begin{equation*} \|A\|=a, \qquad \max\{\|u_i\|\}=1, \qquad \|B\|=b, \qquad \max\{\|v_i\|\}=1. \end{equation*} \notag$

Напомним, что рассматриваемое измеримое пространство $X$ удобное, т.е. представляется в виде дизъюнктного объединения $X_1$ и $X_2$ так, что $X_1$ , $X_2$ и $X$ изоморфны как пространства с мерой. Тогда $L_p(X_1)$ и $L_p(X_2)$ изометрически изоморфны $\mathbf L$ , а $\mathbf L=L_p(X_1)\oplus_p L_p(X_2)$ . Соответствующие изоморфизмы обозначим $i_1\colon \mathbf L\to L_p(X_1)$ и $i_2\colon \mathbf L\to L_p(X_2)$ . Для функции $f\in\mathbf L$ будем обозначать через $f^{(1)}$ функцию, которая на $X_1$ равна $i_1(f)$ , а на $X_2$ равна нулю, а через $f^{(2)}$ будем обозначать функцию, которая на $X_2$ равна $i_2(f)$ , а на $X_1$ равна нулю. Также для $w=\sum f_ix_i\in\mathbf LE$ обозначим $w^{(1)}=\sum f^{(1)}_ix_i$ , $w^{(2)}=\sum f^{(2)}_ix_i$ . Таким образом, для $k=1,2$ имеем $w^{(k)}=(j_k\circ i_k)\cdot w$ , где $j_k$ – вложение $L_p(X_k)$ в $\mathbf L$ , поэтому

$\begin{equation*} \|w^{(k)}\|\leqslant\|j_k\circ i_k\|\,\|w\|=\|w\|. \end{equation*} \notag$

С другой стороны,

$w=i_k^{-1}P_k\cdot w^{(k)}$ , где

$P_k$ – проекция

$\mathbf L$ на

$L_p(X_k)$ , поэтому

$\begin{equation*} \|w\|\leqslant\|i_k^{-1}P_k\|\,\|w^{(k)}\|=\|w^{(k)}\|. \end{equation*} \notag$

Значит,

$\|w\|=\|w^{(1)}\|=\|w^{(2)}\|$ .

Для оператора $M\in\mathcal B(\mathbf L)$ обозначим через $M^{(1)}$ оператор, который на $L_p(X_1)$ действует как $Mi_1^{-1}$ , а на $L_p(X_2)$ как нулевой, т.е. при отождествлении $\mathbf L=L_p(X_1)\oplus_p L_p(X_2)$ равен $Mi_1^{-1}\oplus\mathbf 0$ , аналогично $M^{(2)}=\mathbf 0\oplus Mi_2^{-1}$ .

В таких обозначениях получаем представление

$\begin{equation*} u+v=(A^{(1)}+B^{(2)})\cdot\Bigl(\sum u_i^{(1)}+\sum v_j^{(2)}\Bigr). \end{equation*} \notag$

Носители всех

$u_i^{(1)}$ и

$v_j^{(2)}$ попарно ортогональны. Значит,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|u+v\|_p &\leqslant\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\Bigl(\sum\|u_i^{(1)}\|^p+\sum\|v_j^{(2)}\|^p\Bigr)^{1/p} \\ &=\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p+\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

для

$p=\infty$

$\begin{equation*} \|u+v\|_\infty\leqslant\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i^{(1)}\|,\|v_j^{(2)}\|\} =\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i\|,\|v_j\|\}. \end{equation*} \notag$

При этом

$\begin{equation*} \sum\|u_i\|^p=a^{pq/(p+q)}=a,\qquad \sum\|v_j\|^p=b^{pq/(p+q)}=b. \end{equation*} \notag$

Для операторов

$A^{(1)}$ и

$B^{(2)}$ выполнено

$A^{(1)}=A^{(1)}P_{X_1}$ и

$B^{(2)}=B^{(2)}P_{X_2}$ , где

$P_{X_1}$ и

$P_{X_2}$ – проекторы на

$L_p(X_1)$ и

$L_p(X_2)$ соответственно. Поскольку эти проекторы ортогональны, то по п. 1 леммы 1 получаем

$\begin{equation*} \|A^{(1)}+B^{(2)}\|\leqslant(\|A\|^q+\|B\|^q)^{1/q} =(a^{pq/(p+q)}+b^{pq/(p+q)})^{1/q}=(a+b)^{1/q}. \end{equation*} \notag$

Поэтому

$\|u+v\|_p\leqslant(a+b)^{1/q}(a+b)^{1/p}=a+b\leqslant\|u\|+\|v\|+2\varepsilon$ .

Для $p=\infty$ мы положили $\max\{\|u_i\|\}=\max\{\|v_j\|\}=1$ , поэтому

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|u+v\|_\infty &\leqslant\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i^{(1)}\|,\|v_j^{(2)}\|\} =\|A^{(1)}+B^{(2)}\|\max\{\|u_i\|,\|v_j\|\} \\ &\leqslant\|A\|+\|B\|=a+b\leqslant\|u\|+\|v\|+2\varepsilon. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Пусть теперь элементы $u,v\in\mathbf LE$ имеют ортогональные носители $P$ и $Q$ , а $u=A\cdot\sum u_i$ , $v=B\cdot\sum v_j$ – такие представления, что

$\begin{equation*} a=\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|_p+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\Bigl(\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|v\|_p+\varepsilon; \end{equation*} \notag$

для

$p=\infty$

$\begin{equation*} a=\|A\|\max\{\|u_i\|\}\leqslant\|u\|_\infty+\varepsilon, \qquad b=\|B\|\max\{\|v_j\|\}\leqslant\|v\|_\infty+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Можно считать, что

$PA=A$ ,

$QB=B$ , и, разделив и умножив операторы

$A$ ,

$B$ и элементы

$\sum u_i$ ,

$\sum v_j$ на подходящие коэффициенты, можно добиться, чтобы выполнялось

$\|A\|=\|B\|=1$ . Снова воспользуемся представлением

$\begin{equation*} u+v=(A^{(1)}+B^{(2)})\cdot\Bigl(\sum u_i^{(1)}+\sum v_j^{(2)}\Bigr). \end{equation*} \notag$

В этом случае для операторов

$A^{(1)}$ и

$B^{(2)}$ выполнены условия п. 2 леммы 1 (с

$P_1=P$ ,

$Q_1=Q$ ,

$P_2=P_{X_1}$ ,

$Q_2=P_{X_2}$ ), поэтому

$\|A^{(1)}+B^{(2)}\|=\max\{\|A^{(1)}\|, \|B^{(2)}\|\}=1$ . Значит,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|u+v\|_p &\leqslant\Bigl(\sum\|u_i^{(1)}\|^p+\sum\|v_j^{(2)}\|^p\Bigr)^{1/p} \\ &=\Bigl(\sum\|u_i\|^p+\sum\|v_j\|^p\Bigr)^{1/p}=(a^p+b^p)^{1/p}; \end{aligned} \end{equation*} \notag$

для

$p=\infty$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|u+v\|_\infty &\leqslant\max\{\|u_i^{(1)}\|,\|v_j^{(2)}\|\}=\max\{\|u_i\|,\|v_j\|\} \\ &=\max\bigl\{\max\{\|u_i\|\},\max\{\|v_j\|\}\bigr\}=\max\{a,b\}. \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Теперь докажем, что $\|\cdot\|_p$ – это $\mathbf L$ -норма на $E$ .

Покажем, что для любого $B\in\mathcal B(\mathbf L)$ и $u\in\mathbf LE$ выполнено $\|B\cdot u\|_p\leqslant\|B\|\,\|u\|_p$ . Для любого представления $u=A\cdot\sum u_i$ рассмотрим соответствующее представление $B\cdot u=BA\cdot\sum u_i$ . Так как $\|BA\|\leqslant\|B\|\,\|A\|$ , то

$\begin{equation*} \|BA\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|B\|\,\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}. \end{equation*} \notag$

Переходя к инфимуму по таким представлениям, получаем доказываемое утверждение.

Для случая $p=\infty$ оно доказывается аналогично.

Предложение 1 доказано.

Для доказательства теоремы 1 осталось показать, что $\|fx\|_p=\|f\|\,\|x\|$ . По ходу этого доказательства мы покажем, что $\mathbf L$ -нормы, уже являющиеся $p$ -выпуклыми, при применении к ним описанного преобразования не изменяются.

Доказательство. Для любой

$\mathbf L$ -нормы

$\|\cdot\|$ на

$E$ и всех

$u\in\mathbf LE$ выполнено

$\|u\|_p\leqslant\|u\|$ , так как

$u$ можно представить в виде

$u=\mathbf 1_{\mathbf L}\cdot u$ . Если же

$\|\cdot\|$

$p$ -выпукла, то для любого представления

$u=A\cdot\sum u_i$ , где

$u_i$ имеют попарно ортогональные носители, выполнено

$\begin{equation*} \|u\|\leqslant\|A\|\Bigl\|\sum u_i\Bigr\|\leqslant\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}, \end{equation*} \notag$

а значит,

$\|u\|\leqslant\|u\|_p$ . Для случая

$p=\infty$ доказательство аналогично.

Предложение доказано.

Второй вспомогательный, но важный и сам по себе результат, которым мы воспользуемся для завершения доказательства теоремы 1, заключается в том, что описываемое преобразование $\mathbf L$ -норм сохраняет полную ограниченность линейных операторов между $\mathbf L$ -пространствами.

Лемма 2. Пусть $T\colon E\to F$ – вполне ограниченный оператор между $\mathbf L$ -пространствами $E$ и $F$ . Тогда

$\begin{equation*} \|T_\infty u\|_p\leqslant\|T_\infty\|\,\|u\|_p. \end{equation*} \notag$

Доказательство. Пусть

$u\in\mathbf LE$ ,

$\begin{equation*} u=A\cdot\sum_i u_i, \quad u_i=\sum_j f_{ij}x_{ij}, \qquad \|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|u\|_p+\varepsilon. \end{equation*} \notag$

Тогда

$T_\infty u=A\cdot\sum T_\infty u_i$ , при этом элементы

$T_\infty u_i$ имеют ортогональные носители. А значит,

$\begin{equation*} \begin{aligned} \, \|T_\infty u\|_p &\leqslant\|A\|\Bigl(\sum\|T_\infty u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|A\|\Bigl(\sum(\|T_\infty\|\,\|u_i\|)^p\Bigr)^{1/p} \\ &\leqslant\|T_\infty\|\,\|A\|\Bigl(\sum\|u_i\|^p\Bigr)^{1/p}\leqslant\|T_\infty\|(\|u\|+\varepsilon). \end{aligned} \end{equation*} \notag$

Для случая $p=\infty$ доказательство аналогично.

Лемма доказана.

Рассмотрим размножение тождественного оператора на $E$ : тождественный оператор $I_\infty\colon\mathbf LE\to\mathbf L\otimes_i E$ из $\mathbf LE$ с нормой $\|\cdot\|$ в это же пространство, снабженное нормой инъективного тензорного произведения $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ . Норма $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ – это $\mathbf L$ -норма, минимальная среди всех $\mathbf L$ -норм пространства $E$ (и вообще всех кросс-норм на $\mathbf LE$ ). Значит, $\|I_\infty\|\leqslant1$ , и по лемме 2 $\|u\|_p\geqslant\|u\|^{\mathrm{inj}}_p$ . Но норма $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}$ $p$ -выпукла (см. [8]), следовательно, по предложению 2 $\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}=\|\cdot\|^{\mathrm{inj}}_p$ . Таким образом, $\|u\|_p\geqslant\|u\|^{\mathrm{inj}}$ , в частности, $\|fx\|_p\geqslant\|fx\|^{\mathrm{inj}}=\|f\|\,\|x\|$ . Неравенство $\|fx\|_p\leqslant\|f\|\,\|x\|$ следует из того, что $fx$ можно представить в виде $\mathbf 1_{\mathbf L}\cdot fx$ , а $\|fx\|=\|f\|\,\|x\|$ . Таким образом, $\|fx\|_p=\|f\|\,\|x\|$ .

Доказательство теоремы 1 завершено.

Итак, любой

$\mathbf L$ -норме на нормированном пространстве

$E$ мы поставили в соответствие

$p$ -выпуклую

$\mathbf L$ -норму на

$E$ , причем

$p$ -выпуклые

$\mathbf L$ -нормы при этом преобразовании не изменились (предложение 2). Мы также доказали, что вполне ограниченные операторы между

$\mathbf L$ -пространствами остаются вполне ограниченными, если рассматривать их как операторы между теми же пространствами с соответствующими

$p$ -выпуклыми

$\mathbf L$ -нормами (лемма 2). Таким образом, отображение

Покажем, что применение описанного преобразования к норме проективного тензорного произведения дает максимальную, т.е. наибольшую среди всех

$p$ -выпуклых норм,

$p$ -выпуклую норму на

$E$ (полученная в результате конструкция является отдаленным обобщением максимальных пространств Ламберта, определенных в [1; п. 2.1.2]). А именно, пусть

$\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}$ – норма проективного тензорного произведения на

$\mathbf LE$ (как было упомянуто выше, она является

$\mathbf L$ -нормой, но не обязательно

$p$ -выпуклой; см. [8]). Тогда

$\|\cdot\|^{\mathrm{pr}}_p$ является

$p$ -выпуклой

$\mathbf L$ -нормой. Напомним, что

Будем называть

$\mathbf L$ -пространство

$E$ с построенной максимальной

$p$ -выпуклой

$\mathbf L$ -нормой максимальным

$p$ -выпуклым квантованием нормированного пространства

$E$ . Максимальное

$p$ -выпуклое квантование обладает следующим свойством (ср. с аналогичным свойством автоматической полной ограниченности для операторов между квантовыми пространствами в случае, когда первое из них рассматривается с максимальным квантованием; см. [9; предложение 2.2.8]).

§ 1. Введение

Благодарность

§ 2. Основные понятия

§ 3. Результаты

Список литературы