Б. Я. Казарновский, “Какая часть корней системы случайных полиномов Лорана вещественна?”, Матем. сб., 213:4 (2022), 27–37; B. Ya. Kazarnovskii, “How many roots of a system of random Laurent polynomials are real?”, Sb. Math., 213:4 (2022), 466

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Математический сборник

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математический сборник, 2022, том 213, номер 4, страницы 27–37
DOI: https://doi.org/10.4213/sm9559 (Mi sm9559)

Какая часть корней системы случайных полиномов Лорана вещественна?

Б. Я. Казарновский

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, г. Москва

PDF полного текста (468 kB) PDF английской версии (454 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/sm9559

Аннотация: Корень полинома Лорана, расположенный на единичной окружности с центром в точке

$0\in\mathbb C$ , мы называем вещественным нулем полинома Лорана. Полином Лорана, вещественный на этой окружности, мы также называем вещественным. Известно, что, в отличие от случая обычных полиномов, математическое ожидание доли вещественных нулей случайного вещественного полинома Лорана растущей степени стремится не к

$0$ , а к

$1/\sqrt 3$ . Доказано, что феномен асимптотической конечности доли вещественных корней сохраняется для систем полиномов Лорана многих переменных. Соответствующая асимптотика вычисляется через смешанные объемы некоторых выпуклых компактных множеств, определяющих рост системы полиномов.
Библиография: 11 названий.

Ключевые слова: тригонометрический полином, полином Лорана, доля вещественных нулей, теорема BKK, смешанный объем.

Поступила в редакцию: 30.01.2021 и 21.12.2021

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2022, Volume 213, Issue 4, Pages 466–475
DOI: https://doi.org/10.1070/SM9559

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: Primary 14C17; Secondary 52A39

§ 1. Введение

1.1.

Известно (см. [1]), что математическое ожидание доли вещественных нулей вещественного полинома растущей степени $m$ асимптотически равно $(2/\pi)\ln m/m\asymp 0$ . В этом вычислении предполагается, что коэффициенты полинома распределены нормально и независимо с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Более подробно о распределении числа вещественных решений систем случайных полиномиальных уравнений см. обзор [2] и приведенную в нем библиографию.

Переход от обычных полиномов к полиномам Лорана приводит к неожиданному результату. Ограничение вещественного полинома Лорана степени $m$ (см. ниже определение 1)

$\begin{equation*} P(z)=a_0+\sum_{1\leqslant k\leqslant m}a_kz^k+\overline{a_k}z^{-k} \end{equation*} \notag$

на окружность

$z=\mathrm e^{i\theta}$ является тригонометрическим полиномом

$\begin{equation*} P(\mathrm e^{i\theta})=a_0+\sum_{1\leqslant k\leqslant m} \alpha_k\cos(k\theta)+\beta_k\sin(k\theta), \end{equation*} \notag$

где

$\alpha_k=(a_k+\overline{a_k})/2$ ,

$\beta_k=(a_k-\overline{a_k})/(2i)$ . Отображение ограничения является изоморфизмом пространства вещественных полиномов Лорана степени

$m$ на пространство вещественных тригонометрических полиномов со спектром

$(-m,\dots,-1,0,1,\dots,m)$ . Предположение о случайности состоит в том, что числа

$a_0/\sqrt{2\pi}, \alpha_1/\sqrt \pi, \beta_1/\sqrt \pi,\dots , \alpha_m/\sqrt \pi, \beta_m/\sqrt \pi$ независимы и распределены нормально с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Оказывается, что с ростом степени средняя доля расположенных на единичной окружности нулей случайного вещественного полинома Лорана стремится не к

$0$ , а к

$1/\sqrt 3$ . Это утверждение вытекает из известных результатов о распределении нулей случайных тригонометрических полиномов одного переменного; см., например, [3] и приведенную там библиографию. Доказательство этого утверждения приведено ниже в п. 1.3 (см. пример 2). Его многомерный аналог сформулирован в п. 1.2.

1.2.

Здесь мы формулируем теорему, являющуюся многомерным вариантом утверждения о средней доле вещественных корней полинома Лорана. Для этого нам понадобятся следующие понятия.

При $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\in\mathbb Z^n$ положим $z^\lambda=z_1^{\lambda_1}\cdots z_n^{\lambda_n}$ . Пусть $\Lambda$ – конечное подмножество $\mathbb Z^n$ . Функция $\sum_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda z^\lambda$ на комплексном торе $(\mathbb C\setminus0)^n$ называется полиномом Лорана с носителем $\Lambda$ .

Определение 1. Полином Лорана, вещественный на компактном подторе $T^n=\{z\in(\mathbb C\setminus0)^n\colon z=(\mathrm e^{i\theta_1},\dots,\mathrm e^{i\theta_n})\}$ тора $(\mathbb C\setminus0)^n$ , называется вещественным полиномом Лорана. Если полином Лорана равен нулю в точке $z\in T^n$ , то $z$ называется вещественным нулем полинома Лорана.

Следующие утверждения являются прямыми следствиями определения 1.

(A) Полином Лорана $P(z)=\sum_{\lambda\in\Lambda}a_\lambda z^\lambda$ является вещественным, если и только если 1) его носитель $\Lambda$ центрально симметричен и 2) $\forall\,\lambda\in\Lambda\colon a_{-\lambda}=\overline{a_\lambda}$ .

(B) Множество нулей вещественного полинома Лорана инвариантно относительно отображения $(z_1,\dots,z_n)\mapsto(\overline z_1^{-1},\dots,\overline z_n^{-1})$ .

Далее мы рассматриваем полиномы Лорана от $n$ переменных и используем понятия система случайных вещественных полиномов Лорана с носителем $\Lambda$ и средняя доля $\operatorname{real}_n(\Lambda)$ вещественных корней таких случайных систем. При $n=1$ эти понятия определены в п. 1.1. Для произвольного $n$ соответствующие определения см. в § 2. Теорема 1 является многомерным вариантом утверждения о средней доле вещественных нулей случайного вещественного полинома Лорана из п. 1.1.

Теорема 1. Пусть $B_m$ – шар радиуса $m$ в пространстве $\mathbb R^n$ с центром в точке $0$ . Рассматривая $\mathbb Z^n$ как целочисленную решетку в $\mathbb R^n$ , положим $\Lambda_m=B_m\cap \mathbb Z^n$ . Тогда

$\begin{equation*} \lim_{m\to\infty} \operatorname{real}_n(\Lambda_m)=\biggl(\frac{\sigma_{n-1}}{\sigma_n}\beta_n\biggr)^{n/2}, \end{equation*} \notag$

где

$\displaystyle\beta_n=\int_{-1}^1x^2(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx$ , а

$\sigma_k$ – объем

$k$ -мерного шара радиуса единица.

В следующей ниже таблице приведены значения $\beta_n$ для $1\leqslant n\leqslant20$ . Отметим, что $\sqrt{(\sigma_0/\sigma_1)\beta_1}=1/\sqrt 3$ ; ср. п. 1.1 и пример 2.

Таблица 1.

$n$	1	2	3	4	5
$\beta_n$	${2}/{3}$	${\pi}/{8}$	${4}/{15}$	${\pi}/{16}$	${16}/{105}$
$n$	6	7	8	9	10
$\beta_n$	${5\pi}/{128}$	${32}/{315}$	${7\pi}/{256}$	${256}/{3465}$	${21\pi}/{1024}$
$n$	11	12	13	14	15
$\beta_n$	${512}/{9009}$	${33\pi}/{2048}$	${4096}/{109395}$	${429\pi}/{32768}$	${2048}/{45045}$
$n$	16	17	18	19	20
$\beta_n$	${715\pi}/{65536}$	${65536}/{2078505}$	${2431\pi}/{262144}$	${131072}/{4849845}$	${4199\pi}/{524288}$

Замечание 1. Выражение $x^2(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx$ является так называемым дифференциальным биномом Чебышёва. П. Л. Чебышёв доказал (см. [4]) неинтегрируемость бинома $x^m(a+bx^n)^p\,dx$ в элементарных функциях за пределами трех найденных Л. Эйлером случаев интегрируемости. При нечетном $n$ упомянутое выражение относится к первому, а при четном $n$ – к третьему случаю.

1.3.

Напомним, что многогранником Ньютона полинома Лорана называется выпуклая оболочка $\operatorname{conv}(\Lambda)$ его носителя $\Lambda$ . Мы также сопоставляем носителю $\Lambda$ эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)\subset\operatorname{conv}(\Lambda)$ , называемый его эллипсоидом Ньютона (см. определение 3), и доказываем, что

$\begin{equation} \operatorname{real}_n(\Lambda) =\frac{\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda))} {\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda))}. \end{equation} \tag{1.1}$

Из определения 3 вытекает, что если

$n=1$ , то эллипсоид Ньютона является отрезком с концами в точках

$\pm\sqrt{({1}/{N})\sum_{\lambda\in\Lambda}\lambda^2}$ , где

$N=\#\Lambda$ .

Пример 1. В одномерном случае отрезки $\operatorname{ell}(\Lambda)$ и $\operatorname{conv}(\Lambda)$ совпадают только для носителей вида $\Lambda=\{\lambda,-\lambda\}$ . В этом случае из (1.1) вытекает, что $\operatorname{real}_1(\Lambda)=1$ , т.е. все нули любого полинома вида $az^\lambda+\overline az^{-\lambda}$ лежат на единичной окружности, что верно, так как эти нули суть корни степени $2\lambda$ из $-\overline a/a$ .

Пример 2. Пусть $\Lambda_m=\{-m,\dots,-1,0,1,\dots,m\}$ . Тогда

$\begin{equation*} \sqrt{\frac{1}{\#\Lambda_m}\sum_{k\in\Lambda_m}k^2}= \sqrt{\frac{2(1^2+\dots+m^2)}{2m+1}}=\sqrt{\frac{m(m+1)}{3}}. \end{equation*} \notag$

Отсюда согласно (1.1) получаем, что

$\operatorname{real}_1(\Lambda_m)=\sqrt{(m+1)/(3m)}$ , и, следовательно,

$\lim_{m\to\infty}\operatorname{real}_1(\Lambda_m)=1/\sqrt 3$ .

Мы также определяем долю вещественных корней $\operatorname{real}_n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$ для систем полиномов Лорана с носителями $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ . В этом случае объемы в числителе и знаменателе дроби (1.1) заменяются на смешанные объемы соответствующих эллипсоидов и многогранников Ньютона; см. теорему 3. Используя геометрию формулы (1.1), мы вычисляем асимптотику $\operatorname{real}_n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$ для растущих носителей $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ (теорема 4) и применяем это вычисление для доказательства теоремы 1.

В доказательствах используются две теоремы о числах корней систем уравнений: теорема о среднем числе корней систем гладких уравнений на дифференцируемых многообразиях (см. [5], а также [6], [7]) и теорема Кушниренко–Бернштейна [8], называемая также формулой BKK (Бернштейна, Кушниренко, Хованского).

§ 2. Среднее число корней, эллипсоиды и многогранники Ньютона

2.1. Среднее число корней систем тригонометрических полиномов

Пусть $\Lambda$ – конечное центрально-симметричное подмножество $\mathbb Z^n$ ,

$\begin{equation*} T^n=\bigl\{z\in(\mathbb C\setminus0)^n\colon z=(\mathrm e^{i\theta_1},\dots,\mathrm e^{i\theta_n})\bigr\}. \end{equation*} \notag$

Функции

$\begin{equation*} a_0+\sum_{0\ne\lambda\in\Lambda,\,\alpha_\lambda\in\mathbb R,\,\beta_\lambda\in\mathbb R} \alpha_\lambda\cos\langle\theta,\lambda\rangle+\beta_\lambda\sin\langle\theta,\lambda\rangle \end{equation*} \notag$

на торе

$T^n$ , где

$\theta=(\theta_1,\dots,\theta_n)$ , мы называем тригонометрическими полиномами с носителем

$\Lambda$ . При

$0\notin\Lambda$ предполагается, что

$a_0=0$ . Пространство тригонометрических полиномов с носителем

$\Lambda$ обозначим через

$\operatorname{Trig}(\Lambda)$ . Далее мы всегда рассматриваем

$\operatorname{Trig}(\Lambda)$ как подпространство гильбертова пространства

$L^2(T^n,d\chi)$ , где

$d\chi$ – нормированная инвариантная мера Хаара на торе

$T^n$ . Ортонормированные базисы в пространстве

$\operatorname{Trig}(\Lambda)$ можно строить следующим образом. Рассмотрим

$\mathbb Z^n$ как целочисленную решетку в пространстве

$\mathbb R^n$ . Пусть

$l$ – линейный функционал в

$\mathbb R^n$ , не равный нулю в ненулевых точках множества

$\Lambda$ . Обозначим через

$\Lambda_+$ пересечение

$\Lambda$ с полупространством

$l\geqslant0$ . При

$0\ne \lambda\in\Lambda_+$ положим

$\begin{equation} \tau_\lambda(\theta)=\sqrt{2}\cos\langle\theta,\lambda\rangle, \qquad \tau_{-\lambda}(\theta)=\sqrt{2}\sin\langle\theta,\lambda\rangle. \end{equation} \tag{2.1}$

Если

$0\in\Lambda$ , то положим

$\tau_0(\theta)=1$ . Функции

$\{\tau_\lambda\colon \lambda\in\Lambda\}$ образуют ортонормированный базис пространства

$\operatorname{Trig}(\Lambda)$ .

Пусть $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ – конечные центрально симметричные множества в $\mathbb Z^n$ . Рассматривая точки $f_i\in\operatorname{Trig}(\Lambda_i)$ как функции на $T^n$ , обозначим число изолированных точек множества их совместных нулей через $N(f_1,\dots,f_n)$ .

Определение 2. Средним числом корней систем случайных тригонометрических полиномов с носителями $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ мы называем

$\begin{equation*} \mathfrak M(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n) =\int_{S_1\times\dots\times S_n} N(s_1,\dots,s_n)\,ds_1\dotsb ds_n, \end{equation*} \notag$

где

$S_i$ – единичная сфера в пространстве

$\operatorname{Trig}(\Lambda_i)$ , а

$ds_i$ – нормированная ортогонально инвариантная мера на сфере

$S_i$ .

2.2. Эллипсоиды Ньютона

Используя скалярное произведение $\langle *,*\rangle$ в пространстве $\operatorname{Trig}(\Lambda)$ , определим отображение $\Theta\colon T^n\to \operatorname{Trig}(\Lambda)$ такое, что

$\begin{equation} \forall\, f\in \operatorname{Trig}(\Lambda)\colon \quad \langle\Theta(\theta),f\rangle=\frac{1}{\sqrt N}f(\theta), \end{equation} \tag{2.2}$

где

$N=\dim\operatorname{Trig}(\Lambda)=\#\Lambda$ .

Лемма 1. Верно, что $\Theta(T^n)\subset S$ , где $S$ – единичная сфера в пространстве $\operatorname{Trig}(\Lambda)$ .

Доказательство. Используя ортонормированный базис

$\{\tau_\lambda\colon\lambda\in\Lambda\}$ пространства

$\operatorname{Trig}(\Lambda)$ , определенный в (2.1), запишем отображение

$\Theta$ в виде

$\begin{equation} \Theta(\theta)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\lambda\in\Lambda}\tau_\lambda(\theta) \tau_\lambda. \end{equation} \tag{2.3}$

Нужное утверждение вытекает из тождества

$\cos^2+\sin^2=1$ . Лемма доказана.

Пусть $\mathfrak t$ и $\mathfrak t^*$ – соответственно касательное и кокасательное пространства в нулевой точке тора $T^n$ . Обозначим через ${\mathbb Z^n}^*$ решетку характеров тора $T^n$ в пространстве $\mathfrak t^*$ , а через $\mathbb Z^n$ – двойственную решетку в пространстве $\mathfrak t$ . Далее мы предполагаем, что $\Lambda\subset{\mathbb Z^n}^*$ . Обозначим через $F_\Lambda$ квадратичную форму в $\mathfrak t$ , равную обратному образу квадратичной формы римановой метрики сферы $S$ в точке $\Theta(0)$ при отображении $\Theta$ .

Лемма 2. Верно, что $F_\Lambda(\xi)=({1}/{N})\sum_{\lambda\in\Lambda}\lambda^2(\xi)$ .

Доказательство вытекает из (2.3).

Напомним, что опорной функцией компактного выпуклого множества $A\subset{\mathbb R^n}^*$ называется функция $h(x)\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ такая, что

$\begin{equation*} h(x)=\max_{a \in A} a(x). \end{equation*} \notag$

Лемма 3. Функция

$\begin{equation*} h_\Lambda(\xi)=\sqrt{F_\Lambda(\xi)}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{\lambda\in\Lambda_i}\lambda^2(\xi)} \end{equation*} \notag$

является опорной функцией некоторого центрально симметричного эллипсоида

$\operatorname{ell}(\Lambda)$ в пространстве

$\mathfrak t^*$ . Если множество

$\Lambda$ не содержится ни в каком собственном подпространстве

$\mathfrak t^*$ , то

$\dim \operatorname{ell}(\Lambda)=n$ .

Доказательство. Для любой неотрицательной квадратичной формы

$g$ в пространстве

$\mathbb R^n$ верно, что функция

$\sqrt g$ является опорной функцией некоторого центрально-симметричного эллипсоида в двойственном пространстве

${\mathbb R^n}^*$ . Если форма

$g$ невырождена, то этот эллипсоид является полноразмерным. Лемма доказана.

Определение 3. Эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)$ с опорной функцией $h_\Lambda$ называется эллипсоидом Ньютона носителя $\Lambda$ .

Теорема 2. Верно, что

$\begin{equation*} \mathfrak M(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)=n!\,\operatorname{vol} (\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n)), \end{equation*} \notag$

где при измерении смешанного объема

$\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))$ эллипсоидов Ньютона

$\operatorname{ell}(\Lambda_i)$ предполагается, что объем фундаментального куба решетки характеров

${\mathbb Z^n}^*$ тора

$T^n$ равен

$1$ .

Доказательство. Напомним, что банаховым телом в гладком многообразии

$X$ называется семейство центрально симметричных компактных выпуклых множеств

$\mathcal B=\{\mathcal B(x)\}$ в слоях

$T^*_xX$ кокасательного расслоения

$X$ ; см. [5], [7]. Объем

$\mathcal V({\mathcal B})$ банахова тела

${\mathcal B}$ по определению равен объему области

$\bigcup_{x\in X}{\mathcal B}(x) \subset T^*X$ , измеренному при помощи стандартной симплектической структуры на многообразии кокасательного расслоения. Точнее говоря, если

$\omega$ – стандартная симплектическая форма на

$T^*X$ (см. [9]), то для измерения объема применяется форма

$\omega^n/n!$ , где

$n=\dim X$ . Используя сложение Минковского, мы рассматриваем линейные комбинации выпуклых тел с неотрицательными коэффициентами. Линейная комбинация банаховых тел определена следующим образом:

$(\sum _i \lambda _i{\mathcal B}_i)(x)\,{=} \sum _i \lambda _i {\mathcal B}_i(x)$ . Объем банахова тела

$\lambda_1\mathcal{B}_1 + \dots +\lambda _k\mathcal{B}_k$ является однородным полиномом степени

$n$ от переменных

$\lambda_1, \dots, \lambda _k$ . Если

$k=\dim X=n$ , то коэффициент этого полинома при мономе

$\lambda _1 \dotsb \lambda _n$ , поделенный на

$n!$ , называется симплектическим смешанным объемом

$\mathcal V({\mathcal B}_1,\ldots, {\mathcal B}_n)$ банаховых тел.

Пусть пространство $V\subset C^\infty(X)$ конечномерно. Тогда если

$\begin{equation*} \forall\, x\in X \quad\exists\, f\in V\colon \quad f(x)\neq0, \end{equation*} \notag$

то любому скалярному произведению в пространстве

$V$ в [5] сопоставлен банахов эллипсоид

$\mathcal B_V$ в

$X$ . При

$\dim X=n$ для любых конечномерных евклидовых пространств

$V_1,\dots,V_n\subset C^\infty(X)$ в [5] определено среднее число совместных нулей

$\mathfrak M(V_1,\dots,V_n)$ систем случайных функций

$f_1\in V_1,\dots,f_n\in V_n$ и доказано [5; теорема 1], что

$\begin{equation} \mathfrak M(V_1,\dots,V_n) =\frac{n!}{(2\pi)^n}\mathcal V(\mathcal B_{V_1},\dots,\mathcal B_{V_n}). \end{equation} \tag{2.4}$

В случае $X=T^n$ , $V_1=\operatorname{Trig}(\Lambda_1)$ , $\dots$ , $V_n=\operatorname{Trig}(\Lambda_n)$ , как нетрудно проверить, 1) банаховы эллипсоиды $\mathcal B_{V_i}$ инвариантны при действии тора $T^n$ и 2) если $e$ – единица группы $T^n$ , то $\mathcal B_{V_i}(e)=\operatorname{ell}(\Lambda_i)$ . Отсюда, применяя (2.4), получаем

$\begin{equation*} \mathfrak M(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)=\frac{n!}{(2\pi)^n}\mathcal V(\mathcal B_{V_1},\dots,\mathcal B_{V_n})=n!\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n)), \end{equation*} \notag$

где при измерении смешанного объема

$\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))$ предполагается, что объем фундаментального куба решетки характеров тора

$T^n$ равен

$1$ . Теорема доказана.

Отметим, что из теоремы 2 вытекают следующие неравенства для средних чисел корней.

Следствие 1. Для любых носителей $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ верно, что

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, \mathfrak M^2(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)\geqslant\mathfrak M(\Lambda_1,\dots,\Lambda_{n-1},\Lambda_{n-1})\mathfrak M(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n,\Lambda_n), \\ {\mathfrak M}^n(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n) \geqslant \mathfrak M(\Lambda_1)\dotsb \mathfrak M(\Lambda_n), \end{gathered} \end{equation*} \notag$

где по определению

$\mathfrak M(\Lambda)=\mathfrak M(\Lambda,\dots,\Lambda)$ .

Доказательство вытекает из неравенств Александрова–Фенхеля (см. [10]) для смешанных объемов эллипсоидов $\operatorname{ell}(\Lambda_i)$ .

Замечание 2. Неравенства для чисел корней из следствия 1 являются аналогами неравенств Ходжа для индексов пересечения гиперповерхностей в проективных алгебраических многообразиях. Связь неравенств Ходжа с неравенствами Александрова–Фенхеля была независимо найдена А. Хованским и Б. Тесье (Teissier); см., например, [11].

2.3. Многогранники Ньютона

Отображение ограничения полиномов Лорана на тор $T^n\subset(\mathbb C\setminus0)^n$ является изоморфизмом вещественного векторного пространства вещественных полиномов Лорана с носителем $\Lambda$ на пространство $\operatorname{Trig}(\Lambda)$ . Поэтому согласно теореме 2 среднее число корней систем вещественных полиномов Лорана с носителями $\Lambda_i$ равно $n!\,\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))$ . Для вычисления числа комплексных нулей системы полиномов мы используем теорему Кушниренко–Бернштейна (см. [8]).

Напомним, что центрально-симметричному множеству $\Lambda\,{\subset}\,{\mathbb Z^n}^*{\subset}\,\mathfrak t^*$ сопоставлены два компактных выпуклых множества. Это многогранник Ньютона $\operatorname{conv}(\Lambda)$ полиномов с носителем $\Lambda$ и эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)$ с опорной функцией

$\begin{equation} h_\Lambda(\xi)=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{\lambda\in\Lambda} \lambda^2(\xi)}, \end{equation} \tag{2.5}$

где

$N$ – число элементов множества

$\Lambda$ .

Предложение 1. Для почти всех наборов $(P_1,\dots,P_n)$ вещественных полиномов Лорана с носителями $\Lambda_1,\dots,\Lambda_n$ число решений системы $P_1=\dots=P_n=0$ в комплексном торе $(\mathbb C\setminus0)^n$ равно $n!\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{conv}(\Lambda_n))$ .

Доказательство. Пусть

$\mathfrak A_i$ – пространство полиномов Лорана с носителями в

$\Lambda_i$ . Обозначим через

$\mathfrak D\subset(\mathfrak A_1\setminus0)\times\dots\times(\mathfrak A_n\setminus0)$ множество наборов ненулевых полиномов Лорана, таких, что число их совместных нулей не равно

$n!\,\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{conv}(\Lambda_n))$ . Пусть

$\mathbb P_i$ – проективизация пространства

$\mathfrak A_i$ . Теорема Кушниренко–Бернштейна утверждает, что

$\mathfrak D$ содержится в прообразе некоторой комплексной алгебраической гиперповерхности

$\mathfrak P$ в произведении проективных пространств

$\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$ при отображении проекции

$(\mathfrak A_1\setminus0)\times\dots\times(\mathfrak A_n\setminus0)\to\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$ .

Вещественные полиномы Лорана из $\mathfrak A_i$ образуют вещественное векторное подпространство $\operatorname{Trig}(\Lambda_i)$ . При этом $\dim_\mathbb R\operatorname{Trig}(\Lambda_i)=\dim_\mathbb C\mathfrak A_i$ . Рассмотрим отображение проекции $\Pi\colon S_1\times\dots\times S_n\to\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$ (см. определение 2). Множество $\Pi(S_1\times\dots\times S_n)$ является всюду плотным в топологии Зариского подмножеством алгебраического многообразия $\mathbb P_1\times\dots\times\mathbb P_n$ . Поэтому $\Pi^{-1}\mathfrak P$ содержится в некоторой замкнутой вещественной гиперповерхности в $S_1\times\dots\times S_n$ . Отсюда вытекает нужное утверждение. Предложение доказано.

Следствие 2. Выполнено неравенство $\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda))\leqslant \operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda))$ .

Доказательство. Согласно предложению 1 правая часть формулы равна среднему числу вещественных корней, а левая часть согласно теореме 2 – среднему числу комплексных (т.е. всех) корней одинаковых систем уравнений.

Следующее утверждение является уточнением следствия 2.

Предложение 2. При любом центрально-симметричном $\Lambda$ верно, что $\operatorname{ell}(\Lambda)\subset\operatorname{conv}(\Lambda)$ .

Доказательство. Если

$h_A$ ,

$h_B$ – опорные функции компактных выпуклых множеств

$A$ ,

$B$ , то включение

$A\subseteq B$ эквивалентно неравенству

$h_A\leqslant h_B$ . Опорная функция

$h_{\operatorname{conv}(\Lambda)}$ многогранника

$\operatorname{conv}(\Lambda)$ в точке

$\xi$ равна

$\max_{\lambda\in\Lambda}\lambda(\xi)$ . Если

$\Lambda$ центрально-симметрично, то эта функция равна также

$\max_{\lambda\in\Lambda}| \lambda(\xi)|$ . Опорная функция

$h_\Lambda$ эллипсоида

$\operatorname{ell}(\Lambda)$ по определению (2.5) равна среднему квадратичному чисел

$\{| \lambda(\xi)|\colon \lambda\in\Lambda\}$ . Среднее квадратичное конечного набора неотрицательных чисел не превосходит максимального из них. Предложение доказано.

Отношение числа вещественных корней системы полиномов Лорана к числу всех ее корней будем называть долей вещественных корней системы.

Теорема 3. Пусть $\operatorname{real}(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n)$ – средняя доля вещественных корней систем вещественных полиномов Лорана с носителями $\Lambda_i$ . Тогда

$\begin{equation*} \operatorname{real}(\Lambda_1,\dots,\Lambda_n) =\frac{\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{ell}(\Lambda_n))} {\operatorname{vol}(\operatorname{conv}(\Lambda_1),\dots,\operatorname{conv}(\Lambda_n))}. \end{equation*} \notag$

Доказательство вытекает из теоремы 2 и предложения 1.

§ 3. Асимптотика средней доли вещественных корней

Пусть $\Delta\subset\mathfrak t^*$ – центрально симметричное компактное выпуклое множество, $\Lambda=\Delta\cap{\mathbb Z^n}^*$ . Далее мы предполагаем, что выполнено условие

$(*)$ если $\dim\Delta=k<n$ , то $\Delta$ содержится в некотором $k$ -мерном подпространстве $V_\Delta\subset\mathfrak t^*$ , порожденном векторами решетки ${\mathbb Z^n}^*$ .

Для целого $m>0$ положим $\Delta_m=m\Delta$ , $\Lambda_m=\Delta_m\cap{\mathbb Z^n}^*$ и $N_{\Lambda,m}=\#\Lambda_m$ . Напомним, что множеству $\Lambda$ сопоставлен эллипсоид $\operatorname{ell}(\Lambda)\subset\mathfrak t^*$ с опорной функцией $h_\Lambda=\sqrt{F_\Lambda}$ , где

$\begin{equation*} F_\Lambda(\xi)=\frac{1}{\#\Lambda}\sum_{\lambda\in\Lambda}\lambda^2(\xi). \end{equation*} \notag$

Положим

$\begin{equation*} F_{\Lambda,m}(\xi)=\frac{1}{N_{\Lambda,m}}\sum_{\lambda\in\Lambda_m}\lambda^2(\xi). \end{equation*} \notag$

Функция

$h_{\Lambda,m}=\sqrt{F_{\Lambda,m}}$ является опорной функцией эллипсоида

$\operatorname{ell}(\Lambda_m)\subset\mathfrak t^*$ .

Из условия $(*)$ вытекает, что ${\mathbb Z^n}^*\cap V_\Delta$ является решеткой полного ранга в подпространстве $V_\Delta$ . Выберем в $V_\Delta$ форму объема такую, что объем единичного куба решетки ${\mathbb Z^n}^*\cap V_\Delta$ равен $1$ . При $\xi\in\mathfrak t$ положим

$\begin{equation*} F_\Delta(\xi)=\frac{1}{\operatorname{vol}_k(\Delta)}\int_\Delta\langle x,\xi\rangle^2\,dx. \end{equation*} \notag$

Функция

$F_\Delta\colon\mathfrak t\to\mathbb R$ является неотрицательной квадратичной формой. Положим

$h_\Delta=\sqrt{F_\Delta}$ и обозначим через

$\operatorname{ell}(\Delta)$ эллипсоид в пространстве

$\mathfrak t^*$ с опорной функцией

$h_\Delta$ .

Лемма 4. При $m\to\infty$ последовательность функций $({1}/{m^2})F_{\Lambda,m}$ локально равномерно сходится к функции $F_\Delta$ .

Доказательство. Пусть

$\dim\Delta=k$ . Тогда

$\begin{equation*} \frac{1}{m^2} F_{\Lambda,m}(\xi) =\frac{1}{m^2N_{\Lambda,m}}\sum_{\lambda\in\Lambda_m}\langle\xi,\lambda\rangle^2 =\frac{m^k}{N_{\Lambda,m}}\sum_{\alpha\in{\Lambda_m}/{m}} \langle\xi,\alpha\rangle^2\frac{1}{m^k}. \end{equation*} \notag$

Теперь заметим, что

$N_{\Lambda,m}\asymp m^k\operatorname{vol}_k(\Delta)$ , а

$\sum_{\alpha\in{\Lambda_m}/{m}}\langle\xi,\alpha\rangle^2{1}/{m^k}$ является интегральной суммой для интеграла

$\displaystyle\int_\Delta\langle x,\xi\rangle^2\,dx$ по разбиению

$\Delta$ с узлами

${\Lambda_m}/{m}$ . Отсюда получаем, что

$({1}/{m^2})F_{\Lambda,m}(\xi)\to F_\Delta(\xi)$ . Лемма доказана.

Следствие 3. При $m\to\infty$

последовательность функций $({1}/{m})h_{\Lambda,m}$ локально равномерно сходится к опорной функции $h_\Delta$ эллипсоида $\operatorname{ell}(\Delta)$ ,

последовательность эллипсоидов $({1}/{m})\operatorname{ell}(\Lambda_m)$ сходится в топологии Хаусдорфа к эллипсоиду $\operatorname{ell}(\Delta)$ .

Так как по определению $h_\Delta=\sqrt{F_\Delta}$ , то оба утверждения являются прямыми следствиями леммы 4.

Лемма 5. Если для выпуклого тела $\Delta$ выполнено условие $(*)$ , то при $m\to \infty$ последовательность выпуклых многогранников $({1}/{m})\operatorname{conv}(\Lambda_m)$ сходится в топологии Хаусдорфа к выпуклому телу $\Delta$ .

Доказательство вытекает из определения множества $\Lambda_m$ .

Теорема 4. Пусть $\Delta_1,\dots,\Delta_n$ – выпуклые тела в пространстве $\mathfrak t^*$ , удовлетворяющие условию $(*)$ , $\Lambda_i=\Delta_i\cap{\mathbb Z^n}^*$ . Тогда

$\begin{equation} \lim_{\inf(m_1,\dots,m_n)\to\infty}\operatorname{real}_n((\Lambda_1)_{m_1},\dots,(\Lambda_n)_{m_n})= \frac{\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(\Delta_1), \dots,\operatorname{ell}(\Delta_n))}{\operatorname{vol}(\Delta_1,\dots,\Delta_n)}. \end{equation} \tag{3.1}$

Доказательство. Пусть

$(m_1)_i,\dots,(m_n)_i$ – возрастающая последовательность наборов целых положительных чисел. Примененяя теорему 3 к последовательности наборов носителей

$(\Lambda_1)_{(m_1)_i},\dots,(\Lambda_n)_{(m_n)_i}$ и делая предельный переход, основанный на следствии 3, (2) и лемме 5, получаем нужное утверждение. Теорема доказана.

Следствие 4. Пусть $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ – положительные числа. Тогда при заменах $\Delta_i\to\alpha_i\Delta_i$ (при таких заменах условие $(*)$ остается выполненным) асимптотика $\operatorname{real}_n(\Lambda_{m_1},\dots,\Lambda_{m_n})$ сохраняется.

Действительно, из леммы 4 вытекает, что $h_{\alpha\Delta_i}=\alpha h_{\Delta_i}$ . Поэтому числитель и знаменатель правой части (3.1) умножаются на $\alpha_1\cdots\alpha_n$ .

§ 4. Доказательство теоремы 1

В доказательстве теоремы 1 используются обозначения и утверждения из § 3. Отождествим пространство $\mathfrak t^*$ с $\mathbb R^n$ так, что решетка характеров тора $T^n$ совпадает со стандартной целочисленной решеткой $\mathbb Z^n$ в $\mathbb R^n$ . Пусть $B_m\subset\mathbb R^n$ – шар радиуса $m$ с центром $0$ . По теореме 4

$\begin{equation*} \lim_{m\to\infty} \operatorname{real}_n(B_m\cap\mathbb Z^n)=\frac{\operatorname{vol}(\operatorname{ell}(B_1))}{\sigma_n}. \end{equation*} \notag$

(Напомним, что

$\sigma_k$ – это объем

$k$ -мерного шара радиуса

$1$ .) Поэтому теорема 1 сводится к следующему утверждению.

Предложение 3. Справедливо равенство

$\begin{equation*} \operatorname{ell}(B_1)=\sqrt{\frac{\sigma_{n-1}}{\sigma_n}\beta_n}B_1. \end{equation*} \notag$

Доказательство. По определению опорная функция

$h_{B_1}$ эллипсоида

$\operatorname{ell}(B_1)$ равна

$\sqrt{F_{B_1}}$ , где

$\displaystyle F_{B_1}(\xi)=\frac{1}{\sigma_n}\int_{B_1} (x_1\xi_1+\dots+ x_n\xi_n)^2\, dx_1\dotsb dx_n$ . Так как значение

$F_{B_1}(\xi)$ зависит только от

$|\xi|$ , то эллипсоид

$\operatorname{ell}(B_1)$ является шаром радиуса

$\sqrt{F_{B_1}(\xi_0)}$ при

$\xi_0=(1,0,\dots,0)$ . Переходя в определении

$F_{B_1}$ к повторному интегралу, получаем

$\begin{equation*} F_{B_1}(\xi_0)=\frac{\sigma_{n-1}}{\sigma_n}\int_{-1}^1x_1^2(1-x_1^2)^{(n-1)/2}\,dx_1 =\frac{\sigma_{n-1}}{\sigma_n}\beta. \end{equation*} \notag$

Следовательно, радиус шара

$\operatorname{ell}(B_1)$ равен

$\sqrt{(\sigma_{n-1}/\sigma_n)\beta_n}$ .

Следствие 5. Предел $\lim_{\inf(m_1,\dots,m_n)\to\infty}\operatorname{real}_n(B_{m_1}\cap\mathbb Z^n,\dots,B_{m_n}\cap\mathbb Z^n)= ((\sigma_{n-1}/\sigma_n)\beta_n)^{n/2}$ .

Доказательство. Смешанный объем

$n$ шаров радиусов

$r_1,\dots,r_n$ равен

$r_1\cdots r_n\cdot\sigma_n$ . Поэтому нужное утверждение вытекает из теоремы 4 и предложения 3. Следствие доказано.



Список литературы

1.	M. Kac, “On the average number of real roots of a random algebraic equation”, Bull. Amer. Math. Soc., 49:4 (1943), 314–320 ; “Correction”:12, 938
2.	A. Edelman, E. Kostlan, “How many zeros of a random polynomial are real?”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 32:1 (1995), 1–37 ; arXiv: math/9501224
3.	J. Angst, F. Dalmao, G. Poly, “On the real zeros of random trigonometric polynomials with dependent coefficients”, Proc. Amer. Math. Soc., 147:1 (2019), 205–214 ; arXiv: 1706.01654
4.	П. Л. Чебышев, “Об интегрировании иррациональных дифференциалов”, Полное собрание сочинений, т. 2, Изд-во АН СССР, М., 1947, 52–70 ; пер. с фр.: P. Tchebichef, “Sur l'integration des differentielles irrationnelles”, J. Math. Pures Appl., 18 (1853), 87–111
5.	D. Akhiezer, B. Kazarnovskii, “Average number of zeros and mixed symplectic volume of Finsler sets”, Geom. Funct. Anal., 28:6 (2018), 1517–1547
6.	Д. Н. Запорожец, З. Каблучко, “Случайные определители, смешанные объемы эллипсоидов и нули гауссовских случайных полей”, Вероятность и статистика. 18, Посвящается юбилею Ильдара Абдулловича Ибрагимова, Зап. науч. сем. ПОМИ, 408, ПОМИ, СПб., 2012, 187–196 ; англ. пер.: D. N. Zaporozhets, Z. Kabluchko, “Random determinants, mixed volumes of ellipsoids, and zeros of Gaussian random fields”, J. Math. Sci. (N.Y.), 199:2 (2014), 168–173
7.	Б. Я. Казарновский, “Среднее число решений систем уравнений”, Функц. анализ и его прил., 54:2 (2020), 35–47 ; англ. пер.: B. Ya. Kazarnovskii, “Average number of roots of systems of equations”, Funct. Anal. Appl., 54:2 (2020), 100–109
8.	Д. Н. Бернштейн, “Число корней системы уравнений”, Функц. анализ и его прил., 9:3 (1975), 1–4 ; англ. пер.: D. N. Bernshtein, “The number of roots of a system of equations”, Funct. Anal. Appl., 9:3 (1975), 183–185
9.	В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, 5-е изд., УРСС, М., 2003, 416 с.; англ. пер. 1-го изд.: V. I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Grad. Texts in Math., 60, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1978, xvi+462 с.
10.	А. Д. Александров, “К теории смешанных объемов выпуклых тел. IV. Смешанные дискриминанты и смешанные объемы”, Матем. сб., 3(45):2 (1938), 227–251
11.	K. Kaveh, A. G. Khovanskii, “Newton–Okounkov bodies, semigroups of integral points, graded algebras and intersection theory”, Ann. of Math. (2), 176:2 (2012), 925–978

Образец цитирования: Б. Я. Казарновский, “Какая часть корней системы случайных полиномов Лорана вещественна?”, Матем. сб., 213:4 (2022), 27–37; B. Ya. Kazarnovskii, “How many roots of a system of random Laurent polynomials are real?”, Sb. Math., 213:4 (2022), 466–475

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Kaz22}

\by Б.~Я.~Казарновский

\paper Какая часть корней системы случайных полиномов Лорана вещественна?

\jour Матем. сб.

\yr 2022

\vol 213

\issue 4

\pages 27--37

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm9559}

\crossref{https://doi.org/10.4213/sm9559}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461439}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1490.14012}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022SbMat.213..466K}

\transl

\by B.~Ya.~Kazarnovskii

\paper How many roots of a~system of random Laurent polynomials are real?

\jour Sb. Math.

\yr 2022

\vol 213

\issue 4

\pages 466--475

\crossref{https://doi.org/10.1070/SM9559}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000813330900001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85133509187}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/sm9559

https://doi.org/10.4213/sm9559

https://www.mathnet.ru/rus/sm/v213/i4/p27

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	369
PDF русской версии:	62
PDF английской версии:	34
HTML русской версии:	180
Список литературы:	65
Первая страница:	15

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы