О дискретных значениях билинейных форм

Пусть $\omega$ – невырожденная кососимметрическая билинейная форма на вещественной плоскости. Показано, что для конечного множества точек $P\subset \mathbb R^2\setminus\{0\}$ множество $T_\omega(P)$ ненулевых значений формы $\omega$ на $P\times P$ либо пусто, либо обладает мощностью $\Omega(N^{96/137})$.
В специальном случае $P=A\times A$, где $A$ – множество из двух или более вещественных чисел, установлены следующие оценки мощности множеств сумм произведений, соответствующих симметрической или кососимметрической форме $\omega$:
$$|AA+ AA|= \Omega(|A|^{19/12}), \qquad |AA-AA|= \Omega\biggl( \frac{|A|^{49/32}}{\log^{3/32}|A|}\biggr).$$
Эти оценки являются улучшениями стандартных оценок вида $\Omega(N^{2/3})$ и $\Omega(|A|^{3/2})$, следующих непосредственно из теоремы Семереди–Троттера.
Библиография: 28 названий.