Приближение функций из пространств Лебега и Соболева с переменным показателем средними Валле Пуссена

Рассматривается пространство $L^{p(\cdot)}_{2\pi}$, состоящее из $2\pi$-периодических действительных измеримых функций $f$, для которых существует конечный интеграл $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^{p(x)}\,dx$, где $1\leqslant p(x)$ – $2\pi$-периодическая измеримая функция (переменный показатель). Если $p(x)\leqslant \overline p<\infty$, то пространство $L^{p(\cdot)}_{2\pi}$ можно превратить в банахово пространство с нормой $\displaystyle\|f\|_{p(\cdot)}=\inf\biggl\{\alpha>0:\int_{-\pi}^{\pi}\biggl|\frac{f(x)}{\alpha}\biggr|^{p(x)}\,dx\leqslant1\biggr\}$. В пространстве $L^{p(\cdot)}_{2\pi}$ выделяется подпространство типа Соболева $W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$. В статье исследованы аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена тригонометрических сумм Фурье для функций из пространств $W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$. В частности, доказано, что если переменный показатель $p=p(x)$ удовлетворяет условию Дини–Липшица $|p(x)-p(y)|\ln\frac{2\pi}{|x-y|}\leqslant c$ и $f\in W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$, то для средних Валле Пуссена $V_m^n(f)=V_m^n(f,x)$ с $n\leqslant am$ имеет место неравенство
$$\|f-V_m^n(f)\|_{p(\cdot)}\leqslant \frac{c_r(p,a)}{n^r}\Omega\biggl(f^{(r)},\frac1n\biggr)_{p(\cdot)},$$
где $\Omega(g,\delta)_{p(\cdot)}$ – модуль непрерывности функции $g\in L^{p(\cdot)}_{2\pi}$, определенный с помощью функций Стеклова. Доказано, что если $1<p(x)$, $r\geqslant1$, $f\in W^{r,p(\cdot)}_{2\pi}$ и выполнено условие Дини–Липшица, то
$$|f(x)-V_m^n(f,x)|\leqslant \frac{c_r(p)}{m+1}\sum_{k=n}^{n+m}\frac{E_k(f^{(r)})_{p(\cdot)}}{(k+1)^{r-{{1}/{p(x)}}}},$$
где $E_k(g)_{p(\cdot)}$ – наилучшее приближение функции $g\in L^{p(\cdot)}_{2\pi}$ тригонометрическими полиномами порядка $k$.
Библиография: 19 названий.