Циклические цепные экспоненты и степени с произвольными первыми показателями

Цепная циклическая периода $m$ экспонента
$$f(z)=e^{\lambda\alpha_1ze^{\alpha_2ze^{\dots}}}= \langle e^z;\lambda\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\alpha_1,\dots\rangle$$
с одним произвольным первым показателем $\lambda\alpha_1$ при разложении в точке $z=0$ в степенной ряд $\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}H^{(n)}(f) z^n$ имеет форму вида
$$\begin{align*} H^{(n)}(f) &=\lambda\alpha_1\sum_{k_1+\dots+k_m=n}\frac{n!}{k_1!\dotsb k_m!} (k_1\alpha_2)^{k_2}(k_2\alpha_3)^{k_3} \\ &\qquad\times\dots\times(k_{m-1}\alpha_m)^{k_m}[(k_m+\lambda)\alpha_1]^{k_1-1}. \end{align*}$$

Эта формула обобщается на любое количество произвольных первых показателей. Показывается, что решением системы дифференциальных уравнений первого порядка с рациональными правыми частями в некоторых случаях являются циклические цепные экспоненты с первыми показателями, не являющимися элементами циклической последовательности $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m, \alpha_1,\dots)$.
Библиография: 32 названия.