Существование аналитического решения дифференциального уравнения бесконечного порядка и характер его области аналитичности

Рассматривается уравнение
$$\begin{equation} Ly\equiv\sum_{k=0}^\infty a_k y^{(k)}(z)=f(z) \end{equation}$$
в предположении, что характеристическая функция $a(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ уравнения является целой, роста не выше, чем экспоненциальная функция минимального типа (т.е. $a(z)\in[1,0]$). Если $G$ – произвольная область, то через $E(G)$ обозначается множество всех аналитических в $G$ функций, а через $L(E(G))$ – образ $E(G)$ при отображении $E(G)$ в $E(G)$ посредством оператора $Ly$. Далее, через $W(v)$ обозначим полную вейерштрассову область существования произвольной аналитической функции $y(z)$.
Теорема 1. Если $G$ – конечная выпуклая область, то $L(E(G))=E(G)$.
\smallskip Теорема 2. Если $G$ – неодносвязная область, то $L(E(G))$ – собственное подмножество $E(G)$.
\smallskip Теорема 3. Пусть функция $y(z)$ аналитична в точке $z_0\in W(f)$ и удовлетворяет уравнению $(1)$ в окрестности этой точки. Тогда:
а) если $W(f)$ односвязна, то и $W(y)$ односвязна;
б) если $W(f)$ выпукла, то и $W(y)$ выпукла.
Утверждение 3б) в качестве частного случая, когда функция $f(z)$ целая, содержит известную теорему Полиа.
Отмечается важное качественное различие между линейными уравнениями конечного и бесконечного порядка: в условиях теоремы 3 для первых всегда $W(y)=W(f)$, а для вторых в тех же условиях всегда найдется частное решение $y_1(z)$, у которого $W(y_1)$ будет собственным подмножеством $W(f)$.
Следующая теорема специфична для уравнений бесконечного порядка (1), не вырождающихся в уравнения конечного порядка.
Теорема 4. {\it Если область $G$ невыпукла и $a(z)$ – трансцендентная целая функция из класса $[1,0],$ то найдется оператор $L_1y=\sum_{k=0}^\infty b_ky^{(k)}(z)$ с характеристической функцией $a_1=a(e^{i\varphi_2}z),$ $\varphi_2\in[0,2\pi],$ такой, что $L_1(E(G))$ – собственное подмножество $E(G)$}.
В специфичности теоремы 4 убеждает тот факт, что если $a(z)$ – многочлен и $G$ – конечная односвязная область, то всегда $L(E(G))=E(G)$.
В работе находятся необходимые и достаточные условия разрешимости в $E(G)$ уравнения (1) с данной правой частью $f(z)\in E(G)$. Устанавливается связь условий разрешимости с некоторыми интерполяционными задачами для экспоненциальных функций. Рассматриваются примеры.
Библиография: 15 названий.