Аннотация:
В работе исследуется арифметическая природа значений функций
\begin{gather*}
A_{m,s}(z)=\sum_{n=0}^\infty[\lambda_1+1,n]^{-m_1}[\lambda_2+1,n]^{-m_2}\cdots[\lambda_s+1,n]^{-m_s}\biggl(\frac zm\biggr)^{mn},\\
\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s\ne-1,-2,\dots,\\
A_{m,s,\mu}(z)=1+\sum_{n=1}^\infty\,[\lambda_1+1,n]^{m_1}\cdots
[\lambda_{i-1}+1,n]^{-m_{i-1}}\cdots[\lambda_i+1,n-1]^{-m_i}\cdots\\
\cdots[\lambda_s+1,n-1]^{-m_s}[\lambda_i+n]^{q^{i-1}-\mu}\biggl(\frac zm\biggr)^{mn},
\end{gather*}
$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s\ne-1,-2,\dots$; $\mu=q_{i-1}+1$, $q_{i-1}+2,\dots,q_i$, $i=1,2,\dots,s,$ где $s\geqslant1$; $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$ – рациональные числа;
$[\lambda,0]=1$, $[\lambda,n]=\lambda(\lambda+1)\cdots(\lambda+n-1)$, $n\geqslant1$, $m_1,m_2,\dots,m_s$ – любые неотрицательные целые рациональные числа, $m_0=0$, $m=m_1+m_2+\dots+m_s$, $m\geqslant1$; $q_i=m_1+m_2+\dots+m_i$, $i=1,2,\dots,s-1$, $q_0=0$, $q=q_s=m_1+m_2+\dots+m_{s-1}+t^s$, $t_s\geqslant m_s$, $t_s$ – натуральное число.
Функция $A_{m,s}(z)$ является решением линейного дифференциального уравнения
порядка $m$ с полиномиальными козффициентами. Система функций $A_{m,s,\mu}(z)$,
$\mu=1,2,\dots,q$, составляет решение системы $q$ линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами – рациональными функциями от $z$.
Используя общую теорему А. Б. Шидловского о трансцендентности и алгебраической независимости значений $E$-функций, доказывается 6 теорем о взаимной трансцендентности значений функций каждой совокупности $A_{m,s}(z), A'_{m,s}(z),\dots,A^{(m-1)}_{m,s}(z)$ и $A_{m,s,\mu}(z)$, $\mu=1,2,\dots,q$, в любых алгебраических точках $a\ne0$ при различных рациональных значениях параметров $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$, $s\geqslant1$, и произвольных значениях $m_1,m_2,\dots,m_s$.
Библиографии: 8 названий.
Образец цитирования:
И. И. Белогривов, “О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических $E$-функций”, Матем. сб., 82(124):3(7) (1970), 387–408; I. I. Belogrivov, “Transcendence and algebraic independence of the values of some hypergeometric $E$-functions”, Math. USSR-Sb., 11:3 (1970), 355–376
\RBibitem{Bel70}
\by И.~И.~Белогривов
\paper О~трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых гипергеометрических $E$-функций
\jour Матем. сб.
\yr 1970
\vol 82(124)
\issue 3(7)
\pages 387--408
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/sm3457}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=277483}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0225.10036}
\transl
\by I.~I.~Belogrivov
\paper Transcendence and algebraic independence of the values of some hypergeometric $E$-functions
\jour Math. USSR-Sb.
\yr 1970
\vol 11
\issue 3
\pages 355--376
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM1970v011n03ABEH002073}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/sm3457
https://www.mathnet.ru/rus/sm/v124/i3/p387
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
П. Л. Иванков, “О дифференцировании по параметру”, Чебышевский сб., 16:3 (2015), 285–294
Н. И. Лоссов, “Об алгебраической независимости значений некоторых
классов гипергеометрических $E$-функций”, УМН, 44:1(265) (1989), 201–202; N. I. Lossov, “On the algebraic independence of values of some
classes of hypergeometric $E$-functions”, Russian Math. Surveys, 44:1 (1989), 245–246
В. Х. Салихов, “О линейной неприводимости дифференциальных уравнений
и алгебраической независимости значений гипергеометрических $E$-функций”, УМН, 41:3(249) (1986), 201–202; V. Kh. Salikhov, “Linear irreducibility of differential equations and algebraic independence of the values of hypergeometric $E$-functions”, Russian Math. Surveys, 41:3 (1986), 231–232