О мнимой компоненте диссипативного оператора с медленно растущей резольвентой

Рассматривается класс $\Lambda$ (РЖМат., 1970, 6Б675), состоящий из ограниченных диссипативных операторов с вещественным спектром, действующих в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathfrak H$ со следующим ограничением на рост резольвенты $R_A(\lambda)$:
$$\varlimsup_{y\to+0}\int_{-\infty}^\infty(1+x^2)^{-1}\ln^+y\,\|R_A(x+iy)\|\,dx<\infty.$$

Основные результаты:
1. Для того чтобы оператор $H\geqslant0$ был мнимой компонентой некоторого оператора $A\in\Lambda$ ($H=\frac1{2i}(A-A^*)$), необходимо и достаточно, чтобы $0$ был либо собственным значением $A$ бесконечной кратности, либо предельной точкой для спектра $A$.
2. Для того чтобы любой линейный оператор с мнимой компонентой $H\geqslant0$ и вещественным спектром принадлежал классу $\Lambda$, необходимо и достаточно, чтобы $H$ был ядерным: $\operatorname{sp}H<\infty$.
Библиография: 10 названий.