О методе стационарных состояний для квазилинейных параболических уравнений

Излагается метод исследования пространственно-временной структуры неограниченных неотрицательных решений квазилинейных параболических уравнений вида $u_t=\mathbf A(u)$, $\mathbf A$ – нелинейный эллиптический оператор. Подробно рассмотрены три примера: задача Коши для уравнения
$$u_t=\nabla\cdot((1+|\nabla u|^2)^{\sigma/2}\nabla u)+u^\beta,$$
$\sigma>0$, $\beta>1$ – постоянные; краевая задача в $\Omega=R^3\cap\{x_3>0\}$:
$$\begin{gather*} u_t=\nabla\cdot((1+u^\sigma)\nabla u),\qquad t>0,\quad x\in\Omega; \\ -(1+u^\sigma)u_{x_3}=u^\alpha,\qquad t>0,\ x_3=0;\quad\alpha=\mathrm{const}>0; \end{gather*}$$
задача Коши для системы $u_t=\nabla\cdot((1+u^2)^{1/2}\nabla u)+vw$, $v_t=\nabla\cdot((1+v^2)\nabla v)+u^pw$, $w_t=\nabla\cdot((1+w^2)^{3/2}\nabla w)uw$, $p\geqslant1$. Предполагается, что в точке $x=0$ решение неограниченно возрастает при $t\to T_0^-<+\infty$. Вывод оценки решения вблизи $t=T_0^-$, $x=0$ основан на анализе соответствующего семейства стационарных решений $\{U_\lambda\}$: $\mathbf A(U_\lambda)=0$, $U_\lambda(0)=\lambda$, $\lambda>0$ – параметр. Показано, что поведение решения при $t\to T_0^-$ во многом зависит от пространственной структуры “огибающей” $L(x)=\sup_{\lambda>0}U_\lambda(x)$. В частности, если $L(x)\equiv+\infty$, то $u(t,x)$ неограниченно возрастает при $t\to T_0^-$ в точках, сколь угодно удаленных от $x=0$. Если же $L(x)<+\infty$ при $x\ne0$, то $L(x)$ определяет оценку снизу $u(t,x)$ в окрестности $t=T_0^-$, $x=0$.
Библиография: 28 названий.