Обобщение неравенства Гончара для рациональных функций на случай метрики $L_p$

Пусть в комплексной плоскости задан некоторый конденсатор и $C(E,F)$ – его емкость, а $\mu^*=\mu_E^*-\mu_F^*$ – равновесное распределение для пары $(E,F)$.
Для заданной меры $\mu$ на $E\cup F$ положим
$$G(\mu_E')=\exp\biggl(\,\int\log(d\mu/d\mu_E^*)\,d\mu_E^*\biggr),\quad G(\mu_F')=\exp\biggl(\,\int\log(d\mu/d\mu_F^*)\,d\mu_F^*\biggr).$$
Мы покажем, что для $0<p,q<\infty$ и любой рациональной функции $r_n$ порядка $n$
$$\begin{equation} \|r_n\|_{L_p(d\mu,E)}\|1/r_n\|_{L_q(d\mu,F)}\geqslant e^{-n/C(E,F)}G^{1/p}(\mu_E') G^{1/q}(\mu_E'). \tag{1} \end{equation}$$
Это неравенство обобщает классический результат Гончара. Для симметричных конденсаторов мы находим также точную нижнюю грань для $\|r_n-\lambda\|_{L_p(d\mu,E\cup F)}$, где $\lambda=\lambda(z)$ равно нулю на $E$ и 1 на $F$. И еще – обсуждаются вопросы о точности (1) и взаимосвязи этих вопросов с $n$-поперечниками.
Библиография: 16 названий.