В. В. Соколов, “Неабелево обобщение волчка Эйлера на $\mathfrak{so}_3$”, УМН, 76:1(457) (2021), 195–196; Russian Math. Surveys, 76:1 (2021), 183

Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Успехи математических наук

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Успехи математических наук, 2021, том 76, выпуск 1(457), страницы 195–196
DOI: https://doi.org/10.4213/rm9988 (Mi rm9988)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Сообщения Московского математического общества

Неабелево обобщение волчка Эйлера на

$\mathfrak{so}_3$

В. В. Соколов

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской академии наук

PDF полного текста (367 kB) PDF английской версии (348 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/rm9988

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	0029-2021-0004
Работа выполнена в рамках госзадания № 0029-2021-0004 Минобрнауки РФ.

Поступила в редакцию: 04.01.2021

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2021, Volume 76, Issue 1, Pages 183–185
DOI: https://doi.org/10.1070/RM9988

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 34A34, 37J35, 70H06

В работах [1], [2] был предложен общий подход к построению интегрируемых некоммутативных обобщений данной интегрируемой системы с полиномиальной правой частью. Мы применяем его для нахождения некоммутативных аналогов волчка Эйлера. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

$\begin{equation} u'=z_1\,v w, \quad v'=z_2\,u w, \quad w'=z_3\,u v, \qquad z_i\in \mathbb C, \quad z_i\ne 0, \end{equation} \tag{1}$

где

$'$ означает производную по

$t$ . Система (1) обладает первыми интегралами

$I_1=z_3 u^2-z_1 w^2$ ,

$I_2=z_3 v^2-x_2 w^2$ . Для любых

$i$ ,

$j$ система

$\begin{equation} u_{\tau}=z_1\,v wI_1^i I_2^j, \quad v_{\tau}=z_2\,u wI_1^i I_2^j, \quad w_{\tau}=z_3\,u vI_1^i I_2^j \end{equation} \tag{2}$

является инфинитезимальной симметрией системы (1). С помощью растяжений независимой переменной и неизвестных функций параметры

$z_i$ всегда можно превратить в единицы. Везде далее мы считаем, что

$z_1=z_2=z_3=1$ .

Наша цель – обобщить систему (1) на случай, когда неизвестные являются матрицами произвольного размера $n\times n$ . Предполагая, что правые части по-прежнему являются однородными квадратичными полиномами и что при $n=1$ система совпадает с (1), приходим к анзацу

$\begin{equation} \begin{aligned} \, u'&=k_1 v w+(1-k_1)w v+c^1_{12}[v,w]+c^1_{23}[w,u]+c^1_{31}[u,v], \\ v'&=k_2 w u+(1-k_2)u w+c^2_{12}[w,u]+c^2_{23}[u,v]+c^2_{31}[v,w], \\ w'&=k_3 u v+(1-k_3)v u+c^3_{12}[u,v]+c^3_{23}[v,w]+c^3_{31}[w,u]. \end{aligned} \end{equation} \tag{3}$

Потребуем, чтобы для каждого интеграла $R_{ij}=I_1^i I_2^j$ системы (1) у системы (3) существовал интеграл $\overline R_{ij}$ вида $\operatorname{trace} P_{ij}$ , где $P_{ij}$ – некоторый матричный многочлен, который при $n=1$ совпадал бы с $R_{ij}$ . Мы будем называть $\overline R_{ij}$ неабелиaнизацией интеграла $R_{ij}$ .

Предложение 1. Если для системы (3) существуют неабелиaнизации всех интегралов $R_{ij}$ при $i+j\leqslant 3$ , то система имеет вид

$\begin{equation} \begin{gathered} \, u'=\frac{1}{2}(v w+w v)+X[u,v]+Z[u,w],\qquad v'=\frac{1}{2}(w u+u w)+Y[v,u]+Z[v,w], \\ w'=\frac{1}{2}(u v+v u)+X[w,v]+Y[w,u], \end{gathered} \end{equation} \tag{4}$

где

$X$ ,

$Y$ ,

$Z$ – произвольные числовые параметры.

Замечание 2. Перестановка переменных $u$ , $v$ , $w$ приводит к перестановке коэффициентов $X$ , $Y$ , $Z$ . Кроме того, у коэффициентов можно менять знаки. Например, замена $u \to -u$ , $t \to -t$ приводит к изменению знака $Y$ .

Для любых параметров $X$ , $Y$ , $Z$ у системы (4) имеется представление Лакса $L_t=[A,L]$ в алгебре Ли матриц над телом кватернионов (ср. [3]). Подразумевается, что кватернионы коммутируют с неабелевыми переменными $u$ , $v$ , $w$ . Матрицы $L$ и $A$ имеют вид

$\begin{equation*} L=\begin{pmatrix} L_1 & L_2 \\ -L_2 & L_1 \end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ -A_2 & A_1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \begin{alignedat}{2} L_1&=2(\nu-\mu)\operatorname{Det}(S)u, &\qquad L_2&=\langle P,\Omega\rangle v+\langle Q,\Omega \rangle w, \\ A_1&=(-Y\,u-X\,v-Z\,w)\boldsymbol{1}+\sigma L_1, &\qquad A_2&=\mu \langle P,\Omega\rangle\,v+\nu\,\langle Q,\Omega\rangle\,w. \end{alignedat} \end{equation*} \notag$

Здесь

$\sigma$ ,

$\mu$ ,

$\nu$ – произвольные попарно неравные числа,

$\Omega=({\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k})$ ,

$P$ и

$Q$ – трехмерные векторы такие, что

$\langle P,Q \rangle=0$ ,

$\langle P,P \rangle=[4(\sigma-\mu)(\nu-\mu)]^{-1}$ ,

$\langle Q,Q \rangle= [4(\sigma-\nu)(\mu-\nu)]^{-1}$ , a

$S$ – матрица со строками

$P$ ,

$Q$ ,

$\Omega$ . Если заменить кватернионные единицы

${\mathbf i}$ ,

${\mathbf j}$ ,

${\mathbf k}$ матрицами Паули, то получается пара Лакса в матрицах размера

$4\times 4$ , зависящая от одного существенного параметра

$\kappa=(\sigma-\mu)(\nu-\mu)/[(\sigma-\nu)(\mu-\nu)]$ . Остальные параметры нормируются сопряжением кватернионом, сдвигом

$A \to A+\operatorname{const}L$ и растяжением переменных

$t$ ,

$u$ ,

$v$ ,

$w$ . В частности, можно положить

$\sigma=0$ и

$\mu=1$ .

Гипотеза 3. В случае системы (4) следы степеней оператора $L$ порождают неабелиaнизации всех интегралов $R_{ij}$ .

Замечание 4. Система (4) с $X=Y=Z=0$ может быть получена редукцией из (неабелева) уравнения Нама: $u'=[v,w]$ , $v'=[w,u]$ , $w'=[u,v]$ . Эта система, как и само уравнение Нама, обладает первыми интегралами, но не имеет неабелевых полиномиальных симметрий. Возможно, у них есть нелокальные симметрии.

Предложение 5. Если система (4) допускает неабелиaнизацию симметрии (2) с $i=1$ , $j=0$ , то заменами из замечания 2 она сводится к одной из следующих: 1) $X=Y=Z=1/2$ ; 2) $Y=Z=0$ , $X=1/2$ .

Любопытно было бы понять, чем эти наборы параметров выделены с точки зрения предъявленной выше пары Лакса. Кроме того, интересно было бы применить подход из статьи [4] для квантования системы (4) и попытаться обобщить результаты работы [5] на неабелев случай.

Автор благодарен И. З. Голубчику, М. Дунайскому (M. Dunajski) и В. Н. Рубцову за полезные обсуждения.



Список литературы

1.	V. Sokolov, T. Wolf, Lett. Math. Phys., 110:3 (2020), 533–553
2.	V. E. Adler, V. V. Sokolov, Math. Phys. Anal. Geom., 24:1 (2021), 7, 24 pp., arXiv: 2008.09174
3.	K. Kimura, A Lax pair of the discrete Euler top in terms of quaternions, 2017 (v1 – 2016), 5 pp., arXiv: 1611.02271
4.	А. В. Михайлов, УМН, 75:5(455) (2020), 199–200 ; англ. пер.: A. V. Mikhailov, Russian Math. Surveys, 75:5 (2020), 978–980
5.	C. П. Новиков, УМН, 75:6(456) (2020), 153–161 ; англ. пер.: S. P. Novikov, Russian Math. Surveys, 75:6 (2020), 1133–1141

Образец цитирования: В. В. Соколов, “Неабелево обобщение волчка Эйлера на

$\mathfrak{so}_3$ ”, УМН, 76:1(457) (2021), 195–196; Russian Math. Surveys, 76:1 (2021), 183–185

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Sok21}

\by В.~В.~Соколов

\paper Неабелево обобщение волчка Эйлера на $\mathfrak{so}_3$

\jour УМН

\yr 2021

\vol 76

\issue 1(457)

\pages 195--196

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm9988}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm9988}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4223940}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1477.34034}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2021RuMaS..76..183S}

\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=46075431}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2021

\vol 76

\issue 1

\pages 183--185

\crossref{https://doi.org/10.1070/RM9988}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000701437400001}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85105936142}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm9988

https://doi.org/10.4213/rm9988

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v76/i1/p195

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

В. М. Бухштабер, А. В. Михайлов, “Интегрируемые полиномиальные гамильтоновы системы и симметрические степени плоских алгебраических кривых”, УМН, 76:4(460) (2021), 37–104 ; V. M. Buchstaber, A. V. Mikhailov, “Integrable polynomial Hamiltonian systems and symmetric powers of plane algebraic curves”, Russian Math. Surveys, 76:4 (2021), 587–652

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	414
PDF русской версии:	90
PDF английской версии:	32
HTML русской версии:	142
Список литературы:	51
Первая страница:	27

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы