Марковские представления стохастических систем

Обширный круг исследований по теории случайных процессов посвящен задаче: не меняя конечномерных распределений вероятностного процесса $x_t$, построить процесс с определенными свойствами регулярности траекторий. Соответствующая теория сложна, и ее трудно применять к свойствам, которые нужнее всего при изучении марковских процессов (строгая марковость, стандартность и т.п.). Быть может, полезно изменить постановку задачи. При любом эксперименте наблюдается не состояние $x_t$ в фиксированный момент $t$, а события, занимающие определенный промежуток времени. Это обстоятельство нашло отражение в теории обобщенных случайных процессов Гельфанда–Ито. Еще более общая концепция стохастического процесса как системы $\sigma$-алгебр $\mathscr F(I)$, находящихся в соответствии с промежутками времени $I$, была предложена в 1972 г. А. Н. Колмогоровым. Развивая его подход, мы введем понятие марковского представления $x_t$ стохастической системы $\mathscr F(I)$ и докажем существование регулярных представлений. Строятся два дуальных регулярных представления (правое и левое), которые затем объединяются в один марковский процесс двумя способами: “вертикальным” и “горизонтальным”. Мы приходим к общей теории двойственности, в рамках которой находят естественное место основные результаты о пространствах входов и выходов, эксцессивных мерах и функциях, аддитивных функционалах и др. Первые шаги к построению такой теории были сделаны в [6]. Приложениям к аддитивным функционалам посвящена заметка [5] (подробные доказательства подготовляются к печати). Мы рассматриваем случайные процессы, определенные в измеримых пространствах без всякой топологии: введение разумной топологии допускает известный произвол. Соотношение между нашими определениями регулярности и более традиционными свойствами, формулирующимися в топологических терминах (непрерывность справа, существование предела слева и т.п.), рассмотрено в добавлении, написанном С. Е. Кузнецовым.