А. И. Аптекарев, В. А. Калягин, “Спектральная задача для векторной струны Стилтьеса”, УМН, 77:5(467) (2022), 187–188; Russian Math. Surveys, 77:5 (2022), 946

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

Успехи математических наук

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись
	Историческая справка

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Успехи математических наук, 2022, том 77, выпуск 5(467), страницы 187–188
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10067 (Mi rm10067)

Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)

Сообщения Московского математического общества

Спектральная задача для векторной струны Стилтьеса

А. И. Аптекарев^a, В. А. Калягин^b

^a Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
^b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"

PDF полного текста (349 kB) PDF английской версии (403 kB) Полный текст в HTML Список цитирования (1)

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/rm10067

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	075-15-2022-283
Работа выполнена в Московском центре фундаментальной и прикладной математики (соглашение с Минобрнауки РФ № 075-15-2022-283).

Поступила в редакцию: 01.08.2022

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2022, Volume 77, Issue 5, Pages 946–948
DOI: https://doi.org/10.4213/rm10067e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

MSC: 34L05, 47B36

1. Струна Стилтьеса

Система разностных уравнений

$\begin{equation} \begin{cases} \theta_{k+1}-\theta_k=m_{k+1}z\eta_k, & k\in \mathbb{Z}_+, \ \theta_0=0, \\ \eta_k-\eta_{k-1}=l_k\theta_k, & k\in \mathbb{N}, \ \hphantom{{}_{+}} \eta_0=1, \end{cases} \end{equation} \tag{1}$

последовательно определяет по параметрам

$\{m_k,l_k\}$ струны характеристики ее колебаний

$\{\eta_k, \theta_k\}$ , зависящие от спектрального параметра

$z$ . В то же время решения

$\{\theta_k,\eta_k\}$ системы (1) вместе с ее решениями

$\{\theta^{(1)}_k,\eta^{(1)}_k\}$ , отвечающими начальным условиям

$\theta^{(1)}_0=1$ ,

$\eta^{(1)}_0=0$ , формируют подходящие дроби для классической непрерывной дроби Стилтьеса [1], [2]:

$\begin{equation} S_n(z)=\begin{cases} \theta^{(1)}_k/\theta_k, & n=2k-1, \\ \eta^{(1)}_k/\eta_k, & n=2k, \end{cases}\quad k\in \mathbb{N};\quad S(z)=\frac{1|}{|m_1 z\,+}\,\,\frac{1|}{|l_1\,+}\,\, \frac{1|}{|m_2z\,+}\,\,\frac{1|}{|l_2+\cdots}\,. \end{equation} \tag{2}$

Уравнения струны Стилтьеса (1) – прообраз многих замечательных систем операторов, таких как струна Крейна [2], [3] и канонические системы де Бранжа [4], [5].

Непрерывная дробь, эквивалентная (2), и соответствующие рекуррентные соотношения имеют вид

$\begin{equation} S(z)=\frac{1|}{|z\,+}\,\frac{a_1|}{|1\,+}\,\frac{a_2|}{|z\,+}\, \frac{a_3|}{|1{}+{}\cdots}\,,\quad A_{n+1}=\epsilon_nA_n+a_nA_{n-1}, \end{equation} \tag{3}$

где

$\epsilon_n=z$ , если

$n=2k$ , и

$\epsilon_n=1$ , если

$n \ne 2k$ ,

$k\in \mathbb{N}$ ; при этом

$A_{-1}=0$ ,

$A_0=1$ для знаменателей и

$A^{(1)}_{-1}=1$ ,

$A^{(1)}_0=1$ для числителей подходящих дробей. После сокращений подходящие дроби (2) совпадут с подходящими непрерывной дроби (3).

Для $m_k,l_k>0$ ( $a_k>0$ ) имеем равномерную на компактах в $\mathbb{C} \setminus [0,+\infty)$ сходимость дроби Стилтьеса к функции Стилтьеса $S(z)$ , порожденной некоторой мерой $\sigma>0$ :

$\begin{equation} S_n(z) \to S(z)=\int_0^{+\infty}\frac{d\sigma(x)}{z+x}\,, \qquad \operatorname{supp} \sigma \in \mathbb{R}_+. \end{equation} \tag{4}$

2. Векторная дробь Стилтьеса

Понятие векторной непрерывной дроби основано на процедуре Якоби–Перрона обращения вектора $\mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots,c_d) \in \mathbb{C}^d$ : $\mathbf{c}^{-1}=\boldsymbol{1}/\mathbf{c}= (1/c_d,c_1/c_d,\dots,c_{d-1}/c_d)$ .

В настоящей работе мы рассматриваем векторное обобщение дроби Стилтьеса (2) и связанную с ним систему разностных уравнений, аналогичную (1).

Теорема 1. Пусть для векторной непрерывной дроби $\mathbf{S}(z)$ имеем $m_k,l_{1,k},l_{2,k} \ne 0$ :

$\begin{equation} \mathbf{S}(z)=(S_1(z),S_2(z))=\frac{\mathbf{1}|}{|(0,m_1z)}+ \frac{\mathbf{1}|}{|(0,l_{1,1})}+\frac{\mathbf{1}|}{|(0,l_{2,1})}+ \frac{\mathbf{1}|}{|(0,m_2 z)}+\cdots\,. \end{equation} \tag{5}$

Тогда числители и знаменатели ее подходящих дробей

$\begin{equation} \mathbf{S}_{3k-2}(z)=\biggl(\frac{\theta^{(1)}_{1,k}}{\theta_{1,k}}\,, \frac{\theta^{(2)}_{1,k}}{\theta_{1,k}}\biggr),\quad \mathbf{S}_{3k-1}(z)=\biggl(\frac{\theta^{(1)}_{2,k}}{\theta_{2,k}}\,, \frac{\theta^{(2)}_{2,k}}{\theta_{2,k}}\biggr),\quad \mathbf{S}_{3k}=\biggl(\frac{\eta^{(1)}_k}{\eta_k}\,, \frac{\eta^{(2)}_k}{\eta_k}\biggr), \end{equation} \tag{6}$

$k\in \mathbb{N}$ , удовлетворяют системе разностных уравнений

$\begin{equation} \begin{cases} \theta_{1,k+1}-\theta_{1,k}=m_{k+1}z\eta_k, & k\in \mathbb{Z}_+,\ \theta_{1,0}=0, \\ \theta_{2,k}-\theta_{2,k-1}=l_{1,k} \theta_{1,k}, & k\in \mathbb{N}, \ \hphantom{{}_{+}}\theta_{2,0}=0, \\ \eta_k-\eta_{k-1}=l_{2,k}\theta_{2,k}, & k\in \mathbb{N}, \ \hphantom{{}_{2,+}}\eta_0=1. \end{cases} \end{equation} \tag{7}$

Если

$m_k, l_{1,k}, l_{2,k} > 0$ , то, как и в (4), имеет место равномерная сходимость

$\begin{equation} \mathbf{S}_n(z)=(S_{1,n}(z), S_{2,n}(z)) \to \mathbf{S}(z)= (S_1(z),S_2(z)), \qquad S_j(z)=\int_0^{+\infty}\frac{d\sigma_j(x)}{z+x}\,. \end{equation} \tag{8}$

Отметим, что в [6] рассмотрено векторное обобщение эквивалентной дроби Стилтьеса (3) и для числителей $A^{(1)}_n$ , $A^{(2)}_n$ со знаменателем $A_n$ у подходящих получено:

$\begin{equation} A_{n+1}=\epsilon_nA_n+a_{n-1}A_{n-2}, \quad \epsilon_n=z \;\,\text{для } n=3k, \quad \epsilon_n=1 \;\,\text{для }n \ne 3k,\quad k\in \mathbb{N}, \end{equation} \tag{9}$

при этом

$a_{3k-2}=(m_kl_{1,k}l_{2,k})^{-1}$ ,

$a_{3k-1}=(m_{k+1}l_{1,k}l_{2,k})^{-1}$ ,

$a_{3k}=(m_{k+1}l_{1,k+1}l_{2,k+1})^{-1}$ .

3. Спектральная задача

Прямую спектральную задачу нахождения $(\sigma_1,\sigma_2)$ из (8) удобнее решать в терминах коэффициентов $\{a_n\}$ из (9). Известно [7], что преобразование $f_j(z)=z^{j+1}S_j(z^3)$ , $j=1,2$ , превращает систему функций Стилтьеса в систему функций Никишина $f=(f_1,f_2)$ , порожденную мерами $d\mu_j(x)=d\sigma_j(x^3)$ . Система Никишина – одна из базовых систем функций, для которых знаменатели аппроксимаций Эрмита–Паде $\{Q_n(z)\}$ являются многочленами совместной ортогональности относительно системы мер $(\mu_1,\mu_2)$ [8]. Приложения систем Никишина в спектральной теории операторов Шрёдингера на графах см. в [9], [10]. Имеем

$\begin{equation} Q_{n+1}(x)=x Q_n(x)-a_{n-2}Q_{n-2}(x), \qquad Q_0(x)=1,\quad Q_1(x)=x,\quad Q_2(x)=x^2. \end{equation} \tag{10}$

Таким образом, прямая спектральная задача для векторной струны Стилтьеса сводится к нахождению мер ортогональности

$(\mu_1,\mu_2)$ по коэффициентам соотношения (10).

Пусть $W(z)$ – алгебраическая функция: $W^3-zW^2+1=0$ , ветви: $W_0(\infty)=\infty$ , $\operatorname{Im} W_2=0$ на $[0,\alpha)$ , $\alpha:=(27/4)^{1/3}$ . Обозначим $\{Q_n^{(j)}\}_{j=1,2}$ два других решения уравнений (10) с начальными условиями $Q^{(1)}_0(x)=0$ , $Q^{(1)}_1(x)=1$ , $Q^{(1)}_2(x)=x$ , $Q^{(2)}_0(x)=0$ , $Q^{(2)}_1(x)=0$ , $Q^{(2)}_2(x)=1$ , и пусть

$\begin{equation*} D_n(x):=\begin{vmatrix} Q_n(x) & Q_{n+1}(x)& W_2^2(x) \\ Q_{n-1}(x) & Q_n(x) & W_2(x) \\ Q_{n-2}(x) & Q_{n-1}(x) & 1 \end{vmatrix}, \quad D_n^{(j)}(x):=\begin{vmatrix} Q_n(x) & Q^{(j)}_n(x)& W_2^2(x) \\ Q_{n-1}(x) & Q^{(j)}_{n-1}(x) & W_2(x) \\ Q_{n-2}(x) & Q^{(j)}_{n-2}(x) & 1 \end{vmatrix}. \end{equation*} \notag$

Теорема 2. Если $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n-1|<\infty$ , то $d\mu_j(x)=\rho_j(x)\,dx$ и равномерно по $x$

$\begin{equation*} \rho_j(x)=\lim_{n \to \infty}\frac{W_1-W_0}{2 \pi i}\, \frac{D^{(j)}_n(x)}{ D_n(x)}\,, \qquad x \in K \Subset (0,\alpha), \quad j=1,2. \end{equation*} \notag$



Список литературы

1.	T.-J. Stieltjes, Ann. Fac. Sci. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys., 8:4 (1894), J1–J122
2.	М. Г. Крейн, Докл. АН СССР, 87 (1952), 881–884
3.	S. A. Denisov, IMRS Int. Math. Res. Surv., 2006:2 (2006), 54517, 148 pp.
4.	L. de Branges, Trans. Amer. Math. Soc., 99 (1961), 118–152
5.	R. Romanov, Trans. Amer. Math. Soc., 369:2 (2017), 1061–1078
6.	A. Aptekarev, V. Kaliaguine, J. Van Iseghem, Constr. Approx., 16:4 (2000), 487–524
7.	A. I. Aptekarev, V. A. Kalyagin, E. B. Saff, Constr. Approx., 30:2 (2009), 175–223
8.	С. П. Суетин, УМН, 76:3(459) (2021), 183–184
9.	S. A. Denisov, M. L. Yattselev, Adv. Math., 396 (2022), 108114, 79 pp.
10.	А. И. Аптекарев, В. Г. Лысов, УМН, 76:4(460) (2021), 179–180

Образец цитирования: А. И. Аптекарев, В. А. Калягин, “Спектральная задача для векторной струны Стилтьеса”, УМН, 77:5(467) (2022), 187–188; Russian Math. Surveys, 77:5 (2022), 946–948

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{AptKal22}

\by А.~И.~Аптекарев, В.~А.~Калягин

\paper Спектральная задача для векторной струны Стилтьеса

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 5(467)

\pages 187--188

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10067}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10067}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4582590}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1523.39006}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..946A}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 5

\pages 946--948

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10067e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992306600005}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165359667}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm10067

https://doi.org/10.4213/rm10067

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i5/p187

Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:

В. Г. Лысов, “Распределение нулей многочленов совместной дискретной ортогональности в случае Анжелеско”, УМН, 79:6(480) (2024), 165–166 ; V. G. Lysov, “Distribution of zeros of polynomials of multiple discrete orthogonality in the Angelesco case”, Russian Math. Surveys, 79:6 (2024), 1101–1103

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	445
PDF русской версии:	70
PDF английской версии:	79
HTML русской версии:	260
HTML английской версии:	113
Список литературы:	92
Первая страница:	28

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы