Точные асимптотики распределений интегральных функционалов от геометрического броуновского движения и иные родственные формулы

Доказаны результаты о точных асимптотиках вероятностей
$$\mathbf P\biggl\{\int\limits_0^1e^{\varepsilon\xi(t)}\,dt>b\biggr\},\qquad \mathbf P\biggl\{\int\limits_0^1e^{|\varepsilon\xi(t)|}\,dt>b\biggr\},\qquad \varepsilon\to0,$$
при $b>1$ для двух гауссовских процессов $\xi(t)$ – винеровского процесса и броуновского моста. Метод исследования – метод Лапласа для гауссовских мер в банаховых пространствах. Вычисления констант сведены к решению экстремальной задачи для функционала действия и исследованию спектра дифференциального оператора второго порядка типа Штурма–Лиувилля с помощью функций Лежандра.