Необходимые условия справедливости слабой обобщенной локализации для рядов Фурье с “лакунарной последовательностью частичных сумм”

Ранее было установлено, что на подмножествах $\mathbb{T}^N=[-\pi,\pi]^N$, представляющих собой крест $W$, составленный из определенного количества $N$-мерных брусков $W_{x_sx_t}=\Omega_{x_sx_t}\times [-\pi,\pi]^{N-2}$ ($\Omega_{x_sx_t}$ – открытое подмножество $[-\pi,\pi]^2$), в классах $L_p(\mathbb{T}^N )$, $p>1$, при $N\ge3$ справедлива слабая обобщенная локализация почти всюду для кратных тригонометрических рядов Фурье, когда прямоугольные частичные суммы $S_n(x;f)$ ($x\in\mathbb{T}^N$, $f\in L_p$) этих рядов имеют номер $n=(n_1,\dots,n_N)\in{\mathbb Z}_{+}^{N}$, в котором некоторые компоненты $n_j$ являются элементами лакунарных последовательностей. В настоящей работе доказан ряд утверждений, показывающих, что найденные структурно-геометрические характеристики таких подмножеств являются точными в смысле числа (образующих $W$) $N$-мерных брусков $W_{x_sx_t}$, а также структуры и геометрии $W_{x_sx_t}$. В частности, доказано, что нельзя в качестве основания бруска взять произвольное измеримое двумерное множество или открытое трехмерное множество.
Библиография: 8 названий.