Меры Хаусдорфа и точки Лебега для классов Соболева $W^p_\alpha$, $\alpha>0$, на пространствах однородного типа

Пусть $(X,\mu,d)$ – пространство однородного типа, где $d$ – метрика, $\mu$ – мера, связанные условием удвоения с показателем $\gamma>0$, $W^p_\alpha(X)$ – обобщенные классы Соболева, $p>1$, $\alpha>0$, и $\operatorname{dim_H}$ – размерность Хаусдорфа. Мы докажем, что для любой функции $u\in W^p_\alpha(X)$, $p>1$, $0<\alpha<\gamma/p$, существует такое множество $E\subset X$, что $\operatorname{dim_H}(E)\le\gamma-\alpha p$, и для любого $x\in X\setminus E$ существует предел
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)}u\,d\mu=u^{*}(x),$$
более того,
$$\lim_{r\to+0}\frac{1}{\mu(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|u-u^{*}(x)|^{q}\,d\mu=0,\qquad \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{\gamma}.$$
При $\alpha=1$ подобный результат был получен ранее в работе Хайлаша–Киннунена (1998). Случай $0<\alpha\le1$ рассмотрен нами в 2007 г.; при доказательстве существенно использовались структуры соответствующих емкостей.
Библиография: 15 названий.