Некоторые экстремальные свойства тригонометрических сумм

Пусть $n\in\mathbb N$, $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb T^n$, $T>1$, $k\in\mathbb N$. Положим
$$U_n(T)=\min_{\alpha\in\mathbb T^n}\max_{1\le k\le T} \biggl|\sum_{\nu =1}^{n}e(k\alpha_{\nu })\biggr|,\qquad e(n)=\exp(2\pi in).$$
Устанавливаются следующие оценки $U_n(T)$. Пусть $a=\operatorname{const}$, $0<a<1$. Тогда
$$\begin{gathered} U_n(an^2)\le C_1(a)\sqrt n,\\ U_n(T)\ge C_2\left\{n\ln T\bigg/ \ln\frac{e^2n}{\ln T}\right\}^{1/2} \quad(2n\le T\le e^{2n}). \end{gathered}$$
Другие оценки $U_n(T)$ см. [2].
Библиография: 6 названий.