| Математические заметки |
|
|
|
|
|
О существовании положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка с интегральными граничными условиями Г. Э. Абдурагимов Дагестанский государственный университет, г. Махачкала
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070010 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеВопросам исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений и систем посвящено достаточно большое количество работ, в которых, в частности, рассмотрены вопросы существования положительных решений, их поведения, асимптотики и т.д., причем естественным орудием исследования здесь являются методы нелинейного функционального анализа, теория которых связана с именами Ф. Рисса, М. Г. Крейна, Л. В. Канторовича, Г. Фрейденталя, Г. Биркгофа и др. В последующем эти методы были развиты М. А. Красносельским и его учениками Л. А. Ладыженским, И. А. Бахтиным, В. Я. Стеценко, Ю. В. Покорным и др. Краевые задачи с граничными условиями в интегральной форме составляют достаточно интересный и важный класс граничных задач и возникают в различных областях прикладной математики и физики, в частности в теплопроводности, потоках подземных вод, термоупругости и физике плазмы. Такие задачи для дифференциальных уравнений рассматривались, например, в [1]–[9]. Однако работ, посвященных непосредственно положительным решениям краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений с интегральными граничными условиями, относительно немного. Целью настоящей работы является получение достаточных условий существования, по меньшей мере, одного положительного решения задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка с интегральными граничными условиями. Ранее в [10], [11] автором рассматривались задачи в схожей постановке. В данной работе предпринята попытка в некоторой мере обобщить полученные результаты. 2. Постановка задачи и основные результатыОбозначим через C пространство C[0,1], Lp, 1⩽p<∞, – пространство Lp(0,1) и W2 – пространство вещественных функций, определенных на [0,1] с абсолютно непрерывной производной и суммируемой второй производной на указанном отрезке. Определение 1 [12; c. 256]. Замкнутое выпуклое множество K банахова пространства E назовем конусом, если из x∈K и x≠0 следует, что αx¯∈K при α<0. Определение 2 [12; c. 258]. Линейный оператор B называется положительным (относительно конуса K), если BK⊂K. Рассмотрим краевую задачу где T\colon C \to \mathbb{L}_p, 1<p<\infty, – линейный положительный непрерывный оператор, \alpha(t) и \beta(t) – неотрицательные суммируемые на [0,1] функции, причем \beta(t)\geqslant \alpha(t), t\in [0,1] и \int_0^1 s(\beta(s)-\alpha(s))\,ds<1, функция f(t,u) неотрицательна на [0,1]\times [0,\infty), удовлетворяет условию Каратеодори и f(\cdot, 0)\equiv0.Определение 3. Под положительным решением задачи (2.1)–(2.3) будем понимать функцию x\in \mathbb{W}^2, положительную в интервале (0,1), удовлетворяющую почти всюду на указанном интервале уравнению (2.1) и граничным условиям (2.2), (2.3). Рассмотрим эквивалентное задаче (2.1)–(2.3) интегральное уравнение
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag x(t) &=\int _0^1 G(t,s)f (s,(Tx)(s))\,ds \\ &\qquad +\frac{t}{1-\mu}\int_0^1 g(\tau)\biggl[ \int_0^1 G(\tau,s)f (s,(Tx)(s))\,ds \biggr]\,d\tau, \qquad 0\leqslant t\leqslant 1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
где
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G(t,s)=\begin{cases} s(1-t), & \text{если }0\leqslant s \leqslant t; \\ t(1-s), & \text{если }t\leqslant s \leqslant 1, \end{cases} \\ g(t)=\beta(t)-\alpha(t), \qquad \mu=\int_0^1 sg(s)\,ds. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Нетрудно показать, что функция G(t,s) обладает свойствами:
Перепишем уравнение (2.4) в виде
\begin{equation}
x(t)=\int _0^1 \widetilde{G}(t,s)f (s,(Tx)(s))\,ds, \qquad 0\leqslant t\leqslant 1,
\end{equation}
\tag{2.5}
где \widetilde{G}(t,s) — функция Грина оператора -{d^2}/{dt^2} с граничными условиями (2.2), (2.3)
\begin{equation*}
\widetilde{G}(t,s)=G(t,s)+\frac{t}{1-\mu}\int_0^1 G(\tau,s)g(\tau)\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
Предположим, что f(t,u) в области [0,1]\times[0,\infty) удовлетворяет условию где b>0.Условие (2.6) обеспечивает действие оператора Немыцкого N\colon \mathbb{L}_p \to \mathbb{L}_q, определяемого соотношением (Ny)(t)=f(t,y(t)) для каждого y\in \mathbb{L}_p. В операторной форме уравнение (2.5) можно записать так где \widetilde{G}\colon \mathbb{L}_q \to C, (\widetilde{G}u)(t)=\int_0^1 \widetilde{G}(t,s)u(s)\,ds — оператор Грина.Положим Обозначим через \widetilde{K} конус неотрицательных функций x(t) пространства C, удовлетворяющих условию
\begin{equation*}
x(t)\geqslant \frac{1-\mu+\theta}{1-\mu+\gamma}\varphi(t) \|x\|_C,
\end{equation*}
\notag
где \gamma=\int_0^1 g(t)\,dt, \theta=\int_0^1 g(t)\varphi (t)\,dt. Несложно проверить, что оператор A действует в пространстве неотрицательных непрерывных функций, конус \widetilde{K} инвариантен относительно оператора A и на основании теоремы Арцела–Асколи оператор A вполне непрерывен. В дальнейшем для доказательства существования по крайней мере одного положительного решения задачи (2.1)–(2.3) нам понадобится следующая известная теорема Красносельского [13]. Теорема 1. Пусть X – банахово пространство и P\subset X – конус в X. Предположим \Omega_1, \Omega_2 – открытые подмножества в X с 0\in\overline{\Omega}_1\subset \Omega_2 и \mathcal{A}\colon P \to P – вполне непрерывный оператор такой, что
Введем обозначения:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Omega_r = \bigl\{u\in \widetilde{C}\colon \|u\|_C < r \bigr\}, \qquad \Omega_R = \bigl\{u\in \widetilde{C}\colon \|u\|_C < R \bigr\}, \\ \partial\Omega_r=\bigl\{u\in \widetilde{C}\colon \|u\|_C = r \bigr\}, \qquad \partial\Omega_R=\bigl\{u\in \widetilde{C}\colon \|u\|_C = R \bigr\}, \\ \Omega = \overline{ \Omega}_R \backslash \Omega_r, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где r, R>0, причем r<R. Кроме того, для удобства выкладок введем следующие обозначения:
\begin{equation*}
f_0=\lim_{u\to 0^+}\operatorname*{vrai\,inf}_{t\in[0,1]}\frac{f(t,u)}{u}, \qquad f_\infty=\lim_{u\to +\infty}\operatorname*{vrai\,inf}_{t\in[0,1]}\frac{f(t,u)}{u}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 2. Предположим, что выполнены неравенство (2.6) и условия Тогда краевая задача (2.1)–(2.3) имеет по крайней мере одно положительное решение такое, что r\leqslant\|x\|_C\leqslant R. Доказательство. Проверим выполнение условия (i) теоремы 1. Для этого покажем существование числа r>0 такого, что при x\in \widetilde{K}\cap\partial\Omega_r Действительно, в силу (2.6) и свойства 2 функции G(t,s) для x\in \widetilde{K}\cap\partial\Omega_r имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (Ax)(t) &=\int _0^1 G(t,s)f \bigl(s,(Tx)(s)\bigr)\,ds +\frac{t}{1-\mu}\int_0^1 g(\tau)\biggl[ \int_0^1 G(\tau,s)f \bigl(s,(Tx)(s)\bigr)\,ds \biggr]\,d\tau \\ &\leqslant b \int_0^1 \varphi(s) (Tx)^{p/q}(s)\,ds +\frac{b\gamma}{1-\mu}\int_0^1 \varphi(s) (Tx)^{p/q}(s)\,ds \\ &= \biggl(b+\frac{b\gamma}{1-\mu}\biggr)\int_0^1 \varphi(s) (Tx)^{p/q}(s)\,ds \\ &\leqslant \biggl(b+\frac{b\gamma}{1-\mu}\biggr) \|\varphi\|_{\mathbb{L}_{q'}} \|Tx\|^{p/q}_{\mathbb{L}_p} \leqslant \biggl(b+\frac{b\gamma}{1-\mu}\biggr) \|\varphi\|_{\mathbb{L}_{q'}} \tau^{p/q} \|x\|^{p/q}_C \\ &= \biggl(b+\frac{b\gamma}{1-\mu}\biggr) \|\varphi\|_{\mathbb{L}_{q'}} \tau^{p/q} \|x\|^{p/q-1}_C\|x\|_C =\frac{b(1-\mu+\gamma)}{1-\mu} \|\varphi\|_{\mathbb{L}_{q'}} \tau^{p/q} r^{p/q-1}\|x\|_C, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \tau – норма оператора T, 1/q'+1/q=1.
Выбрав в качестве r любое положительное число, такое что
\begin{equation*}
r\leqslant \biggl(\frac{1-\mu}{b(1-\mu+\gamma) \|\varphi\|_{\mathbb{L}_{q'}} \tau^{p/q}}\biggr)^{q/(p-q)},
\end{equation*}
\notag
очевидным образом, обеспечим выполнение (2.7).
Укажем теперь такое число R>0, что при x\in \widetilde{K}\cap\partial\Omega_R В силу условия 2 теоремы существует число L>0 такое что
\begin{equation}
\operatorname*{vrai\,inf}_{t\in[0,1]}f(t,u)\geqslant \delta u, \qquad u\geqslant L,
\end{equation}
\tag{2.9}
где \delta удовлетворяет условию
\begin{equation*}
\delta \geqslant \frac{2(1-\mu)(1-\mu+\gamma)}{(1-\mu+\theta)^2\int _0^1 \varphi(s)(T\varphi)(s)\,ds}>0.
\end{equation*}
\notag
Выбрав
\begin{equation*}
R=\max\biggl\{\frac{L(1-\mu+\gamma)}{(1-\mu+\theta)\min_{t\in[0,1]}(T\varphi)(t)}, 2r\biggr\},
\end{equation*}
\notag
для x\in \widetilde{K}\cap\partial\Omega_R получим
\begin{equation*}
(Tx)(t)\geqslant \frac{1-\mu+\theta}{1-\mu+\gamma}\|x\|_C(T\varphi)(t) \geqslant\frac{1-\mu+\theta}{1-\mu+\gamma} R \min_{t\in [0,1]}(T\varphi)(t)\geqslant L.
\end{equation*}
\notag
В силу (2.9) и соответствующих свойств G(t,s) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (Ax)(t) &=\int _0^1 G(t,s)f (s,(Tx)(s))\,ds +\frac{t}{1-\mu}\int_0^1 g(\tau)[ \int_0^1 G(\tau,s)f (s,(Tx)(s))\,ds ]\,d\tau \\ &\geqslant\varphi(t)\delta\int _0^1 \varphi(s)(Tx)(s)\,ds+\frac{\varphi(t)}{1-\mu}\theta\delta\int _0^1 \varphi(s)(Tx)(s)\,ds \\ &=\biggl(\delta+\frac{\theta}{1-\mu}\delta \biggr)\varphi(t)\int _0^1 \varphi(s)(Tx)(s)\,ds \\ &\geqslant \frac{\delta(1-\mu+\theta)}{1-\mu}\cdot \frac{1-\mu+\theta}{1-\mu+\gamma}\|x\|_C \varphi(t)\int _0^1 \varphi(s)(T\varphi)(s)\,ds \\ &=\frac{\delta(1-\mu+\theta)^2}{(1-\mu)(1-\mu+\gamma)}\varphi(t)\int _0^1 \varphi(s)(T\varphi)(s)\,ds\cdot \|x\|_C. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пронормировав обе части последнего неравенства с учетом ограничений на \delta, придем к требуемому соотношению (2.8).
Следовательно, вполне непрерывный оператор A имеет по крайней мере одну неподвижную точку в \widetilde{K}\cap\Omega такую, что r\leqslant\|x\|_C\leqslant R, что в свою очередь эквивалентно существованию хотя бы одного положительного решения краевой задачи (2.1)–(2.3), обладающего указанным выше свойством. Замечание 1. В случае 0<p/q<1 и f_0=\infty аналогичным образом устанавливается выполнение условия (ii) теоремы 1, гарантирующее существование по крайней мере одного положительного решения задачи (2.1)–(2.3). Пример. Рассмотрим краевую задачу
\begin{equation}
x''(t)+e^t\biggl(\int_0^1 x(s)\,ds\biggr)^2=0, \qquad 0<t<1,
\end{equation}
\tag{2.10}
Здесь f(t,u)=e^tu^2, \alpha(t)=t^2, \beta(t)=t. В дальнейшем для удобства и простоты вычисленией положим p=4, q=2. Выполнение первых двух условий теоремы 2 очевидно. Нетрудно проверить справедливость и третьего условия для линейного интегрального оператора T\colon C \to \mathbb{L}_4, определенного равенством (Tx)(t)=\int_0^1 x(s)\,ds Для нахождения чисел r и R воспользуемся соответствеющими неравенствами, полученными в ходе доказательства теоремы 2. В частности, выберем r из условия
\begin{equation}
0<r\leqslant \biggl(\frac{1-\mu}{b(1-\mu+\gamma) \|\varphi\|_{\mathbb{L}_{q'}} \tau^{p/q}}\biggr)^{q/(p-q)}.
\end{equation}
\tag{2.13}
Найдем составляющие неравенства (2.13)
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mu=\int_0^1 sg(s)s\,ds=\int_0^1 s(s-s^2)\,ds=\frac{1}{12}, \qquad \gamma=\int_0^1 g(s)\,ds=\int_0^1 (s-s^2)\,ds=\frac16, \\ \|\varphi\|_{\mathbb{L}_2}=\sqrt{\int_0^1 \varphi^2(s)\,ds}=\sqrt{\frac{1}{12}}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Взяв b=1, с учетом того, что \tau=1, окончательно получим Величину R вычислим соответственно по формуле
\begin{equation*}
R=\max\biggl\{\frac{L(1-\mu+\gamma)}{(1-\mu+\theta)\min_{t\in[0,1]}(T\varphi)(t)}, 2\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Для определения L воспользуемся неравенством (2.9) где
\begin{equation*}
\delta \geqslant \frac{2(1-\mu)(1-\mu+\gamma)}{(1-\mu+\theta)^2\int _0^1 \varphi(s)(T\varphi)(s)\,ds}.
\end{equation*}
\notag
Произведя несложные вычисления, имеем
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \theta=\int_0^1 g(s)\varphi (s)\,ds=\int_0^1 (s-s^2)\varphi (s)\,ds=\frac{5}{96}, \\ \int _0^1 \varphi(s)(T\varphi)(s)\,ds=\frac14\int _0^1 \varphi(s)\,ds=\frac{1}{16}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Легко видеть, что в неравенстве (2.14), в качестве L можно взять любое число \delta\geqslant {292864}/{8649}\approx 33,9, например, L=34. Окончательно получим Таким образом, согласно теореме 2 задача (2.10)–(2.12) имеет по меньшей мере одно положительное решение такое, что r\leqslant\|x\|_C\leqslant R, где r и R установлены выше. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Abd24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|