| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Об экстремальных функциях в неравенствах для целых функций экспоненциального типа В. П. Заставный Донецкий государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624070058 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеОбозначим через Bσ, σ>0, класс целых функций экспоненциального типа ⩽σ, ограниченных на вещественной оси (класс Бернштейна). Для f∈Bσ полагаем ‖f‖∞:=sup. Для последовательности комплексных чисел \{c_k\}_{k\in\mathbb{Z}} с условием \sum_{k\in\mathbb{Z}}|c_k|<+\infty и числа \tau\in\mathbb{R} рассмотрим оператор H, заданный на B_{\sigma} по формуле
\begin{equation}
H(f)(x)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_k f\biggl(x-\tau+\frac{k\pi}{\sigma}\biggr).
\end{equation}
\tag{1.1}
Хорошо известно, что для любой функции f\in B_{\sigma} и для произвольного z\in\mathbb{C} выполняется неравенство |f(z)|\leqslant e^{\sigma|\operatorname{Im} z|}\|f\|_{\infty}. Отсюда следует, что H(f)\in B_{\sigma} для любой f\in B_{\sigma} и выполняется неравенство
\begin{equation}
|H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}, \qquad x\in\mathbb{R}, \quad \varkappa=\sum_{k\in\mathbb{Z}} |c_k|.
\end{equation}
\tag{1.2}
Функцию f\in B_{\sigma} будем называть экстремальной для неравенства (1.2), если для некоторой точки \xi\in\mathbb{R} выполняется равенство |H(f)(\xi)|=\varkappa \|f\|_{\infty}. Оператором вида (1.1) является оператор H(f)(x)=f'(x), для которого \tau=-\pi/(2\sigma), c_k=(-1)^k\sigma/(\pi/2+k\pi)^2, \varkappa=\sigma, а неравенство (1.2) в этом случае это хорошо известное неравенство Бернштейна |f'(x)|\leqslant \sigma \|f\|_{\infty}, x\in\mathbb{R}, f\in B_{\sigma}. Экстремальными функциями в неравенстве Бернштейна являются только функции вида f(x)=\mu e^{i\sigma x}+\nu e^{-i\sigma x}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. Точным неравенствам для различных классов целых функций из B_{\sigma} (в том числе и для тригонометрических полиномов) посвящено много работ. Отметим несколько работ, в которых достаточно полно изложена история таких неравенств и приведена обширная библиография: Виноградов [1], [2], Арестов, Глазырина [3] и Горбачев [4], [5]. Как правило, точность соответствующих неравенств проверяется сравнительно легко – указывается конкретная экстремальная функция или семейство таких функций. Описание всех экстремальных функций – это более тонкая задача. Для некоторого класса операторов множество экстремальных полиномов в неравенстве типа Бернштейна описал Арестов [6]. Основная цель данной работы это описание всех экстремальных функций в неравенстве (1.2). Одним из основных результатов работы является следующая теорема. Теорема 1. Пусть для оператора H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma} вида (1.1) выполняется условие Тогда следующие три условия эквивалентны:
Если выполняется условие (1.4), но не выполняется условие (1.3), то (см. замечание 2) кроме функций вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}, экстремальными в неравенстве (1.2) могут быть и другие функции. В доказательстве теоремы 1 существенно используется теорема 2: если f\in B_{\sigma} и для некоторой точки \xi\in\mathbb{R} выполняются равенства |f(\xi)|=\|f\|_{\infty} и f(\xi+\pi/\sigma)=-f(\xi), то f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. В теореме 3 приведены примеры операторов, для которых выполнены оба условия (1.3) и (1.4). Условиям теоремы 3 удовлетворяет, например, оператор дробной производной H(f)(x)=f^{(r,\beta)}(x) при r\geqslant1, \beta\in\mathbb{R} (см. следствие 1). В теореме 4 рассмотрен более общий случай операторов, чем в теореме 3, для которых выполняется условие (1.4). Эти примеры связаны с непрерывными положительно определенными функциями на \mathbb{R}, носитель которых содержится в [-\sigma,\sigma]. Отметим, что аналогичные результаты для тригонометрических полиномов получены в работе автора [7]. 2. Характеристическое свойство экспонентыТеорема 2. Пусть для функции f\in B_{\sigma}, \sigma>0, и для некоторых \eta,\delta\in\mathbb{R} равенство (-1)^{s}f(\eta+{\pi s}/{\sigma})=e^{i\delta}\|f\|_{\infty} выполняется для некоторых двух соседних целых s. Тогда f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. Замечание 1. В теореме 2 два соседних целых числа нельзя заменить на два не соседних целых числа, так как для любого \sigma>0 и для произвольного целого k\geqslant2 существует функция f\in B_{\sigma}, которая удовлетворяет условиям теоремы при s=0 и s=k, но f(t)\not\equiv\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}. При четном k можно взять f(t)\equiv1, а при нечетном k можно взять f(t)=\cos(\sigma t/k). Доказательство теоремы 2. Пусть указанное в теореме равенство выполняется при s=p и s=p+1. Рассмотрим функцию g(t):=(-1)^pf(t+\eta+{\pi p}/{\sigma})e^{-i\delta}, t\in\mathbb{R}. Очевидно, g\in B_{\sigma}, \|g\|_{\infty}=\|f\|_{\infty}=:M и (-1)^{s}g({\pi s}/{\sigma})=\|g\|_{\infty} для s\in \{0,1\}. Функции r(t):=\operatorname{Re} g(t) и w(t):=\operatorname{Im} g(t), t\in\mathbb{R}, являются вещественными на вещественной оси и принадлежат классу B_{\sigma}. Очевидно, (-1)^{s}r({\pi s}/{\sigma})=\|g\|_{\infty} для s\in \{0,1\} и |r(t)|\leqslant |g(t)|\leqslant \|g\|_{\infty} для всех t\in\mathbb{R}. Поэтому \|r\|_{\infty}=\|g\|_{\infty}. Таким образом, (-1)^{s}r({\pi s}/{\sigma})=\|r\|_{\infty}=M для s\in \{0,1\}. Так как r(t) – вещественна на \mathbb{R}, то r'({\pi s}/{\sigma})=0 для s\in \{0,1\}. Функция Q(t):=M\cos(\sigma t)-r(t) вещественна на вещественной оси и принадлежит классу B_{\sigma}. Кроме того, (-1)^sQ({\pi s}/{\sigma})\geqslant0 для всех s\in\mathbb{Z} и Q({\pi s}/{\sigma})=Q'({\pi s}/{\sigma})=0 для s\in \{0,1\}. Если Q(t)\not\equiv0, то (см. [8; теорема 1]) число 0 является нулем функции Q кратности 2, а число {\pi}/{\sigma} может быть только простым нулем, но в нашем случае его кратность не меньше 2. Поэтому Q(t)\equiv0 и, значит, r(t)\equiv M\cos(\sigma t). Тогда
\begin{equation*}
|w(t)|\equiv \sqrt{|g(t)|^2-r^2(t)}\leqslant \sqrt{M^2-M^2\cos^2 (\sigma t)} = M|\sin \sigma t|, \qquad t\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Из последнего неравенства вытекает, что w(k\pi/\sigma)=0 для всех k\in\mathbb{Z}. А из интерполяционной формулы для функций w\in B_{\sigma} (см. [9; § 84, (I)])
\begin{equation*}
\sin(\sigma t)w'(t)-{\sigma}\cos(\sigma t)w(t)={\sigma} \sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{\sin^2(\sigma t)}{({\sigma t}-k\pi)^2}w\biggl(\frac{k\pi}{\sigma}\biggr), \qquad t\in\mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
следует, что w(t)\equiv \gamma \sin(\sigma t), где \gamma – некоторая постоянная (в нашем случае вещественная и |\gamma|\leqslant M). Таким образом, g(t)\equiv M\cos(\sigma t)+i\gamma\sin(\sigma t). Окончательно получаем, что
\begin{equation*}
f(t)=(-1)^pe^{i\delta}g\biggl(t-\eta-\frac{\pi p}{\sigma}\biggr)= \mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 2 доказана. 3. Доказательство теоремы 1Пусть \varepsilon_k, k\in\mathbb{Z}, такие комплексные числа, что |\varepsilon_k|=1 и c_k=\varepsilon_k|c_k|, k\in\mathbb{Z}, а U(H) – множество всех k\in\mathbb{Z}, для которых c_k\ne0. Тогда функция f\in B_{\sigma} является экстремальной для неравенства (1.2) \iff для некоторых \eta,\delta\in\mathbb{R} равенство \varepsilon_k f(\eta+k\pi/n)=e^{i\delta}\|f\|_{\infty} выполняется для всех целых k\in U(H). Предложение 1. Для оператора H вида (1.1) следующие три условия эквивалентны:
Доказательство. Докажем импликацию (1) \Longrightarrow (2). Для функции вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}, выполняется тождество
\begin{equation*}
H(f)(x)=\varkappa_1 f(x-\tau), \qquad \varkappa_1=\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k(-1)^k.
\end{equation*}
\notag
Кроме того, для некоторой точки \xi\in\mathbb{R} выполняется равенство |H(f)(\xi)|=\varkappa \|f\|_{\infty}. Учитывая, что |H(f)(\xi)|=|\varkappa_1|\, |f(\xi-\tau)|\leqslant|\varkappa_1|\, \|f\|_{\infty}\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty} и \|f\|_{\infty}>0, получаем равенство \varkappa=|\varkappa_1|. Импликация (1) \Longrightarrow (2) доказана.
Эквивалентность условий (2) и (3) и импликация (3) \Longrightarrow (1) очевидны. Доказательство теоремы 1. Пусть для некоторого целого s\in\mathbb{Z} выполняется неравенство \overline{c_{s}}c_{s+1}<0. Тогда \overline{\varepsilon_{s}}\varepsilon_{s+1}=-1. Если функция f\in B_{\sigma} является экстремальной для неравенства (1.2), то для некоторых \eta,\delta\in\mathbb{R} равенство \varepsilon_k f(\eta+k\pi/\sigma)=e^{i\delta}\|f\|_{\infty} выполняется для всех целых k\in U(H), в частности для k=s и k=s+1. Умножая оба этих равенства на (-1)^s\overline{\varepsilon_{s}}, получаем два равенства, в которых \delta_0=\arg((-1)^s\overline{\varepsilon_{s}}):
\begin{equation*}
(-1)^s f\biggl(\eta+\frac{s\pi}{\sigma}\biggr)= e^{i(\delta_0+\delta)}\|f\|_{\infty}, \qquad (-1)^{s+1} f\biggl(\eta+\frac{(s+1)\pi}{\sigma}\biggr) =e^{i(\delta_0+\delta)}\|f\|_{\infty}.
\end{equation*}
\notag
Применяя теорему 2, получаем, что f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}.
Докажем импликацию (1) \Longrightarrow (2). Пусть ненулевая функция f\in B_{\sigma} является экстремальной для неравенства (1.2). По доказанному выше f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}, и можно применить предложение 1. Импликация (1) \Longrightarrow (2) доказана. Эквивалентность условий (2) и (3) и импликация (3) \Longrightarrow (1) доказаны в предложении 1 и без предположения выполнения условия (1.3). Таким образом, эквивалентность условий (1)–(3) в теореме доказана. Если выполняется одно из условий (1)–(3), то из условия (1.4) вытекает, что в неравенстве (1.2) любая функция вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C} является экстремальной, а других экстремальных функций нет (см. начало доказательства теоремы). Теорема 1 доказана. Замечание 2. Если выполняется условие (1.4), но не выполняется условие (1.3), то \overline{c_{s}}c_{s+1}=0 для всех s\in\mathbb{Z}. В этом случае кроме функций вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}, экстремальными в неравенстве (1.2) могут быть и другие функции. Пусть \tau=0, c_0=c_2=c_{-2}=1, а остальные c_k равны нулю. Тогда H(f)(x)=f(x)+f(x+2\pi/\sigma)+f(x-2\pi/\sigma), f\in B_{\sigma}, \varkappa=3. Для неравенства |H(f)(x)|\leqslant3\|f\|_{\infty}, x\in\mathbb{R}, f\in B_{\sigma}, экстремальными будут например функции вида f(t)=\alpha+\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \alpha,\mu,\nu\in\mathbb{C}, так как для таких функций выполняется равенство H(f)(x)=3f(x). Замечание 3. Пример оператора H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}, заданного по формуле (1.1), для которого оба условия (1.3) и (1.4) не выполняются, но неравенство (1.2) является точным. Пусть \tau=0, c_0=1, c_2=c_{-2}=-1, а остальные c_k равны нулю. Тогда H(f)(x)=f(x)-f(x+2\pi/\sigma)-f(x-2\pi/\sigma), f\in B_{\sigma}, \varkappa=3. Экстремальной для неравенства |H(f)(x)|\leqslant3\|f\|_{\infty}, x\in\mathbb{R}, f\in B_{\sigma}, будет например функция f(x)=\cos(\sigma x/2)\in B_{\sigma} (при x=0 это неравенство обращается в равенство). Для функций вида f(t)=\alpha+\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \alpha,\mu,\nu\in\mathbb{C}, выполняется равенство H(f)(x)=-f(x) и поэтому среди таких функций нет ненулевой экстремальной. 4. Примеры операторов, удовлетворяющих условиям (1.3) и (1.4)Обозначим через V_{\sigma}, \sigma>0, класс целых функций экспоненциального типа \leqslant\sigma, представимых в виде где \mu_f – конечный борелевский заряд на отрезке [-\sigma,\sigma]. Очевидно V_{\sigma}\subset B_{\sigma}, а если n\in\mathbb{N} и n\leqslant\sigma, то \mathscr{F}_n\subset V_{\sigma}, где \mathscr{F}_n – множество тригонометрических полиномов степени не выше n. Любая функция \lambda(t)\in C[-\sigma,\sigma] задает оператор H\colon V_{\sigma}\to V_{\sigma} по формуле
\begin{equation}
H(f)(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}\lambda(t)e^{itx}\,d\mu_f(t).
\end{equation}
\tag{4.1}
Замечание 4. Следуя методу Боаса–Сайвина [10], [11], будем предполагать, что при некотором \tau\in\mathbb{R} функция \lambda(t)e^{i\tau t} раскладывается на отрезке [-\sigma,\sigma] в абсолютно сходящийся ряд Фурье (это условие будем называть условием Боаса–Сайвина):
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda(t)e^{i\tau t}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}c_ke^{ik\pi t/\sigma}, \quad t\in[-\sigma,\sigma]; \qquad \sum_{k\in\mathbb{Z}}|c_k|<+\infty, \\ c_k=c_k(\tau)=\frac{1}{2\sigma}\int_{-\sigma}^{\sigma}\lambda(t)e^{-i(-\tau+k\pi/\sigma)t}\,dt =\frac{1}{2\sigma} \widehat{\lambda}\biggl(\frac{k\pi-\tau \sigma}{\sigma}\biggr), \qquad k\in\mathbb{Z}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
В (4.2) при вычислении преобразования Фурье функции \lambda(t) мы считаем, что \lambda(t)\,{=}\,0 при |t|>\sigma. Заменяя в (4.1) значения \lambda(t) в виде ряда (4.2) и используя абсолютную сходимость этого ряда, получаем, что для оператора (4.1) и для любой функции f\in V_{\sigma} выполняется равенство (1.1) с коэффициентами c_k, вычисленными по формуле (4.2). Таким образом, при выполнении условия Боаса–Сайвина, оператор (4.1) с помощью равенства (1.1) продолжается до оператора H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma} и для него выполняется неравенство (1.2). Для удобства продолженный оператор мы обозначаем тем же символом. Замечание 5. Если функция \lambda\in C[-\sigma,\sigma] и для некоторого \tau\in\mathbb{R} выполняется равенство \lambda(\sigma)e^{i\tau \sigma}=\lambda(-\sigma)e^{-i\tau \sigma}, а для чисел c_k=c_k(\tau), k\in\mathbb{Z}, вычисленных по формуле (4.2), выполняется условие (1.4), то функция \psi(t)=\lambda(t)e^{i\tau t} раскладывается на отрезке [-\sigma,\sigma] в абсолютно сходящийся ряд Фурье. Действительно, в этом случае функция \psi допускает 2\sigma-периодическое непрерывное продолжение на \mathbb{R} (так как \psi(\sigma)=\psi(-\sigma)), а коэффициенты Фурье функции \varepsilon\psi(t+\sigma) равны \varepsilon (-1)^k c_k, k\in\mathbb{Z}, и все они неотрицательны. Поэтому (см., например, [12; § II.1]) функция \varepsilon\psi(t+\sigma), а значит и функция \psi(t) раскладывается в абсолютно сходящийся ряд Фурье и
\begin{equation*}
\varkappa:=\sum_{k\in\mathbb{Z}} |c_k|=\biggl|\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k(-1)^k\biggr|=|\lambda(\sigma)|,
\end{equation*}
\notag
а неравенство (1.2) является точным и экстремальными будут функции вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C} (см. предложение 1). В следующей теореме приведены примеры операторов, для которых выполнены оба условия (1.3) и (1.4). Теорема 3. Пусть оператор H\colon V_{\sigma}\to V_{\sigma} задан формулой (4.1) с функцией \lambda(t)=g(|t|)e^{i\beta\operatorname{sign} t}, t\in[-\sigma,\sigma], \sigma>0, \beta\in\mathbb{R}, где функция g непрерывна, не убывает, выпукла вниз и g(t)\not\equiv 0 на отрезке [0,\sigma], g(0)=0. Тогда при \tau=-\beta/\sigma функция \lambda(t)e^{i\tau t} раскладывается на отрезке [-\sigma,\sigma] в абсолютно сходящийся ряд Фурье и оператор H продолжается по формуле (1.1) до оператора H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}, а множество всех экстремальных функций в неравенстве |H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}, x\in\mathbb{R}, f\in B_{\sigma}, \varkappa=|\lambda(\sigma)|=g(\sigma)>0, совпадает со множеством функций вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. Доказательство. Функция \lambda\in C[-\sigma,\sigma] и равенство \lambda(\sigma)e^{i\tau \sigma}=\lambda(-\sigma)e^{-i\tau \sigma} выполняется при \tau=-\beta/\sigma. В силу замечаний 4 и 5 достаточно проверить, что в нашем случае при \tau=-\beta/\sigma для чисел c_k=c_k(\tau), k\in\mathbb{Z}, вычисленных по формуле (4.2), выполняются условия (1.4) и (1.3) теоремы 1. Тогда \varkappa=|\lambda(\sigma)|=g(\sigma)>0 и теорема 3 будет доказана.
Не сложно проверить, что
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}(x)=\int_{-\sigma}^{\sigma}\lambda(t)e^{-ixt}\,dt= 2\int_{0}^{\sigma}g(t)\cos(xt-\beta)\,dt, \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Воспользуемся следующими результатами из работы [8; лемма 2, следствие 4].
Пусть функция g\in L(0,\sigma), не убывает, выпукла вниз и g(t)\not\equiv0 на (0,\sigma), \sigma>0, g(+0)=0, 0\leqslant\alpha<\pi, а Тогда для всех k\in\mathbb{Z} выполняются неравенства (-1)^kh_{\alpha}((k\pi-\alpha)/\sigma)\geqslant 0. Кроме того, h_{\alpha}((k\pi-\alpha)/\sigma)\ne0 при k=-1,0,1, а если 0<\alpha<\pi, то и при k=2. При остальных целых k, если выполняется равенство h_{\alpha}((k\pi-\alpha)/\sigma)=0, то при некотором x_0\in[0,\sigma) функция g является на интервале (x_0,\sigma) кусочно-линейной с равностоящими узлами и g(t)\equiv0 на (0,x_0), если x_0>0.Представим число \beta в виде -\beta=\alpha+q\pi, где 0\leqslant\alpha<\pi, q\in\mathbb{Z}. Тогда \widehat{\lambda}(x)=2(-1)^q h_{\alpha}(x) и при \tau=-\beta/\sigma получаем
\begin{equation*}
\widehat{\lambda}\biggl(\frac{k\pi-\tau \sigma}{\sigma}\biggr)= \widehat{\lambda}\biggl(\frac{(k-q)\pi-\alpha}{\sigma}\biggr)= 2(-1)^q h_{\alpha}\biggl(\frac{(k-q)\pi-\alpha}{\sigma}\biggr).
\end{equation*}
\notag
Из этого равенства следует, что условие (1.4) выполняется при \varepsilon=1, а условие (1.3) выполняется при двух значениях s: s=q-1 и s=q, а если 0<\alpha<\pi, то и при s=q+1. Теорема 3 доказана. Если в теореме 3 взять g(t)=t^r, r\geqslant1, то для оператора дробной производной
\begin{equation*}
H(f)(x)=f^{(r,\beta)}(x)= \int_{-\sigma}^{\sigma}|t|^re^{i\beta\operatorname{sign} t}e^{itx}\,d\mu_f(t), \qquad \beta\in\mathbb{R}, \quad f\in V_{\sigma}
\end{equation*}
\notag
получим следующее следствие. Следствие 1. Для любых \beta\in\mathbb{R}, r\geqslant1, f\in V_{\sigma}, выполняется неравенство |f^{(r,\beta)}(x)|\leqslant\sigma^r\|f\|_{\infty}, x\in\mathbb{R}, а множество всех экстремальных функций в этом неравенстве совпадает со множеством функций вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. Неравенства Бернштейна–Сегё в следствии 1 при r\geqslant1, \beta=-r\pi/2 и \beta=0 получены в работе Лизоркина (1965) [13; теоремы 2, 2^{\prime}]. Для полиномов f\in\mathscr{F}_n эти неравенства при r=1, \beta\in\mathbb{R}, доказаны в работе Сегё (1928) [14], а при r\geqslant1, \beta\in\mathbb{R}, в работе Соколова (1935) [15; неравенства (6),(10)] (задача Бернштейна). Константы в неравенстве Бернштейна–Сегё при 0<r<1 изучены в работе Леонтьевой (2023) [16], а при r\geqslant1 для весовых интегральных норм в работе Виноградова (2023) [2; § 4.1]. 5. Примеры операторов, удовлетворяющих условию (1.4)Комплекснозначная функция \varphi\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C} называется положительно определенной на \mathbb{R} (\varphi\in\Phi(\mathbb{R})), если при любом m\in\mathbb{N}, для любого набора точек \{x_k\}_{k=1}^m\subset\mathbb{R} и любых комплексных чисел \{c_k\}_{k=1}^m\subset\mathbb{C} выполняется неравенство
\begin{equation*}
\sum_{k,j=1}^{m}c_k\overline{c_j}\varphi(x_k-x_j)\geqslant0.
\end{equation*}
\notag
Известная теорема Бохнера–Хинчина утверждает, что функция \varphi\in\Phi(\mathbb{R})\cap C(\mathbb{R}) тогда и только тогда, когда существует конечная неотрицательная борелевская мера \mu на \mathbb{R} такая, что
\begin{equation*}
\varphi(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{ixt}\,d\mu(t), \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Отсюда получается следующий критерий положительной определенности в терминах неотрицательности преобразования Фурье: если \varphi\in C(\mathbb{R})\cap L_1(\mathbb{R}), то \varphi\in\Phi(\mathbb{R}) \iff \widehat \varphi(t)\geqslant 0, t\in\mathbb{R}, где
\begin{equation*}
\widehat \varphi(t):=\int_{\mathbb{R}}e^{-itx}\varphi(x)\,dx, \qquad t\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
В следующей теореме рассмотрен более общий случай операторов, чем в теореме 3, для которых выполняется условие (1.4). Теорема 4. Пусть оператор H\colon V_{\sigma}\to V_{\sigma}, \sigma>0, задан формулой (4.1) с функцией \lambda(t)=g(t)e^{i\beta\operatorname{sign} t}, t\in[-\sigma,\sigma], \beta\in\mathbb{R}, где g(t)=G(t-\sigma) при 0\leqslant t\leqslant \sigma и \overline{g(t)}=g(-t), |t|\leqslant \sigma, а функция G является непрерывной и положительно определенной на \mathbb{R}, с носителем \operatorname{supp} G\subset[-\sigma,\sigma] и G(0)>0. Тогда при \tau=-\beta/\sigma функция \lambda(t)e^{i\tau t} раскладывается на отрезке [-\sigma,\sigma] в абсолютно сходящийся ряд Фурье и оператор H продолжается по формуле (1.1) до оператора H\colon B_{\sigma}\to B_{\sigma}, а в неравенстве |H(f)(x)|\leqslant \varkappa \|f\|_{\infty}, x\in\mathbb{R}, f\in B_{\sigma}, \varkappa=|\lambda(\sigma)|=G(0)>0, экстремальными являются функции вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. Если дополнительно выполняется условие то в указанном выше неравенстве других экстремальных функций нет. Доказательство. Рассмотрим функцию \lambda_0(t)=e^{i\beta t/\sigma}\psi(t-\sigma), t\in[-\sigma,\sigma], где функция \psi(t) является 2\sigma-периодической и совпадает на [-\sigma,\sigma] с G(t)e^{-i\beta t/\sigma}. Так как G(\pm \sigma)=0, функция \psi непрерывна на \mathbb{R}. Тогда функция \lambda_0\in C[-\sigma,\sigma] и равенство \lambda_0(\sigma)e^{i\tau \sigma}=\lambda_0(-\sigma)e^{-i\tau \sigma} выполняется при \tau=-\beta/\sigma. Так как \widehat{G}(x)\geqslant0 для всех x\in\mathbb{R}, для \tau=-\beta/\sigma из равенства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\widehat{\lambda_0}\biggl(\frac{k\pi-\tau \sigma}{\sigma}\biggr)= \widehat{\lambda_0}\biggl(\frac{k\pi+\beta}{\sigma}\biggr)= \int_{-\sigma}^{\sigma}\psi(t-\sigma)e^{-ik\pi t/\sigma}\,dt \\ &\qquad =(-1)^k\int_{-\sigma}^{\sigma}\psi(t)e^{-ik\pi t/\sigma}\,dt= (-1)^k \widehat{G}\biggl(\frac{k\pi+\beta}{\sigma}\biggr), \qquad k\in\mathbb{Z}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
следует, что для функции \lambda_0(t) и \tau=-\beta/\sigma для чисел c_k=c_k(\tau), k\in\mathbb{Z}, вычисленных по формуле (4.2), условие (1.4) выполняется при \varepsilon=1, а условие (1.3) эквивалентно условию (5.1). Равенство \lambda_0(t)=\lambda(t) при |t|\leqslant \sigma проверяется непосредственно. Осталось воспользоваться замечаниями 4, 5 и применить теорему 1, если дополнительно выполняется условие (5.1). Теорема 4 доказана. Приведем пример к теореме 4. Пример. Пусть n\in\mathbb{N} и \{a_r\}_{r=1}^{n} – такие вещественные числа, что функция S(t):=\sum_{r=1}^{n}a_r(1-|t|)^r_{+} является положительно определенной на \mathbb{R} и S(0)>0. Тогда функция G(t):=S(t/\sigma), t\in\mathbb{R}, является непрерывной и положительно определенной на \mathbb{R}, с носителем \operatorname{supp} G\subset[-\sigma,\sigma] и G(0)>0. В качестве g в теореме 4 берем четную на [-\sigma,\sigma] функцию, которая на [0,\sigma] совпадает с функцией G(t-\sigma). Тогда
\begin{equation*}
g(t)=\sum_{r=1}^{n}\frac{a_r}{\sigma^r}\cdot |t|^r, \qquad |t|\leqslant\sigma,
\end{equation*}
\notag
и для любых \beta\in\mathbb{R}, f\in V_{\sigma}, выполняется неравенство для линейной комбинации дробных производных
\begin{equation*}
|H(f)(x)|= \biggl|\sum_{r=1}^{n}\frac{a_r}{\sigma^r}\cdot f^{(r,\beta)}(x)\biggr|\leqslant \sum_{r=1}^{n}{a_r}\|f\|_{\infty}, \qquad x\in\mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Экстремальными в этом неравенстве являются функции вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}. Если дополнительно, например, преобразование Фурье \widehat{S} имеет не более, чем конечное число вещественных нулей, то выполняется условие (5.1) и, значит, других экстремальных функций нет. В качестве S(t) можно взять положительно определенные сплайны e_n и A_{3n-2}, n\geqslant2, из работы [17], преобразование Фурье которых положительно на вещественной оси кроме, может быть, в нуле. Если взять S(t)=e_2(t)=-2(1-|t|)_{+}+3(1-|t|)^2_{+} или S(t)=A_4(t)=4(1-|t|)^3_{+}-3(1-|t|)^4_{+}, а \beta=0, то получим неравенства
\begin{equation*}
|2\sigma\widetilde{f}'(x)+3f''(x)| \leqslant\sigma^2 \|f\|_{\infty}, \quad |4\sigma\widetilde{f}^{(3)}(x)+3f^{(4)}(x)| \leqslant\sigma^4 \|f\|_{\infty}, \qquad x\in\mathbb{R}, \quad f\in V_{\sigma}.
\end{equation*}
\notag
Здесь \widetilde{f}':=f^{(1,0)}, \widetilde{f}^{(3)}=(\widetilde{f}')''=-f^{(3,0)}. Экстремальными функциями в этих неравенствах являются функции вида f(t)=\mu e^{i\sigma t}+\nu e^{-i\sigma t}, \mu,\nu\in\mathbb{C}, и только они. В заключении отметим, что для оператора (1.1), аналогично случаю периодических функций (см., например, [7], [18], [19]), получаются интегральные неравенства вида
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{R}}J\bigl(|H(f)(t)|\bigr)\,dt \leqslant \int_{\mathbb{R}}J\bigl(\varkappa|f(t)|\bigr)\,dt,
\end{equation*}
\notag
где функция J выпукла вниз и не убывает на [0,+\infty), а величина \varkappa вычислена по формуле (1.2). Естественно рассматривать только те функции f\in B_{\sigma}, для которых интеграл в правой части последнего неравенства конечен. Доказательство точности соответствующих неравенств по крайней мере для J(t)=t^p, p\geqslant1, и при выполнении условия (1.4) см., например, в [13; теорема 1] и в [1; лемма 7], а единственной экстремальной функцией в этих неравенствах является только нулевая [20; теорема 1].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Zas24} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|