| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Связь наилучших Т. А. Гармановаab, И. А. Шейпакab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623090304 
Реферативные базы данных:
 1. ВведениеПри изучении точных констант вложения пространства Соболева ˚Wnp[0,1] в пространство ˚Wk∞[0,1], n∈N, k=0,1,…,n−1, 1⩽p⩽∞, возникает задача о нахождении наименьших возможных величин An,k,p(a) в неравенствах вида Точные константы вложения пространства \mathring{W}^n_p[0,1] в пространство \mathring{W}^k_\infty[0,1] можно определить следующим образом: На данный момент наиболее полная информация получена для A_{n,k,2}. В работе [1] получено представление для A^2_{n,k,2}(a) в виде ряда по первообразным полиномов Лежандра и получены значения \Lambda_{n,k,2,\infty} при k=0,1,2. В [2] для величин A^2_{n,k,2}(a) найдено представление через гипергеометрические функции типа {}_3F_2. Рассмотрим сплайны Q_{n,k}(x,a), которые задают функционалы f\mapsto f^{(k)}(a) в пространствах \mathring{W}^n_p[0,1], a\in(0,1). Задача нахождения величин A_{n,k,p}(a) непосредственно связана с минимизацией нормы сплайнов Q^{(n)}_{n,k}(x,a) в L_{p'}[0,1], 1/p+1/p'=1. В свою очередь задача о минимизации \|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]} приводит к задаче о наилучшем приближении алгебраическими многочленами в пространстве L_{p'}[0,1] сплайна
\begin{equation*}
S_{n,k}(x,a)=\frac{(-1)^{n-k-1}(x-a)^{n-k-1}_-}{(n-k-1)!}=\begin{cases} \dfrac{(-1)^{n-k-1}(x-a)^{n-k-1}}{(n-k-1)!},& x\in(0,a], \\ 0,& x\in[a,1]. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
Отметим, что отдельное место занимает случай k=n-1, так как сплайн S_{n,n-1}(x,a)=\chi_{[0,a]} разрывен. Структура работы следующая: в п. 2 получено интегральное представление функционала y\mapsto y^{(k)}(a) для функций y\in\mathring{W}^n_p[0,1]; в п. 3 установлена связь задачи о нахождении наилучших величин A_{n,k,p}(a) в неравенствах (1) c нахождением сплайнов специального вида, наименее уклоняющихся от нуля в L_{p'}[0,1], 1/p+1/p'=1, а также с задачей о наилучшем приближении сплайнов S_{n,k} многочленами степени не выше n-1. 2. Функционал y\mapsto y^{(k)}(a) в пространстве \mathring{W}^n_p[0,1]Рассмотрим в L_{p'}[0,1] функции
\begin{equation}
Q^{(n)}_{n,k}(x,a):=\begin{cases} \displaystyle\sum_{l=0,\,l\ne k}^{n-1} \dfrac{(-1)^{n-l-1}(x-a)^{n-1-l}\nu_l}{(n-1-l)!}& \\ \qquad+\dfrac{(-1)^{n-1-k}(x-a)^{n-1-k}(\nu_k+1)}{(n-1-k)!}, & x\in [0,a), \\ \displaystyle\sum_{l=0}^{n-1} \dfrac{(-1)^{n-l-1}(x-a)^{n-1-l}\nu_l}{(n-1-l)!}, & x\in (a,1], \end{cases}
\end{equation}
\tag{2}
где \nu_l=\nu_l(a) – некоторые коэффициенты, зависящие от a, l=0,1,\dots,n-1. Доказательство. Справедливость утверждения следует из формулы (2) и интегрирования по частям интегралов \int_{0}^a y^{(n)}Q^{(n)}_{n,k}(x,a)\,dx и \int_{a}^1y^{(n)}Q^{(n)}_{n,k}(x,a)\,dx. Пользуясь представлением (3) получаем оценку для k-й производной функции y:
\begin{equation}
|y^{(k)}(a)|\leqslant \|y^{(n)}\|_{L_p[0,1]}\cdot \|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}.
\end{equation}
\tag{4}
Для получения точной оценки в неравенстве (1) необходимо решить две задачи:
Покажем, что это связанные друг с другом задачи. Утверждение 2. Пусть 1<p<\infty, и пусть \widehat Q_{n,k} – функция вида (2), для которой Тогда она удовлетворяет соотношениям Доказательство. Так как надо минимизировать норму по параметрам \nu_0,\nu_1,\dots,\nu_{n-1}, то необходимо выполнены условия
Так как
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial \nu_j} \|\widehat Q^{(n)}_{n,k}\|^{p'}_{L_{p'}[0,1]}= \frac{p'(-1)^{n-1-j}}{(n-j-1)!}\int_0^1 (x-a)^j |\widehat Q^{(n)}_{n,k}|^{p'-1} \operatorname{sgn}\widehat Q^{(n)}_{n,k}\,dx,
\end{equation*}
\notag
то из равенств (\partial/\partial \nu_j) \|\widehat Q^{(n)}_{n,k}\|^{p'}_{L_{p'}[0,1]}=0 при j=0,1,\dots,n-1 следует утверждение леммы. Замечание 1. Условия (5) являются и достаточными. Рассматриваемый класс сплайнов Q^{(n)}_{n,k} образует конечномерное подпространство, которое является множеством существования (см. [3; следствие 1.3]). Утверждение 3. Пусть 1<p<\infty, и пусть функция h\in L_p[0,1] удовлетворяет соотношениям Тогда существует решение уравнения принадлежащее пространству \mathring{W}^{n}_p[0,1]. Доказательство. Положим
Краевые условия в нуле выполнены в силу интеграла по отрезку [0,x], а в единице – в силу свойств функции h. Введем функцию
\begin{equation}
w^{(n)}_{n,k}(x):=|\widehat Q^{(n)}_{n,k}(x)|^{p'-1}\cdot \operatorname{sgn}\widehat Q^{(n)}_{n,k}(x).
\end{equation}
\tag{6}
Поскольку \widehat Q^{(n)}_{n,k} является сплайном, то w^{(n)}_{n,k}\in L_p[0,1]. А тогда из утверждений 2 и 3 следует, что существует ее первообразная w_{n,k}\in\mathring{W}^n_p[0,1], для которой достигается равенство в неравенстве (1) с наименьшей возможной величиной A_{n,k,p}(a), т.е. для которой выполнено
\begin{equation}
w^{(k)}_{n,k}(a)=A_{n,k,p}(a)\cdot\|w^{(n)}_{n,k}\|_{L_p[0,1]}.
\end{equation}
\tag{7}
Заметим, что при 1<p<\infty экстремальная функция, для которой выполнено равенство (7), существует и единственна. Предельным переходом можно найти функции, для которых равенство (7) выполнено при p=1 и p=\infty. При p=\infty экстремальная функция, вообще говоря, не единственна. При p=1 экстремальная функций не принадлежит пространству \mathring{W}^n_1[0,1] (см. также [4]). 3. Связь задачи о минимизации нормы Q^{(n)}_{n,k} с наилучшими приближениями многочленамиНапомним необходимые сведения о полиномах Лежандра на отрезке [0,1]. Сдвинутый на [0,1] полином Лежандра определяется как Первообразную порядка m\geqslant j\geqslant 0 определим следующим образом: Система полиномов Лежандра образует ортогональный базис в L_2[0,1] c нормойЗадача о нахождении \min_{\nu_0,\nu_1,\dots, \nu_{n-1}}\|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]} тесно связана со следующей задачей. Известно (см. [5]), что при p=2 функционал f\mapsto f^{(k)}(a) в \mathring{W}^n_2[0,1] задан в соответствии с теоремой Рисса единственной функцией g_{n,k}(x,a), которая имеет вид
\begin{equation}
g_{n,k}(x,a)=\begin{cases} \dfrac{(-1)^{n-k-1}}{(2n-k-1)!}(1-a)^{n-k}x^n h_{n,k}(1-x,1-a),& x\in [0,a], \\ \dfrac{(-1)^{n-1}}{(2n-k-1)!}a^{n-k}(1-x)^{n} h_{n,k}(x,a), & x\in [a,1], \end{cases}
\end{equation}
\tag{8}
где
\begin{equation*}
h_{n,k}(x,a)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^{n-1-l}C_{2n-1-k}^{n-1-l} x^{n-1-l}a^l\sum_{m=0}^{l}C_{n-1+m}^{m}x^{m}.
\end{equation*}
\notag
То есть Теорема 1. Функции \widehat Q^{(n)}_{n,k} и g^{(n)}_{n,k} отличаются на многочлен степени не выше n-1, т.е. Доказательство.
1) Из вида (2) следует, что Q^{(n)}_{n,k}\in L_2[0,1], поэтому Q^{(n)}_{n,k} можно разложить в ряд по ортогональной системе полиномов Лежандра:
Заметим, что при m\geqslant n\geqslant 0 выполнено P^{(-n)}_m\in\mathring{W}^n_p[0,1]. Поэтому в соответствии с (3) получаем, что
\begin{equation*}
\int_0^1 Q^{(n)}_{n,k} P_m(x)\,dx= \int_0^1 Q^{(n)}_{n,k} (P^{(-n)}_m(x))^{(n)}\,dx= P^{(k-n)}_m(a), \qquad m\geqslant n\geqslant 0.
\end{equation*}
\notag
С другой стороны, из представления (9) следует, что
\begin{equation*}
\int_0^1 Q^{(n)}_{n,k}P_m(x)\,dx=\frac{\alpha_m(a)}{2m+1}, \qquad m=0,1,\dots\,.
\end{equation*}
\notag
Таким образом,
\begin{equation*}
Q^{(n)}_{n,k}(x,a)=\sum_{m=0}^{n-1} \alpha_m(a) P_m(x)+ \sum_{m=n}^{\infty} (2m+1)P^{(k-n)}_m(a) P_m(x).
\end{equation*}
\notag
2) Функции g_{n,k} удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому разложение g^{(n)}_{n,k} в ряд по полиномам Лежандра имеет вид Как и пункте 1) доказательства получаем, что \beta_m(a)=(2m+1)P^{(k-n)}_m(a), откуда и следует утверждение теоремы. Определим \mathcal{P}_m – пространство вещественных многочленов степени не выше m
\begin{equation*}
\mathcal{P}_m=\biggl\{\,\sum_{j=0}^m c_jx^j,\, x,c_j\in\mathbb{R}, 0 \leqslant j\leqslant m\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
Таким образом, теорема 1 утверждает, что
\begin{equation}
\min_{\nu_0,\nu_1,\dots,\nu_{n-1}}\|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}= \min_{u\in\mathcal{P}_{n-1}}\|g^{(n)}_{n,k}-u\|_{L_{p'}[0,1]}.
\end{equation}
\tag{10}
На основе предельного перехода при p\to 1 и p\to \infty получаем следующий результат. Теорема 2. При 1\leqslant p\leqslant \infty справедливо равенство
\begin{equation*}
A_{n,k,p}(a)=\min_{\nu_0,\nu_1,\dots,\nu_{n-1}} \|Q^{(n)}_{n,k}\|_{L_{p'}[0,1]}= \min_{u\in\mathcal{P}_{n-1}}\|g^{(n)}_{n,k}-u\|_{L_{p'}[0,1]},
\end{equation*}
\notag
где 1/p+1/p'=1. Доказательство. Для каждого натурального n и k=0,1,\dots,n-1 рассмотрим функции
\begin{equation*}
\mathcal{Q}_1(x,a):=\mathcal{Q}_{n,k,1}= Q^{(n)}_{n,k}(x,a)|_{[0,a]}, \qquad \mathcal{Q}_2(x,a):=\mathcal{Q}_{n,k,2}=Q^{(n)}_{n,k}(x,a)|_{[a,1]}.
\end{equation*}
\notag
Из формул (2) следует, что \mathcal{Q}_1(x,a) и \mathcal{Q}_2(x,a) отличаются на многочлен степени не выше n-1, при этом
\begin{equation}
\mathcal{Q}_1(x,a)-\mathcal{Q}_2(x,a)= \frac{(-1)^{n-k-1}(x-a)^{n-k+1}_-}{(n-k-1)!}.
\end{equation}
\tag{11}
Из теорем 1, 2 и формулы (11) следует справедливость утверждения. Замечание 2. Константу 1/((n-k-1)!) также можно включить в многочлен, но в теории аппроксимаций часто встречаются сплайны именно c такой нормировкой. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GarShe23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|