| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Краткие сообщения Краевая задача на геометрическом графе-звезде с нелинейным условием в узле М. Ш. Бурлуцкая, М. Б. Зверева, М. И. Каменский Воронежский государственный университет
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623070295 
Реферативные базы данных:
 Математические модели, описываемые в терминах ветвящегося аргумента, т.е. аргумента, принимающего значения из некоторого геометрического графа, возникают при анализе процессов в сложных физических системах. Примером таких систем могут служить упругие сетки, решетки стержней, электрические цепи, акустические сети, волноводы, гидравлические системы и пр. Активный математический интерес к исследованию таких задач привел к появлению многочисленных публикаций. Особенно отметим работы [1]–[9]. Также выделим публикации [10], [11], в которых для случая отрезка проводилось исследование решений дифференциальных уравнений с обобщенными коэффициентами. Однако во всех этих работах рассматривались задачи с линейными граничными условиями. В данной статье для дифференциального уравнения второго порядка с импульсными особенностями в коэффициентах и правой части, порождаемыми наличием локализованных внешних нагрузок (упругих опор, сосредоточенных сил), проводится поточечный анализ краевой задачи на геометрическом графе-звезде с нелинейным условием в узле. При этом используется стилтьесовский подход, продемонстрировавший свою эффективность, например, в работах [2], [4], [5], [7]. Пусть точки O, A1,A2,…,An принадлежат горизонтальной плоскости π. Рассмотрим механическую систему, состоящую из n струн, соединенных между собой в одной точке (узел), которые в положении равновесия совпадают с отрезками OA1,OA2,…,OAn. Под воздействием внешней силы, направленной перпендикулярно плоскости π, струны отклоняются от равновесного положения. При этом предполагается, что отклонение всех точек струн параллельно прямой, перпендикулярной плоскости π. Введем систему координат, чтобы описать процесс деформаций. Поместим начало координат в точку O. Ось Ox для i-й струны, i=1,2,…,n, содержит отрезок OAi и направлена от O к Ai. Ось Oy направлена перпендикулярно к плоскости π и проходит через точку O. Точка Ai имеет на своей оси Ox координату li, i=1,2,…,n. Граф Γ, вдоль которого в положении равновесия расположена струнная система, ориентирован от узла и состоит из ребер-интервалов γi=(0,li) и внутренней вершины 0 (узла). Мы используем обозначения и терминологию из [3]. Через ∂Γ обозначим множество граничных вершин Γ. В нашем случае им соответствуют точки li на каждом из ребер. Определим множества ¯Γ=Γ∪∂Γ; R(Γ)=⋃ni=1γi. Обозначим через u(x) заданную на ¯Γ функцию, описывающую отклонение струнной системы от положения равновесия под воздействием внешней силы. Будем предполагать, что струны жестко закреплены в граничных вершинах, т.е. выполнено условие Сужения ui(x) функции u(x) на (0,li) определяют деформации каждой из струн. В качестве аргумента мы используем натуральный параметр, т.е. расстояние от соответствующей точки до общего узла. Доопределим функции ui(x) в точки x=0 и x=li предельными значениями. Условие соединения струн в узле имеет вид u1(0)=u2(0)=⋯=un(0)=u(0). Обозначим через Fi(x) сужение заданной на ¯Γ функции F(x) на (0,li). Физический смысл Fi(x) – сила, приложенная на участок (0,x] соответствующего ребра. В точке x=0 допускается сосредоточенная сила, равная f. Заметим, что скачки функции F совпадают с сосредоточенными в соответствующих точках силами.Мы также предполагаем, что в произвольном количестве точек (но не более, чем счетном), принадлежащих ребрам, установлены упругие опоры (пружины). Обозначим через Q(x) определенную на ¯Γ функцию, описывающую упругую реакцию внешней среды. Ее скачки совпадают с жесткостями пружин, установленных в соответствующих точках. Обозначим через p(x) определенную на ¯Γ функцию, характеризующую упругие свойства струн. Сужения функций Q и p на (0,li) будем обозначать как Qi и pi соответственно. Дополнительно будем предполагать, что в узле, вдоль оси Oy установлен ограничитель на перемещение струн под воздействием внешней силы, представленный отрезком [−m,m]. Таким образом, имеется условие В зависимости от приложенной внешней силы узловая точка струнной системы либо остается внутри интервала (−m,m), либо касается границ ограничителя. Опишем эту ситуацию в форме единой модели.Согласно [4] функционал потенциальной энергии для системы стилтьесовских струн имеет вид Будем предполагать, что функции p, Q, F удовлетворяют следующим условиям:
Во всех формулировках результатов предполагается, что выполнены условия (i)–(iv). В (3) первый интеграл, характеризующий работу силы упругости струн (при малых деформациях), понимается как сумма интегралов Лебега по ребрам; второй интеграл, определяющий работу силы упругости внешней среды, понимается как соответствующие суммы интегралов Стилтьеса по ребрам; третий интеграл, определяющий работу внешней силы, под воздействием которой происходит процесс деформаций, понимается как соответствующие суммы интегралов Стилтьеса по ребрам и узлу \int_{\{0\}}u\,dF, где \int_{\{0\}}u\,dF=fu(0). Согласно принципу Лагранжа–Гамильтона реальная форма, принятая струнной системой, минимизирует функционал \Phi(u) с условиями (1), (2). Функционал \Phi(u) мы рассматриваем на множестве E абсолютно-непрерывных на \overline{\Gamma} функций u(x), производные которых u'(x) являются на каждом ребре функциями ограниченной вариации. Теорема 1. Функция u_0(x) является точкой минимума функционала \Phi(u), рассматриваемого на множестве функций u\in E удовлетворяющих условиям (1), (2), тогда и только тогда, когда u_0(x) является решением задачи
\begin{equation}
\begin{cases} \displaystyle -(p_iu_i')(x)+{\int_0^x}u_i\,dQ_i=F_i(x)-F_i(+0)-(p_iu_i')(+0), \qquad i=1,2,\dots ,n, \quad x\in \gamma_{i\sigma_i}, \\ \displaystyle \sum_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)+f\in N_{[-m,m]}u(0), \\ u_1(0)=u_2(0)=\dots =u_n(0)=u(0), \\ u_i(l_i)=0, \qquad i=1,2,\dots ,n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4}
Нелинейное условие возникает за счет наличия ограничителя на перемещение струн в узле, где N_{[-m,m]}u(0) – нормальный конус в точке u(0) к отрезку [-m,m], определяемый как числовое множество
\begin{equation*}
N_{[-m,m]}u(0)=\{\xi\colon \xi(c-u(0))\leqslant0 \ \forall\, c\in [-m,m]\},
\end{equation*}
\notag
где u(0)\in [-m,m]. Из (5) вытекает, что если внешняя сила такова, что |u(0)|< m, то \sum_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)=-f. Иначе выполняются условия
\begin{equation*}
u(0)=m \qquad\text{и}\qquad \sum_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)+f \geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
либо условия
\begin{equation*}
u(0)=-m \qquad\text{и}\qquad \sum_{i=1}^np_i(+0)u_i'(+0)+f \leqslant 0.
\end{equation*}
\notag
Переменная x в каждом уравнении из (4) принадлежит соответствующим специальным расширениям отрезков [0,l_i], обозначаемым через \gamma_{i\sigma_i}, i=1,2,\dots ,n. Доопределим в точки x=0 и x=l_i функции p_i, Q_i, F_i предельными значениями. Обозначим через S_i множество точек разрыва функций p_i, Q_i, F_i, принадлежащих (0,l_i). На множестве \gamma_{i\sigma_i} каждая точка \xi_i\in S_i заменяется парой \{\xi_i-0, \xi_i+ 0\}. Тем самым, мы не допускаем, чтобы переменный верхний предел x в интеграле принимал значение из S_i. Мы полагаем, что \xi_i-0>x для всех x<\xi_i и \xi_i+0<x для всех x>\xi_i. На \gamma_{i\sigma_i} значения p_i(\xi_i\pm0), Q_i(\xi_i\pm0) и F_i(\xi_i\pm0), которые были на [0,l_i] предельными, оказываются собственными значениями в соответствующих точках из \gamma_{i\sigma_i}. Точная конструкция построения такого расширения отрезка приведена в работе [5]. Заметим, что в каждой точке \xi_i\in S_i имеет место равенство
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &-p_i(\xi_i+0)u'_i(\xi_i+0)+p_i(\xi_i-0)u'_i(\xi_i-0) +u_i(\xi_i)\bigl(Q_i(\xi_i+0)-Q_i(\xi_i-0)\bigr) \\ &\qquad=F_i(\xi_i+0)-F_i(\xi_i-0). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Решением задачи (4) назовем функцию u\in E, удовлетворяющую на соответствующих ребрах уравнениям из (4) (для всех x\in \gamma_{i\sigma_i}) и удовлетворяющую условиям (1), (2). Теорема 2. Если решение задачи (4) существует, то оно единственно. Теорема 3. Пусть функции \varphi_1^i(x) и \varphi_2^i(x) являются решениями уравнения и удовлетворяют условиям
\begin{equation*}
\varphi_1^i(0)=1, \quad \varphi_1^i(l_i)=0, \qquad \varphi_2^i(0)=0, \quad \varphi_2^i(l_i)=1,
\end{equation*}
\notag
где i=1,2,\dots ,n. Тогда если
\begin{equation*}
\biggl|\frac{f+\sum_{j=1}^n{\int_0^{l_j}}\varphi_1^j(s)\,dF_j(s)} {\sum_{j=1}^n p_j(+0)\varphi_1^{j'}(+0)}\biggr|<m,
\end{equation*}
\notag
то решение задачи (4) имеет вид
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u_i(x) &=-\frac{f\varphi_1^i(x)} {\sum_{j=1}^np_j(+0)\varphi_{1}^{j'}(+0)}+\frac{\varphi_1^i(x)} {p_i(+0)\varphi_{2}^{i'}(+0)}{\int_0^x}\varphi_2^i(s)\,dF_i(s) \\ &\qquad\qquad +\frac{\varphi_2^i(x)}{p_i(+0)\varphi_{2}^{i'}(+0)} {\int_x^{l_i}}\varphi_1^i(s)\,dF_i(s) \\ &\qquad\qquad -\frac{\varphi_1^i(x)} {\sum_{j=1}^np_j(+0)\varphi_{1}^{j'}(+0)} \biggl(\sum_{j=1}^n{\int_0^{l_j}}\varphi_1^j(s)\,dF_j(s)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Если
\begin{equation*}
m+\frac{\sum_{j=1}^n{\int_0^{l_j}}\varphi_1^j(s)\,dF_j(s)}{\sum_{j=1}^n p_j(+0)\varphi_1^{j'}(+0)}+\frac{f}{\sum_{j=1}^n p_j(+0)\varphi_1^{j'}(+0)}\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
то решение задачи (4) имеет вид
\begin{equation*}
u_i(x)=m\varphi_1^i(x)+\frac{\varphi_1^i(x)}{p_i(+0) \varphi_{2}^{i'}(+0)}{\int_0^x}\varphi_2^i(s)\,dF_i(s) +\frac{\varphi_2^i(x)}{p_i(+0)\varphi_{2}^{i'}(+0)} {\int_x^{l_i}}\varphi_1^i(s)\,dF_i(s).
\end{equation*}
\notag
Если
\begin{equation*}
m-\frac{\sum_{j=1}^n{\int_0^{l_j}}\varphi_1^j(s)\,dF_j(s)}{\sum_{j=1}^n p_j(+0)\varphi_1^{j'}(+0)}-\frac{f}{\sum_{j=1}^n p_j(+0)\varphi_1^{j'}(+0)}\leqslant 0,
\end{equation*}
\notag
то решение задачи (4) имеет вид
\begin{equation*}
u_i(x)=-m\varphi_1^i(x)+\frac{\varphi_1^i(x)} {p_i(+0)\varphi_{2}^{i'}(+0)}{\int_0^x}\varphi_2^i(s)\,dF_i(s) +\frac{\varphi_2^i(x)}{p_i(+0)\varphi_{2}^{i'}(+0)} {\int_x^{l_i}}\varphi_1^i(s)\,dF_i(s),
\end{equation*}
\notag
где i=1,2,\dots ,n. Теорема 4. Пусть m\to 0. Тогда решение задачи (4) равномерно на \overline{\Gamma} стремится к решению задачи Теорема 5. Пусть m\to +\infty. Тогда решение задачи (4) равномерно на \overline{\Gamma} стремится к решению задачи 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BurZveKam23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|