| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) К задаче о точечном источнике в неоднородной среде С. Т. Гатауллинa  , Т. М. Гатауллинb a МИРЭА — Российский технологический университет, г. Москва b Московский технический университет связи и информатики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 6, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110524 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть L(x,∂/∂x;k) – эллиптический при Imk=0 оператор в Rnx второго порядка, зависящий от комплексного параметра k: где – дифференциальный оператор первого порядка. Здесь d(x), b(x), q(x), aj(x), j=1,2,…,n, – финитные бесконечно дифференцируемые функции;Пусть G(x,y;k) – ядро оператора L−1 в L2(Rn) при Imk>0 Известно, что функция G(x,y;k) имеет мероморфное продолжение по k на комплексную плоскость с разрезом вдоль отрицательной части мнимой оси (при нечетном n функция G(x,y;k) мероморфна по k на всей комплексной плоскости C) [1]. Будем предполагать, что для произвольного y∈Rn все траектории системы Гамильтона удовлетворяют условиюВ лемме 3 работы [2] приведены условия на функцию d(x), при которых (1.3) заведомо выполнено. Введем на сфере начальных импульсов |p(0)|2=n2(y) угловые координаты θ∘=(θ∘1,θ∘2,θ∘3,…,θ∘n−1) и обозначим через x(θ∘,τ) и p(θ∘,τ) семейство решений системы (1.2). Обозначим через Γ(y) многообразие, образованное решениями системы (1.2), а через Γ1(y) – часть Γ(y), задаваемую областью изменения параметров ε<τ<+∞, θ∘∈U. Здесь через U обозначена область изменения θ∘. Обозначим через Uεy проекцию множества Γ(y)∖Γ1(y) на гиперплоскость Rn. В работе [3] методом канонического оператора Маслова [4], [5] с использованием работ Кучеренко [2], [6], [7] построена асимптотика до любого порядка функции G(x,y;k) – фундаментального решения для оператора (1.1) при |Rek|→∞ в любой полуплоскости Imk⩾const. Эта асимптотика имеет следующий вид: Здесь g1 и g2 — разбиение единицы пространства Rn по областям int(Uεy) и Rn∖(Uε∖2y); а функции GN и G1N – соответственно сингулярная и регулярная части асимптотики функции G(x,y;k).2. Изучение сингулярной части асимптотикиВ работе [3] установлено, что функция GN(x,y;k) имеет следующий вид: Здесь S(x,y)=∫xy∑ni=1pidxi, где интегрирование ведется вдоль траекторий системы (1.2); контур A(k)=(0,∞) при k=iκ, κ>B.Функции gj(x,y,t) вычисляются по простым рекуррентным формулам и имеют следующий вид: где а функции – полиномы по t; B=max.Функции f_k^j(x,y) определяются по следующим рекуррентным формулам:
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_0^\circ(x,y) =\frac{-i^{(n-2)/2}[n(y)]^{2(n-1)}}{2^n\pi^{n/2}}\,, \qquad f_1^\circ(x,y) =f_2^\circ(x,y)=0, \\ f_{j+1}^{j+1}(x,y) =2i\int_0^\tau\frac{1}{s}[\Delta+\langle R_{10},\nabla\rangle+R_{00}] f_j^j(t) \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(j+1)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt, \\ \begin{split} f_{j+2}^{j+1}(x,y) &=2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\bigl\{[\Delta+\langle R_{01},\nabla\rangle+R_{00}]f_{j+1}^j +[\langle R_{11},\nabla \rangle+R_{01}]f_j^j\bigr\}(t) \\ &\qquad\qquad{}\times \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(j+2)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt, \end{split} \\ \begin{split} &f_{j+l+1}^{j+1}(x,y) =2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\bigl\{[\Delta+\langle R_{10},\nabla\rangle+R_{00}]f_{j+l}^j +[\langle R_{11},\nabla\rangle +R_{01}]f_{j+l-1}^j \\ &\qquad+R_{02}f_{j+l-2}^j\bigr\}(t)\exp \biggl(-\int_t^\tau\frac{2(j+l+1)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt,\qquad 2j\geqslant l\geqslant 2, \end{split} \\ \begin{split} f_{3j+2}^{j+1}(x,y) &=2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\bigl\{[\langle R_{11},\nabla\rangle+R_{01}]f_{3j}^j +R_{02}f_{3j-1}^j\bigr\}(t) \\ &\qquad\qquad{}\times \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(3j+2)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt, \end{split} \\ f_{3j+3}^{j+1}(x,y) =2i\int_0^\tau\frac{1}{s}\,R_{02}f_{3j}^j (t) \exp\biggl(-\int_t^\tau\frac{2(3j+3)n^2}{s}(z)\,dz\biggr)\,dt. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Здесь
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_{10} =a(x)+2\nabla_xD(x,y), \qquad R_{11} =2\nabla_xB(x,y), \\ R_{00} =\Delta_x D(x,y)+|\nabla_xD(x,y)|^2 +\langle a,\nabla_xD(x,y)\rangle+q(x), \\ R_{10} =\Delta_xB(x,y)+2\langle\nabla_xB(x,y),\nabla_xD(x,y)\rangle +\langle a(x),\nabla_xB(x,y)\rangle, \\ R_{02} =|\nabla_xB(x,y)|^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
Интегрирование в этих формулах ведется вдоль траекторий системы (1.2). При x\in U_y^\varepsilon в области D(k)=\{k\in C\colon\arg k\ne-\pi/2,\,|k|>B\} функция G_N(x,y;k) удовлетворяет уравнению где
\begin{equation*}
T^N(x,y,k)=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)}\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) [\Delta+q+\langle a,\nabla\rangle]g_N(x,y,t)\,dt.
\end{equation*}
\notag
Свойства функций G_N(x,y,k), T_N(x,y,k) и \widetilde{G_N}(x,y,k) подробно изучены в работе [3]. Воспользуемся теперь следующей формулой [8]:
\begin{equation*}
\int_0^\infty x^{\vartheta-1} \exp\biggl[\frac{i\mu}{2}\biggl(x+\frac{\beta^2}{x}\biggr)\biggr]\,dx =i\pi\beta^\vartheta \exp\biggl(\frac{i\vartheta\pi}2\biggr)H_{-\vartheta}^1(\beta,\mu).
\end{equation*}
\notag
Здесь
\begin{equation*}
\operatorname{Im}\mu>0,\qquad \operatorname{Im}(\beta^2\mu)>0.
\end{equation*}
\notag
Тогда при
\begin{equation*}
\mu=2k\biggl[1+\frac{B(x,y)}{ik}\biggr],\qquad \beta=\frac{s}{2}\,\frac{1}{\sqrt{1+B(x,y)/(ik)}},\qquad \vartheta=-\biggl(\frac{n-2}{2}\biggr)
\end{equation*}
\notag
имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)+B(x,y)t\biggr)\,dt \\ &\qquad =i\pi\frac{2^{(n-2)/2}}{s^{(n-2)/2}}\, \exp\biggl(-i\frac{\pi}2\,\frac{n-2}2\biggr) H_{(n-2)/2}^1\biggl(ks\sqrt{1+\frac{B(x,y)}{ik}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где \operatorname{Im}k[1+B(x,y)/(ik)]>0, \operatorname{Im}s^2k>0. Далее, в силу формул (2.2) и (2.3) для сингулярной части асимптотики фундаментального решения G_N(x,y;k) при k=i\kappa, \kappa>B, получаем следующий результат о ее представлении в виде ряда по функциям Ханкеля первого рода:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G_N(x,y;k) &=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)}\frac1{t^{n/2}} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) \sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j}\,g_j(x,y,t)\,dt \\ &=k^{(n-3)/2}\int_{A(k)} \exp\biggl(ik\biggl(\frac{s^2}{4t}+t\biggr)\biggr) e^{B(x,y)t+D(x,y)}\sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j}\sum_{p=j}^{3j}t^pf_p^j(x,y)\,dt \\ &=i\pi k^{(n-3)/2}e^{D(x,y)}\sum_{j=0}^N\frac{1}{k^j} \biggl\{\sum_{p=j}^{3j}f_p^j(x,y)\frac{2^{(n-2p-2)/2}}{s^{(n-2p-2)/2}} e^{-i(\pi/4)(n-2p-2)} \\ &\qquad{}\times H_{(n-2p-2)/2}^1 \biggl(ks\sqrt{1+\frac{B(x,y)}{ik}}\biggr)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Аналогичные ряды в случае b(x)=a_j(x)=q(x)=0, j=1,2,\dots,n, другим методом получены в работах [9], [10]. В работе [11] развит общий метод построения квазиклассических асимптотических решений неоднородных дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с локализованными правыми частями. Предложенный подход реализует идею Кучеренко–Маслова, связанную с вспомогательной задачей Коши, и служит основой аналитико-численного алгоритма построения эффективных асимптотических решений задач, возникающих в различных областях физики и механики сплошных сред. Отметим, что ранее авторы работы в статье [12] рассматривали эту задачу, используя подход Мельроуза и Ульмана [13]. Проведенный ими дальнейший анализ показал, что идея Кучеренко–Маслова охватывает более широкий круг задач и более перспективна с точки зрения получения вычислительно эффективных асимптотических формул. Кроме того, коротковолновая или квазиклассическая асимптотика фундаментального решения для оператора (1.1) может быть полезна, например, в акустических задачах при описании высокочастотных волновых полей и при решении уравнений квантовой механики, а также для изучения некоторых обратных задач тепломассообмена [14], [15]. Авторы заметки в дальнейшем предполагают асимптотическими методами Маслова, используя результаты Кучеренко, продолжить исследование и криптографических задач. На сегодня уже имеется ряд работ по применению идемпотентной математики Маслова в криптографии (см., например, работу 2023 г. [16]). Авторы благодарны С. Ю. Доброхотову за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GatGat23}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_04@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|