| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Краткие сообщения Поперечники по Колмогорову пересечения двух конечномерных шаров в смешанной норме А. А. Васильеваab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова b Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S000143462303029X 
Реферативные базы данных:
  В данной работе получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения двух конечномерных шаров в смешанной норме при некоторых ограничениях на параметры. Дадим необходимые определения. Пусть m,k∈N, 1⩽p<∞, 1⩽θ<∞. Через ℓm,kp,θ (при k=1 – через ℓmp) обозначим пространство Rmk с нормой (для p=\infty или \theta=\infty определение модифицируется естественным образом).Через B_{p,\theta}^{m,k} (при k=1 – через B_p^m) обозначим единичный шар пространства \ell_{p,\theta}^{m,k}. Пусть X – нормированное пространство, M\subset X, n\in \mathbb{Z}_+, \mathcal L_n(X) – совокупность линейных подпространств в X размерности не выше n. Колмогоровским n-поперечником множества M в пространстве X называется величина
\begin{equation*}
d_n(M,X)=\inf_{L\in \mathcal L_n(X)} \sup_{x\in M} \inf_{y\in L} \|x-y\|.
\end{equation*}
\notag
Порядковые оценки поперечников d_n(B_p^m,l_q^m) известны при всех p, q, кроме случая q= \infty, 1\leqslant p <2 [1]–[6]. Порядковые оценки колмогоровских поперечников d_n(B^{m,k}_{p,\theta}, l^{m,k}_{q,\sigma}) известны в следующих случаях:
Полученные оценки могут использоваться в задаче о колмогоровских поперечниках классов Бесова с доминирующей смешанной гладкостью или весовых классов Бесова (см., например, [14], [12], [10]). В [7], [14]–[18] изучалась задача о поперечниках пересечения семейства классов Соболева (в [15], [7], [14] рассматривались невесовые периодические классы Соболева, в [16]–[18] – весовые классы на отрезке и области, удовлетворяющей условию Джона). Эту задачу можно свести к оценке поперечников d_n(\bigcap_{\alpha \in A} \nu_\alpha B^m_{p_\alpha},\, \ell_q^m), где \nu_\alpha>0. В [15] были получены порядковые оценки этой величины при n=m/2, в [19] – при n \leqslant m/2. Здесь рассматривается задача о поперечниках пересечения двух шаров \nu_i B^{m,k}_{p_i,\theta_i}, i=1,2, в \ell^{m,k}_{q,\sigma}; при этом предполагается, что 2\leqslant q<\infty, 2\leqslant \sigma <\infty, 1\leqslant p_i\leqslant q, 1\leqslant \theta_i\leqslant \sigma, i=1,2. Полученный результат может использоваться в задаче о поперечниках пересечения двух весовых классов Бесова или двух классов Бесова с доминирующей смешанной гладкостью. Пусть q\geqslant 2, 1\leqslant p\leqslant q. Обозначим
\begin{equation*}
\lambda_{p,q}=\min \biggl\{\frac{1/p-1/q}{1/2-1/q},\, 1\biggr\} \quad\text{для}\ \ q>2, \qquad \lambda_{p,2}=1 \quad\text{для}\ \ q=2.
\end{equation*}
\notag
Теорема 1. Пусть m, k\in \mathbb{N}, n\in \mathbb{Z}_+, n\leqslant {mk}/{2}, 2\leqslant q<\infty, 2\leqslant \sigma <\infty, 1\leqslant p_i\leqslant q, 1\leqslant \theta_i\leqslant \sigma, \nu_i>0, i=1,2. Определим величины
\begin{equation*}
\Phi_j(m,k,n)=\Phi_j(m,k,n; p_1,p_2,\theta_1,\theta_2,q,\sigma,\nu_1,\nu_2), \qquad j=1,\dots,5,
\end{equation*}
\notag
следующим образом:
\begin{equation*}
d_n(\nu_1B^{m,k}_{p_1,\theta_1} \cap \nu_2 B^{m,k}_{p_2,\theta_2}, l^{m,k}_{q,\sigma}) \underset{q,\sigma}{\asymp} \min_{1\leqslant j\leqslant 5} \Phi_j(m,k,n).
\end{equation*}
\notag
Символ \underset{q,\sigma}{\asymp} означает, что константы в порядковом равенстве зависят только от q и \sigma. Как уже отмечалось выше, порядковые оценки величин \Phi_j(m,k,n) известны [10]. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Vas23}
Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|