| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Краткие сообщения Многомерные аналоги теорем о плотности сумм сдвигов одной функции Н. А. Дюжинаab a Московский центр фундаментальной и прикладной математики b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623050139 
Реферативные базы данных:
  В действительном пространстве L0p(T) функций с нулевым средним, суммируемых в p-й степени на окружности T (1⩽p<∞), существует функция f, суммы сдвигов которой плотны в L0p(T) (см. [1], в этой работе выделены целые классы таких функций). Существует функция, определенная на действительной оси R, суммы сдвигов которой плотны во всех действительных пространствах Lp(R) при 2⩽p<∞ [2]. В действительном пространстве l2(Z) двусторонних последовательностей существует такой элемент, что суммы его сдвигов плотны во всех действительных пространствах lp(Z), 2⩽p<∞ [3]. Естественным образом возникает задача о переносе этих результатов на многомерный случай, т.е. на случай тора Td, пространства Rd и решетки Zd, где d∈N. Пусть lp(Zd), 1⩽p<∞, обозначает пространство действительных суммируемых в p-й степени последовательностей, нумеруемых точками d-мерной целочисленной решетки Zd, с нормой Через c0(Zd) обозначим пространство действительных последовательностей, нумеруемых точками Zd и стремящихся к 0 при стремлении любого из индексов к бесконечности, с нормой Во всех этих пространствах определены операторы сдвигов по каждому из d направлений, покоординатно определяемые равенствами
\begin{equation*}
(T_{k}x)_{n_{1}\dotsb n_{k}\dotsb n_{d}}=x_{n_{1}\dotsb n_{k-1}(n_{k}-1)n_{k+1}\dotsb n_{d}}, \qquad k=1,\dots ,d, \quad n_{1}, \dots,n_{d} \in \mathbb{Z}.
\end{equation*}
\notag
Теорема 1. Для всякого d \in \mathbb{N} существует такой элемент w в пространстве l_{2}(\mathbb{Z}^{d}), что суммы
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}T_{1}^{j_{1, k}}T_{2}^{j_{2, k}}\dotsb T_{d}^{j_{d, k}}w, \qquad j_{1,k}, j_{2, k}, \dots , j_{d, k} \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{1}
его сдвигов плотны во всех пространствах l_{p}(\mathbb{Z}^{d}), 2 \leqslant p < \infty, а также в пространстве c_{0}(\mathbb{Z}^{d}). Доказательство. Согласно [3] существует такой элемент v \in l_{2}(\mathbb{Z}), что суммы его сдвигов
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} T^{l_{k}}v, \qquad l_{k} \in \mathbb{Z}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
плотны в l_{2}(\mathbb{Z}). Будем представлять d-мерные последовательности (x_{n_{1}\dotsb n_{d}}) разбитыми на одномерные строки, в каждой из которых индексы n_{2},\dots ,n_{d} фиксированы, а индекс n_{1} пробегает все \mathbb{Z}. В качестве w возьмем элемент, одна фиксированная строка которого совпадает с v, а остальные – нулевые. Суммами сдвигов элемента w только вдоль этой строки можно сколь угодно точно приблизить элементы с любым вектором из l_{2}(\mathbb{Z}) в этой строке и нулями в остальных строках. Суммами сдвигов получившихся элементов по другим направлениям можно сколь угодно точно приблизить произвольный вектор в любой другой строке, а значит, приблизить любой элемент пространства l_{2}(\mathbb{Z}^{d}). Следовательно, суммы (1) плотны в пространстве l_{2}(\mathbb{Z}^{d}), а значит, и во всех пространствах l_{p}(\mathbb{Z}^{d}) с p \geqslant 2 и в пространстве c_{0}(\mathbb{Z}^{d}).
Теорема доказана. Теорема 2. Для всякого d \in \mathbb{N} и 2 \leqslant p < \infty существует такая функция h в действительном пространстве L_{p}(\mathbb{R}^d), что суммы
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n}h(\bar{x}-\bar{a}_{k}), \qquad \bar{a}_{k} \in \mathbb{R}^{d}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
ее сдвигов плотны в действительном пространстве L_{p}(\mathbb{R}^{d}). Доказательство. Согласно [2] при 2 \leqslant p < \infty существует функция f \in L_{p}(\mathbb{R}), суммы сдвигов
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} f(x-a_{k}), \qquad a_{k} \in \mathbb{R}, \quad n \in \mathbb{N},
\end{equation*}
\notag
которой плотны в L_{p}(\mathbb{R}). Положим
\begin{equation*}
h(\bar{x})=h(x_{1},\dots ,x_{d})=f(x_{1})\dotsb f(x_{d}), \qquad \bar{x}=(x_{1},\dots ,x_{d}) \in \mathbb{R}^{d}.
\end{equation*}
\notag
Рассмотрим полугруппу R, являющуюся замыканием в L_{p}(\mathbb{R}^{d}) множества сумм
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n}h(\bar{x}-\bar{a}_{k})=\sum_{k=1}^{n}f(x_{1}-a_{1,k}) \dotsb f(x_{d}-a_{d, k}), \qquad a_{j, k} \in \mathbb{R}, \quad j=1,\dots ,d, \quad n \in \mathbb{N}.
\end{equation}
\tag{2}
Пусть g_{1} – произвольная функция из L_{p}(\mathbb{R}). Фиксируя a_{2, k}=a_{2}, \dots , a_{d, k}=a_{d} и выбирая нужные a_{1, k} в сумме (2), получим, что функция принадлежит R. Суммируя функции вида (3) с фиксированными a_{3},\dots,a_{d} и различными a_{2}, получим, что любая функция вида g_{1}(x_{1}) \cdot g_{2}(x_{2}) \cdot f(x_{3}-a_{3}) \dotsb f(x_{d}-a_{d}), где g_{2} – произвольная функция из L_{p}(\mathbb{R}), тоже принадлежит R. Продолжая этот процесс, получим, что всякое произведение g_{1}(x_{1}) \dotsb g_{d}(x_{d}), где g_{k} \in L_{p}(\mathbb{R}), k=1,\dots ,d, принадлежит R. Поскольку суммы таких произведений плотны в L_{p}(\mathbb{R}^{d}) (среди них есть функции вида p(x_{1},\dots ,x_{d}) \cdot I_{Q}, где p – произвольный многочлен, а Q – произвольный координатный параллелепипед в \mathbb{R}^{d}), получаем, что R=L_{p}(\mathbb{R}^{d}), что и требовалось.
Теорема доказана. Теорема 3. Пусть d \in \mathbb{N}, 1 \leqslant p < \infty, 1/p + 1/q=1, и функция f из действительного пространства L_{p}(\mathbb{T}^{d}) имеет ряд Фурье
\begin{equation*}
f(t_{1}, \dots ,t_{d})=\sum_{n_{1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} c_{n_{1},\dots , n_{d}}e^{in_{1}t_{1}}\dotsb e^{in_{d}t_{d}} =\sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}} c_{\bar{n}}e^{i(\bar{n}, \bar{t})}
\end{equation*}
\notag
с условиями: a) c_{\bar{0}}=0, c_{\bar{n}} \ne 0 для всех \bar{n} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}; b)
\begin{equation}
\sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} \Bigl(\max_{j=1,\dots ,d} |n_{j}|\Bigr)^{2d-1} \cdot |c_{\bar{n}}|^{\min \{2, q\}} < \infty.
\end{equation}
\tag{4}
Тогда суммы
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{N}f(\bar{t} + \bar{a}_{k}), \qquad \bar{a}_{k} \in \mathbb{T}^{d}, \quad N \in \mathbb{N},
\end{equation}
\tag{5}
плотны в действительном пространстве L^{0}_{p}(\mathbb{T}^{d}) функций из L_{p}(\mathbb{T}^{d}) с нулевым средним. Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1 из [1]. Доказательство. 1. Утверждение теоремы в случае 1 \leqslant p \leqslant 2 сводится к случаю p= 2: если 1 \leqslant p \leqslant 2, то из соответствующего неравенства в условии b) получаем f \in L_{2}(\mathbb{T}^{d}), по утверждению теоремы для p=2 суммы (5) плотны в L_{2}^{0}(\mathbb{T}^{d}), а значит, и в L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d}) (в силу неравенства Гёльдера). Таким образом, достаточно доказать теорему в случае p \geqslant 2.
2. Пусть p \geqslant 2. Для сумм
\begin{equation*}
F_{n}(t_{1},\dots ,t_{d})=\sum_{k_{1}=0}^{n-1}\dotsb \sum_{k_{d}=0}^{n-1}f \biggl(t_{1}+ \frac{2\pi k_{1}}{n},\dots ,t_{d}+ \frac{2\pi k_{d}}{n}\biggr) =n^{d} \sum_{\bar{\nu} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} c_{n\bar{\nu}}e^{i(n\bar{\nu}, \bar{t})}
\end{equation*}
\notag
из многомерной теоремы Хаусдорфа–Юнга [4; § 3, теорема 3.3, b)] получаем, что
\begin{equation}
\| F_{n} \|_{L_{p}(\mathbb{T}^{d})} \leqslant C(p)\biggl(\sum_{\bar{\nu} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} |n^{d} c_{n\bar{\nu}}|^{q}\biggr)^{1/q} \leqslant C(p)\biggl(n^{2d} \sum_{\bar{\nu} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}} | c_{n\bar{\nu}}|^{q}\biggr)^{1/q}.
\end{equation}
\tag{6}
Нам понадобится следующая лемма, обобщающая лемму Кореваара [5]. Лемма 1. Если a_{\bar{k}} \geqslant 0, \bar{k}=(k_{1},\dots ,k_{d}) \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}, и то Доказательство. Пусть \mathbb{P} – множество всех простых чисел. Имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{p \in \mathbb{P}}p^{2d-1}\sum_{\bar{k} \in p \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} a_{\bar{k}}=\sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \biggl(\sum_{p \mid \text{НОД}(m_{1},\dots ,m_{d})}p^{2d-1} \biggr) a_{\bar m} \\ &\qquad \leqslant \sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \biggl(\sum_{p \mid \text{НОД}(m_{1},\dots ,m_{d})}p \biggr)^{2d-1} a_{\bar m} \leqslant \sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \bigl(\text{НОД}(m_{1},\dots ,m_{d}) \bigr)^{2d-1} a_{\bar m} \\ &\qquad \leqslant \sum_{\bar{m} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\}} \Bigl(\max_{j=1,\dots ,d} |m_{j}|\Bigr)^{2d-1} a_{\bar m} < \infty , \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
и, в то же время, \sum_{p \in \mathbb{P}} 1/p=\infty. Следовательно, для бесконечной последовательности \{ p_{l} \} простых чисел выполнено равенство
\begin{equation*}
\lim_{l \to \infty} \biggl(p_{l}^{2d-1} \sum_{\bar{k} \in p_{l} \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\} } a_{\bar{k}} \biggr)\colon \frac{1}{p_{l}}=0,
\end{equation*}
\notag
откуда \liminf_{p \in \mathbb{P},\, p \to \infty} p^{2d} \sum_{\bar{k} \in p \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0}\} } a_{\bar{k}}=0.
Лемма доказана. Применим лемму 1 для a_{\bar{k}}=|c_{\bar{k}}|^{q}. Тогда условия (7) леммы 1 выполнены в силу (4). Из леммы и оценки (6) получаем, что \|F_{n}\|_{L_{p}(\mathbb{T}^{d})} \to 0 по некоторой бесконечной последовательности номеров n. Следовательно, функция -f может быть с любой точностью приближена в L_{p}(\mathbb{T}^{d}) суммами вида (5), а значит и всякая функция -f(\bar{t} + \bar{a}) также может быть с любой точностью приближена суммами (5), так что их замыкание
\begin{equation*}
G=\overline{\biggl\{ \sum_{k=1}^{N}f(\bar{t} + \bar{a}_{k})\colon \bar{a}_{k} \in \mathbb{R}^{d},\, N \in \mathbb{N} \biggr\}}
\end{equation*}
\notag
в норме L_{p}(\mathbb{T}^{d}) есть замкнутая аддитивная подгруппа пространства L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d}).
Отметим, что для доказательства последнего утверждения достаточно в формуле (4) заменить \max_{j=1,\dots ,d} |n_{j}| на \min_{j=1,\dots ,d\colon n_{j} \ne 0 } |n_{j}|, однако с таким условием перейти от подгруппы ко всему пространству уже не удастся. 3. Положим
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, f_{\bar{a}}(\bar{t})=f_{a_{1},\dots ,a_{d}}(t_{1},\dots ,t_{d}) =f(t_{1}+a_{1},\dots ,t_{d}+a_{d}), \\ \varphi_{\bar{a}, k}(u)=f_{a_{1},\dots ,a_{k-1},u,a_{k+1},\dots ,a_{d}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где
\begin{equation*}
\bar{a}=(a_{1},\dots ,a_{k-1}, a_{k+1},\dots ,a_{d}) \in \mathbb{R}^{d-1}, \qquad k \in \{1,\dots ,d \}, \quad u \in \mathbb{R}.
\end{equation*}
\notag
Подгруппа G содержит образ \varphi_{\bar{a}, k}(\mathbb{R}) отображения \varphi_{\bar{a}, k}\colon \mathbb{R} \to L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d}) . Оценим модуль непрерывности этого отображения следующим образом:
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta)=\sup \bigl\{ \| \varphi_{\bar{a}, k}(u+r) -\varphi_{\bar{a}, k}(u) \|_{L_{p}(\mathbb{T}^{d})} \colon |r| \leqslant \delta, u \in \mathbb{R} \bigr\} \\ &\qquad =\sup \bigl\{ \|f_{0,\dots ,0, r, 0,\dots , 0}-f \|_{p}\colon 0 \leqslant r \leqslant \delta \bigr\} =\sup_{0 \leqslant r \leqslant \delta} \biggl\| \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}} c_{\bar{n}}(e^{in_{k}r}-1)e^{i(\bar{n}, \bar{t})} \biggr\|_{p} \\ &\qquad \leqslant C(p) \sup_{0 \leqslant r \leqslant \delta} \biggl(\sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}} |c_{\bar{n}}|^{q} |e^{in_{k}r}-1|^{q} \biggr)^{1/q}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
где в последнем неравенстве снова использована многомерная теорема Хаусдорфа–Юнга.
Выражение e^{in_{k}r}-1=in_{k} \int_{0}^{r}e^{in_{k}y}dy по модулю не превосходит \min \{ |n_{k}|r, 2\}, поэтому
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta))^{q} \bigl(C(p) \bigr)^{-q} \leqslant \sum_{n_{1},\dots ,n_{k-1},n_{k+1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} \biggl(\sum_{|n_{k}| \leqslant 1/\delta}|n_{k}|^{q}\delta^{q}|c_{\bar{n}}|^{q} + \sum_{|n_{k}| > 1/\delta}2^{q}|c_{\bar{n}}|^{q} \biggr) \\ &\qquad \leqslant \sum_{n_{1},\dots ,n_{k-1},n_{k+1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} \delta \biggl(\sum_{|n_{k}| \leqslant 1/\delta}|n_{k}|(|n_{k}|\delta)^{q-1}|c_{\bar{n}}|^{q} + 2^{q} \sum_{|n_{k}|> 1/\delta}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q} \biggr) \\ &\qquad \leqslant \delta \sum_{n_{1},\dots ,n_{k-1},n_{k+1},\dots ,n_{d} \in \mathbb{Z}} \biggl(\delta^{(q-1)/2} \sum_{|n_{k}| \leqslant 1/\sqrt{\delta}}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q} + \sum_{1/\sqrt{\delta} < |n_{k}| \leqslant 1/\delta}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad + 2^{q}\sum_{|n_{k}|> 1/\delta}|n_{k}|\,|c_{\bar{n}}|^{q}\biggr)=o(\delta), \qquad \delta \to 0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
в силу условия b) на коэффициенты c_{\bar{n}}. Следовательно, \omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta)=o(\delta^{1/q}), \delta \to 0, и для модуля гладкости пространства L_{p} [6; гл. 1, § е] при p \geqslant 2 имеем
\begin{equation*}
s_{p}(\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta)) \leqslant A(p)(\omega(\varphi_{\bar{a}, k}, \delta))^{2}= o(\delta^{2/q})=o(\delta), \qquad \delta \to 0.
\end{equation*}
\notag
Нам понадобится следующая теорема. Теорема A [7; теорема 4]. Пусть G – замкнутая аддитивная подгруппа равномерно гладкого пространства X с модулем гладкости s(\tau), и пусть непрерывное отображение \varphi\colon [0, 1] \to G имеет такой модуль непрерывности \omega_{\varphi}(\delta), что s(\omega_{\varphi}(\delta))=o(\delta) при \delta \to 0. Тогда G содержит замкнутое \mathbb{R}–линейное подпространство L, порожденное элементами вида u-v, где u, v \in \varphi([0, 1]). По теореме A наша подгруппа G содержит замкнутые \mathbb{R}-линейные подпространства L_{\bar{a}, k}, порожденные функциями \varphi_{\bar{a}, k}(u) -\varphi_{\bar{a}, k}(0) соответственно. Следовательно, подгруппа G содержит замкнутое \mathbb{R}-линейное подпространство L, порожденное функциями f_{\bar{a}}-f, \bar{a} \in \mathbb{R}^{d}. 4. Покажем, что L совпадает с L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d}). Если это не так, то найдется такая ненулевая функция h \in L_{q}^{0}(\mathbb{T}^{d}) с рядом Фурье \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}}h_{\bar{n}}e^{i(\bar{n}, \bar{t})} (h_{\bar{0}}=0, h_{-\bar{n}}= \overline{h_{\bar{n}}}), что
\begin{equation*}
\int_{\mathbb{T}^{d}}(f_{\bar{a}}(\bar{t})-f(\bar{t}))h(\bar{t})\,d\bar{t}=0 \quad\Longleftrightarrow \quad \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}}c_{\bar{n}}\overline{h_{\bar{n}}}e^{i(\bar{n}, \bar{a})}= \sum_{\bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}}c_{\bar{n}}\overline{h_{\bar{n}}}, \qquad \bar{a} \in \mathbb{R}^{d}.
\end{equation*}
\notag
Левая часть последнего тождества представляет собой абсолютно сходящийся ряд по переменной \bar{a} (последовательность (c_{\bar{n}}) принадлежит l_{q}(\mathbb{Z}^{d}) по условию b), последовательность (h_{\bar{n}}) принадлежит l_{p}(\mathbb{Z}^{d}) по другому утверждению теоремы Хаусдорфа–Юнга для p \geqslant 2 [4; § 3, теорема 3.3, a)]). Следовательно, c_{\bar{n}}\overline{h_{\bar{n}}}=0 для всякого \bar{n} \in \mathbb{Z}^{d} \setminus \{ \bar{0} \}, что в силу условия а) и равенства h_{\bar{0}}=0 влечет h_{\bar{n}}=0 для любого \bar{n} \in \mathbb{Z}^{d}. Получаем h \equiv 0 и противоречие с предположением. Таким образом, подпространство L, а вместе с ним и подгруппа G совпадают с L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{d}). Теорема доказана. Аналогично работе [1] можно привести пример, подпирающий теорему 3: для функции f(t_{1}, t_{2})=I_{[2\pi-\alpha, 2\pi) \times [2\pi-\alpha, 2\pi)}(t_{1}, t_{2})-I_{[0, \alpha] \times [0, \alpha]}(t_{1}, t_{2}) при почти всех \alpha \in (0, \pi) выполнены условия а) теоремы 3, но суммы сдвигов (5) принимают только целые значения и не плотны в L_{p}^{0}(\mathbb{T}^{2}). Этот пример показывает, что условие b) теоремы 3 нельзя заменить на условие
\begin{equation*}
|c_{n_{1}, n_{2}}|=O \biggl(\frac{1}{(|n_{1}|+1)(|n_{2}|+1)} \biggr), \qquad n_{1}, n_{2} \to \pm \infty.
\end{equation*}
\notag
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Dyu23}
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|