| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Аппроксимация производных функции, заданной на симплексе, при интерполяции Лагранжа Н. В. Байдаковаab  , Ю. Н. Субботинa a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург b Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2024, Volume 115, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434624010012 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеПусть функция $f$ определена на невырожденном симплексе $\Delta\subset \mathbb R^d$ с вершинами $a_1,a_2,\dots,a_{d+1}$ и непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка $n+1$ включительно, при этом существует неотрицательная константа $M$ такая, что
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial^{n+1}f(u)}{\partial\xi_1\dotsb\partial\xi_{n+1}}\biggr| \leqslant M
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
для любой точки $u\in \Delta$ и любых единичных векторов $\xi_1,\dots,\xi_{n+1}$; $\mathbb N$ – множество натуральных чисел, $n\in\mathbb N$, $\mathbb Z_+=\mathbb N\cup\{0\}$. Известно, что если $u\in \Delta$, то $u=\lambda_1 a_1+\dots+\lambda_{d+1} a_{d+1}$, где $\lambda_1+\dots+\lambda_{d+1}=1$, $\lambda_s\geqslant 0$ при всех $s=1,\dots,d+1$; $\lambda_1,\dots,\lambda_{d+1}$ – барицентрические координаты точки $u$; договоримся использовать запись $u=(\lambda_1,\dots,\lambda_{d+1})$. Далее через $I$ будем обозначать множество равноотстоящих узлов симплекса, т.е.
$$
\begin{equation*}
I=\biggl\{a_{i_1\dotsb i_{d+1}} =\biggl(\frac{i_1}{n},\dots,\frac{i_{d+1}}{n}\biggr) =\frac{1}{n}\sum_{r=1}^{d+1}i_ra_r,\, i_1,\dots,i_{d+1} \in\mathbb Z_+,\, \sum_{r=1}^{d+1}i_r=n\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
а через $P_n$ – алгебраический многочлен степени не выше $n$, интерполирующий функцию $f$ в узлах $I$. Существование и единственность такого многочлена следует, например, из работы [1]. Введем также следующие обозначения: $e=f-P_n$; $H$ – диаметр симплекса $\Delta$; $\tau_{ij}$ – единичные векторы, направленные от вершины $a_i$ к вершине $a_j$; $\langle \nu_1,\dots,\nu_s\rangle$ – подпространство размерности $s$, натянутое на произвольные линейно независимые векторы $\nu_1,\dots,\nu_s$; $\mathfrak{T}=\{\tau_{ij}\colon i\neq j,\, i,j=1,\dots,d+1\}$; $\mathcal{T}_s\subset\mathfrak{T}$ – множество $s$ линейно независимых векторов из $\mathfrak{T}$; $\varphi(\tau,\Pi)$ – угол между прямой с направляющим вектором $\tau$ и $\Pi$, где $\Pi$ – подпространство некоторой размерности (т.е. $0\leqslant\varphi(\tau,\Pi)\leqslant\pi/2$); $\rho(u,v)$ – евклидово расстояние между точками $u,v\in\Delta$. Пусть $\Theta$ – такой угол, что
$$
\begin{equation}
\Theta=\max_{\mathcal{T}_{d}\subset\mathfrak{T}} \min_{\tau\in\mathcal{T}_d} \varphi\bigl(\tau,\langle\mathcal{T}_{d}\setminus\{\tau\}\rangle\bigr).
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Проблема поиска оценок погрешности аппроксимации функции $f$ и ее производных интерполяционным многочленом $P_n$ и его производными тесно связана с проблемой контроля формы симплексов из триангуляции исходной области при решении краевой задачи методом конечных элементов (см. лемму Сеа в [2; раздел 2.4]). Имеется два типа оценок, каждый из которых позволяет делать выводы о достаточных условиях сходимости метода. Первый тип оценок имеет вид
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial^k (f-P_n)(u)}{\partial \xi_1\dotsb\partial \xi_k}\biggr| \leqslant C_1M \frac{H^{n+1-k}}{\omega^k}, \qquad 0\leqslant k\leqslant n,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где $C_1$ – неотрицательная константа, которая может зависеть только от $d,k,n$ и не зависит от геометрических характеристик симплекса $\Delta$ и от функции $f$; $\omega$ – некоторая геометрическая характеристика симплекса; $\xi_1,\dots,\xi_k$ – произвольные единичные векторы. Вид константы $C_1$ обычно не уточняется. Отметим, что на текущий момент существует множество предлагаемых разными авторами способов выбора $\omega$. Предполагается, что $\Delta$ является членом некоторой последовательности симплексов $\{\Delta_i\}$, полученной в результате измельчения триангуляции, которая с ростом номера $i$ может, вообще говоря, вырождаться. Для удобства обозначений мы будем опускать индексы $i$. Если при этом говорится, что $\omega\to 0$ или $\omega$ отделено от нуля, то это означает соответствующий характер поведения величин $\omega=\omega(\Delta)=\omega(\Delta_i)$ для такой последовательности симплексов при $i\to \infty$. Если на симплексы триангуляции наложить требование $\omega> c_0>0$ (отделенность от нуля), где $c_0$ – фиксированная положительная константа, то оценки (1.3) примут вид
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial^k (f-P_n)(u)}{\partial \xi_1\dotsb\partial \xi_k}\biggr| \leqslant C_2M H^{n+1-k}, \qquad 0\leqslant k\leqslant n,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
и это – второй тип оценок. В ряде случаев авторы работ с самого начала накладывают на симплекс такие ограничения, которые допускают оценки типа (1.4), не рассматривая оценки типа (1.3). Частичные обзоры исследований неравенств (1.3) и (1.4) можно найти в работах [3]–[6]. В данной работе получены оценки вида (1.3) при $\omega=\sin\Theta$ и $C_1=d^k$ (раздел 2), а также представлено сравнение характеристики $\sin\Theta$ с некоторыми другими известными характеристиками (раздел 3). Статья продолжает исследования [6], где получены оценки типа (1.3) для $d=3,4$, однако она не является обобщением этих исследований, поскольку новая угловая характеристика $\Theta$, введенная в формуле (1.2) является новой, и ранее не использовалась. 2. ОценкиТеорема 1. Пусть $\xi_1,\dots,\xi_k$ – произвольные единичные векторы, $0\leqslant k\leqslant n$. Тогда для любой точки $u\in \Delta$ имеет место оценка Доказательство теоремы 1 разобьем на три леммы, действуя методом [7; леммы 1, 4]. Лемма 1. Пусть $\nu_1,\dots,\nu_q\in\mathfrak{T}$, $0\leqslant q\leqslant n$, $k_1,\dots,k_q\in\mathbb Z_+$, $k=k_1+\dots+k_q\leqslant n$. Тогда существует точка $u^*\in\Delta$ такая, что Доказательство. Случай $k=0$ соответствует ситуации, когда в левой части равенства (2.2) стоит значение функции $e$ в некоторой точке. Очевидно, что при $k=0$ в качестве $u^*$ может быть взят любой из узлов интерполяции. Пусть далее $1\leqslant k \leqslant n$. Для любого $\nu_i\in \mathfrak{T}$ найдется пара вершин $a_{i_1}, a_{i_2}$ симплекса $\Delta$ такая, что $\nu_i=\tau_{i_1 i_2}$; положим $h_i=\rho(a_{i_1}, a_{i_2})$. Обозначим через $\delta^{k_i}_i f(u)$ конечную разность порядка $k_i$ функции $f(u)$ в направлении $\nu_i$ с шагом $h_i/n$, $i=1,\dots,d$. Тогда найдется точка $\overline{u}\in\Delta$ такая, что все аргументы функции $e$ в конечной разности $\delta^{k_1}_1\dotsb\delta^{k_q}_q e(\overline{u})$ будут принадлежать множеству $I$, т.е. будет выполняться равенство
$$
\begin{equation}
\delta^{k_1}_1\dotsb\delta^{k_q}_q e(\overline{u})=0.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Например, если
$$
\begin{equation*}
\chi_0(a_l,\nu_r)= \begin{cases} 1,&\text{если}\ \ \exists\, j\colon \tau_{jl}=\nu_r, \\ 0&\text{иначе}, \end{cases} \qquad \chi_1(a_l,\nu_r)= \begin{cases} 1,&\text{если}\ \ \exists\, j\colon \tau_{lj}=\nu_r, \\ 0&\text{иначе}, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
то в качестве точки $\overline{u}$ можно взять точку, имеющую барицентрические координаты
$$
\begin{equation*}
\overline{\lambda}_l=\frac{1}{n}\sum_{r=1}^q\chi_1(a_l,\nu_r)k_r, \quad l=1,\dots,d, \qquad \overline{\lambda}_{d+1}=\frac{1}{n} \biggl(\sum_{r=1}^q\chi_1(a_{d+1},\nu_r)k_r+n-\sum_{r=1}^qk_r\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
а множеством всех аргументов функции $e$ в разности (2.3) будет множество точек, имеющих барицентрические координаты
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_l[i_1,\dots,i_q]= \frac{1}{n} \biggl(\sum_{r=1}^q\chi_0(a_l,\nu_r)i_r+\sum_{r=1}^q\chi_1(a_l,\nu_r)(k_r-i_r)\biggr), \qquad l=1,\dots,d , \\ \lambda_{d+1}[i_1,\dots,i_q] =\frac{1}{n}\biggl(\sum_{r=1}^q\chi_0(a_{d+1},\nu_r)i_r +\sum_{r=1}^q\chi_1(a_{d+1},\nu_r)(k_r-i_r)+n-\sum_{r=1}^qk_r\biggr), \\ i_r=0,\dots,k_r, \qquad 1\leqslant r\leqslant q \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
(отметим, что часть значений функции $e$ в указанных точках может входить в (2.3) с нулевыми коэффициентами).
Применяя последовательно к (2.3) свойство равенства конечной разности порядка $k_s$ функции $e$ производной того же порядка функции $e$ по соответствующему направлению в некоторой промежуточной точке с некоторым ненулевым коэффициентом, получим (2.2). Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть $\nu_1,\dots,\nu_q\in\mathfrak{T}$, $0\leqslant q\leqslant n+1$, $k_1,\dots,k_q\in\mathbb Z_+$, $k=k_1+\dots+k_q\leqslant n+1$. Тогда для любой точки $u\in\Delta$ имеет место оценка Доказательство. Используем индукцию по $k$. При $k=n+1$ утверждение леммы справедливо в силу (1.1). Докажем (2.4) при $k=r\leqslant n$, считая, что (2.4) справедливо при $k=r+1$.
Возьмем любые $q,r_1,\dots,r_q\in\mathbb Z_+$ такие, что $r_1+\dots+r_q=r\leqslant n$, произвольную точку $u=(\lambda_1,\dots,\lambda_{d+1})\in\Delta$ и точку $u^*=(\lambda^*_1,\dots,\lambda^*_{d+1})\in\Delta$, для которой выполняется (2.2) при $k=r$, $k_i=r_i$, $i=1,\dots,q$. Если $u=u^*$, то (2.4) доказано. Пусть далее $u\neq u^*$. Для любого $i=1,\dots,d+1$ выполняется одно из соотношений $\lambda_i<\lambda^*_i$, $\lambda_i=\lambda^*_i$, $\lambda_i>\lambda^*_i$, причем равенство имеет место не для всех $i$. Можно считать, что найдутся числа $s_0, s_1$, $1\leqslant s_0<s_1\leqslant d+1$, такие, что $\lambda_i<\lambda^*_i$ для всех $i=1,\dots,s_0$; $\lambda_i>\lambda^*_i$ для всех $i=s_1,\dots,d+1$; $\lambda_i=\lambda^*_i$ при $s_0<i<s_1$ (иначе можно изменить нумерацию вершин симплекса). При этом
$$
\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{s_0}(\lambda^*_i-\lambda_i)= \sum_{i=s_1}^{d+1}(\lambda_i-\lambda^*_i), \qquad 0<\sum_{i=1}^{s_0}(\lambda^*_i-\lambda_i)\leqslant\sum_{i=1}^{d+1}\lambda^*_i\leqslant 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим вектор $\overrightarrow{uu^*}$ и представим его в виде
$$
\begin{equation}
\overrightarrow{uu^*}=\alpha_1\xi_1+\dots+\alpha_m\xi_m,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
где $1\leqslant m\leqslant d$, $\xi_1,\dots,\xi_m\in \mathfrak{T}$ действуя следующим образом. Введем два параметра $p,t$, полагая на начальном этапе $p=s_0$, $t=s_1$, $\lambda_i^1=\lambda_i$ при всех $i=1,\dots,d+1$. Пусть уже получены $\alpha_1,\dots,\alpha_{j-1}$ и $\xi_1,\dots,\xi_{j-1}$. Получим $\alpha_j$ и $\xi_j$. Если $p=0$ и $t=d+2$, то $m=j-1$, и находить $\alpha_j$ и $\xi_j$ не требуется, т.е. задача получения разложения (2.5) решена. В противном случае положим
$$
\begin{equation*}
\xi_j=\tau_{tp}, \qquad \alpha_j=\rho(a_t,a_p)\min\bigl\{\lambda^*_{p}-\lambda_{p}^j,\lambda_{t}^j-\lambda^*_{t}\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\lambda^*_{p}-\lambda_{p}^j<\lambda_{t}^j-\lambda^*_{t}$, то положим $\lambda_p^{j+1}=\lambda^*_p$, $\lambda_t^{j+1}=\lambda_t^j-(\lambda^*_p-\lambda_p^j)$, $\lambda_i^{j+1}=\lambda_i^j$ при $i\neq p,t$, после чего уменьшим $p$ на единицу, оставив $t$ без изменений. Если $\lambda^*_{p}-\lambda_{p}^j>\lambda_{t}^j-\lambda^*_{t}$, то положим $\lambda_p^{j+1}=\lambda_p^j+(\lambda_t^j-\lambda^*_t)$, $\lambda_t^{j+1}=\lambda^*_t$, $\lambda_i^{j+1}=\lambda_i^j$ при $i\neq p,t$, после чего увеличим $t$ на единицу, оставив $p$ без изменений. Если $\lambda^*_{p}-\lambda_{p}^j=\lambda_{t}^j-\lambda^*_{t}$, то положим $\lambda_p^{j+1}=\lambda^*_p$, $\lambda_t^{j+1}=\lambda^*_t$, $\lambda_i^{j+1}=\lambda_i^j$ при $i\neq p,t$, после чего уменьшим $p$ на единицу и увеличим $t$ на единицу. Выполнив эти операции, перейдем к вычислению $\alpha_{j+1}$ и $\xi_{j+1}$. Таким образом, мы получим (2.5) со свойствами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \notag \alpha_i>0, \qquad 1\leqslant i\leqslant m, \\ 0<\alpha_1+\dots+\alpha_m\leqslant H\sum_{i=1}^{s_0}(\lambda^*_i-\lambda_i) =H\sum_{i=s_1}^{d+1}(\lambda_i-\lambda^*_i)\leqslant H. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Обозначим $u_i=u+\alpha_1\xi_1+\dots+\alpha_i\xi_i$ для всех $i=1,\dots,m$ ($u^*=u_m$), $u_0=u$, $|\xi_i|$ – длина вектора $\xi_i$. Тогда для всех $i=1,\dots,m$ существуют точки $v_i$, лежащие на отрезках $[u_{i-1},u_i]$, такие, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial^r e(u)}{\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} &=\frac{\partial^r e(u_1)}{\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} -\frac{\partial^{r+1} e(v_1)}{\partial\xi_1\,\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} \alpha_1|\xi_1| \\ &=\frac{\partial^r e(u_2)}{\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} -\frac{\partial^{r+1} e(v_2)}{\partial\xi_2\,\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} \alpha_2|\xi_2| -\frac{\partial^{r+1} e(v_1)}{\partial\xi_1\,\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} \alpha_1|\xi_1| =\dotsb \\ &=\frac{\partial^r e(u^*)}{\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}} -\sum_{i=1}^m\frac{\partial^{r+1} e(v_i)} {\partial\xi_i\,\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}}\alpha_i|\xi_i|. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Принимая во внимание (2.2) и то, что $|\xi_i|=1$ для всех $i=1,\dots,m$, а также используя (2.6) и предположение индукции, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl|\frac{\partial^r e(u)}{\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}}\biggr| &\leqslant\sum_{i=1}^m\alpha_i\biggl|\frac{\partial^{r+1} e(v_i)} {\partial\xi_i\,\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}}\biggr| \leqslant\max_{1\leqslant i\leqslant m}\biggl|\frac{\partial^{r+1} e(v_i)} {\partial\xi_i\,\partial\nu_1^{r_1}\dotsb\partial\nu_q^{r_q}}\biggr| \sum_{i=1}^m \alpha_i \\ &\leqslant MH^{n+1-(r+1)}\cdot H =MH^{n+1-r}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть $\mathcal{T}_d=\{\nu_1,\dots,\nu_d\}$ – множество $d$ единичных линейно независимых векторов,
$$
\begin{equation*}
\phi=\min_{\tau\in\mathcal{T}_d} \varphi\bigl(\tau,\langle\mathcal{T}_{d}\setminus\{\tau\}\rangle\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
$\xi_1,\dots,\xi_k$ – произвольные единичные векторы, $0\leqslant k\leqslant n$. Тогда для любой точки $u\in \Delta$ имеет место оценка где Доказательство. Рассмотрим произвольный единичный вектор $\xi$. В разложении $\xi=c_1\nu_1+\dots+c_d\nu_d$ оценим коэффициенты $c_1,\dots,c_d$. Пусть имеется некоторый ортонормированный базис и разложение по нему векторов $\xi,\nu_1,\dots,\nu_d$. В соответствии с правилом Крамера
$$
\begin{equation*}
c_i=\frac{(\xi,W_i)}{(\nu_i,W_i)}, \qquad i=1,\dots,d,
\end{equation*}
\notag
$$
где круглыми скобками обозначено скалярное произведение векторов; $W_i$ – вектор, координаты которого являются алгебраическими дополнениями $i$-го столбца матрицы, столбцы которой являются координатами векторов $\nu_1,\dots,\nu_d$ (в выбранном базисе). Так как вектор $W_i$ ортогонален всем векторам $\nu_j$, $1\leqslant j\leqslant d$, $j\neq i$, т.е. ортогонален гиперплоскости $\langle\mathcal{T}_{d}\setminus\{\nu_i\}\rangle$, то
$$
\begin{equation}
|c_i|=\biggl|\frac{|\xi|\cdot|W_i|\cdot\cos\varphi(\xi,W_i)} {|\nu_i|\cdot|W_i|\cdot\cos \varphi(\nu_i,W_i)}\biggr| =\biggl|\frac{\cos\varphi(\xi,W_i)} {\sin \varphi(\nu_i,\langle\mathcal{T}_{d}\setminus\{\nu_i\}\rangle)}\biggr| \leqslant\frac{1}{\sin \phi}, \qquad i=1,\dots,d
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
(в [7; лемма 1] тем же методом была получена подобная оценка для другой характеристики симплекса).
Таким образом, если имеются единичные векторы $\xi_1,\dots,\xi_k$, то для любого разложения $\xi_i=c_{i1}\nu_1+\dots+c_{id}\nu_d$ для коэффициентов $c_{ij}$ имеет место оценка
$$
\begin{equation*}
|c_{ij}|\leqslant\frac{1}{\sin\phi}, \qquad i=1,\dots,k, \quad j=1,\dots,d.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
\biggl|\frac{\partial^k e(u)}{\partial \xi_1\dotsb\partial\xi_k}\biggr| =\biggl|\biggl(\prod_{i=1}^k\biggl(c_{i1}\frac{\partial}{\partial\nu_1} +\dots+c_{id}\frac{\partial}{\partial\nu_d}\biggr)\biggr)e(u)\biggr| \leqslant \frac{\widetilde{M}_kd^k}{\sin^k\phi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3 доказана. Доказательство теоремы 1. Если $\mathcal{T}_d\subset\mathfrak{T}$, то из леммы 2 следует, что можно взять $\widetilde{M}_k=MH^{n+1-k}$. Тогда из оценок (2.7) при соответствующем выборе множества $\mathcal{T}_d$ и определения (1.2) величины $\Theta$ следует утверждение теоремы 1. Отметим, что константа $d^k$ в (2.1) не является точной. В частности, при $k=0$ и различных $n$ и $d$ имеется ряд результатов с меньшими константами. 3. Сравнение с некоторыми известными результатамиКак уже было сказано во введении, на текущий момент существует множество оценок вида (1.3) и (1.4) с разным выбором $\omega$ в случае оценок (1.3) и разными ограничениями на симплексы в случае оценок (1.4). Очень часто выбираемые авторами характеристики $\omega$ и ограничения на симплексы являются обобщениями на произвольную размерность $d$ или “условия наименьшего угла треугольника”, или “условия наибольшего угла треугольника”, когда при $d=2$ ограничение на симплекс превращается соответственно в ограничение на наименьший или наибольший угол треугольника, а $\omega$ становится равным синусу этого угла. Кроме того, существуют промежуточные варианты оценок. Ограничимся обсуждением только оценок и ограничений, которые связаны с аналогами и обобщениями “условия наибольшего угла треугольника” для произвольного $d$, поскольку именно эти условия влекут наименее жесткие требования к триангуляции. Обзор оценок и ограничений, аналогичных “условию наименьшего угла” можно найти в [5]. Рассмотрим оценки типа (1.3). B [8] Жамэ для $d$-симплекса $\Delta$ введена характеристика
$$
\begin{equation}
\theta_J=\min_{\mathcal{T}_d\subset\mathfrak{T}}\max_{\xi\in\mathbb R^d} \min_{\tau\in \mathcal{T}_d}\varphi(\xi,\langle\tau\rangle)
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и доказано, что для любых единичных векторов $\xi_1,\dots,\xi_k$, $0\leqslant k\leqslant n$, и любой точки $u\in \Delta$ имеет место оценка
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{\partial^k (f-P_n)(u)}{\partial \xi_1\dotsb\partial \xi_k}\biggr| \leqslant CM\frac{H^{n+1-k}}{\cos^k \theta_J},
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $C$ – некоторая положительная константа, которая не зависит от геометрических характеристик $\Delta$ и от функции $f$, но может зависеть от $d$, $k$ и $n$ (без указания вида константы). Рассмотрим множество $\mathcal{A}$ всех возможных нумераций вершин симплекса $\Delta$. В [3; формула (11)] была введена характеристика $\theta_\delta$, зависящая от $\delta\in \mathcal{A}$, следующим образом (обозначения адаптированы к обозначениям текущей статьи):
$$
\begin{equation}
\theta_\delta=\min_{l=3,\dots,d+1}\max_{s=1,\dots,l} \varphi\bigl(\tau_{l+1,s},\langle\tau_{12},\dots,\tau_{1l}\rangle\bigr).
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
C помощью характеристики $\theta_\delta$ в [3] было показано, что для широкого класса симплексов оценки (3.2) неулучшаемы в определенном смысле: если $\Delta$ меняется таким образом, что $\cos\theta_J\to 0$ при сохранении значений прочих параметров в правой части (3.2), то левая часть (3.2) стремится к бесконечности. В теореме 1 из [3] было доказано, что найдутся неотрицательные величины $\mu_1,\mu_2$, которые не зависят от геометрических характеристик симплекса (но могут зависеть от его размерности $d$),такие, что при любом выборе способа нумерации $\delta$ вершин симплекса имеют место неравенства
$$
\begin{equation}
\mu_1\cos\theta_J\leqslant \sin\theta_\delta \leqslant\mu_2\sqrt[d]{\cos\theta_J}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Покажем, какое место в этой цепочке занимает $\sin\Theta$. Положим где $\mu$ – некоторое положительное число, которое может зависеть от $d$. Доказательство. Требуется доказать только первые два неравенства, поскольку последнее следует из оценок (3.4) и определения (3.5). Докажем первое неравенство в (3.6). Рассмотрим произвольное множество $\mathcal{T}_d^\checkmark\subset\mathfrak{T}$, состоящее из $d$ линейно независимых единичных векторов, такое, что
$$
\begin{equation*}
\theta_J=\max_{\xi\in\mathbb R^d}\min_{\tau\in \mathcal{T}_d^\checkmark} \varphi(\xi,\langle\tau\rangle).
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем вектор $\tau^\checkmark\in \mathcal{T}_d^\checkmark$ такой, что
$$
\begin{equation*}
\sin\varphi\bigl(\tau^\checkmark,\langle \mathcal{T}_{d-1}^\checkmark\rangle\bigr) =\min_{\tau\in\mathcal{T}_d^\checkmark} \sin\varphi\bigl(\tau,\langle\mathcal{T}_{d}^\checkmark\setminus\{\tau\}\rangle\bigr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathcal{T}_{d-1}^\checkmark=\mathcal{T}_d^\checkmark\setminus\{\tau^\checkmark\}$. Возьмем единичный вектор $\xi^\checkmark\bot\langle\mathcal{T}_{d-1}^\checkmark \rangle$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \cos\theta_J &=\min_{\xi\in\mathbb R^d}\max_{\tau\in \mathcal{T}_d^\checkmark} \cos\varphi(\xi,\langle\tau\rangle) \leqslant \max_{\tau\in \mathcal{T}_d^\checkmark} \cos\varphi(\xi^\checkmark,\langle\tau\rangle) =\cos\varphi(\xi^\checkmark,\tau^\checkmark) \\ &=\sin\varphi(\tau^\checkmark,\langle\mathcal{T}_{d-1}^\checkmark\rangle) =\min_{\tau\in\mathcal{T}_d^\checkmark} \sin\varphi(\tau,\langle\mathcal{T}_{d}^\checkmark\setminus\{\tau\}\rangle) \\ &\leqslant\max_{\mathcal{T}_{d}\subset\mathfrak{T}} \min_{\tau\in\mathcal{T}_d} \sin\varphi(\tau,\langle\mathcal{T}_{d}\setminus\{\tau\}\rangle) =\sin\Theta. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Осталось доказать второе неравенство в (3.6). Для любого $\tau\in \mathfrak{T}$ через $\mathfrak{r}(\tau)$ обозначим ребро симплекса $\Delta$, вдоль которого направлен вектор $\tau$. Возьмем $\mathcal{T}_{d}^*\subset\mathfrak{T}$ и $\tau^*\in \mathcal{T}_{d}^*$ такие, что
$$
\begin{equation*}
\sin\varphi\bigl(\tau^*,\langle\mathcal{T}_{d}^*\setminus\{\tau^*\}\rangle\bigr) = \sin\Theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как все векторы в $\mathcal{T}_{d}^*$ линейно независимы, множество $\bigcup_{\tau\in\mathcal{T}_{d}^*} \mathfrak{r}(\tau)$ является связным. Выберем такую нумерацию $\delta\in \mathcal{A}$ вершин симплекса, что для любого $k_0=2,\dots,d+1$ множество
$$
\begin{equation*}
\bigcup_{\tau_{ij}\in\mathcal{T}_{d}^*,\, 1\leqslant i,j\leqslant k_0} \mathfrak{r}(\tau_{ij})
\end{equation*}
\notag
$$
является связным. Рассмотрим величину $\theta_\delta$, определенную в (3.3) соответственно выбранной нумерации вершин. Обозначим через $\Pi_i$ плоскость размерности $i-1$, натянутую на вершины $a_1,\dots,a_i$. Возьмем $i_\delta,j_\delta$ такие, что $2\leqslant i_\delta< j_\delta\leqslant d+1$ и
$$
\begin{equation*}
\sin\varphi(\tau_{i_\delta j_\delta},\Pi_{j_\delta-1}) =\sin\theta_\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда существует такое $i$, $3\leqslant i\leqslant j_\delta-1$, что $\tau_{ij_\delta}\in\mathcal{T}_d^*$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sin\Theta &=\sin\varphi\bigl(\tau^*,\langle\mathcal{T}_{d}^*\setminus\{\tau^*\}\rangle\bigr) \leqslant \sin\varphi\bigl(\tau_{ij_\delta},\langle\mathcal{T}_{d}^* \setminus\{\tau_{ij_\delta}\}\rangle\bigr) \\ &\leqslant\sin\varphi\bigl(\tau_{ij_\delta},\Pi_{j_\delta-1}\bigr) \leqslant \sin\varphi\bigl(\tau_{i_\delta j_\delta},\Pi_{j_\delta-1}\bigr) =\sin\theta_\delta \leqslant\sin\theta^*. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 4 доказана. Теорема 2. Оценки (3.2) остаются справедливыми при $C=d^k$. Доказательство. Доказательство следует из теоремы 1 и того, что в силу (3.6) имеет место неравенство $\cos\theta_{\mathcal{J}}\leqslant\sin\Theta$. Перейдем к оценкам типа (1.4). На текущий момент времени разными авторами получен ряд удобных и легко контролируемых достаточных условий на симплексы, приводящих к оценкам этого вида. В [9] было использовано понятие $d$-синуса (обобщение синуса плоского угла, предложенное в [10]; строгое определение см. ниже) и было доказано, что если найдется множество $\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d$ линейно независимых векторов, направленных вдоль ребер симплекса $\Delta$, такое, что $d$-синус $\sin_d\psi(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d)$ этих векторов отделен от нуля (т.е. существует число $c_0>0$ такое, что $\sin_d\psi(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d)>c_0>0$), то имеют место оценки (1.4) при $n=1$, $k=1$. Немного позднее в [4] для произвольной размерности $d$ было показано, что достаточным условием справедливости (1.4) при $n=1$, $k=1$ может служить отделенность от $\pi$ всех углов между $(s-1)$-мерными гранями всех $s$-симплексов $\Delta '$ с вершинами $a_1',\dots,a_{s+1}'$, принадлежащими множеству вершин $\{a_1,\dots,a_{d+1}\}$ симплекса $\Delta$ для всех $s=2,\dots,d$ (в случае $d=2$ это условие получается из результатов [11; раздел 3.8]; в случае $d=3$ условие было получено в [12]). В [4] доказано, что оба описанных выше условия эквиваленты. Кроме того, доказана эквивалентность этих условий условию отделенности от нуля величины $\cos\theta_{\mathcal{J}}$, что с учетом (3.2) приводит к справедливости (1.4) при всех $n\in\mathbb N$ и $0\leqslant k\leqslant n$, если выполнено одно из указанных ограничений. Принимая во внимание (3.6), получаем также эквивалентность этих условий условию отделенности от нуля характеристики $\sin\Theta$ и условию отделенности от нуля $\sin\theta_*$. Таким образом, можно утверждать, что если выполнено одно из перечисленных пяти условий, то имеют место оценки (1.4) при всех $n\in\mathbb N$, $0\leqslant k\leqslant n$. Вернемся к оценкам (1.3) и понятию $d$-синуса угла, предложенного в [10] и введенного в данную тематику авторами [9]. Пусть имеется $d$ линейно независимых векторов $\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d$. Приведем их к общему началу, обозначим его $a_{d+1}'$. Точки, соответствующие концам векторов $\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d$ обозначим соответственно $a_1',\dots,a_d'$. Пусть $\Delta'=\Delta'(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d)$ – симплекс с вершинами $a_1',\dots,a_{d+1}'$, $\Gamma_j'=\Gamma_j'(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d)$ – грани размерности $d-1$ этого симплекса напротив вершин $a_j'$, $j=1,\dots,d+1$. Тогда по определению [10] $d$-синус угла $\psi(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d)$ векторов $\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d$ – это
$$
\begin{equation}
\sin_d\psi(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d) =\frac{d^{d-1}(\operatorname{meas}_d\Delta')^{d-1}} {(d-1)!\,\prod_{1\leqslant j\leqslant d}\operatorname{meas}_{d-1}\Gamma_j'},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\operatorname{meas}_s$ означает меру множества в $\mathbb R^s$. Вместо $\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d$ можно рассматривать единичные векторы $\nu_i=\mathfrak{e}_i/|\mathfrak{e}_i|$, $1\leqslant i\leqslant d$. При этом
$$
\begin{equation}
\sin_d\psi(\mathfrak{e}_1,\dots,\mathfrak{e}_d) =\sin_d\psi(\nu_1,\dots,\nu_{d}).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Свойство (3.8) отмечено в [10] и [4]. В его справедливости можно убедиться, умножив один из векторов на ненулевую константу и вычислив соответствующие меры симплексов в (3.7) (умножение вектора на константу, отличную от нуля, не меняет значение $d$-синуса). Напомним, что для любого $d$-симплекса $\Delta=\Delta_d(a_1,\dots,a_{d+1})=\Delta_d(V)$ c множеством вершин $V=\{a_1,\dots,a_{d+1}\}$ имеет место формула
$$
\begin{equation*}
\operatorname{meas}_d \Delta =\operatorname{meas}_d \Delta_d(V) =\frac{1}{d}\cdot h_{i}\cdot \operatorname{meas}_{d-1}\Delta_{d-1}(V\setminus\{a_i\}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $h_{i}$ – расстояние от $a_{i}$ до гиперплоскости, натянутой на вершины $a_1,\dots,a_{i-1}, a_{i+1}, \dots,a_{d+1}$ (см., например, [13; п. 9.12.4.4]), т.е. при любом $1\leqslant i\leqslant d$ выполняется
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag &\operatorname{meas}_d \Delta_d(V) =\frac{|a_ia_{d+1}|}{d} \cdot\operatorname{meas}_{d-1}\Delta_{d-1}(V\setminus\{a_i\}) \\ &\qquad\times\sin\bigl(\tau_{i,d+1},\langle \{\tau_{1,d+1},\dots,\tau_{d,d+1}\}\setminus\{\tau_{i,d+1}\} \rangle\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Пусть по-прежнему $\mathcal{T}_d$ обозначает множество $d$ единичных линейно независимых векторов из $\mathfrak{T}$. Положим
$$
\begin{equation}
\sin_d \theta_{\mathcal{E}}=\max_{\mathcal{T}_d\in \mathfrak{T}} \sin\psi(\mathcal{T}_d).
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Доказательство. Рассмотрим множество $\mathcal{T}_d=\{\nu_1,\dots,\nu_d\}\subset\mathfrak{T}$. Пусть нумерация векторов в $\mathcal{T}_d$ выбрана так, что
Приведем векторы $\nu_1,\dots,\nu_d$ к общей вершине $a_{d+1}'$. Точки, соответствующие концам этих векторов, обозначим $a_1',\dots,a_d'$ соответственно. Как и выше, будем использовать следующие обозначения: $\Delta'=\Delta'(\mathcal{T}_d)$ – симплекс с вершинами $a_1',\dots,a_{d+1}'$, $\Gamma_j'=\Gamma_j'(\mathcal{T}_d)$ – грани этого симплекса напротив вершин $a_j'$, $j=1,\dots,d+1$. Тогда, так как $|\nu_j|=1$ для всех $j=1,\dots,d$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sin\psi(\mathcal{T}_d) &=\frac{d^{d-1}(\operatorname{meas}_d\Delta')^{d-1}} {(d-1)!\,\prod_{1\leqslant j\leqslant d}\operatorname{meas}_{d-1}\Gamma_j'} =\frac{d^{d-1}}{(d-1)!\, \operatorname{meas}_d\Delta'} \prod_{1\leqslant j\leqslant d}\frac{\operatorname{meas}_d\Delta'}{\operatorname{meas}_{d-1}\Gamma_j'} \\ \notag &=\frac{d^{d-1}}{(d-1)!\,\operatorname{meas}_d\Delta'}\prod_{1\leqslant j\leqslant d} \frac{|\nu_j|\sin\varphi(\nu_j,\langle \mathcal{T}_d\setminus\{\nu_j\}\rangle)}{d} \\ &=\frac{1}{d!\, \operatorname{meas}_d\Delta'} \prod_{1\leqslant j\leqslant d}\sin\varphi(\nu_j,\langle \mathcal{T}_d\setminus\{\nu_j\}\rangle). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Вычисляя $\operatorname{meas}_d\Delta'$ в соответствии с (3.9), приходим к оценке
$$
\begin{equation*}
d!\,\operatorname{meas}_d\Delta' =|\nu_d|\prod_{j=1}^{d-1}|\nu_j|\sin\varphi(\nu_j,\langle\nu_{j+1},\dots,\nu_d\rangle) \geqslant\prod_{j=1}^{d-1}\sin\varphi(\nu_j,\langle\mathcal{T}_d\setminus\{\nu_j\}\rangle),
\end{equation*}
\notag
$$
и из (3.13), (3.12), (1.2) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \notag \sin\psi(\mathcal{T}_d) &\leqslant\frac{\prod_{1\leqslant j\leqslant d} \sin\varphi(\nu_j,\langle \mathcal{T}_d\setminus\{\nu_j\}\rangle)} {\prod_{j=1}^{d-1}\sin\varphi(\nu_j,\langle\mathcal{T}_d\setminus\{\nu_j\}\rangle)} =\sin\varphi(\nu_d,\langle\mathcal{T}_d\setminus\{\nu_d\}\rangle) \\ &=\min_{\tau\in\mathcal{T}_d} \sin\varphi\bigl(\tau,\langle\mathcal{T}_{d}\setminus\{\tau\}\rangle\bigr) \leqslant\sin\Theta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Поскольку (3.14) справедливо для любого множества единичных линейно независимых векторов $\mathcal{T}_d\subset\mathfrak{T}$, с учетом определения (3.10) получаем (3.11). Лемма 5 доказана. Из (2.1) и (3.11) получаем следующую теорему. Теорема 3. При $C_1=d^k$, $\omega=\sin_d\theta_\mathcal{E}$ справедливы оценки (1.3). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BaiSub24}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь:math-net2025_03@mi-ras.ru |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|