А. О. Завадский, “Об алгебрах Ли, задаваемых касательными направлениями к однородным проективным многообразиям”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 721–738; Math. Notes, 114:5 (2023), 1029

Processing math: 100%

Математические заметки

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Лицензионный договор
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Матем. заметки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Математические заметки, 2023, том 114, выпуск 5, страницы 721–738
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13328 (Mi mzm13328)

Об алгебрах Ли, задаваемых касательными направлениями к однородным проективным многообразиям

А. О. Завадский

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

PDF полного текста (761 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13328

Аннотация: Вложенное проективное многообразие

$X$ обладает одним интересным алгебраическим инвариантом – алгеброй Ли

$\mathfrak L$ , которая задается касательными направлениями к

$X$ в гладких точках. Такие алгебры в некоторых случаях оказываются изоморфными алгебрам символов фильтрованных систем распределений на многообразиях Фано, которые играют важную роль в теории этих многообразий. Кроме того, алгебры, задаваемые касательными направлениями, представляют и самостоятельный интерес. В данной работе исследуются алгебры

$\mathfrak L$ , соответствующие многообразиям

$X$ , которые являются проективизациями орбит младших векторов неприводимых представлений полупростых комплексных групп Ли. Такие алгебры удается описать в терминах образующих и соотношений, а во многих случаях получается полностью описать их структуру.
Библиография: 4 названия.

Ключевые слова: однородные многообразия, градуированные алгебры Ли, диаграммы Дынкина.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации	075-15-2022-284
Статья опубликована при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

Поступило: 28.10.2021
Исправленный вариант: 04.01.2023

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 114, Issue 5, Pages 1029–1044
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623110342

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.816+512.554

MSC: 17B70, 57S20

1. Введение

Пусть $X\subset\mathbb P^m$ – вложенное комплексное проективное многообразие. Рассмотрим соответствующее этому многообразию аффинное коническое многообразие $\widehat X\subset \mathbb C^{m+1}$ . Мы исследуем алгебру Ли $\mathfrak L$ , которая порождается векторным пространством $\mathbb C^{m+1}$ и задана определяющими соотношениями вида

$\begin{equation} [\xi,\eta]=0 \qquad\forall\, \xi\in\widehat X^{\mathrm{reg}}, \quad \eta\in \mathcal T_{\xi}\widehat X, \end{equation} \tag{1.1}$

где

$\mathcal T_{\xi}\widehat X$ – касательное пространство к

$\widehat X$ в точке

$\xi$ .

Иными словами, алгебра $\mathfrak L$ получается факторизацией свободной алгебры Ли, порожденной базисом пространства $\mathbb C^{m+1}$ , по идеалу $\mathfrak I$ , порожденному элементами вида (1.1). Алгебра $\mathfrak L$ является интересным алгебраическим инвариантом вложенного проективного многообразия $X$ .

Опишем некоторую алгебро-геометрическую конструкцию, в которой возникают алгебры Ли такого вида (подробное ее описание содержится в обзорной статье [1]). Пусть $M$ – гладкое многообразие Фано c числом Пикара 1. Рассмотрим рациональные кривые минимальной степени, проходящие через точку $x$ общего положения многообразия $M$ . Множество касательных векторов к ним в точке $x$ образует замкнутый конус $\mathcal C_x$ . Проективизация этого конуса называется многообразием минимальных рациональных касательных.

Обозначим через $\mathcal T_M$ касательное расслоение многообразия $M$ . Пусть $\mathcal V$ – распределение на открытом подмножестве многообразия $M$ , порожденное конусами $\mathcal C_x$ в точках общего положения $x\in M$ . По определению $\mathcal V\subset\mathcal T_M$ , $\mathcal V_x\subset\mathcal T_{M,x}$ . Определим по индукции цепочку вложенных распределений:

$\begin{equation*} \mathcal V^1=\mathcal V, \qquad \mathcal V^{k+1}=\mathcal V^k+\mathcal{O}_M\cdot[\mathcal V^1,\mathcal V^k]. \end{equation*} \notag$

В окрестности точки общего положения

$x\in M$ все

$\mathcal V^k$ являются подрасслоениями касательного расслоения

$\mathcal T_M$ . Известно, что существует такое число

$d$ , что

$\mathcal V^d=\mathcal T_M$ (см. [1; раздел 2.2]).

Алгеброй символов распределения $\mathcal V$ в точке $x$ называется градуированная нильпотентная алгебра Ли

$\begin{equation*} \operatorname{gr}\mathcal T_{M,x}=\mathcal V_x^1\oplus\mathcal V_x^2/\mathcal V_x^1\oplus\dots\oplus\mathcal V_x^d/\mathcal V_x^{d-1}, \end{equation*} \notag$

скобка Ли в которой индуцирована операцией коммутатора векторных полей.

Многообразие минимальных рациональных касательных и алгебра символов являются важными дифференциально-геометрическими инвариантами многообразия Фано, которые во многом определяют его геометрию [1]. В статье [2] доказано, что в некоторых случаях алгебра $\mathfrak L$ , определяемая по многообразию минимальных рациональных касательных в точке общего положения $x\in M$ , изоморфна алгебре символов $\operatorname{gr}\mathcal T_{M,x}$ .

В данной работе рассматриваются аффинные конические многообразия $\widehat X$ , являющиеся замыканиями орбит младших векторов неприводимых представлений полупростых комплексных групп Ли. А именно, пусть $R$ – неприводимое представление полупростой комплексной группы Ли $G$ в пространстве $V$ с младшим весом $\Lambda$ , $v_{\Lambda}$ – младший вектор представления, $\widehat X=R(G)v_{\Lambda}\cup\{0\}$ – замыкание орбиты младшего вектора. Это коническое аффинное алгебраическое многообразие, а его проективизация $X$ – однородное проективное многообразие в пространстве $\mathbb{P}(V)$ . В дальнейшем, выбрасывая точку 0 из многообразия $\widehat X$ , будем считать, что $\widehat X=R(G)v$ . Алгебра $\mathfrak L$ при этом не изменится.

Неприводимые представления полупростых алгебр Ли естественным образом содержатся внутри алгебр Каца–Муди. Пусть $\widetilde{\mathfrak g}$ – алгебра Каца–Муди, построенная по обобщенной матрице Картана $\widetilde{A}$ . Выделим некоторую вершину диаграммы Дынкина этой алгебры и предположим, что диаграмма без этой вершины имеет конечный тип. Пусть $e_i,f_i,h_i$ – система канонических образующих алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ , где $e_0,f_0,h_0$ соответствуют выделенной вершине. Зададим $\mathbb Z$ -градуировку $\widetilde{\mathfrak g}=\bigoplus_{k\in\mathbb Z}\widetilde{\mathfrak g}_k$ на алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$ , присвоив элементу $e_0$ степень $1$ , элементу $f_0$ степень $-1$ , а остальным образующим и всем элементам подалгебры Картана – степень 0. Тогда слагаемое $\widetilde{\mathfrak g}_0$ – редуктивная алгебра Ли, полупростую часть которой обозначим через $\mathfrak g$ , а слагаемое $\widetilde{\mathfrak g}_1$ в $\mathbb Z$ -градуировке является неприводимым $\mathfrak g$ -модулем. Представление $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ интегрируется до представления полупростой группы Ли $G$ . Этой конструкцией можно получить любое неприводимое представление полупростой группы Ли.

Можно показать, что при этом алгебра $\mathfrak L$ , соответствующая орбите младшего вектора представления $G$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ , является факторалгеброй подалгебры $\widetilde{\mathfrak g}_1\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2\oplus\dots\subset\widetilde{\mathfrak g}$ . Это утверждение, описывающее связь алгебры $\mathfrak L$ с алгеброй Каца–Муди, построенной по алгебре $\mathfrak g$ и младшему весу $\Lambda$ ее представления, более точно сформулировано и доказано в п. 2 данной работы.

Таким образом, задача описания алгебры $\mathfrak L$ сводится к вычислениям в алгебрах Каца–Муди. При таком подходе удается получить описание алгебры $\mathfrak L$ во многих случаях. В п. 3 дано описание алгебры $\mathfrak L$ в случаях, когда соответствующая алгебра Каца–Муди симметризуема и имеет аффинный тип.

2. Основная теорема

Пусть $G$ – полупростая комплексная группа Ли, $\mathfrak g$ – ее касательная алгебра Ли. Обозначим через $R$ неприводимое представление групп $G$ в пространстве $V$ . Его дифференциал $\rho=dR\colon \mathfrak g\to \mathfrak{gl}(V)$ – представление алгебры $\mathfrak g$ . Пусть $\Lambda$ – младший вес представления, $v_{\Lambda}$ – его младший вектор, $\widehat X=R(G)v_{\Lambda}$ – орбита младшего вектора.

Будем обозначать через $n$ ранг алгебры $\mathfrak g$ . Выберем картановскую подалгебру $\mathfrak h$ . Пусть $\Phi$ – система корней алгебры $\mathfrak g$ , взятая относительно подалгебры $\mathfrak h$ . $\Pi=\{\alpha_1,\dots,\alpha_n\}\subset \Phi$ – фиксированная система простых корней, а $\{e_i,h_i,f_i\mid i=1,\dots,n\}$ – система канонических образующих алгебры $\mathfrak g$ , связанная с $\Pi$ . Обозначим через $A=(a_{ij})$ матрицу Картана алгебры $\mathfrak g$ . По определению $a_{ij}=\alpha_j(h_i)$ .

Заменив группу $G$ на ее односвязную накрывающую (с той же алгеброй Ли $\mathfrak g$ ), можно без ограничения общности считать, что $G$ односвязна.

Обозначим через $\operatorname{Lie}(V)$ свободную алгебру Ли, порожденную произвольным базисом пространства $V$ . По универсальному свойству представление $\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(V)$ может быть продолжено до представления $\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\operatorname{Lie}(V))$ , причем

$\begin{equation*} \rho(x)[y,z]=[\rho(x)y,z]+[y,\rho(x)z] \qquad\forall\, x\in\mathfrak g, \quad y,z\in\operatorname{Lie}(V). \end{equation*} \notag$

При этом

$\rho$ является дифференциалом представления группы

$G$ , которое также будем обозначать буквой

$R$ . Для него выполнено тождество

$\begin{equation*} R(g)[y,z]=[R(g)y,R(g)z] \qquad\forall\, g\in G, \quad y,z\in\operatorname{Lie}(V). \end{equation*} \notag$

Новое представление

$R$ является продолжением исходного на

$\operatorname{Lie}(V)$ .

Пусть $\mathfrak I$ – идеал в $\operatorname{Lie}(V)$ , порожденный соотношениями вида (1.1), $\mathfrak L=\operatorname{Lie}(V)/\mathfrak I$ . Из сюръективности орбитного отображения $R_{v_{\Lambda}}\colon G\to \widehat X$ , $g\mapsto R(g)v_{\Lambda}$ следует, что

$\begin{equation*} \mathfrak I=\bigl([R(g)v_{\Lambda},\rho(x)R(g)v_{\Lambda}]\mid g\in G,\, x\in\mathfrak g\bigr). \end{equation*} \notag$

Легко видеть, что

$\mathfrak I$ – инвариантное подпространство представления

$R$ . Следовательно,

$\mathfrak I$ инвариантно относительно

$\rho$ , поэтому корректно определено представление

$\overline\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\mathfrak L)$ , заданное по формуле

$\begin{equation*} \overline\rho(x)(y+\mathfrak I)=\rho(x)y+\mathfrak I, \qquad x\in\mathfrak g, \quad y\in\operatorname{Lie}(V). \end{equation*} \notag$

Пусть $\mathfrak n_+$ – подалгебра в $\mathfrak g$ , порожденная каноническими образующими $e_1,\dots,e_n$ . Элемент $v_{\Lambda}$ – младший вектор, поэтому $V$ – линейная оболочка векторов вида $\rho(e_{j_1})\dots \rho(e_{j_s})v_{\Lambda}$ . Алгебра $\mathfrak g$ действует на $\mathfrak L$ дифференцированиями, поэтому можно построить полупрямую сумму алгебр $\mathfrak n_+$ и $\mathfrak L$ : $\widetilde{\mathfrak L}=\mathfrak L\oplus\mathfrak n_+$ . Алгебра $\widetilde{\mathfrak L}$ порождена каноническими образующими $e_1,\dots,e_n$ алгебры $\mathfrak g$ и элементом $e_0=v_{\Lambda}$ . Алгебры $\mathfrak L$ и $\mathfrak n_+$ естественным образом вкладываются в $\widetilde{\mathfrak L}$ .

Пусть $\pi_1,\dots,\pi_n$ – фундаментальные веса относительно системы $\Pi$ , а именно такие веса, что $\pi_i(h_j)=\delta_{ij}$ . Обозначим через $\Lambda_i$ числовые отметки веса $\Lambda$ . По определению $\Lambda_i=\Lambda(h_i)$ . Числовые отметки – целые неположительные числа, которые служат координатами веса $\Lambda$ в базисе фундаментальных весов $\pi_1,\dots,\pi_n$ . Пусть также $b_i=0$ , если $\Lambda_i=0$ , и $b_i=-1$ , если $\Lambda_i\ne 0$ . Имеем следующие соотношения в алгебре Ли $\widetilde{\mathfrak L}$ :

$\begin{equation} \operatorname{ad}(e_i)^{1-\Lambda_i}e_0 =0, \end{equation} \tag{2.1}$

$\begin{equation} \operatorname{ad}(e_0)^{1-b_i}e_i =0. \end{equation} \tag{2.2}$

Первое соотношение выполнено, так как

$\rho(e_i)^{1-\Lambda_i}v_{\Lambda}=0$ . Второе – поскольку

$[v_{\Lambda},\rho(e_i)v_{\Lambda}]\in \mathfrak I$ при

$\Lambda_i\ne0$ , а при

$\Lambda_i=0$ равенство

$[e_0,e_i]=0$ следует из (2.1).

Пусть $\mathfrak g(\widetilde A)$ – алгебра Каца–Муди, соответствующая матрице Картана

$\begin{equation*} \widetilde A= \left( \begin{array}{c|c} 2 & b_1 \cdots b_n \\ \hline \Lambda_1 \\ \vdots & A \\ \Lambda_n \end{array} \right), \end{equation*} \notag$

где

$b_i$ берутся по тому же принципу, что и выше. Ее конструкция описана в [3; гл. 1].

Диаграмма Дынкина, соответствующая матрице Картана $\widetilde A$ , получается добавлением к диаграмме Дынкина матрицы $A$ одной вершины (нулевой), соединенной с $i$ -й вершиной ребром кратности $|\Lambda_i|$ . При этом, если $|\Lambda_i|=|a_{i0}|>1$ , то это ребро со стрелкой, направленной к $i$ -й вершине.

Матрица $\widetilde A$ называется симметризуемой, если существует такая обратимая диагональная матрица $D$ и симметрическая матрица $B$ , что $\widetilde A=DB$ . В таком случае алгебра $\mathfrak g(\widetilde A)$ называется симметризуемой. Условие симметризуемости матрицы $\widetilde A=(a_{ij})$ равносильно выполнению двух условий:

1) $a_{ij}=0$ влечет $a_{ji}=0$ ;
2) $a_{i_1i_2}a_{i_2i_3}\dotsb a_{i_ki_1}=a_{i_2i_1}a_{i_3i_2}\dotsb a_{i_1i_k}$ для всех $i_1,\dots, i_k$ .

Для матрицы $\widetilde{A}$ , которой соответствует диаграмма Дынкина без циклов, эти условия выполнены автоматически.

Опишем строение коммутанта $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ алгебры $\mathfrak g(\widetilde A)$ . Для этого рассмотрим алгебру Ли $\widehat{\mathfrak g}$ с образующими $e_i, f_i, h_i$ , $i=0,\dots,n$ , и определяющими соотношениями

$\begin{equation*} \begin{gathered} \, [h_i, h_j]=0, \quad [e_i,f_i]=h_i, \quad [e_i, f_j]=0, \qquad i\ne j, \\ [h_i,e_j]=a_{ij}e_j, \qquad [h_i,f_j]=-a_{ij}f_j. \end{gathered} \end{equation*} \notag$

Имеется разложение в прямую сумму векторных пространств

$\widehat{\mathfrak g}=\widehat{\mathfrak n}_-\oplus\widetilde{\mathfrak h}\oplus\widehat{\mathfrak n}_+$ , где

$\widehat{\mathfrak n}_-$ и

$\widehat{\mathfrak n}_+$ – свободные алгебры Ли, порожденные

$f_0,\dots,f_n$ и

$e_0,\dots,e_n$ соответственно, а

$\widetilde{\mathfrak h}=\langle h_0,\dots,h_n\rangle$ – коммутативная алгебра Ли.

В алгебре $\widehat{\mathfrak g}$ среди идеалов, имеющих нулевое пересечение с $\widetilde{\mathfrak h}$ , существует максимальный идеал $\mathfrak m$ , причем $\mathfrak m=\mathfrak m_-\oplus\mathfrak m_+$ , где $\mathfrak m_{\pm}=\mathfrak m\cap\widehat{\mathfrak n}_{\pm}$ . Тогда $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]=\widehat{\mathfrak g}/\mathfrak m$ . В симметризуемом случае идеалы $\mathfrak m_-$ и $\mathfrak m_+$ порождаются соответственно элементами вида

$\begin{equation} (\operatorname{ad} f_{i})^{1-a_{ij}}f_{j}, \qquad i\ne j, \quad i,j=0,\dots,n, \end{equation} \tag{2.3}$

$\begin{equation} (\operatorname{ad} e_{i})^{1-a_{ij}}e_{j}, \qquad i\ne j, \quad i,j=0,\dots,n, \end{equation} \tag{2.4}$

а в несимметризуемом случае, возможно, еще некоторыми элементами в дополнение к этим.

Будем также рассматривать алгебру $\widetilde{\mathfrak g}=\widehat{\mathfrak g}/\widehat{\mathfrak m}$ , где $\widehat{\mathfrak m}$ – идеал, порожденный элементами вида (2.3) и (2.4). Имеется треугольное разложение: $\widetilde{\mathfrak g}=\widetilde{\mathfrak n}_-\oplus\widetilde{\mathfrak h}\oplus\widetilde{\mathfrak n}_+$ , где $\widetilde{\mathfrak n}_{\pm}=\widehat{\mathfrak n}_{\pm}/\widehat{\mathfrak m}_{\pm}$ , а $\widehat{\mathfrak m}_{\pm}=\widehat{\mathfrak m}\cap\widehat{\mathfrak n}_{\pm}$ . Из замечания выше следует, что в симметризуемом случае алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ и $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ совпадают, а в общем случае алгебра $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ является факторалгеброй алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ .

Введем на алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$ $\mathbb Z$ -градуировку, положив

$\begin{equation*} \deg e_0=1, \qquad \deg f_0=-1, \qquad\deg e_i=\deg f_i=0, \quad i=1,\dots, n, \qquad\deg{\widetilde{\mathfrak h}}=0. \end{equation*} \notag$

Тогда $\widetilde{\mathfrak g}=\bigoplus_{k\in\mathbb Z}\widetilde{\mathfrak g}_k$ , и имеем $\widetilde{\mathfrak g}_0=\mathfrak g+\widetilde{\mathfrak h}$ , а $\widetilde{\mathfrak g}_1$ – неприводимый $\mathfrak g$ -модуль с младшим весом $\Lambda$ .

Будем выделять вершину диаграммы Дынкина матрицы $\widetilde{A}$ , которой соответствуют образующие $e_0, f_0, h_0$ .

Введем обозначение

$\begin{equation*} \widetilde{\mathfrak g}_{>0}:=\widetilde{\mathfrak g}_{1}\oplus\widetilde{\mathfrak g}_{2}\oplus\dotsb. \end{equation*} \notag$

В симметризуемом случае будем также использовать обозначение

$\begin{equation*} [\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}=\widetilde{\mathfrak g}_{>0}. \end{equation*} \notag$

Далее будем обозначать через $\mathfrak J$ идеал в алгебре Ли $\widetilde{\mathfrak n}_+$ , порожденный элементами вида $(\operatorname{ad} e_0)^2 e_{\alpha}$ , где $e_{\alpha}$ – корневые векторы алгебры $\mathfrak g$ , отвечающие положительным корням $\alpha$ . Имеется включение $\mathfrak J\subset\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ , значит $\mathfrak J$ также является идеалом в $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ . Добавляя к порождающим нулевые элементы, можем считать, что $\mathfrak J$ порождается всевозможными элементами вида $(\operatorname{ad} e_0)^2x$ , где $x$ – лиевские одночлены вида $[e_{i_1},[e_{i_2},\dots,[e_{i_{k-1}},e_{i_k}]\dots]$ , причем среди чисел $i_1,\dots, i_k$ не встречается число $0$ .

Лемма 1. Идеал $\mathfrak J$ является $\mathfrak g$ -инвариантным.

Доказательство. Достаточно доказать, что идеал

$\mathfrak J$ инвариантен относительно порождающих

$e_i,f_i,h_i$ ,

$i=1,\dots,n$ , алгебры

$\mathfrak g$ .

Включение $[e_i,\mathfrak J]\subset\mathfrak J$ следует из определения $\mathfrak J$ . Включение $[h_i,\mathfrak J]\subset\mathfrak J$ – из того, что $h_i$ действует скалярно на весовых подпространствах $\widetilde{\mathfrak n}_+$ .

Докажем, что $[f_i,\mathfrak J]\subset\mathfrak J$ . Идеал $\mathfrak J$ порождается как векторное пространство элементами $y=[e_{i_1},\dots,[e_{i_k},\operatorname{ad}(e_0)^2x]\dots]$ , где $x\in\mathfrak n_+$ – лиевский одночлен от $e_1,\dots,e_n$ . Заметим, что $[f_i,e_j]=0$ при $i\ne j$ . Тогда

$\begin{equation*} [f_i,y]=\sum_{l\colon i_l=i}\bigl[e_{i_1},\dots,[-h_{i_l},\dots,[e_{i_k}, \operatorname{ad}(e_0)^2x]\dots]\bigr] +\bigl[e_{i_1},\dots,[e_{i_k},\operatorname{ad}(e_0)^2[f_i,x]]\dots\bigr]. \end{equation*} \notag$

Все слагаемые в этой сумме, кроме последнего, содержатся в

$\mathfrak J$ . Рассмотрим последнее слагаемое. Если

$x=e_i$ , то

$\operatorname{ad}(e_0)^2[f_i,x]=-\operatorname{ad}(e_0)^2h_i=0$ . В противном случае

$[f_i,x]\in\mathfrak n_+$ , и последнее слагаемое содержится в

$\mathfrak J$ .

Теперь мы можем сформулировать основную теорему.

Теорема 1. 1. Алгебры $\widetilde{\mathfrak L}$ и $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ изоморфны.

2. Алгебры $\mathfrak L$ и $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ изоморфны.

3. Если $\widetilde{\mathfrak g}$ такова, что $(\operatorname{ad} e_0)^2=0$ на $\mathfrak g$ , то алгебры $\mathfrak L$ и $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ изоморфны.

Доказательство. Идеал

$\mathfrak J$

$\mathfrak g$ -инвариантен, поэтому присоединенное представление индуцирует представление

$\rho\colon \mathfrak g\to\mathfrak{gl}(\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J)$ , которое в свою очередь интегрируется до представления группы:

$R\colon G\to GL(\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J)$ . В алгебре

$\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ выполнены соотношения

$[e_0,\operatorname{ad}(x)e_0]=0$ для любых

$x\in\mathfrak g$ . Имеем

$\begin{equation*} R(g)[x,y]=[R(g)x,R(g)y], \qquad g\in G, \quad x,y\in\widetilde{\mathfrak g}. \end{equation*} \notag$

Действуя на соотношения

$[e_0,\operatorname{ad}(x)e_0]=0$ операторами

$R(g)$ , получаем, что в

$\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ выполнены соотношения вида

$[R(g)e_0,\rho(y)R(g)e_0]=0$ для любых

$g\in G, y\in\mathfrak g$ . Такие соотношения порождают идеал

$\mathfrak I$ , значит

$\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ является факторалгеброй алгебры

$\mathfrak L$ .

Алгебры $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ и $\mathfrak L$ являются прямыми дополнениями к $\mathfrak n_+$ в $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ и $\widetilde{\mathfrak L}$ соответственно, значит $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ – факторалгебра алгебры $\widetilde{\mathfrak L}$ .

Как было отмечено выше, $\widetilde{\mathfrak n}_+=\widehat{\mathfrak n}_+/\widehat{\mathfrak m}_+$ . Тогда алгебра $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ совпадает с факторалгеброй $\widehat{\mathfrak n}_+/\widehat{\mathfrak J}$ , где идеал $\widehat{\mathfrak J}$ порождается элементами вида (2.4) и $(\operatorname{ad} e_0)^2x$ для всех лиевских одночленов $x$ в свободной алгебре Ли $\operatorname{Lie}(e_1,\dots, e_n)$ . В алгебре $\widetilde{\mathfrak L}$ соотношения (2.4) для $i,j\ne0$ выполнены, так как имеется вложение $\mathfrak n_+\subset\widetilde{\mathfrak L}$ , а для $i$ или $j$ равных 0 – в силу (2.1) и (2.2). Соотношения из $\mathfrak J$ выполнены, потому что $[v_{\Lambda},\rho(e_{\alpha})v_{\Lambda}]\in \mathfrak J$ . Таким образом, $\widetilde{\mathfrak L}$ является факторалгеброй $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ . Тем самым доказан п. 1 теоремы.

Второе утверждение следует из первого, так как алгебры $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ и $\mathfrak L$ являются идеалами, порожденными $e_0$ , в $\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ и $\widetilde{\mathfrak L}$ соответственно. Третье утверждение следует из второго, если учесть, что идеал $\mathfrak J$ в этом случае тривиален.

В следующем следствии простые корни простой алгебры Ли $\mathfrak g$ пронумерованы в соответствии с таблицей $\operatorname{Fin}$ из [3; § 4.8], а $\pi_i$ – фундаментальные веса.

Следствие 1. В следующих случаях $\mathfrak L\simeq[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}$ .

1) Алгебра $\mathfrak g$ простая типа $X_n$ , причем

(a) $X_n=A_n$ , $\Lambda=-k\pi_i$ , $k\in\mathbb N$ , $i=1,\dots,n$ ;
(b) $X_n=B_n$ , $\Lambda=-k\pi_1$ , $k\in\mathbb N$ ;
(c) $X_n=C_n$ , $\Lambda=-k\pi_n$ , $k\in\mathbb N$ ;
(d) $X_n=D_n$ , $\Lambda=-k\pi_i$ , $k\in\mathbb N$ , $i=1,n-1,n$ ;
(e) $X_n=E_6$ , $\Lambda=-k\pi_i$ , $k\in\mathbb N$ , $i=1,5$ ;
(f) $X_n=E_7$ , $\Lambda=-k\pi_6$ , $k\in\mathbb N$ .

Эти веса, имеющие вид $\Lambda=-k\pi_i$ , характеризуются тем, что в разложении $\theta=\sum_{j=1}^n a_j\alpha_j$ старшего корня алгебры $\mathfrak g$ в сумму простых корней выполнено условие $a_i=1$ .

2) Алгебра $\mathfrak g$ раскладывается в прямую сумму простых идеалов, и представление каждого из них с младшим вектором $v_{\Lambda}$ (являющееся неприводимым слагаемым ограничения исходного представления на этот идеал) является одним из представлений из списка выше.

Доказательство. Проверим, что выполняется условие равенства нулю

$(\operatorname{ad} e_0)^2$ на

$\mathfrak g$ . Это достаточно проверить для каждого простого идеала, в прямую сумму которых раскладывается

$\mathfrak g$ .

Пусть $X_n$ и $\Lambda=-k\pi_i$ – соответственно тип алгебры Ли и младший вес представления из списка. Тогда $(\operatorname{ad} e_0)^2 e_i=0$ и $[e_0,e_j]=0$ , $j\ne i$ . Пусть $\theta=a_1\alpha_1+\dots+a_n\alpha_n$ – старший корень алгебры Ли типа $X_n$ . Для рассматриваемых случаев $a_i=1$ . Значит, и для любого положительного корня $\alpha$ алгебры $\mathfrak g$ имеем $\alpha=a_1\alpha_1+\dots+a_n\alpha_n$ , где $a_i$ равно 0 или 1. Тогда $\mathfrak n_+$ порождается как векторное пространство элементами $x=[e_{i_1},[e_{i_2},[\dots,[e_{i_{k-1}},e_{i_k}]\dots]$ , причем среди $i_1,\dots,i_k$ число $i$ встречается не более одного раза. Значит, достаточно доказать, что $(\operatorname{ad} e_0)^2x=0$ для любого элемента $x$ такого вида.

Доказательство проведем индукцией по $k$ .

База: $k=1$ . $(\operatorname{ad} e_0)^2e_i=0$ следует из соотношений Серра (2.4) в алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$ .

Шаг: пусть $(\operatorname{ad} e_0)^2x=0$ . Тогда

$\begin{equation} \begin{gathered} \, (\operatorname{ad} e_0)^2[e_j,x]=[(\operatorname{ad} e_0)^2e_j,x]+2[[e_0,e_j],[e_0,x]]+[e_j,(\operatorname{ad} e_0)^2x]. \end{gathered} \end{equation} \tag{2.5}$

Покажем, что

$(\operatorname{ad} e_0)^2[e_j,x]=0$ . Для этого рассмотрим два случая.

1) $j\ne i$ . Тогда в (2.5) первые два слагаемых равны 0 из условия $[e_0,e_j]=0$ , а третье – по предположению индукции.
2) $j=i$ . В таком случае среди чисел $i_1,\dots,i_k$ не встретилось $i$ . Заметим, что тогда $[e_0,x]=0$ , потому что $e_0$ коммутирует со всеми $e_{i_s}$ . Тогда в (2.5) второе и третье слагаемое равны 0. Первое слагаемое равно 0 из соотношения Серра $(\operatorname{ad} e_{0})^2e_i=0$ .

Тогда из п. 3 теоремы 1 следует, что

$\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ . Заметим, что во всех рассматриваемых случаях матрица

$\widetilde A$ симметризуема, значит

$\widetilde{\mathfrak g}_{>0}\simeq[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}$ . Тогда

$\mathfrak L\simeq[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}$ .

Пример 1. Случай $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_2$ .

Пусть $\{e,h,f\}$ – стандартный базис алгебры $\mathfrak{sl}_2$ . Из теории представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ следует, что младший вес $\Lambda$ отождествляется с неположительным целым числом $\Lambda(h)$ . Из следствия 1, 1) имеем $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ , где

$\begin{equation*} \widetilde{A}=\begin{pmatrix} 2&-1 \\ \Lambda&2 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

если

$\Lambda\ne0$ , и

$\begin{equation*} \widetilde{A}= \begin{pmatrix}2&0\\ 0&2 \end{pmatrix} \end{equation*} \notag$

при

$\Lambda=0$ . При

$|\Lambda|\leqslant 3$ алгебра

$\mathfrak L$ конечномерна, а при

$|\Lambda|\geqslant 4$ – бесконечномерна.

Предложение 1. Пусть диаграмма Дынкина обобщенной матрицы Картана $\widetilde{B}$ получается из диаграммы для матрицы $\widetilde{A}$ добавлением вершин и увеличением кратностей ребер (без изменения направления стрелок), в том числе добавлением новых ребер. Тогда алгебра $\mathfrak L_{\widetilde{A}}$ , соответствующая матрице $\widetilde{A}$ , является факторалгеброй алгебры $\mathfrak L_{\widetilde{B}}$ , соответствующей матрице $\widetilde{B}$ .

Доказательство. Занумеруем вершины диаграммы

$\widetilde{B}$ числами

$0,\dots,n$ так, что выделена вершина с номером 0, а диаграмма

$\widetilde{A}$ получается удалением вершин

$k+ 1, \dots,n$ , всех ребер, выходящих из них, а также уменьшением кратностей некоторых ребер из оставшихся (возможно, до нуля).

Профакторизуем алгебру $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde B}\simeq\widetilde{\mathfrak n}_+/\mathfrak J$ по идеалу, порожденному элементами $e_{k+1}$ , $\dots,e_n$ . Мы получим алгебру $\mathfrak N$ , порожденную элементами $e_0,\dots, e_k$ , определяющие соотношения которых происходят из тех определяющих соотношений в $\widetilde{\mathfrak n}_+$ и одночленов из $\mathfrak J$ , которые не содержат $e_{k+1},\dots,e_n$ . Ребру, соединяющему $i$ -ю и $j$ -ю вершины, соответствуют два порождающих элемента идеала соотношений: $(\operatorname{ad} e_i)^{1-a_{ij}}e_j$ и $(\operatorname{ad} e_j)^{1-a_{ji}}e_i$ . При уменьшении кратности ребра числа $a_{ij}$ и $a_{ji}$ могут только уменьшиться по модулю. Тогда идеал соотношений увеличится, и $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde A}$ является факторалгеброй алгебры $\mathfrak N$ , а значит, и $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde B}$ . Учитывая, что алгебры $\mathfrak L_{\widetilde A}$ и $\mathfrak L_{\widetilde B}$ являются идеалами, порожденными $e_0$ в $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde{A}}$ и $\widetilde{\mathfrak L}_{\widetilde B}$ соответственно, получим требуемое утверждение.

Почти во всех случаях алгебра $\mathfrak L$ бесконечномерна. Более точно, имеет место

Предложение 2. Пусть в диаграмме Дынкина, соответствующей матрице $\widetilde{A}$ , из выделенной вершины выходит более трех ребер (с учетом кратностей). Тогда алгебра $\mathfrak L$ бесконечномерна.

Доказательство. Применяя предложение 1, можем уменьшить кратности ребер, выходящих из выделенной вершины, чтобы из нее выходило ровно 4 ребра. Удалим все вершины, не соединенные ребрами с выделенной вершиной, а затем удалим ребра, соединяющие невыделенные вершины. Этим действиям соответствует переход к факторалгебре алгебры

$\mathfrak L$ . Диаграмма Дынкина примет один из следующих пяти видов:

Во всех этих случаях применимо следствие 1 из теоремы 1. Cледовательно, в них алгебра $\mathfrak L$ изоморфна алгебре $[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]_{>0}$ , которая бесконечномерна, так как построенные диаграммы – аффинного типа.

Главная сложность при описании алгебры $\mathfrak L$ заключается в том, что условие $(\operatorname{ad} e_0)^2=0$ на $\mathfrak g$ во многих случаях не выполнено. В таких случаях нужно найти пересечения $\mathfrak J\cap\widetilde{\mathfrak g}_i$ .

Пример 2. Пусть $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_3$ , а $\widetilde A=A_2^{(1)}$ – обобщенная матрица Картана аффинного типа,

$\begin{equation*} \widetilde A= \begin{pmatrix} 2&-1&-1\\ -1&2&-1\\ -1&-1&2 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Имеем

$\begin{equation*} (\operatorname{ad} e_{0})^{2}e_{1}=(\operatorname{ad} e_{0})^{2}e_{2}=0, \end{equation*} \notag$

что непосредственно следует из вида матрицы

$A_{2}^{(1)}$ , но при этом

$(\operatorname{ad} e_{0})^{2}[e_{1},e_{2}]\ne0$ . Действительно,

$\widetilde{\mathfrak g}$ – коммутант нескрученной аффинной алгебры, в явной конструкции которой как расширения алгебры петель

$\mathfrak{sl}_3\otimes\mathbb C[t,t^{-1}]$ (см. [3; гл. 7]) имеем

$\begin{equation*} e_{0}= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ t&0&0 \end{pmatrix}, \qquad e_{1}= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad e_{2}= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Тогда

$\begin{equation*} (\operatorname{ad} e_{0})^{2}[e_{1},e_{2}]= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ -2t^{2}&0&0 \end{pmatrix}\ne0. \end{equation*} \notag$

В таком случае алгебра

$\mathfrak L$ не совпадает с

$\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ .

Замечание 1. Предположим, что $R$ – неприводимое представление полупростой группы Ли $G$ с младшим вектором $e_0$ веса $\Lambda$ , а $\mathfrak L_G$ – алгебра Ли, ему соответствующая. Пусть $S\subset G$ – полупростая подгруппа Ли. Тогда слагаемое $\widetilde{\mathfrak g}_1$ разлагается в прямую сумму $S$ -модулей, и $e_0$ является младшим вектором некоторого веса $\mu$ в одном из этих модулей. Пусть $\mathfrak s=\mathfrak n_-'\oplus\mathfrak h'\oplus\mathfrak n_+'$ – треугольное разложение алгебры $\mathfrak s$ , причем его слагаемые содержатся в соответствующих слагаемых треугольного разложения алгебры $\mathfrak g$ . Рассмотрим подалгебру $\mathfrak M$ , порожденную в $\widetilde{\mathfrak L}_G$ подалгеброй $\mathfrak n_+'$ и элементом $e_0$ . В ней выполнены соотношения

$\begin{equation*} (\operatorname{ad} e_i')^{1-\mu_i}e_0=0, \qquad (\operatorname{ad} e_0)^2\mathfrak n_+'=0, \end{equation*} \notag$

где

$e_i'$ – канонические образующие в

$\mathfrak s$ , а

$\mu_i$ – числовые отметки веса

$\mu$ . Значит, эта подалгебра является факторалгеброй алгебры

$\widetilde{\mathfrak L}_S$ , соответствующей представлению

$S$ с младшим весом

$\mu$ .

В следующем примере матрица $\widetilde A$ неопределенного типа.

Пример 3. Алгебра, соответствующая представлению группы Ли $\mathrm{SL}_3$ с младшим весом $\Lambda=-\pi_1-2\pi_2$ , бесконечномерна.

Тензорное представление трех неприводимых $\mathrm{SL}_3$ -модулей с младшим весом $-\pi_1$ является неприводимым $\mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3$ -модулем, которому соответствует диаграмма Дынкина следующего вида:

Группа $S=\mathrm{SL}_3$ вкладывается в $G=\mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3$ диагонально таким образом, что положительная часть треугольного разложения алгебры $\mathfrak{sl}_3$ порождается элементами $e_1'=e_1+e_3+e_5$ и $e_2'=e_2+e_4+e_6$ . Тогда элемент $e_0$ является младшим вектором $\mathrm{SL}_3$ -модуля с младшим весом $-\pi_1-2\pi_2$ . В соответствии с замечанием выше будем обозначать соответствующую представлению группы $\mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3\times \mathrm{SL}_3$ алгебру через $\widetilde{\mathfrak L}_G$ , а алгебру, соответствующую представлению подгруппы $\mathrm{SL}_3$ – через $\widetilde{\mathfrak L}_S$ . Тогда из замечания выше следует, что подалгебра $\mathfrak M$ , порожденная в $\widetilde{\mathfrak L}_G$ элементами $e_0$ , $e_1+e_3+e_5$ и $e_2+e_4+e_6$ , является факторалгеброй алгебры $\widetilde{\mathfrak L}_S$ .

Алгебра $\widetilde{\mathfrak L}_G$ является коммутантом нескрученной аффинной алгебры типа $E_6^{(1)}$ , и в ее явной конструкции имеем при $i\ne3$ : $e_i=1\otimes\widetilde e_i$ , где $\widetilde e_i$ – канонические образующие конечномерной алгебры Ли типа $E_6$ , а $e_3=t\otimes\widetilde e_{\theta}$ , где $\widetilde e_{\theta}$ – корневой вектор, отвечающий младшему корню $\theta=-\alpha_1-2\alpha_2-3\alpha_0-2\alpha_4-2\alpha_5-\alpha_6$ алгебры $E_6$ .

Докажем, что $\mathfrak M$ – бесконечномерная подалгебра в $\widetilde{\mathfrak L}_G$ . Для этого докажем по индукции, что $t^k\otimes e_0\in\mathfrak M$ для любого $k\in\mathbb N$ . База индукции очевидна.

Элемент $t^k\otimes e_0$ является младшим вектором $\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3$ -модуля веса $-\pi_2-\pi_4-\pi_5$ . Минимальный положительный мнимый корень в алгебре $\widetilde{\mathfrak L}_G$ равен

$\begin{equation*} \delta=3\alpha_0+\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3+2\alpha_4+2\alpha_5+\alpha_6. \end{equation*} \notag$

Тогда имеем

$\begin{equation*} (\operatorname{ad}[e_1',e_2'])^3(t^k\otimes e_0)=e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}\in\mathfrak M, \end{equation*} \notag$

где

$e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}$ – корневой вектор алгебры

$\widetilde{\mathfrak L}_G$ .

По теореме 8.7 из [3] слагаемые $\mathfrak g_{3k+2}$ и $\mathfrak g_{-1}$ в аффинной алгебре типа $E_6^{(1)}$ изоморфны как $\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3\oplus\mathfrak{sl}_3$ -модули, а из предложения 8.6 из [3] модуль $\mathfrak g_{-1}$ двойственен модулю $\mathfrak g_1$ . Поэтому $\mathfrak g_{3k+2}$ – модуль с младшим весом $-\pi_1-\pi_3-\pi_6$ . Элемент $[e_0,e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}]$ содержится в нем. Имеем

$\begin{equation*} (\operatorname{ad} e_1')(\operatorname{ad} e_2')^2[e_0,e_{k\delta+\alpha_0+\dots+\alpha_6}]=e_{\varphi}\in\mathfrak M, \end{equation*} \notag$

где

$\begin{equation*} \varphi=k\delta+2\alpha_0+\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3 +2\alpha_4+2\alpha_5+\alpha_6=(k+1)\delta-\alpha_0. \end{equation*} \notag$

Значит,

$e_{\varphi}=t^{k+1}\otimes e_{-\alpha_0}$ . Тогда

$(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\varphi}=t^{k+1}\otimes e_0\in\mathfrak M$ .

Таким образом, алгебра $\mathfrak M$ бесконечномерна. Значит, $\mathfrak L_S$ – бесконечномерная алгебра Ли.

Следующая лемма вместо п. 2) теоремы 1 описывают алгебру $\mathfrak L$ в случае, когда модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим.

Лемма 2. Пусть $\widetilde{\mathfrak g}_2$ – неприводимый $\mathfrak g$ -модуль, и $(\operatorname{ad} e_0)^2\ne0$ на $\mathfrak g$ . Тогда $\mathfrak L$ коммутативна.

Доказательство. По теореме 1

$\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J$ . Найдется такой элемент

$x\in\mathfrak g$ , что

$[e_0,[e_0,x]]\in \mathfrak J$ , но

$[e_0,[e_0,x]]$ – ненулевой элемент

$\widetilde{\mathfrak g}_2$ . Тогда из неприводимости

$\widetilde{\mathfrak g}_2$ следует, что

$\widetilde{\mathfrak g}_2\subset \mathfrak J$ . Но

$\widetilde{\mathfrak g}_2=[\widetilde{\mathfrak g}_1,\widetilde{\mathfrak g}_1]$ , а

$\widetilde{\mathfrak g}_1$ порождает алгебру Ли

$\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ . Таким образом, алгебра

$\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_1$ коммутативна.

Пусть алгебра $\widetilde{\mathfrak g}$ конечномерна. Тогда модуль $\widetilde{\mathfrak g}_i$ разлагается в прямую сумму неприводимых подмодулей, каждый из которых является прямой суммой корневых подпространств алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ , отвечающих корням $\alpha=\sum k_i\alpha_i$ с фиксированными коэффициентами $k_i$ при простых корнях, не содержащихся в системе простых корней подалгебры $\mathfrak g$ (см. [4; п. 3.3.5]). В рассматриваемом случае $\alpha_0$ – единственный такой простой корень, и все корневые подпространства в $\widetilde{\mathfrak g}_i$ отвечают корням с $k_0=i$ . Значит, модули $\widetilde{\mathfrak g}_i$ неприводимы при всех $i$ . Воспользуемся леммой 2 для описания алгебры $\mathfrak L$ в случае конечномерной алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ .

Теорема 2. Пусть $\widetilde{\mathfrak g}$ – простая конечномерная алгебра Ли. Тогда, если $\alpha_0$ – длинный корень, то $\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ . Если $\alpha_0$ – короткий корень, то $\mathfrak L$ коммутативна.

Замечание 2. Если все корни равной длины, то они все считаются длинными.

Доказательство теоремы 2. Пусть

$\alpha_0$ – длинный корень. Покажем, что для любого положительного корня

$\beta$ алгебры

$\widetilde{\mathfrak g}_0$ вектор

$2\alpha_0+\beta$ не является корневым в алгебре

$\widetilde{\mathfrak g}$ . Ограничение на вещественную форму подалгебры

$\mathfrak h$ инвариантной билинейной формы

$(\cdot\,|\,\cdot)$ положительно определено, поэтому из неравенства треугольника получаем, что

$\begin{equation*} (2\alpha_0+\beta \mid 2\alpha_0+\beta)>(\alpha_0\mid\alpha_0). \end{equation*} \notag$

Значит,

$2\alpha_0+\beta$ не может быть корнем алгебры

$\widetilde{\mathfrak g}$ . Тогда

$(\operatorname{ad} e_0)^2=0$ на

$\mathfrak g$ , и по теореме 1 имеем

$\mathfrak L\simeq\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ .

Пусть корень $\alpha_0$ – короткий, и существует корень $\alpha_k$ большей длины. Из классификации простых алгебр Ли следует, что тогда в диаграмме Дынкина алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ найдется поддиаграмма вида

(мы учитываем, в рассматриваемых нами диаграммах Дынкина не может быть ребра, стрелка которого указывает на выделенную вершину).

Тогда в алгебре $\widetilde{\mathfrak g}$ имеется корень $\beta=2\alpha_1+\dots+2\alpha_{k-1}+\alpha_k$ . При этом $\beta+2\alpha_0$ тоже является корнем. Значит, $(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\beta}\ne0$ . Тогда из леммы 2 следует, что $\widetilde{\mathfrak g}_2\subset \mathfrak J$ , и алгебра $\mathfrak L$ коммутативна.

Случай длинного корня был рассмотрен в работе [2]. В этом случае алгебра $\mathfrak L$ изоморфна алгебре символов распределения $\mathcal V$ , порожденного касательными векторами к минимальным рациональным кривым на однородном многообразии $\widetilde G/\widetilde P$ , где $\widetilde G$ – простая группа Ли с касательной алгеброй $\widetilde{\mathfrak g}$ , а $\widetilde P$ – максимальная параболическая подгруппа, соответствующая выделенной вершине.

3. Случай аффинных алгебр Каца–Муди

В этом разделе будем считать, что $\widetilde A$ – матрица Картана аффинной алгебры Ли типа $X_N^{(r)}$ . Ей соответствует диаграмма Дынкина из списков $\operatorname {Aff}1$ – $\operatorname {Aff}3$ в [3; § 4.8]. В алгебре $\mathfrak g(\widetilde A)$ имеется единственный положительный мнимый корень $\delta$ , такой, что все положительные мнимые корни имеют вид $k\delta$ , $k\in\mathbb N$ . Числовые отметки $a_i$ при вершинах диаграммы Дынкина являются координатами мнимого корня $\delta$ в базисе простых корней алгебры $\mathfrak g(\widetilde A)$ : $\delta=\sum a_i\alpha_i$ .

Напомним конструкцию алгебры $\mathfrak g(\widetilde A)$ как расширения скрученной алгебры петель.

По предложению 8.6 из [3], простая конечномерная алгебра Ли $\mathfrak g(X_N)$ разлагается в прямую сумму $\mathfrak g(X_N)=\mathfrak g_{\overline 0}\oplus\dots\oplus \mathfrak g_{\overline{m-1}}$ . Это разложение является градуировкой алгебры $\mathfrak g(X_N)$ по модулю $m=ra_0$ , и слагаемые $\mathfrak g_{\overline i}$ являются собственными подпространствами некоторого автоморфизма $\sigma$ порядка $m$ , причем

а) $\mathfrak g_{\overline 0}=\mathfrak g$ является полупростой алгеброй Ли. Ее диаграмма Дынкина является поддиаграммой аффинной диаграммы $X_N^{(r)}$ , состоящей из вершин $1,\dots, n$ ;

б) $\mathfrak g_{\overline 1}$ – неприводимый $\mathfrak g_{\overline 0}$ -модуль с младшим весом $\Lambda$ , а $\mathfrak g_{\overline {m-1}}$ – двойственный неприводимый $\mathfrak g_{\overline 0}$ -модуль со старшим весом $-\Lambda$ .

По теореме 8.7 из [3] алгебра $(\bigoplus_{j\in\mathbb Z}t^j\otimes \mathfrak g_{\overline j})\oplus \mathbb C K$ с коммутатором, заданным по формуле

$\begin{equation} [t^i\otimes x_1 +\lambda_1K, t^j\otimes x_2 +\lambda_2K]=t^{i+j}\otimes[x_1,x_2] +\frac{i}{m}\delta_{i,-j}(x_1| x_2)K, \end{equation} \tag{3.1}$

где

$(\cdot\,|\,\cdot)$ – инвариантная билинейная форма на алгебре

$\mathfrak g(X_N)$ , изоморфна производной алгебре

$\widetilde{\mathfrak g}=[\mathfrak g(\widetilde A),\mathfrak g(\widetilde A)]$ , причем градуировка на ней задается, если положить

$\deg t=1$ ,

$\deg x=0$ для

$x\in\mathfrak g$ ,

$\deg K=0$ . Тогда

$\begin{equation*} \widetilde{\mathfrak g}_0=\mathfrak g_{\overline 0}\oplus\mathbb CK, \qquad \widetilde{\mathfrak g}_{i}=t^i\otimes\mathfrak g_{\overline i}, \quad i\ne0. \end{equation*} \notag$

Следующая лемма (см. [4; п. 3.3.11]) описывает строение

$\mathfrak g$ -модулей

$\widetilde{\mathfrak g}_i$ .

Лемма 3. Имеется разложение

$\begin{equation*} \mathfrak g=\mathfrak g^{(0)}\oplus\dots\oplus\mathfrak g^{(p)} \end{equation*} \notag$

в прямую сумму идеалов и разложение

$\begin{equation*} \widetilde{\mathfrak g}_i=\widetilde{\mathfrak g}_i^{(1)}\oplus\dots\oplus\widetilde{\mathfrak g}_i^{(p)} \end{equation*} \notag$

в сумму неприводимых

$\mathfrak g$ -подмодулей, причем

$\mathfrak g^{(j)}$ действует точно на

$\widetilde{\mathfrak g}_i^{(j)}$ и

$\begin{equation*} [\mathfrak g^{(j)},\widetilde{\mathfrak g}_i^{(k)}]=0 \qquad\textit{при}\quad j\ne k. \end{equation*} \notag$

Идеалы $\mathfrak g^{(j)}$ являются суммами простых идеалов, в сумму которых $\mathfrak g$ разлагается однозначно. При этом некоторые идеалы $\mathfrak g^{(j)}$ могут быть нулевыми. В таком случае соответствующие им подмодули $\widetilde{\mathfrak g}_i^{(j)}$ одномерны.

Идеал $\mathfrak J$ порождается элементами вида $(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\alpha}$ , где $e_{\alpha}$ – корневые векторы алгебры $\mathfrak g_0$ . Таким образом, $\mathfrak J$ порождается некоторыми элементами модуля $\widetilde{\mathfrak g}_2$ . Неприводимые подмодули $\widetilde{\mathfrak g}_2$ либо целиком содержатся в идеале $\mathfrak J$ , либо пересекаются с ним по нулю. Для описания алгебры $\mathfrak L$ необходимо изучить, какие из них попадают в идеал $\mathfrak J$ .

Следующая лемма описывает некоторые случаи, в которых модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ является неприводимым.

Лемма 4. Пусть автоморфизм $\sigma$ имеет порядок $m=1$ или $m=3$ . Тогда модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим. Если же $m=2$ , то $\mathfrak g$ -модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ изоморфен $\mathfrak g$ и неприводим тогда и только тогда, когда алгебра $\mathfrak g$ проста.

Доказательство. Если

$m=1$ или

$m=3$ , то

$\widetilde{\mathfrak g}_2=t^2\otimes \mathfrak g_{\overline{m-1}}$ . Тогда неприводимость модуля

$\widetilde{\mathfrak g}_2$ следует из п. б) выше. В случае

$m=2$ имеем

$\widetilde{\mathfrak g}_2=t^2\otimes \mathfrak g_{\overline 0}$ , и в модуле

$\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводимых компонент ровно столько же, на сколько простых идеалов разлагается алгебра

$\mathfrak g_{\overline0}$ .

Пусть $n$ – ранг алгебры $\mathfrak g$ . Разобьем множество индексов $\{1,\dots,n\}$ на множества $I_0,\dots,I_p$ , где в $I_k$ входят те индексы $j$ , для которых $\alpha_j$ – простые корни алгебры Ли $\mathfrak g^{(k)}$ .

Нам пригодится предложение 3.2.2 из [4] в двойственной формулировке.

Лемма 5. Пусть вес $\lambda=\Lambda+\alpha_{i_1}+\dots+\alpha_{i_k}$ , где $\Lambda$ – младший вес неприводимого представления $\rho$ полупростой алгебры Ли, а $\alpha_{i_j}$ – некоторые простые корни, антидоминантен. Тогда $\lambda$ является весом представления $\rho$ .

В частности, если младший вес представления принадлежит решетке корней, то 0 является весом представления.

Весовые векторы представления алгебры $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ являются корневыми векторами алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ , причем векторами нулевого веса являются только векторы, отвечающие мнимым корням $k\delta$ . При $a_0$ , равном 1 или 2, в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ существует корень вида $({2}/{a_0})\delta$ , который является нулевым весовым представления $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ . Тогда $\widetilde{\mathfrak g}_2$ раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей $\widetilde{\mathfrak g}_2=\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}\oplus\dots\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(p)}$ , причем $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(k)}$ порождается как векторное пространство корневыми векторами, отвечающими корням вида $({2}/{a_0})\delta+\sum_{i\in I_k}c_i\alpha_i$ .

Из леммы 5 вытекает следующее утверждение (лемма 3.3.9 из [4]).

Лемма 6. Пусть все веса линейного представления полупростой алгебры Ли однократны и сравнимы между собой по модулю решетки корней. Тогда это представление неприводимо.

Поскольку в алгебре $\mathfrak g(\widetilde{A})$ кратными корнями являются только мнимые, которые имеют вид $k\delta=k\sum a_i\alpha_i$ , $k\in\mathbb Z\setminus\{0\}$ , то при $a_0>2$ в $\widetilde{\mathfrak g}_2$ нет кратных корней алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ . Тогда, применив лемму 6, получим следующее утверждение.

Лемма 7. При $a_0>2$ модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим.

Далее для удобства обозначений зафиксируем нумерацию вершин диаграммы Дынкина $\widetilde{A}$ в соответствии с таблицами $\operatorname {Aff}1$ – $\operatorname {Aff}3$ в [3; § 4.8] и будем считать, что выделена ее произвольная вершина, а не нулевая, как ранее.

В следующей теореме описаны алгебры $\mathfrak L$ в случае аффинной матрицы Картана $\widetilde{A}$ .

Теорема 3. 1. В следующих случаях алгебра $\mathfrak L$ коммутативна.

(a) Матрица $\widetilde{A}$ соответствует диаграмме Дынкина из таблицы $\operatorname{Aff}1$ . Алгебра $\mathfrak g$ простая, выделена вершина с числовой отметкой, равной 1.

(b) Диаграмма Дынкина имеет следующий вид:

2. Следующие диаграммы Дынкина исчерпывают случаи, когда алгебра $\mathfrak L$ конечномерна, но некоммутативна:

В этих случаях алгебра $\mathfrak L$ нильпотентна степени 2.

3. В остальных случаях $\mathfrak L$ бесконечномерна и изоморфна алгебре $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ .

Доказательство. В случаях из п. 1, a) автоморфизм

$\sigma$ имеет порядок, равный 1. Значит, модуль

$\widetilde{\mathfrak g}_2$ неприводим по лемме 4. Докажем, что

$(\operatorname{ad} e_0)^2\ne0$ на

$\mathfrak g$ . Тогда коммутативность алгебры

$\mathfrak L$ будет следовать из леммы 2. Пуcть

$\theta$ – старший корень алгебры

$\mathfrak g$ . В описанной выше конструкции алгебры

$\widetilde{\mathfrak g}$ имеем

$e_0=t\otimes e_{-\theta}$ . Тогда

$(\operatorname{ad} e_0)^2e_{\theta}=-2t^2\otimes e_{-\theta}\ne0$ . Частный случай этого вычисления приведен выше в примере 3.

В случаях из п. 1, b), кроме $C_l^{(1)}$ , модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ также неприводим по лемме 4. Действительно, в случаях $F_4^{(1)}$ , $A_{2l-1}^{(2)}$ и $E_6^{(2)}$ порядок автоморфизма $\sigma$ равен 2 и алгебра $\mathfrak g$ проста, а в случае $D_4^{(3)}$ порядок автоморфизма $\sigma$ равен 3. В этих диаграммах выделена $k$ -я вершина, $k=4$ в случае $F_4^{(1)}$ и $k=0$ в остальных случаях. Как и в п. 1, a), достаточно показать, что $(\operatorname{ad} e_k)^2\ne0$ на $\mathfrak g$ . Для этого возьмем такой корень $\beta$ алгебры $\mathfrak g$ , что $\beta+2\alpha_k$ является корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ . Тогда $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\beta}\ne0$ .

В случае $F_4^{(1)}$ возьмем $\beta=\alpha_2+2\alpha_3$ ;

В случае $A_{2l-1}^{(2)}$ : $\beta=2\alpha_2+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l$ ;

В случае $E_6^{(2)}$ : $\beta=2\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$ ;

В случае $D_4^{(3)}$ : $\beta=2\alpha_1+\alpha_2$ .

В случае $C_l^{(1)}$ $\widetilde{\mathfrak g}_2$ изоморфен $\mathfrak g$ как $\mathfrak g$ -модуль. Алгебра Ли $\mathfrak g$ разлагается в прямую сумму двух простых идеалов $\mathfrak g^{(1)}$ и $\mathfrak g^{(2)}$ , являющихся простыми алгебрами Ли типов $C_k$ и $C_{l-k}$ соответственно. Значит $\widetilde{\mathfrak g}_2$ разлагается в прямую сумму двух неприводимых подмодулей.

Имеем $\delta=\alpha_0+2\alpha_1+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l$ . Как было отмечено выше, в первом подмодуле содержатся корневые векторы, отвечающие корням вида $\delta+c_0\alpha_0+\dots+c_{k-1}\alpha_{k-1}$ , а во втором – корневые векторы, отвечающие корням вида $\delta+c_{k+1}\alpha_{k+1}+\dots+c_{l}\alpha_{l}$ . Пусть

$\begin{equation*} \theta_1=\alpha_0+2\alpha_1+\dots+2\alpha_{k-1} \end{equation*} \notag$

– старший корень алгебры

$\mathfrak g^{(1)}$ , а

$\begin{equation*} \theta_2=2\alpha_{k+1}+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l \end{equation*} \notag$

– старший корень алгебры

$\mathfrak g^{(2)}$ . Корни

$\theta_1$ ,

$\theta_2$ и

$\alpha_k$ являются вещественными корнями алгебры Ли

$\widetilde{\mathfrak g}$ , причем

$\theta_1+2\alpha_k$ и

$\theta_2+2\alpha_k$ также являются корнями. Значит,

$x=(\operatorname{ad} e_k)^2 e_{\theta_1}\ne0$ и

$y=(\operatorname{ad} e_k)^2 e_{\theta_2}\ne0$ в алгебре

$\widetilde{\mathfrak g}$ . При этом

$x$ – корневой вектор, отвечающий корню

$\theta_1+2\alpha_k=\delta-2\alpha_{k+1}-\dots-2\alpha_{l-1}-\alpha_l$ . Поэтому

$x$ содержится в подмодуле

$\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ . Аналогично,

$y$ отвечает корню

$\delta-\alpha_0-2\alpha_1-\dots-2\alpha_{k-1}$ и содержится в подмодуле

$\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ . Значит, оба неприводимых подмодуля содержатся в идеале

$\mathfrak J$ . Поэтому

$\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_{>0}/\mathfrak J=\widetilde{\mathfrak g}_1$ – коммутативная алгебра Ли.

Рассмотрим случаи п. 2.

В этом случае алгебра $\mathfrak g$ разлагается в прямую сумму идеалов $\mathfrak p_1$ и $\mathfrak p_2$ . Идеал $\mathfrak p_1$ является алгеброй типа $A_1$ с простым корнем $\alpha_0$ , а $\mathfrak p_2$ – алгебра типа $B_3$ с простыми корнями $\alpha_2$ , $\alpha_3$ и $\alpha_4$ .

В алгебре $\mathfrak p_2$ имеется ненулевой элемент $e_{\beta}=[e_2,[e_2,e_3]]$ , отвечающий вещественному корню $\beta=2\alpha_2+\alpha_3$ . Заметим, что $\theta=\beta+2\alpha_1$ также является корнем алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ , поэтому $e_{\theta}=(\operatorname{ad} e_1)^2e_{\beta}$ – ненулевой элемент, соответствующий корню $\theta$ . Элемент $e_{\theta}$ является младшим вектором $\mathfrak g$ -модуля $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ , поэтому $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}\subset \mathfrak J$ . Имеем

$\begin{equation*} \theta(h_0)=-2, \qquad \theta(h_2)=0, \qquad \theta(h_3)=0, \qquad \theta(h_4)=-1. \end{equation*} \notag$

Таким образом,

$\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ является тензорным произведением представления

$A_1$ размерности 3 с младшим весом

$-2\pi_0$ и представления

$B_3$ размерности 7 с младшим весом

$-\pi_4$ . Значит,

$\dim\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}=3\cdot7=21$ .

Покажем, что в модуле $\widetilde{\mathfrak g}_2$ содержится еще один неприводимый одномерный подмодуль $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ . Модули $\mathfrak g$ , $\widetilde{\mathfrak g}_1$ , $\widetilde{\mathfrak g}_2$ , $\widetilde{\mathfrak g}_3$ , изоморфны собственным подпространствам автоморфизма $\sigma$ алгебры $E_6$ порядка 4. Таким образом,

$\begin{equation*} \dim\mathfrak g+\dim\widetilde{\mathfrak g}_1+\dim\widetilde{\mathfrak g}_2+\dim\widetilde{\mathfrak g}_3=\dim E_6=78. \end{equation*} \notag$

Модуль

$\mathfrak g$ является прямой суммой алгебр типов

$A_1$ и

$B_3$ , значит,

$\dim\mathfrak g= 3+21=24$ . Модуль

$\widetilde{\mathfrak g}_1$ является тензорным произведением неприводимого представления алгебры

$A_1$ размерности 2 с младшим весом

$-\pi_0$ и неприводимого представления алгебры

$B_3$ размерности 8 с младшим весом

$-\pi_2$ . Значит,

$\dim\widetilde{\mathfrak g}_1=2\cdot8=16$ . Представление

$\mathfrak g$ в

$\widetilde{\mathfrak g}_3$ двойственно представлению в

$\widetilde{\mathfrak g}_1$ , значит,

$\dim\widetilde{\mathfrak g}_3=\dim\widetilde{\mathfrak g}_1=16$ . Тогда

$\dim\widetilde{\mathfrak g}_2=22$ . Имеем

$\dim\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}=21$ , поэтому в

$\widetilde{\mathfrak g}_2$ имеется еще один одномерный подмодуль

$\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ , который натянут на корневой вектор

$z$ , отвечающий весу

$\delta$ . Элемент

$z$ не имеет вид

$(\operatorname{ad} e_1)^2 w$ , где

$w\in\mathfrak g$ , так как

$\delta-2\alpha_1=\alpha_0+3\alpha_2+2\alpha_3+\alpha_4$ не является корнем алгебры

$\mathfrak g$ , и не получается из такого элемента действием

$\mathfrak g$ , так как

$\operatorname{ad}(\mathfrak g)=0$ на

$\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ . Значит,

$\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}\not\subset \mathfrak J$ ,

Заметим, что $\widetilde{\mathfrak g}_3$ – неприводимый $\mathfrak g$ -модуль. Поэтому он либо целиком содержится в $\mathfrak J$ , либо с ним пересекается тривиально. Докажем, что $\widetilde{\mathfrak g}_3\subset \mathfrak J$ . Для этого достаточно предъявить корневой вектор $x\in\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ и корневой вектор $y\in\widetilde{\mathfrak g}_1$ , отвечающие вещественным корням, сумма которых также является корнем. Тогда их коммутатор $[x,y]$ будет ненулевым вектором, содержащимся в $\widetilde{\mathfrak g}_3$ и в $\mathfrak J$ , так как $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}\subset \mathfrak J$ .

Рассмотрим вещественные корни

$\begin{equation*} \beta_1=\theta=2\alpha_1+2\alpha_{2}+\alpha_3, \qquad \beta_2=\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4. \end{equation*} \notag$

Их сумма равна

$\begin{equation*} \beta_1+\beta_2=\alpha_0+3\alpha_1 +3\alpha_2+2\alpha_3+\alpha_4=\delta+\alpha_1. \end{equation*} \notag$

Заметим, что представления $\mathfrak g$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ и $\widetilde{\mathfrak g}_3$ изоморфны, так как самодвойственны, а $\beta_1+\beta_2$ получается сдвигом на $\delta$ из корня $\alpha_k$ . Значит, $\beta_1+\beta_2$ – вещественный корень алгебры $\widetilde{\mathfrak g}$ . Тогда можем взять $x=e_{\beta_1}=e_{\theta}, y=e_{\beta_2}$ .

Таким образом, $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_1\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ , и алгебра $\mathfrak L$ конечномерна.

Остались нерассмотренными два случая:

Предъявим соответствующий автоморфизм $\sigma$ порядка 4 алгебры Ли $\mathfrak g(X_N)$ . Для обоих случаев он строится одинаково.

Рассмотрим векторное пространство $V$ размерности $n=2l+1$ в случае $A_{2l}^{(2)}$ или размерности $n=2l$ в случае $A_{2l-1}^{(2)}$ . Пусть оно разложено в прямую сумму: $V=V_1\oplus V_2$ , причем $\dim V_1=n_1=2k+1$ в случае $A_{2l}^{(2)}$ или $\dim V_1=n_1=2k$ в случае $A_{2l-1}^{(2)}$ , а $\dim V_2=n_2=2l-2k$ в обоих случаях. Пусть $f$ – невырожденная билинейная форма на $V$ , такая что $f(V_1,V_2)=f(V_2,V_1)=0$ , $f|_{V_1}$ – симметрична, а $f|_{V_2}$ кососимметрична. Пусть $\sigma$ – автоморфизм алгебры Ли $\mathfrak{sl}(V)$ , отображающий оператор $X$ в $-X^*$ , где $X^*$ – оператор, сопряженный $X$ относительно $f$ . Тогда $\mathfrak g=\mathfrak g^{(1)}\oplus\mathfrak g^{(2)}\oplus\mathfrak g^{(3)}$ . Идеал $\mathfrak g^{(1)}=\mathfrak{so}(V_1)$ соответствует поддиаграмме Дынкина, составленной из вершин $\alpha_0,\dots,\alpha_{k-1}$ . В случае $A_{2l-1}^{(2)}$ при $k>2$ он имеет тип $D_k$ , при $k=2$ – тип $A_1\oplus A_1$ , а в случае $A_{2l}^{(2)}$ – тип $B_k$ . Идеал $\mathfrak g^{(2)}=\mathfrak{sp}(V_2)$ – простая алгебра типа $C_{l-k}$ . Идеал $\mathfrak g^{(3)}$ – нулевой.

Модуль $\widetilde{\mathfrak g}_2$ разлагается в прямую сумму трех неприводимых $\mathfrak g$ -подмодулей: подмодули $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ и $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}$ изоморфны пространствам симметрических операторов с нулевым следом в $V_1$ и $V_2$ соответственно, а $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(3)}$ одномерен и состоит из операторов с нулевым следом, скалярных на $V_1$ и $V_2$ .

Заметим, что представление алгебры $\mathfrak g^{(1)}$ в $\widetilde{\mathfrak g}_1$ удовлетворяет условиям следствия 1 из теоремы 1. Значит, $(\operatorname{ad} e_k)^2\mathfrak g^{(1)}=0$ в $\widetilde{\mathfrak g}$ . В то же время корень

$\begin{equation*} \beta=2\alpha_{k+1}+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l \end{equation*} \notag$

алгебры

$\mathfrak g^{(2)}$ является вещественным корнем алгебры

$\widetilde{\mathfrak g}$ , а

$\begin{equation*} \theta=\beta+2\alpha_k=2\alpha_k+2\alpha_{k+1}+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l \end{equation*} \notag$

также является корнем алгебры

$\widetilde{\mathfrak g}$ . Поэтому

$e_{\theta}=(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\beta}\ne 0$ , значит

$\begin{equation*} (\operatorname{ad} e_k)^2\mathfrak g^{(2)}\ne 0. \end{equation*} \notag$

В алгебре $C_{l-k}$ корень $\beta$ – единственный положительный корень вида $2\alpha_{k+1}+c_{k+2}\alpha_{k+2}+\dots+c_l\alpha_l$ . Докажем, что для корневых векторов $e_{\gamma}$ отвечающих корням $\gamma=c_{k+1}\alpha_{k+1}+c_{k+2}\alpha_{k+2}+\dots+c_l\alpha_l$ , где $c_{k+1}=0$ или $c_{k+1}=1$ , условие $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\gamma}=0$ выполняется. Можно считать, что $e_{\gamma}$ – лиевский одночлен от $e_{k+1},\dots,e_l$ . Тогда утверждение доказывается индукцией по степени лиевского одночлена аналогично следствию 1 из теоремы 1.

База индукции. Если $e_{\gamma}=e_j$ , где $j\in\{k+1,\dots,l\}$ , то равенство $(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\gamma}=0$ следует из соотношений Серра.

Шаг индукции. Можем считать, что $e_{\gamma}=[e_j,x]$ , где $x$ – лиевский моном, для которого выполнено соотношение $(\operatorname{ad} e_k)^2x=0$ . Тогда

$\begin{equation*} (\operatorname{ad} e_k)^2[e_j,x]=[(\operatorname{ad} e_k)^2e_j,x]+2[[e_k,e_j],[e_k,x]]+[e_j,(\operatorname{ad} e_k)^2x]. \end{equation*} \notag$

В правой части третье слагаемое равно 0. Если

$j\ne {k+1}$ , то в правой части первые два слагаемых равны 0 из условия

$[e_k,e_j]=0$ . Если

$j=k+1$ , то

$x$ является лиевским одночленом от переменных

$e_{k+2},\dots, e_l$ . Тогда

$[e_k,x]=0$ , и второе слагаемое равно 0. Первое слагаемое равно 0, так как выполнено соотношение

$(\operatorname{ad} e_k)^2e_{k+1}=0$ .

Значит, идеал $\mathfrak J$ порождается единственным элементом $e_{\theta}=(\operatorname{ad} e_k)^2e_{\beta}$ . Вектор $e_{\theta}$ корневой, значит он содержится в одном из неприводимых подмодулей, а именно в $\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ , потому что он соответствует корню $\delta-\alpha_0-\alpha_1-2\alpha_2-\dots-2\alpha_{k-1}$ в случае $A_{2l-1}^{(2)}$ или корню $\delta-2\alpha_0-\dots-2\alpha_{k-1}$ в случае $A_{2l}^{(2)}$ . Таким образом, $\mathfrak J\cap\widetilde{\mathfrak g}_2=\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}$ .

Модуль $\widetilde{\mathfrak g}_3$ – неприводимый. Докажем, что $\widetilde{\mathfrak g}_3\subset \mathfrak J$ . Для этого, как и в случае $E_6^{(2)}$ , достаточно найти такие корневые векторы $x\in\widetilde{\mathfrak g}_2^{(1)}, y\in\widetilde{\mathfrak g}_1$ , отвечающие вещественным корням $\beta_1$ и $\beta_2$ соответственно, что $\beta_1+\beta_2$ – корень. Корень $\beta_1$ в обоих случаях выберем одинаковым:

$\begin{equation*} \beta_1=\theta=2\alpha_k+\dots+2\alpha_{l-1}+\alpha_l. \end{equation*} \notag$

Корень

$\beta_2$ возьмем вида

$\begin{equation*} \beta_2=2\alpha_0+\dots+2\alpha_{k-1}+\alpha_k \end{equation*} \notag$

в случае

$A_{2l}^{(2)}$ и

$\begin{equation*} \beta_2=\alpha_0+\alpha_1+2\alpha_2+\dots+2\alpha_{k-1}+\alpha_k \end{equation*} \notag$

в случае

$A_{2l-1}^{(2)}$ . В обоих случаях

$\beta_1+\beta_2=\delta+\alpha_k$ . Заметим, что представления

$\mathfrak g$ в

$\widetilde{\mathfrak g}_1$ и

$\widetilde{\mathfrak g}_3$ изоморфны, так как самодвойственны, а

$\beta_1+\beta_2$ получается сдвигом на

$\delta$ из корня

$\alpha_k$ . Значит,

$\beta_1+\beta_2$ – вещественный корень алгебры

$\widetilde{\mathfrak g}$ . Тогда, взяв

$x=e_{\beta_1}=e_{\theta}$ ,

$y=e_{\beta_2}$ , получим, что

$[x,y]$ – ненулевой элемент, содержащийся в

$\mathfrak J\cap\widetilde{\mathfrak g}_3$ . Значит,

$\widetilde{\mathfrak g}_3\subset \mathfrak J$ .

Таким образом, $\mathfrak L=\widetilde{\mathfrak g}_1\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(2)}\oplus\widetilde{\mathfrak g}_2^{(3)}$ , и алгебра $\mathfrak L$ конечномерна.

Мы рассмотрели все случаи, перечисленные в п. 1 и 2 теоремы. В остальных случаях выполнены условия следствия 1 из теоремы 1 (это непосредственно следует из вида диаграмм Дынкина). Следовательно, в них алгебра $\mathfrak L$ изоморфна алгебре $\widetilde{\mathfrak g}_{>0}$ , которая бесконечномерна.

Автор благодарен своему научному руководителю Д. А. Тимашеву за постановку задачи и полезные обсуждения.



СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.	J.-M. Hwang, “Geometry of minimal rational curves on Fano manifolds”, School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000), ICTP Lect. Notes, 6, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2001, 335–393
2.	J.-M. Hwang, N. Mok, “Deformation rigidity of the rational homogeneous space associated to a long simple root”, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 35:2 (2002), 173–184
3.	В. Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, Мир, М., 1993
4.	Э. Б. Винберг, В. В. Горбацевич, А. Л. Онищик, “Строение групп и алгебр Ли”, Группы Ли и алгебры Ли – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 41, ВИНИТИ, М., 1990, 5–253

Образец цитирования: А. О. Завадский, “Об алгебрах Ли, задаваемых касательными направлениями к однородным проективным многообразиям”, Матем. заметки, 114:5 (2023), 721–738; Math. Notes, 114:5 (2023), 1029–1044

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Zav23}

\by А.~О.~Завадский

\paper Об алгебрах Ли, задаваемых касательными направлениями к~однородным проективным многообразиям

\jour Матем. заметки

\yr 2023

\vol 114

\issue 5

\pages 721--738

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13328}

\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13328}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4716481}

\transl

\jour Math. Notes

\yr 2023

\vol 114

\issue 5

\pages 1029--1044

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623110342}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85187695469}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/mzm13328

https://doi.org/10.4213/mzm13328

https://www.mathnet.ru/rus/mzm/v114/i5/p721

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	110
PDF полного текста:	12
HTML русской версии:	37
Список литературы:	24
Первая страница:	3

Что такое QR-код?

Обратная связь:

Пользовательское соглашение

Регистрация посетителей портала

Логотипы

1. Введение

2. Основная теорема

3. Случай аффинных алгебр Каца–Муди

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ