Spaces of Hermitian operators with simple spectra and their finite-order cohomology

В. И. Арнольд изучал топологию пространств эрмитовых операторов в $\mathbb C^n$ с непростыми спектрами в связи с теорией адиабатических связностей и квантовым эффектом Холла. (Важные физические мотивировки в этой задачи принадлежат также С. П. Новикову.) Естественная фильтрация этих пространств множествами операторов с фиксированным числом собственных значений определяет спектральную последовательность, доставляющую интересную комбинаторную и гомологическую информацию об этой стратификации.
Мы строим другую спектральную последовательность, также вычисляющую группы гомологий этих пространств; она основана на универсальной технике топологических порядковых комплексов и конических разрешений алгебраических множеств, обобщающей комбинаторную формулу включений – исключений и аналогичную конструкции инвариантов конечного порядка в теории узлов.
Эта спектральная последовательность вырождается в члене $E_1$, гипотетически мультипликативна, и при растущем $n$ сходится к стабильной спектральной последовательности, вычисляющей когомологии пространства бесконечных эрмитовых операторов без кратных собственных значений, все члены $E_r^{p,q}$ которой конечно порождены. Это позволяет определить когомологии конечного порядка для этого пространства и применить известные результаты и методы топологической теории флаговых многообразий к проблемам геометрической комбинаторики, в частности к топологии непрерывных частично упорядоченных множеств подпространств и флагов.