Численный метод решения задачи Коши для одного дифференциального уравнения с дробной производной Римана - Лиувилля

Актуальность и цели. Объектом исследования является задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с дробной производной Римана - Лиувилля на отрезке $[0,T]$. Отличительной особенностью задачи является то, что в качестве порядка выступает переменная функция $\alpha = \alpha (t)$ зависящая от времени и удовлетворяющая условию $0< \alpha (t) <1$. Цель работы - построение численного метода для решения обозначенной задачи Коши. Материалы и методы. Для численного решения используется метод конечных разностей, с помощью которого осуществляется переход от непрерывной области к дискретной. Используется разностная аппроксимация дробной производной Римана - Лиувилля на основе определения дробной производной Грюнвальда - Летникова. Результаты. Построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $2- \alpha (t)$. Доказана сходимость и устойчивость разностного решения. Также проведен вычислительный эксперимент для различных функций $\alpha (t)$. Выводы. Проведенный вычислительный эксперимент подтверждает сходимость предложенного метода.