An inverse spectral problem for Sturm–Liouville operators with singular potentials on graphs with a cycle

В данной статье исследуются обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами из класса $W^{-1}_2$ на графе с циклом. Длины рёбер рассматриваемого графа мы будем считать соизмеримыми величинами. В качестве спектральных характеристик мы рассмотрим спектры некоторых краевых задач, а также специальные знаки, аналогично тому, как это сделано в случае классических операторов Штурма–Лиувилля, заданных на графе с циклом. Используя теорему Адамара, мы восстановим характеристические функции по заданным спектрам краевых задач. Применяя восстановленные характеристические функции, мы построим функции Вейля (так называемые $m$-функции) на рёбрах рассматриваемого графа. Мы покажем, что задание функций Вейля однозначно определяет коэффициенты дифференциального уравнения на исследуемом графе. Также мы получим конструктивную процедуру решения обратной задачи по заданным спектральным характеристикам. Для решения поставленной задачи в работе используются идеи метода спектральных отображений, применённого для решения обратной задачи для классических операторов Штурма–Лиувилля. Полученный результат является обобщением хорошо известных результатов для обратных задач для классических дифференциальных операторов.