Обратная задача для операторов Штурма–Лиувилля в комплексной плоскости

Впервые изучена обратная задача для стандартного уравнения Штурма–Лиувилля со спектральным параметром $\rho$ и потенциалом, кусочно-целым на спрямляемой кривой $\gamma \subset \mathbf{C}$, у которой задана только начальная точка. Ограниченная на кривой $\gamma$ функция $Q$ является кусочно-целой на ней, если $\gamma$ можно разбить конечным числом точек на участки, на которых $Q$ совпадает с целыми функциями, различными на соседних участках. Точки разбиения, начальная и конечная точки кривой называются критическими точками. Ставится задача нахождения всех критических точек $\gamma$ и потенциала на ней по столбцу или строке передаточной матрицы $\hat P$ вдоль $\gamma$. На основе полученной асимптотики $\hat P$ при $|\rho| \to \infty$ доказано, что если хотя бы один её элемент ограничен при любых $\rho \in \mathbf{C}$, то $\gamma$ после удаления всех «невидимых петель» вырождается в точку («невидимая петля» — такая петля кривой $\gamma$ с заданной кусочно-целой функцией, узел которой совпадает с двумя последовательными критическими точками). В статье доказана единственность решения поставленной обратной задачи для кривых без «невидимых петель». На примере обратной задачи для уравнения $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{r(x)} \frac{dy}{dx} \right) + \left( q(x)- r(x) \lambda^2 \right) y(x)=0$ с кусочно-целым потенциалом $q(x)$ и кусочно-постоянной функцией $r(x) \ne 0$ на отрезке действительной оси показана полезность полученных результатов при исследовании обратных задач для обобщенных уравнений Штурма–Лиувилля, приводимых к изученному в статье типу.