А. Гупта, У. Аруначалам, “Размерности Гельфанда–Кириллова простых модулей над скрученными групповыми алгебрами $k \ast A$”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:4 (2022), 103–115; Izv. Math., 86:4 (2022), 715

Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js

Известия Российской академии наук. Серия математическая

RUS ENG

ЖУРНАЛЫ ПЕРСОНАЛИИ ОРГАНИЗАЦИИ КОНФЕРЕНЦИИ СЕМИНАРЫ ВИДЕОТЕКА ПАКЕТ AMSBIB

JavaScript is disabled in your browser. Please switch it on to enable full functionality of the website

	Общая информация
	Последний выпуск
	Скоро в журнале
	Архив
	Импакт-фактор
	Правила для авторов
	Загрузить рукопись

	Поиск публикаций
	Поиск ссылок

	RSS
	Последний выпуск
	Текущие выпуски
	Архивные выпуски
	Что такое RSS

Изв. РАН. Сер. матем.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
	Найти

Персональный вход:
Логин:
Пароль:
	Запомнить пароль
	Войти
	Забыли пароль?
	Регистрация

Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2022, том 86, выпуск 4, страницы 103–115
DOI: https://doi.org/10.4213/im9182 (Mi im9182)

Размерности Гельфанда–Кириллова простых модулей над скрученными групповыми алгебрами

$k \ast A$

А. Гупта^a, У. Аруначалам^b

^a Department of Mathematics, Ramakrishna Mission Vivekananda Educational and Research Institute (RKMVERI), India
^b Harish-Chandra Research Institute, India

PDF полного текста (571 kB) PDF английской версии (647 kB) Полный текст в HTML

Список литературы:

PDF

HTML

DOI: https://doi.org/10.4213/im9182

Аннотация: Для

$n$ -мерной многопараметрической квантовой алгебры тора

$\Lambda_{\mathfrak q}$ над полем

$k$ , заданной мультипликативно антисимметричной матрицей

$\mathfrak q=(q_{ij})$ , мы показываем, что в случае, когда ранг без кручения подгруппы

$k^\times$ , порожденной

$q_{ij}$ , достаточно велик, есть характеристическое множество значений (возможно, с пробелами) от

$0$ до

$n$ , которые могут быть размерностями Гельфанда–Кириллова (ГК) простых модулей. Частный случай, когда

$\mathrm{K}.\dim(\Lambda_{\mathfrak q})=n-1$ и

$\Lambda_{\mathfrak q}$ простая, изученный в статье A. Gupta, "

$GK$ -dimensions of simple modules over

$K[X^{\pm 1}, \sigma]$ ", Comm. Algebra, 41:7 (2013), 2593–2597, рассматривается без предположения простоты, и показано, что дихотомия продолжает выполняться для ГК-размерностей простых модулей.
Библиография: 35 наименований.

Ключевые слова: размерность Гельфанда–Кириллова, простой модуль, квантовый тор, скрученная групповая алгебра, размерность Крулля.

Финансовая поддержка	Номер гранта
National Board for Higher Mathematics (NBHM)	2/48(14)/2015/NBHM(R.P.)/R & D II/4147
Harish-Chandra Research Institute (HRI)	M170563VF
Первый автор поддержан грантом National Board for Higher Mathematics (NBHM) 2/48(14)/2015/NBHM(R.P.)/R & D II/4147. Второй автор поддержан постдокторской стипендией Harish-Chandra Research Institute (HRI), Prayagraj (Allahabad) грантом M170563VF.

Поступило в редакцию: 26.04.2021

Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 4, Pages 715–726
DOI: https://doi.org/10.4213/im9182e

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья

УДК: 512.552.6

MSC: 16S35

Введение

Пусть $k$ – поле, а $k^\times$ обозначает группу $k\setminus\{0\}$ . Пусть $\mathfrak q$ – мультипликативно антисимметричная $(n\times n)$ -матрица с элементами в $k^\times$ . Это значит, что элементы $q_{ij}$ матрицы $\mathfrak q$ (так называемые мультипараметры) удовлетворяют условиям $q_{ii}=1$ и $q_{ji} = q_{ij}^{-1}$ . Квантовый тор $\Lambda_{\mathfrak q}$ ранга $n$ – это ассоциативная алгебра, порожденная над полем $k$ переменными $X_1,\dots,X_n$ вместе с их обратными с учетом соотношений

$\begin{equation} X_i X_j = q_{ij}X_j X_i \quad \forall\, 1 \leqslant i, j \leqslant n. \end{equation} \tag{1}$

Эти алгебры играют важную роль в некоммутативной геометрии [1] и нашли приложения в теории представлений нильпотентных групп без кручения [2]. Например, если $H$ – конечно порожденная нильпотентная группа без кручения класса два с центром $\zeta H$ , то центральная локализация $kH(k \zeta H \setminus \{0\})^{-1}$ – алгебра этого типа.

Хотя много разных аспектов, включая неприводимые и проективные модули [3]–[9], автоморфизмы и дифференцирования [10]–[14], размерности Крулля и глобальные размерности [2], [15]–[17] и так далее, этих алгебр изучались в недавнем прошлом (обзор можно найти в [18]), настоящая статья посвящена размерностям Гельфанда–Кириллова (ГК-размерностям) простых модулей над квантовыми торами. Во всей статье под модулем мы понимаем правый модуль.

ГК-размерность является фундаментальным инвариантом конечно порожденных модулей над аффинными алгебрами. Пусть $M$ – конечно порожденный модуль над $k$ -алгеброй $\mathcal A$ , снабженный конечномерным порождающим подпространством, скажем, $M_0$ . Пусть $\{a_0, \dots, a_{m-1}, a_m\ (= 1)\}$ – конечный набор образующих (включающий $1$ ) для алгебры $\mathcal A$ . Эта алгебра фильтруется с помощью последовательности конечномерных подпространств

$\begin{equation*} \mathcal A_0=k, \qquad \mathcal A_1=\sum_{i=0}^m k a_i, \qquad \mathcal A_l=\mathcal A_1^l\quad (l \geqslant 2). \end{equation*} \notag$

Эта возрастающая фильтрация алгебры $\mathcal A$ дает возрастающую фильтрацию $\{M_0 \mathcal A_l\}_{l \in \mathbb N}$ модуля $M$ . ГК-размерность модуля $M$ является мерой роста $M$ и определяется формулой

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M)=\lim \sup_{l \to \infty} \frac{\log (\dim_k(M_0 \mathcal A_l))}{\log l}. \end{equation*} \notag$

Хотя на вид это определение зависит от выбора порождающего подпространства

$M$ , а именно,

$M_0$ , и набора множества порождающих алгебры

$\mathcal A$ , а именно,

$\{a_0,\dots, a_{m-1}, a_m\}$ , ГК-размерность фактически не зависит от этого выбора. Хотя определение носит несколько технический характер, ГК-размерность модулей оказывается полезным и важным инвариантом. Кроме того, известно, что для широкого круга алгебр, включая многие квантовые группы, ГК-размерность конечно порожденных модулей – это целое число [19]. Для модулей над алгебрами, которую мы изучаем, ГК-размерность связана с другим важным инвариантом для модулей, а именно, размерностью Крулля [16] (дополнительную информацию о ГК-размерности см. в [20], [21]).

Вопрос о ГК-размерности простых модулей над алгебрами $\Lambda_{\mathfrak q}$ был впервые рассмотрен в [16; разд. 6], где было показано, что любой простой модуль над наследственным (глобальной размерности один) квантовым тором $\Lambda_{\mathfrak q}$ ранга $n$ имеет ГК-размерность $n-1$ . Данная проблема остается открытой и для других значений глобальной размерности $\Lambda_{\mathfrak q}$ . Эта же проблема для некоторых других классов алгебр рассматривалась в [22]–[25]. Для $D$ -модулей этот вопрос особенно важен [26], [27]. Таким образом, определение ГК-размерности простых модулей – существенный шаг в изучении различных классов алгебр, включающих квантовые группы и кольца дифференциальных операторов.

Структура алгебры $\Lambda_{\mathfrak q}$ и модулей над ней может меняться в существенной зависимости от матрицы мультипараметров $\mathfrak q$ . Например, если $\mathfrak q$ содержит элементы, порождающие подгруппу в $k^\times$ максимального возможного ранга (без кручения), а именно, $n(n-1)/2$ , то кольцо $\Lambda_{\mathfrak q}$ – простая наследственная нётерова область [16], в то время как, если та же подгруппа имеет ранг нуль, то та же алгебра конечно порождена над своим центром. Отметим, что во всех этих случаях алгебра $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеет одну и ту же ГК-размерность.

Следовательно, ситуация требует наличия дополнительного инварианта, который достаточно удобен для работы и в то же время хорошо подходит для нашей цели изучения простых модулей квантовых алгебр тора. Этот инвариант обеспечивается размерностью Крулля некоммутативных колец, которая в нашем случае совпадает с другим размерностным инвариантом, а именно, с глобальной размерностью [16].

Как отмечалось выше, простые модули над квантовым тором в случае, когда тор имеет размерность Крулля, равную единице, изучалась в [16], а также в [5], [8] (для квантового тора общего положения). В [28] и [29] центр внимания был перенесен на случай, когда размерность Крулля на единицу меньше максимально возможной, т. е. $n-1$ . В [28] дихотомия для ГК-размерностей простых $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулей была установлена в предположении, что $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеет размерность Крулля $n-1$ и сама проста. В настоящей статье мы показываем, что эта дихотомия сохраняется, даже когда предположение простоты снято.

Теорема 1. Пусть $\Lambda_{\mathfrak q}$ – $n$ -мерная квантовая алгебра тора размерности Крулля $n-1$ . Для ГК-размерности простого $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модуля $M$ справедлива следующая дихотомия:

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M)=1 \quad \textit{или} \quad \mathscr{GK}(M)= \mathscr{GK}(\Lambda_{\mathfrak q})-\mathscr{GK}(\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q}))-1, \end{equation*} \notag$

где

$\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q})$ – центр

$\Lambda_{\mathfrak q}$ .

Замечание 1. В дополнительном предположении, что $\Lambda_{\mathfrak q}$ – простое кольцо, в [28] было показано, что для простого $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модуля $M$ либо $\mathscr{GK}(M)=1$ , либо $\mathscr{GK}(M)=n-1$ . Отметим, что эта гипотеза простоты означает, что центр $\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q})$ кольца $\Lambda_{\mathfrak q}$ равен $k$ [16]. Вообще говоря, из [2; теорема A] и [14; лемма 1.1] следует, что квантовый тор $\Lambda_{\mathfrak q}$ ранга $n$ , имеющий размерность Крулля $n-1$ , может иметь центр, изоморфный (обычному) кольцу многочленов Лорана над $k$ вплоть до $n-2$ переменных. Таким образом, предположение, что $\Lambda_{\mathfrak q}$ проста, недостаточно общее. Это было частично исправлено в [29], где было показано, что если $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеет размерность Крулля $n-1$ , но необязательно является простым кольцом, и если $M$ является простым $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулем, то $\mathscr{GK}(M)=1$ или $\mathscr{GK}(M) \geqslant \mathscr{GK}( \Lambda_{\mathfrak q})- \mathscr{GK}(\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q}))-1$ . В теореме 1 мы даем точное определение ГК-размерности всех возможных простых $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулей для квантового тора $\Lambda_{\mathfrak q}$ с размерностью Крулля (или глобальной) $n -1$ .

При изучении простых модулей над квантовыми многочленами часто оказывается полезным наложить некоторое предположение независимости на мультипараметры $q_{ij}$ . Например, при рассмотрении простых модулей в [5], [8] предполагается, что мультипараметры находятся в общем положении, т. е. порождают в $k^\times$ подгруппу максимального ранга.

Очевидно, $n$ -мерный квантовый тор $\Lambda_{\mathfrak q}$ можно представить как косое кольцо многочленов Лорана над подкольцом $\Lambda'$ , порожденным переменными $X_1^{\pm 1},\dots, X_{n -1}^{\pm 1}$ . Таким образом, $\Lambda_{\mathfrak q} = \Lambda'[X_n^{\pm 1}; \sigma]$ , где $\sigma$ – скалярный автоморфизм $\Lambda'$ , заданный формулой $X_i \mapsto p_iX_i$ для $p_i \in k^\times$ . В дальнейшем мы будем обозначать набор ГК-размерностей простых модулей над данной квантовой алгеброй тора $\Lambda_{\mathfrak q}$ символом $\mathscr V(\Lambda_{\mathfrak q})$ . Наша следующая теорема выражает $\mathscr V(\Lambda_{\mathfrak q})$ через $\mathscr V(\Lambda')$ в предположении независимости мультипараметров (см. теорему 2).

Определение 1. (i) $\lambda$ -группа $\mathscr G(\Lambda_{\mathfrak q})$ квантовой алгебры тора $\Lambda_{\mathfrak q}$ определяется как подгруппа в $k^\times$ , порожденная мультипараметрами $q_{ij}$ .

(ii) Для данного скалярного автоморфизма $\sigma$ алгебры $\Lambda_{\mathfrak q}$ определим $\mathscr H_\sigma$ как подгруппу в $k^\times$ , порожденную скалярами $p_i$ ( $i=1, \dots, n$ ).

Теперь мы можем сформулировать нашу вторую теорему.

Теорема 2. Пусть $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ – $n$ -мерная квантовая алгебра тора; рассмотрим косое расширение Лорана

$\begin{equation*} \Lambda^\ast_{\mathfrak q, \sigma}=\Lambda_{\mathfrak q}[Y^{\pm 1}; \sigma], \end{equation*} \notag$

где

$\sigma \in \operatorname{Aut} (\Lambda_{\mathfrak{q}})$ – скалярный автоморфизм, определяемый формулой

$\sigma(X_i)=p_i X_i$ . Предположим, что подгруппы

$\mathscr G(\Lambda_{\mathfrak q})$ и

$\mathscr H_\sigma$ в

$k^\times$ из определения 1 пересекаются тривиально. Пусть

$\mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)$ – (конечное) множество ГК-размерностей простых

$\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулей и, аналогично,

$\mathscr V(\Lambda^\ast_{\mathfrak q,\sigma})$ – множество ГК-размерностей простых

$\Lambda^\ast_{\mathfrak q,\sigma}$ -модулей. Тогда

$\begin{equation*} \mathscr V(\Lambda^\ast_{\mathfrak q, \sigma}) \subseteq \{\operatorname{rk}(\mathscr H_\sigma), \dots, n\} \cup (\mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)+1). \end{equation*} \notag$

Здесь $\mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)+1$ – множество $\{u+1 \mid u \in \mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)\}$ .

Замечание 2. Теорема 2 необязательно означает, что для каждого значения $d$ из множества

$\begin{equation*} \{\operatorname{rk}(\mathscr H_\sigma), \dots, n\} \cup ( \mathscr V(\Lambda_\mathfrak q)+ 1) \end{equation*} \notag$

существует простой

$\Lambda^\ast_{\mathfrak q, \sigma}$ -модуль ГК-размерности

$d$ . Скорее, это указывает на общий факт, что в случае, когда достаточно много мультипараметров независимы, в множестве

$1, \dots, n$ есть определенные характеристические значения (возможно, с пробелами), которые могут быть ГК-размерностями простых модулей над квантовой алгеброй тора (пример 1).

В конце п. 3.2 мы приводим несколько примеров, иллюстрирующих наши две теоремы. Эта статья, завершает цикл работ о ГК-размерностях простых модулей над квантовым тором $\Lambda_{\mathfrak q}$ в случае, когда $\mathrm{K}.\dim(\Lambda_{\mathfrak q})=n-1$ , начатый в [28] и продолженный в [29]. В [16] соответствующая задача была рассмотрена для $\mathrm{K}.\dim(\Lambda_{\mathfrak q})=1$ , и получен ответ. Таким образом, наша работа естественно приводит к следующему вопросу.

Вопрос. Пусть $\Lambda_{\mathfrak q}$ – $n$ -мерная квантовая алгебра тора, размерность Крулля которой равна либо $2$ , либо $n-2$ . Существует ли неголономный простой $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модуль с ГК-размерностью $n-1$ ? Если да, то как можно построить такой простой модуль? Каковы возможные значения ГК-размерности простых $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулей?

§ 1. $n$ -мерный квантовый тор

В этом параграфе мы напомним некоторые известные факты о квантовых алгебрах тора, нужные для развития наших последующих результатов.

1.1. Структура скрученной групповой алгебры

Как уже отмечалось, алгебры $\Lambda_{\mathfrak q}$ имеют структуру скрученной групповой алгебры $k \ast A$ свободной абелевой группы ранга $n$ над $k$ . Мы вкратце напоминаем, что это за структура, и отсылаем читателя к [30] за подробностями. Для данной группы $G$ $k$ -алгебра $R$ называется скрученной групповой алгеброй группы $G$ над $k$ , если $R$ содержит в качестве $k$ -базиса такую копию $\overline{G}:=\{ \overline{g} \mid g \in G \}$ группы $G$ , что умножение в $R$ удовлетворяет условиям

$\begin{equation} \overline g_1 \overline g_2=\gamma(g_1, g_2)\overline{g_1g_2}, \end{equation} \tag{2}$

где

$\gamma\colon G \times G \to k^{\times}$ . Ассоциативность умножения означает, что скручивающая функция

$\gamma$ является

$2$ -коциклом, т. е.

$\begin{equation*} \gamma(x,y)\gamma(xy, z)=\gamma(y, z)\gamma(x, yz). \end{equation*} \notag$

Для подгруппы $H$ группы $G$ $k$ -линейная оболочка множества $\overline{H}:=\{\overline{h}\mid h\in H\}$ – подалгебра в $R$ , которая является скрученной групповой алгеброй группы $H$ над $k$ , причем определяющим коциклом является ограничение коцикла $\gamma$ на $H\times H$ . Обозначим эту подалгебру $k\ast H$ . В случае абелевой группы $G$ известно, что центр $k\ast G$ имеет вид $k\ast Z$ для подходящей подгруппы $Z\leqslant G$ (см., например, [14; лемма 1.1]).

1.2. Коммутативные скрученные групповые (под-)алгебры и размерность Крулля

В случае квантовых торов $\Lambda_q=k \ast A$ подгруппы $B$ , для которых подалгебра $k\ast B$ коммутативна, играют важную роль. Например, следующий факт был предположен в [16] и доказан в [31].

Теорема 3. Для квантовой алгебры тора $k \ast A$ верхняя грань рангов подгрупп $B\leqslant A$ таких, что соответствующая скрученная групповая (под)алгебра $k \ast B$ является коммутативной, равна как размерности Крулля, так и глобальной размерности алгебры $k \ast A$ .

Следующий факт представляет собой переформулировку [31; теорема 3].

Предложение 1. Предположим, что квантовая алгебра тора $k \ast A$ имеет конечно порожденный модуль ГК-размерности $m$ ; тогда в $A$ есть подгруппа $B$ с рангом, равным $\operatorname{rk}(A)-m$ , для которой соответствующая скрученная групповая (под)алгебра $k\ast B$ коммутативна.

Приводимое далее следствие 1 очевидно вытекает из объединения двух последних результатов, если напомнить [16], что ГК-размерность конечно порожденного $k \ast A$ -модуля – целое неотрицательное число (см. [16]).

Следствие 1. ГК-размерность конечно порожденного $k \ast A$ -модуля $M$ удовлетворяет условию

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M) \geqslant \operatorname{rk}(A)-\mathrm{K.dim}(k \ast A), \end{equation*} \notag$

где

$\mathrm{K.dim}(k \ast A)$ – размерность Крулля алгебры

$k \ast A$ .

1.3. Подмножества Оре и подгруппы конечного индекса в $A$

Используя тот факт, что $A \cong \mathbb Z^n$ – упорядоченная группа (с лексикографическим порядком), нетрудно показать, что $k \ast A$ не имеет делителей нуля, и каждая единица в этом кольце имеет вид $\mu \overline a$ для $\mu \in k^{\times}$ и $a \in A$ .

Пусть $M$ – конечно порожденный $k \ast A$ -модуль. Если $A_0$ – подгруппа $A$ конечного индекса, то $M$ – конечно порожденный $k \ast A_0$ -модуль. Напомним, что в кольце $R$ элемент $r\in R$ нормализует подкольцо $S$ , если $rS=Sr$ . Алгебра $k \ast A$ является конечным нормализующим расширением своей подалгебры $k \ast A_0$ , т. е. порождается над $k \ast A_0$ конечным числом нормализующих элементов, а именно, образами в $k\ast A$ трансверсали $T$ к $A_0$ в $A$ .

Известно (см., например, [16]), что для подгруппы $B \leqslant A$ ненулевые элементы скрученной групповой (под)алгебры $k \ast B$ образуют подмножество Оре в $k \ast A$ .

1.4. Скрещенные произведения, получаемые из локализации Оре

Более общая структура, чем скрученная групповая алгебра, – это скрещенное произведение $R \ast G$ группы $G$ над кольцом $R$ . Здесь основное кольцо $R$ необязательно должно быть полем, и скаляры в $R$ необязательно должны быть центральными в $R\ast G$ . Как и в случае скрученной групповой алгебры, копия $\overline G$ группы $G$ , содержащаяся в $R \ast G$ , является базисом $R$ -модуля, а умножение базисных элементов определяется точно так же, как в (2). Однако, как уже отмечалось, скаляры в $R$ не обязаны коммутировать с базисными элементами $\overline g$ , но соотношение $\overline g r= \sigma_g(r)\overline g$ выполняется для $r \in R$ и $\sigma_g \in \operatorname{Aut}(R)$ (дополнительную информацию о скрещенных произведениях см. в [32]). Помимо обобщения скрученных групповых алгебр, скрещенные произведения также возникают как подходящие локализации исходных колец. Именно в этой последней форме скрещенное произведение возникнет в нашей статье. Например, локализация Оре $(k \ast A)(k \ast B \setminus \{0\})^{-1}$ – это скрещенное произведение $D \ast A/B$ , где $B \leqslant A$ и $D$ – тело частных нётеровой области $k \ast B$ .

§ 2. ГК-размерность конечно порожденных $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулей

ГК-размерность является особенно хорошей размерностью для конечно порожденных модулей над изучаемыми нами алгебрами. Одна из причин в том, что аппарат Гильберта–Самуэля, который работает для почти коммутативных алгебр, может быть адаптирован также для алгебр $\Lambda_{\mathfrak q}$ (см. [16; разд. 5]). Например, справедливо следующее предложение.

Предложение 2. Пусть

$\begin{equation*} 0 \to L \to M \to N \to 0 \end{equation*} \notag$

есть точная последовательность

$\Lambda_{\mathfrak q}$ -модулей. Тогда

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M)= \max\{\mathscr{GK}(L),\mathscr{GK}(N)\}. \end{equation*} \notag$

Доказательство следует из [16; лемма 5.5].

В [31] конечно порожденные модули над скрещенными произведениями свободной абелевой группы конечного ранга над кольцом с делением $D$ изучались с точки зрения теоретико-групповых приложений. Была введена и изучена размерность для конечно порожденных модулей, которая, как было показано, совпадает с ГК-размерностью (измеренной относительно $D$ ). Мы стремимся использовать эту размерность в исследованиях простых модулей над рассматриваемыми нами алгебрами, которые являются частными случаями вышеупомянутых скрещенных произведений. Сформулируем далее определение этой размерности и некоторые ее ключевые свойства, которые были установлены в [31]. Эта размерность используется в сочетании с соответствующим понятием критического модуля (обсуждение см. ниже).

Определение 2 (см. [31]). Пусть $M$ – конечно порожденный $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ -модуль. Размерность $\dim M$ модуля $M$ – это максимум таких $r$ , $0 \leqslant r \leqslant n$ , что для некоторого подмножества $\mathcal I := \{i_1, \dots, i_r\}$ индексирующего множества $\{1, \dots, n\}$ модуль $M$ не является модулем кручения как $\Lambda_{\mathfrak q, \mathcal I}$ -модуль, где $\Lambda_{\mathfrak q, \mathcal I}$ обозначает подалгебру в $\Lambda_{\mathfrak q}$ , порожденную переменными $X_i$ для $i \in \mathcal I$ и их обратными.

Замечание 3. В [31] показано, что размерность $\dim M$ модуля $M$ в смысле последнего определения совпадает с ГК-размерностью $M$ . Более того, понятие размерности в определении 2 было введено в [31] в более общем случае для конечно порожденных модулей над скрещенными произведениями свободной абелевой группы над кольцом с делением. Эти скрещенные произведения включают локализации Оре алгебр $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ , обсужденные в п. 1.4.

Следующие факты из [31], которые мы формулируем для алгебр $\Lambda_{\mathfrak q}$ , были доказаны для более общих скрещенных произведений.

Лемма 1. Пусть $M$ – конечно порожденный $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ -модуль ГК-размерности $d$ , и $\Lambda_1$ – подалгебра $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ , порожденная переменными $\{ X_{i_i}, \dots, X_{i_d} \}$ и их обратными. Тогда в $M$ нельзя вложить свободный $\Lambda_1$ -подмодуль бесконечного ранга.

Доказательство. С учетом замечания 3 это следует из [31; лемма 2.3].

Определение 3. Ненулевой $\Lambda_{\mathfrak q}$ -модуль $M$ называется критическим, если для любого ненулевого подмодуля $N$ в $M$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M/N)<\mathscr{GK}(M). \end{equation*} \notag$

Предложение 3 (см. [31; предложение 2.5]). Любой ненулевой $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ -модуль содержит конечно порожденный критический подмодуль.

§ 3. Результат о дихотомии

3.1. Доказательство теоремы 1

Как и в § 1, мы можем записать $\Lambda_\mathfrak q$ как скрученную групповую алгебру $\Lambda_\mathfrak q :=k \ast A$ свободной абелевой группы $A$ ранга $n$ . Кроме того, пусть $\overline {a}$ обозначает образ $a \in A$ в $\Lambda_\mathfrak q$ . Заметим, что $\mathcal Z(\Lambda_{\mathfrak q})$ имеет вид $k \ast Z$ для подходящей подгруппы $Z$ в $A$ (см., например, [14; лемма 1.1]). Поскольку

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(k \ast \mathbb Z^l)=l \end{equation*} \notag$

(см., например, [16]), последняя альтернатива в утверждении теоремы имеет вид

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M)=\operatorname{rk}(A)-\operatorname{rk}(Z)-1. \end{equation*} \notag$

Пусть

$P$ – аннулятор

$M$ в

$k \ast Z$ . Действие

$k \ast Z$ на

$M$ дает вложение

$\begin{equation*} k \ast Z)/P \hookrightarrow \operatorname{End}_{\Lambda_{\mathfrak q}}(M). \end{equation*} \notag$

Поскольку

$\operatorname{End}_{\Lambda_{\mathfrak q}}(M)$ является кольцом с делением, то

$P$ является простым идеалом в

$k \ast Z$ . Известно (см., например, [16; предложение 9.4.21]), что квантовая алгебра тора

$k \ast A$ удовлетворяет теореме о нулях (Nullstellensatz) и, в частности,

$\operatorname{End}_{\Lambda_{\mathfrak q}}(M)$ алгебраичен над

$k$ . Следовательно, то же верно для

$(k \ast Z)/P$ . Поскольку коммутативная аффинная алгебраическая область является полем [33], следовательно,

$P$ – максимальный идеал в

$k \ast Z$ .

Положим $K=(k \ast Z)/P$ и $Q=P\Lambda_{\mathfrak q}$ . Ясно, что $M$ – простой $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$ -модуль. Согласно [32; гл. 1, леммы 1.3, 1.4] $k$ -алгебра $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$ является скрученной групповой алгеброй $K \ast A/Z$ группы $A/Z$ над $K$ с трансверсалью $T$ для $Z$ в $A$ , дающей $K$ -базис в виде множества $\{ \overline t+Q \mid t \in T\}$ . Кроме того, элементы $\zeta+Q$ , где $\zeta \in k \ast Z$ , образуют копию $K$ в $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$ . Отметим, что теоретико-групповой коммутатор $[\overline{t_1}+Q , \overline{t_2}+Q]$ со значениями в группе единиц $\Lambda_{\mathfrak q}/Q$ для любых $t_1, t_2 \in T$ удовлетворяет условию

$\begin{equation} [\overline{t_1}+Q , \overline{t_2}+Q]=[\overline{t_1},\overline{t_2}\,]+Q \in k^\times+Q. \end{equation} \tag{3}$

Теперь, учитывая [20; предложение 5.1, (c)], имеем

$\begin{equation*} \mathscr{GK}_{k \ast A}(M) = \mathscr{GK}_{K \ast A/Z}(M), \end{equation*} \notag$

где

$\mathscr{GK}_R(M)$ для подходящего кольца

$R$ означает ГК-размерность

$M$ , рассматриваемого как (правый)

$R$ -модуль. В последнем уравнении как в левой, так и в правой частях ГК-размерность измеряется относительно

$k$ . Поскольку

$K$ конечно порождена и алгебраична над

$k$ , то

$[K:k]<\infty$ и, ввиду [34; лемма 2, (ii)], достаточно определить возможные значения ГК-размерности простого

$K \ast A/Z$ -модуля

$M$ , измеренной относительно

$K$ .

Главное для нас при переходе к алгебре $K\ast A/Z$ в том, что она центральна как $K$ -алгебра, т. е. имеет центр $K$ . В самом деле, было показано в § 1, центр группы $K \ast A/Z$ имеет вид $K\ast Y$ для подгруппы $Y$ группы $A/Z$ . Если образ $\overline t+Q$ некоторого смежного класса $tZ \in Y$ централизовал все элементы $K \ast A/Z$ , то, используя (3), получаем

$\begin{equation*} [\overline t, \overline {t_1}\,]+Q=1+Q \quad \forall\, t_1 \in T. \end{equation*} \notag$

Поскольку

$[\overline t, \overline{t_1}\,] \in k^\times$ , то

$[\overline t, \overline{t_1}\,]=1$ . Таким образом, если

$\overline t+Q$ лежит в центре

$K \ast A/Z$ , то

$\overline t$ должен лежать в центре

$k \ast Z$ алгебры

$k \ast A$ . Поскольку

$t \in T$ , это возможно только, если

$t=1$ .

Как уже отмечалось в § 1, по теореме Брукса [2] размерность $k \ast A$ равна верхней грани рангов таких подгрупп $B\leqslant A$ , что подалгебра $k \ast B$ коммутативна. В нынешней ситуации это означает существование такой подгруппы $B$ в $A$ ранга $n-1$ , что $k \ast B$ коммутативна.

При переходе к $K \ast A/Z$ , хотя центр становится равным основному полю, возникает небольшая трудность, а именно, $A/Z$ не обязана быть группой без кручения. Чтобы преодолеть это, мы можем заменить $A$ на такую подгруппу $A_0$ конечного индекса, что $A_0/Z$ – группа без кручения. Тогда $B_0:=A_0 \cap B$ – подгруппа $A_0$ ранга $n-1$ , и ясно, что $k \ast B_0$ – коммутативная подалгебра в $k \ast A_0$ . Очевидно, $k\ast B_0Z$ коммутативна и, следовательно, согласно предыдущему абзацу $\operatorname{rk}(B_0Z) = \operatorname{rk}(B_0)$ . Заменяя при необходимости $B_0$ на $B_0Z$ , мы можем считать, что $B_0 \geqslant Z$ . Ввиду (3), подалгебра $K \ast B_0/Z$ в $K \ast A_0/Z$ коммутативна. Очевидно,

$\begin{equation*} \operatorname{rk}(B_0/Z)=n-1-\operatorname{rk}(Z)=\operatorname{rk}(A_0/Z)-1= \operatorname{rk}(A/Z)-1. \end{equation*} \notag$

Последнее уравнение означает, что $K \ast A_0/Z$ является $n-\operatorname{rk}(Z)$ -мерным квантовым тором над $K$ размерности (Крулля или глобальной) $n-\operatorname{rk}(Z)-1$ . Как модуль над подалгеброй $K \ast A_0/Z$ , простой $K \ast A/Z$ -модуль $M$ может перестать быть простым. Однако, поскольку $K \ast A/Z$ является конечным нормализующим расширением для $K \ast A_0/Z$ (см. § 1), то $K \ast A/Z$ -модуль $M$ распадается в конечную прямую сумму простых $K \ast A_0/Z$ -модулей (см., например, [35; упражнение 15A.3]). Таким образом,

$\begin{equation*} M=N_1 \oplus N_2 \oplus \dots \oplus N_s \end{equation*} \notag$

как

$K \ast A_0/Z$ -модули. Согласно [31; лемма 2.7]

$\begin{equation*} \mathscr{GK}_{K \ast A/Z}(M)=\mathscr{GK}_{K \ast A_0/Z}(M). \end{equation*} \notag$

Более того, ГК-размерность конечной прямой суммы модулей является максимумом ГК-размерностей слагаемых (см. [20; предложение 5.1]). С учетом этих замечаний для доказательства теоремы достаточно показать, что если

$F$ – поле и

$F \ast \mathbb Z^r$ – скрученная групповая алгебра с центром

$F$ и размерности, равной

$r-1$ , то для любого простого

$F \ast \mathbb Z^r$ -модуля

$N$ выполняется следующая дихотомия:

$\begin{equation} \mathscr{GK}(N)=1 \quad \text{или} \quad \mathscr{GK}(N)=r-1. \end{equation} \tag{4}$

Но именно это и утверждает [28; теорема 2.1].

3.2. Доказательство теоремы 2

Будем писать $\Lambda^\ast$ вместо ${\Lambda^\ast}_{\mathfrak{q}, \sigma}$ и $\Lambda$ вместо $\Lambda_{\mathfrak{q}}$ . Учтем предложение 3, и пусть $N$ – конечно порожденный критический $\Lambda$ -подмодуль $M.$ Рассмотрим $\Lambda^\ast$ -подмодуль $N'$ в $M$ , порожденный $N$ :

$\begin{equation} N^\prime :=N\Lambda^\ast=\sum_{i \in \mathbb{Z}} N Y^i. \end{equation} \tag{5}$

Поскольку $N$ – критический по предположению, то $N \ne 0$ и $N^\prime=M$ . Если сумма в (5) прямая, то $N \Lambda^\ast \cong N \otimes_{\Lambda} \Lambda^\ast$ , и по [31; лемма 2.4]

$\begin{equation} \mathscr{GK}(M)=\mathscr{GK}(N)+1. \end{equation} \tag{6}$

Более того, поскольку (левый)

$\Lambda$ -модуль

$\Lambda^\ast$ свободен, то он строго плоский, и отсюда следует, что

$N$ должен быть простым

$\Lambda$ -модулем. Принимая во внимание уравнение (6), получаем, что

$\begin{equation} \mathscr{GK}(M) \in \mathscr V (\Lambda_\mathfrak q)+1. \end{equation} \tag{7}$

В этом случае утверждение теоремы верно. Остается возможность, когда сумма

$\sum_{i \in \mathbb{Z}} NY^i$ не является прямой. Согласно [31; лемма 2.4] в этом случае

$\begin{equation} \mathscr{GK}(N)=\mathscr{GK}(M), \end{equation} \tag{8}$

имея в виду, что размерность, о которой идет речь в лемме, совпадает с ГК-размерностью, измеренной относительно основного поля

$k$ . Обозначим через

$d$ общее значение в последнем уравнении.

Ввиду определения 2 и последующего замечания, существует такое подмножество $I=\{i_1, \dots, i_d\}$ множества индексов $\{1, \dots, n \}$ , что $N$ (и, следовательно, $M$ ) не является модулем $S:=\Lambda_{\mathfrak q}(I)\setminus \{0\}$ -кручения, где $\Lambda_{\mathfrak q}(I)$ обозначает подалгебру в $\Lambda$ , порожденную неизвестными $X_i^{\pm 1}$ для $i \in I$ .

Рассмотрим локализацию Оре $\Lambda^\ast S^{-1}$ . По определению $S$ мы знаем, что $M$ не является модулем $S$ -кручения и, следовательно, соответствующая локализация $MS^{-1}$ ненулевая. Заметим, что кольцо $\Lambda^\ast S^{-1}$ содержит тело частных $\mathscr D:=\Lambda_{\mathfrak q}(I)S^{-1}$ . Используя лемму 1, видим, что $MS^{-1}$ – конечномерное $\mathscr D$ -пространство. Положим $s=\dim_{\mathscr D} M S^{-1}$ .

Введем

$\begin{equation*} J :=\{ 1, \dots , n \} \setminus I, \end{equation*} \notag$

и пусть

$\mathscr G(I)$ обозначает следующую подгруппу в

$\mathscr G(\Lambda_\mathfrak q)$ :

$\begin{equation*} \mathscr G(I) := \langle q_{kl} \mid k, l \in I \rangle. \end{equation*} \notag$

Далее для любого

$j \in J$ введем

$\begin{equation*} \mathscr G(I, j) := \langle q_{kj} \mid k \in I \rangle. \end{equation*} \notag$

Нам также нужно будет использовать подгруппу

$\mathscr H( I)$ в

$\mathscr H_\sigma$ , определенную следующим образом:

$\begin{equation*} \mathscr H( I) :=\langle p_i \mid i \in I \rangle. \end{equation*} \notag$

Как следует из условия теоремы,

$\begin{equation*} YX_j=p_jX_jY\quad \forall\, j \in J. \end{equation*} \notag$

Это в точности ситуация из [16; разд. 3.9] (где “нелокализованные” порождающие – это порождающие, индексированные элементами

$J$ ): точно так же должны выполняться отношения зависимости

$\begin{equation} p_j^s \in \langle \mathscr G(I), \mathscr G( I, j), \mathscr H( I) \rangle \quad \forall\, j \in J. \end{equation} \tag{9}$

По условию теоремы

$\mathscr G(\Lambda_{\mathfrak q}) \cap \mathscr H_\sigma=1$ и, следовательно,

$p_j^s \in \mathscr H(I)$ . Но это означает, что

$\begin{equation*} \operatorname{rk}(\mathscr H_\sigma) \leqslant |I|=d=\mathscr{GK}(M). \end{equation*} \notag$

Осталось показать, что

$\mathscr{GK}(M)<n + 1$ . Для этого предположим, что

$\mathscr{GK}(M)=n+1$ . Поскольку

$\Lambda^\ast$ – скрученная групповая алгебра, из определения 2 и замечания 3 следует, что в

$M$ можно вложить копию правого регулярного модуля

$\Lambda^\ast$ . Поскольку

$M$ прост, имеем

$M \cong \Lambda^\ast$ . Но это значит, что

$\Lambda^\ast$ – кольцо с делением, что явно не так. Доказательство завершено.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий теорему.

Пример 1. Пусть $F$ – поле, и пусть $\mathfrak q \in \mathrm{M}_n(F)$ – мультипликативно антисимметричная матрица, заданная формулой

$\begin{equation*} \mathfrak q := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & q_1 \\ 1& 1& 1 & q_2 \\ 1& 1& 1 & q_3 \\ q_1^{-1} & q_2^{-1} & q_3^{-1} & 1 \end{pmatrix}, \end{equation*} \notag$

где предполагается

$\begin{equation} \operatorname{rk}(Q)=3 \quad \text{для} \quad Q := \langle q_1, q_2, q_3 \rangle. \end{equation} \tag{10}$

Пусть

$\Lambda:=\Lambda_{\mathfrak q}$ – квантовая алгебра тора, определяемая матрицей

$\mathfrak q$ . Пусть

$\sigma$ – скалярный автоморфизм

$\Lambda$ , определенный вектором

$(p_1, p_2, p_3, p_4)$ , где предполагается

$\begin{equation} \operatorname{rk}(P)=4 \quad \text{для} \quad P := \langle p_1, p_2, p_3, p_4 \rangle. \end{equation} \tag{11}$

Мы также предполагаем, что

$P \cap Q=1$ . (Эти условия могут быть реализованы, например, в поле рациональных чисел

$\mathbb Q$ , если выбрать различные простые числа для мультипараметров

$q_i$ и

$p_j$ .) Тогда квантовая алгебра тора

$\Lambda^\ast$ в теореме 2 определяется матрицей

$\mathfrak q^\ast$ , которая имеет вид

$\begin{equation*} \mathfrak q^\ast := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & q_1 & p_1^{-1} \\ 1& 1& 1 & q_2 & p_2^{-1} \\ 1& 1& 1 & q_3 & p_3^{-1} \\ q_1^{-1} & q_2^{-1} & q_3^{-1} & 1 & p_4^{-1} \\ p_1 & p_2 & p_3 & p_4 & 1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \notag$

Алгебра

$\Lambda$ удовлетворяет условиям теоремы 1. Кроме того, условие (10) влечет равенство

$\mathcal Z(\Lambda)=k$ (см. [16; предложение 1.3]). Теперь из теоремы 1 следует, что

$\mathscr V(\Lambda)=\{1, 3 \}$ . С учетом (11) теорема 2 теперь дает

$\begin{equation*} \mathscr V(\Lambda^\ast)=\{ 4 \} \cup \{ 2, 4 \}=\{ 2, 4 \}. \end{equation*} \notag$

Таким образом, для простого

$\Lambda^\ast$ -модуля

$\begin{equation*} \mathscr{GK}(M) \notin \{1,3,5\}. \end{equation*} \notag$

Авторы благодарны рецензенту за предложения, которые помогли значительно улучшить рукопись.



Список литературы

1.	Y. Manin, Topics in non-commutative geometry, M. B. Porter Lectures, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1991, viii+164 pp.
2.	C. J. B. Brookes, “Crossed products and finitely presented groups”, J. Group Theory, 3:4 (2000), 433–444
3.	В. А. Артамонов, “Строение модулей над квантовыми полиномами”, УМН, 50:6(306) (1995), 167–168 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “Construction of modules over quantum polynomials”, Russian Math. Surveys, 50:6 (1995), 1256–1257
4.	В. А. Артамонов, “Проективные модули над квантовыми алгебрами полиномов”, Матем. сб., 185:7 (1994), 3–12 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “Projective modules over quantum polynomial algebras”, Sb. Math., 82:2 (1995), 261–269
5.	В. А. Артамонов, “Неприводимые модули над квантовыми полиномами”, УМН, 51:6(312) (1996), 189–190 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “Irreducible modules over quantum polynomials”, Russian Math. Surveys, 51:6 (1996), 1191–1192
6.	В. А. Артамонов, “Модули над квантовыми полиномами”, Матем. заметки, 59:4 (1996), 497–503 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “Modules over quantum polynomials”, Math. Notes, 59:4 (1996), 356–360
7.	В. А. Артамонов, “Квантовая проблема Серра”, УМН, 53:4(322) (1998), 3–76 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “Serre's quantum problem”, Russian Math. Surveys, 53:4 (1998), 657–730
8.	В. А. Артамонов, “Общие квантовые многочлены: неприводимые модули и Морита-эквивалентность”, Изв. РАН. Сер. матем., 63:5 (1999), 3–36 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “General quantum polynomials: irreducible modules and Morita equivalence”, Izv. Math., 63:5 (1999), 847–880
9.	V. A. Artamonov, “On projective modules over quantum polynomials”, J. Math. Sci. (N.Y.), 93:2 (1999), 135–148
10.	J. Alev, M. Chamarie, “Dérivations et automorphismes de quelques algèbres quantiques”, Comm. Algebra, 20:6 (1992), 1787–1802
11.	В. А. Артамонов, “Алгебры квантовых многочленов”, Алгебра – 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 26, ВИНИТИ, М., 2002, 5–34 ; англ. пер.: V. A. Artamonov, “Quantum polynomial algebras”, J. Math. Sci. (N.Y.), 87:3 (1997), 3441–3462
12.	V. A. Artamonov, R. Wisbauer, “Homological properties of quantum polynomials”, Algebr. Represent. Theory, 4:3 (2001), 219–247
13.	K.-H. Neeb, “On the classification of rational quantum tori and the structure of their automorphism groups”, Canad. Math. Bull., 51:2 (2008), 261–282
14.	J. M. Osborn, D. S. Passman, “Derivations of skew polynomial rings”, J. Algebra, 176:2 (1995), 417–448
15.	E. Aljadeff, Y. Ginosar, “On the global dimension of multiplicative Weyl algebras”, Arch. Math. (Basel), 62:5 (1994), 401–407
16.	J. C. McConnell, J. J. Pettit, “Crossed products and multiplicative analogues of Weyl algebras”, J. London Math. Soc. (2), 38:1 (1988), 47–55
17.	A. Gupta, “The Krull and global dimension of the tensor product of quantum tori”, J. Algebra Appl., 15:9 (2016), 1650174, 19 pp.
18.	V. A. Artamonov, “Quantum polynomials”, Advances in algebra and combinatorics, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2008, 19–34
19.	J. C. McConnell, “Quantum groups, filtered rings and Gelfand–Kirillov dimension”, Noncommutative ring theory (Athens, OH, 1989), Lecture Notes in Math., 1448, Springer, Berlin, 1990, 139–147
20.	G. R. Krause, T. H. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand–Kirillov dimension, Grad. Stud. Math., 22, Rev. ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, x+212 pp.
21.	J. C. McConnell, J. C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, Grad. Stud. Math., 30, Rev. ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001, xx+636 pp.
22.	S. C. Coutinho, A primer of algebraic $D$ -modules, London Math. Soc. Stud. Texts, 33, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, xii+207 pp.
23.	A. Gupta, A. D. Sarkar, “A dichotomy for the Gelfand–Kirillov dimensions of simple modules over simple differential rings”, Algebr. Represent. Theory, 21:3 (2018), 579–587
24.	J. C. McConnell, “Representations of solvable Lie algebras. V. On the Gelfand–Kirillov dimension of simple modules”, J. Algebra, 76:2 (1982), 489–493
25.	J. T. Stafford, “Non-holonomic modules over Weyl algebras and enveloping algebras”, Invent. Math., 79:3 (1985), 619–638
26.	J. Bernstein, V. Lunts, “On non-holonomic irreducible $D$ -modules”, Invent. Math., 94:2 (1988), 223–243
27.	S. C. Coutinho, “On involutive homogeneous varieties and representations of Weyl algebras”, J. Algebra, 227:1 (2000), 195–210
28.	A. Gupta, “GK dimensions of simple modules over $K[X^{\pm 1}, \sigma]$ ”, Comm. Algebra, 41:7 (2013), 2593–2597
29.	A. Gupta, “Representations of the $n$ -dimensional quantum torus”, Comm. Algebra, 44:7 (2016), 3077–3087
30.	D. S. Passman, The algebraic structure of group rings, Corr. reprint of the 1977 original, R. E. Krieger Publishing Co., Inc., Melbourne, FL, 1985, xiv+734 pp.
31.	C. J. B. Brookes, J. R. J. Groves, “Modules over crossed products of a division ring by a free Abelian group. I”, J. Algebra, 229:1 (2000), 25–54
32.	D. S. Passman, Infinite crossed products, Pure Appl. Math., 135, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1989, xii+468 pp.
33.	L. H. Rowen, Graduate algebra: commutative view, Grad. Stud. Math., 73, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, xviii+438 pp.
34.	Quanshui Wu, “Gelfand–Kirillov dimension under base field extension”, Israel J. Math., 73:3 (1991), 289–296
35.	L. H. Rowen, Graduate algebra: noncommutative view, Grad. Stud. Math., 91, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, xxvi+648 pp.

Образец цитирования: А. Гупта, У. Аруначалам, “Размерности Гельфанда–Кириллова простых модулей над скрученными групповыми алгебрами

$k \ast A$ ”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:4 (2022), 103–115; Izv. Math., 86:4 (2022), 715–726

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GupAru22}

\by А.~Гупта, У.~Аруначалам

\paper Размерности Гельфанда--Кириллова простых модулей над скрученными групповыми алгебрами $k \ast A$

\jour Изв. РАН. Сер. матем.

\yr 2022

\vol 86

\issue 4

\pages 103--115

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/im9182}

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9182}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461243}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1532.16022}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022IzMat..86..715G}

\transl

\jour Izv. Math.

\yr 2022

\vol 86

\issue 4

\pages 715--726

\crossref{https://doi.org/10.4213/im9182e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992245100004}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165664068}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/im9182

https://doi.org/10.4213/im9182

https://www.mathnet.ru/rus/im/v86/i4/p103

Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles

Известия Российской академии наук. Серия математическая

Статистика просмотров:
Страница аннотации:	434
PDF русской версии:	37
PDF английской версии:	151
HTML русской версии:	148
HTML английской версии:	199
Список литературы:	106
Первая страница:	15