Аннотация:
Недавно авторами был введен класс топологических биллиардов. Топологические биллиарды получаются склейками элементарных плоских биллиардов-листов, ограниченных дугами софокусных квадрик, вдоль сегментов их границ. Интегрируемость элементарных биллиардов, оказывается, влечет интегрируемость топологических биллиардов. В статье доказывается, что классические линейно и квадратично интегрируемые геодезические потоки на торе и сфере лиувиллево эквиваленты подходящим топологическим биллиардам. При этом линейные и квадратичные интегралы геодезических потоков сводятся к одному каноническому линейному интегралу и к одному каноническому квадратичному интегралу на биллиарде. Эти результаты получены в рамках теории Фоменко–Цишанга классификации интегрируемых систем.
Библиография: 64 наименования.
Исследование выполнено в рамках Программы Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-6399.2018.1, соглашение № 075-02-2018-867), а также при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (грант № 19-01-00775-a).
Поступило в редакцию: 13.09.2018 Исправленный вариант: 04.03.2019
Образец цитирования:
В. В. Ведюшкина (Фокичева), А. Т. Фоменко, “Интегрируемые геодезические потоки на ориентируемых двумерных поверхностях и топологические биллиарды”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:6 (2019), 63–103; Izv. Math., 83:6 (2019), 1137–1173
Anatoly Fomenko, “Hidden symmetries in Hamiltonian geometry, topology, physics and mechanics”, Priroda, 2025, no. 1(1313), 23
Г. В. Белозеров, А. Т. Фоменко, “Траекторные инварианты биллиардов и линейно интегрируемые геодезические потоки”, Матем. сб., 215:5 (2024), 3–46; G. V. Belozerov, A. T. Fomenko, “Orbital invariants of billiards and linearly integrable geodesic flows”, Sb. Math., 215:5 (2024), 573–611
G. V. Belozerov, A. T. Fomenko, “Rotation Functions of Integrable Billiards As Orbital Invariants”, Dokl. Math., 2024
G. V. Belozerov, A. T. Fomenko, “Rotation functions of integrable billiards as orbital invariants”, Doklady Rossijskoj akademii nauk. Matematika, informatika, processy upravleniâ, 515:1 (2024), 5
JOSCHA HENHEIK, “Deformational rigidity of integrable metrics on the torus”, Ergod. Th. Dynam. Sys., 2024, 1
В. А. Кибкало, Д. А. Туниянц, “Упорядоченные биллиардные игры и топологические свойства биллиардных книжек”, Труды Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна — 2024, СМФН, 70, № 4, Российский университет дружбы народов, М., 2024, 610–625
В. В. Ведюшкина, С. Е. Пустовойтов, “Классификация слоений Лиувилля интегрируемых топологических биллиардов в магнитном поле”, Матем. сб., 214:2 (2023), 23–57; V. V. Vedyushkina, S. E. Pustovoitov, “Classification of Liouville foliations of integrable topological billiards in magnetic fields”, Sb. Math., 214:2 (2023), 166–196
В. Н. Завьялов, “Биллиард с проскальзыванием на любой рациональный угол”, Матем. сб., 214:9 (2023), 3–26; V. N. Zav'yalov, “Billiard with slipping by an arbitrary rational angle”, Sb. Math., 214:9 (2023), 1191–1211
А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, “Биллиарды и интегрируемые системы”, УМН, 78:5(473) (2023), 93–176; A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Billiards and integrable systems”, Russian Math. Surveys, 78:5 (2023), 881–954
М. А. Никулин, “Спектр оператора Шрёдингера в накрытии эллиптического кольца”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2023, № 5, 22–32; M. A. Nikulin, “Spectrum of the Schrödinger operator in an elliptical ring cover”, Moscow University Mathematics Bulletin, 78:5 (2023), 230–243
Vladimir Dragović, Sean Gasiorek, Milena Radnović, “Billiard Ordered Games and Books”, Regul. Chaotic Dyn., 27:2 (2022), 132–150
А. Т. Фоменко, В. В. Ведюшкина, “Эволюционные силовые биллиарды”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:5 (2022), 116–156; A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Evolutionary force billiards”, Izv. Math., 86:5 (2022), 943–979
В. В. Ведюшкина, В. Н. Завьялов, “Реализация геодезических потоков с линейным интегралом биллиардами с проскальзыванием”, Матем. сб., 213:12 (2022), 31–52; V. V. Vedyushkina, V. N. Zav'yalov, “Realization of geodesic flows with a linear first integral by billiards with slipping”, Sb. Math., 213:12 (2022), 1645–1664
Г. В. Белозеров, “Топология изоэнергетических 5-поверхностей трехмерного бильярда внутри трехосного эллипсоида с потенциалом Гука”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2022, № 6, 21–31; G. V. Belozerov, “Topology of 5-surfaces of a 3D billiard inside a triaxial ellipsoid with Hooke's potential”, Moscow University Mathematics Bulletin, 77:6 (2022), 277–289
A. T. Fomenko, V. A. Kibkalo, “Topology of Liouville foliations of integrable billiards on table-complexes”, European Journal of Mathematics, 8:4 (2022), 1392–1423
С. Е. Пустовойтов, “Топологический анализ биллиарда, ограниченного софокусными квадриками, в потенциальном поле”, Матем. сб., 212:2 (2021), 81–105; S. E. Pustovoitov, “Topological analysis of a billiard bounded by confocal quadrics in a potential field”, Sb. Math., 212:2 (2021), 211–233
В. В. Ведюшкина, И. С. Харчева, “Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем”, Матем. сб., 212:8 (2021), 89–150; V. V. Vedyushkina, I. S. Kharcheva, “Billiard books realize all bases of Liouville foliations of integrable Hamiltonian systems”, Sb. Math., 212:8 (2021), 1122–1179
A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, “Billiards with changing geometry and their connection with the implementation of the Zhukovsky and Kovalevskaya cases”, Russ. J. Math. Phys., 28:3 (2021), 317–332
С. Е. Пустовойтов, “Топологический анализ эллиптического бильярда в потенциальном поле четвертого порядка”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2021, № 5, 8–19; S. E. Pustovoitov, “Topological analysis of an elliptic billiard in a fourth-order potential field”, Moscow University Mathematics Bulletin, 76:5 (2021), 193–205
A. T. Fomenko, V. V. Vedyushkina, V. N. Zav'yalov, “Liouville foliations of topological billiards with slipping”, Russ. J. Math. Phys., 28:1 (2021), 37–55
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: